正方形中對(duì)角互補(bǔ)結(jié)構(gòu)

正方形專題課----對(duì)角互補(bǔ)四邊形一、【知識(shí)精析】四個(gè)結(jié)論中知2求21、∠1=∠2，2、∠C+∠D=180°，3、BD=CD,4、AE=12拓展11,若∠A=∠CDB=90°，AC=AB,求證（1）∠ADC=45°，（2）DC+DB=2DA.2,若∠A=90°,AC=AB,∠ADC=45°求證：DC+DB=2DA.二、例題講解例1、已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O．E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，則EF的長為_________cm．1、如圖，已知：點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α.⑴如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，∠BCE=；（圖1）（圖2）（圖3）⑵如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，試判斷∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生改變，若變化，請(qǐng)指出其變化范圍；若不變化，請(qǐng)求出其值，并給出證明；⑶如圖3，當(dāng)α=120°時(shí)，則∠BCE=；例2、在圖1到圖3中，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△MPN為直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不動(dòng)，△MPN沿射線AC向右平移，平移過程中P點(diǎn)始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點(diǎn)E，PN垂直于直線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_________；（2）如圖2，當(dāng)P在線段OC上時(shí)，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對(duì)你的猜想結(jié)果給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_________；位置關(guān)系為_________．例3、如圖，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關(guān)系；并加以證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在DC的延長線上時(shí)，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想．例4、如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，連接BQ交AC于G，若AP=，Q為CD中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD的面積是16；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4B．3C．2D．1例5、如圖1，直角∠EPF的頂點(diǎn)和正方形ABCD的頂點(diǎn)C重合，兩直角邊PE，PF分別和AB，AD所在的直線交于點(diǎn)E和F．易得△PBE≌△PDF，故結(jié)論“PE=PF”成立；（1）如圖2，若點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；（2）如圖（3）將（2）中正方形ABCD改為矩形ABCD其他條件不變，若AB=m，BC=n，直接寫出的值．例6、如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于點(diǎn)M，過M作MN⊥AQ交BC于點(diǎn)N，作NP⊥BD于點(diǎn)P，連接NQ，下列結(jié)論：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④為定值．其中一定成立的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④例7、已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H（1）如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；（2）如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=2，CD=3，求AD的長；小萍同學(xué)通過觀察圖①發(fā)現(xiàn)，△ABM和△AHM關(guān)于AM對(duì)稱，△AHN和△ADN關(guān)于AN對(duì)稱，于是她巧妙運(yùn)用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖③進(jìn)行翻折變換，解答了此題．你能根據(jù)小萍同學(xué)的思路解決這個(gè)問題嗎？例8、（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)．（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且∠MAN=45°，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長．例9、如圖，將邊長為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的中點(diǎn)G處，那么四邊形BCFE的面積等于_________；若GH與CD交點(diǎn)為I，那么GBI=____________.27．在直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交x軸于A，交y軸于D（1）以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△AMD，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)為_________（2）以AD為邊作正方形ABCD，連BD，P是線段BD上（不與B、D重合）的一點(diǎn)，在BD上截取PG=，過G作GF⊥BD，交BC于F，連AP則AP與PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，試判斷線段PD、PG、BG之間有何關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例10、如圖，一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線AC所在的直線上滑動(dòng)，并使得一條直角邊始終經(jīng)過B點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)直角三角形的另一條