新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練技巧02 填空題的答題技巧（8大題型）（練習(xí)）（解析版）

技巧02填空題的答題技巧目錄01特殊法速解填空題02轉(zhuǎn)化法巧解填空題03數(shù)形結(jié)合巧解填空題04換元法巧解填空題05整體代換法巧解填空題06坐標(biāo)法巧解填空題07賦值法巧解填空題08正難則反法巧解填空題01特殊法速解填空題1．關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①由可得必是的整數(shù)倍；②在區(qū)間上單調(diào)遞增；③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．其中正確的命題的序號(hào)是__________把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上【答案】②③

【解析】函數(shù)，①特例：，，滿足，但是不是的整數(shù)倍，所以①不正確；②的周期為，令，可得是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以②正確；③當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以③正確；④由③知的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以④不正確；故答案為：②③．2．已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱集合是“好集合”，給出下列4個(gè)集合：①；②；③；④其中為“好集合”的序號(hào)是__________．【答案】②③

【解析】對(duì)于①，注意到無(wú)實(shí)數(shù)解，因此①不是“好集合”；對(duì)于②，如下左圖，注意到過(guò)原點(diǎn)任意作一條直線與曲線相交，過(guò)原點(diǎn)與該直線垂直的直線必與曲線相交，因此②是“好集合”；對(duì)于③，如下中圖，注意到過(guò)原點(diǎn)任意作一條直線與曲線相交，過(guò)原點(diǎn)與該直線垂直的直線必與曲線相交，因此③是“好集合”；對(duì)于④，如下右圖，注意到對(duì)于點(diǎn)，不存在，使得，因?yàn)榕c真數(shù)的限制條件矛盾，因此④不是“好集合”．故答案為：②③．3．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和滿足給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)．其有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_________．【答案】①③④

【解析】，可得，又各項(xiàng)均為正，可得，令可得，可解得，故①正確；當(dāng)時(shí)，由得，于是可得，即，若為等比數(shù)列，則時(shí)，即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)則不成立，固②錯(cuò)誤；可得，于是，所以，于是③正確；若所有項(xiàng)均大于，取，則，，于是，與已知矛盾，所以④正確．4．黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：，若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意x都有，當(dāng)時(shí)，，則__________．【答案】

【解析】根據(jù)題意，對(duì)任意x都有，令，則有，又由，故又由，則有，故；故答案為：02轉(zhuǎn)化法巧解填空題5．斜率為1的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是曲線E上的一點(diǎn)，滿足，和的重心分別為P，Q，的外心為R，記直線OP，OQ，OR的斜率為，，，若，則雙曲線E的離心率為_(kāi)_________．【答案】

【解析】設(shè)，，，則AB中點(diǎn)為，AC中點(diǎn)為，BC中點(diǎn)為，因?yàn)镻、Q分別為，的重心，故，，因?yàn)?，的外心為R，故R為AB中點(diǎn)，則由A、B、C三點(diǎn)均在雙曲線上，①，②，③，①-②可得，即，同理由②-③可得，④由①-③可得，⑤因?yàn)樾甭蕿?的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，故，則，因?yàn)?，所以，故④⑤兩式相乘可得，即，故，則，則，故答案為6．如圖，一個(gè)池塘的東?西兩側(cè)的端點(diǎn)分別為，現(xiàn)取水庫(kù)周邊兩點(diǎn)，測(cè)得，，池塘旁邊有一條與直線AB垂直的小路l，且點(diǎn)A到l的距離為小張點(diǎn)沿著小路l行進(jìn)并觀察兩點(diǎn)處豎立的旗幟與小張的眼睛在同一水平面內(nèi)，則小張的視線PA與PB的夾角的正切值的最大值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】在中，，所以，，由正弦定理可得，所以，在中，，所以，所以，在中，由余弦定理，，所以，設(shè)l與AB的交點(diǎn)為E，，，如圖，則，由，可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：7．函數(shù)其中，b，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_________【答案】

【解析】由題時(shí)，恒成立，則時(shí)，恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，則設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合題意，則與同號(hào)．①當(dāng)，時(shí)，即且時(shí)，與具有相同零點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)相同的零點(diǎn)為，，則，，方程的兩根為，，即，，則，即，且時(shí)，，令，，，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故②當(dāng)，時(shí)，即且時(shí)，恒成立，即此時(shí)恒成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，取到最小值，故綜上所述，故答案為8．如今中國(guó)被譽(yù)為“基建狂魔”，可謂逢山開(kāi)路，遇水架橋．公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一．建設(shè)過(guò)程中研制出用于基建的大型龍門(mén)吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先．如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切．若，則該模型中最小小球的半徑為_(kāi)_________．【答案】

【解析】如圖所示正四面體ABCD，設(shè)棱長(zhǎng)為，高為h，O為正四面體ABCD內(nèi)切球的球心，延長(zhǎng)AO交底面BCD于E，E是等邊三角形的中心，過(guò)A作交CD于F，連接BF，則OE為正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑，，，，，由圖可知最大球內(nèi)切于高為的正四面體中，最大球半徑，中等球內(nèi)切于高為的正四面體中，中等球半徑，最小求內(nèi)切于高為的正四面體中，最小球半徑故答案為：03數(shù)形結(jié)合巧解填空題9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B在直線上，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】因?yàn)?，即，，?dāng)M不在直線AB上時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)E，使得，所以在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使得，所以所以因?yàn)?，所以ME為的角平分線．因?yàn)椋訫F平分的鄰補(bǔ)角．所以，即所以點(diǎn)M的軌跡為以為直徑的圓除去E，，半徑為當(dāng)M在直線AB上時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為點(diǎn)E，綜上，點(diǎn)M的軌跡為以為直徑的圓上，半徑為設(shè)直線l：，過(guò)O作交l于點(diǎn)D，當(dāng)EF的中點(diǎn)為D時(shí)，此時(shí)因?yàn)?，，所以故答案?0．舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為若，，過(guò)上的點(diǎn)P向作切線，則切線長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】以滑槽AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)?，所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，其方程為，設(shè)點(diǎn)，由于，則，由，可得，設(shè)，所以，解得，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，其方程為，設(shè)上的點(diǎn)，則，則切線長(zhǎng)為，所以切線長(zhǎng)的最大值為故答案為：11．已知的兩條直角邊分別為3，4，以斜邊所在直線為軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體體積是__________．【答案】

【解析】如圖為直角三角形以斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體．因?yàn)閮蓷l直角邊分別為3，4，所以斜邊長(zhǎng)為5，利用三角形的面積相等，得出斜邊上的高為，則圓錐的底面半徑為，設(shè)兩個(gè)圓錐的高為，，則，所以故答案為12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)Q在C上，則C的離心率為_(kāi)_________．【答案】

【解析】因?yàn)殛P(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓C上，由對(duì)稱性可得P，，Q三點(diǎn)共線，設(shè)，則，，在中，由余弦定理可得，所以而，所以，可得，在中，由余弦定理可得，整理得，即離心率故答案為04換元法巧解填空題13．已知函數(shù)，則方程是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】6

【解析】令，得方程變?yōu)椋?，即，由與的圖象可知方程有三個(gè)根當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)有極大值，則由函數(shù)的圖象，方程無(wú)解；方程四解；方程兩解；所以原方程共有6個(gè)根，故答案為：14．已知函數(shù)，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】2

【解析】由，得，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)根，即有兩個(gè)根，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故答案為15．已知，若在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】

【解析】，，令，則，

因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b滿足，故，故，故16．已知a，b都是正數(shù)，則的最小值是__________．【答案】

【解析】因?yàn)?/p>

均為正實(shí)數(shù)，故設(shè)

，

，則

聯(lián)立解得

，

，，當(dāng)且僅當(dāng)

，即

，即

時(shí)取等號(hào)，故答案為：

．05整體代換法巧解填空題17．如圖，在所在平面內(nèi)，分別以AB，BC為邊向外作正方形ABEF和正方形記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為已知，且，則__________．【答案】

【解析】因?yàn)?，在中有，所以，由正弦定理得，由，得，即，則，由題意得，，如圖：在中，，則得18．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值為M，最小值為N，其中，則__________．【答案】6

【解析】由題意可知，，設(shè)，的定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，所以，所以故答案為：19．銳角中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且的面積是1，則的取值范圍是__________．【答案】

【解析】，由正弦定理可得：，

即，化為：，是銳角三角形，，解得，，解得，，，的面積是1，，化為：故答案為：06坐標(biāo)法巧解填空題20．在平行四邊形ABCD中，，，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】平行四邊形ABCD中，，，AC，BD相交于點(diǎn)O，，可得，可得，解得，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，AC的方程為：設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：21．舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng)．若，，，則MA的最小值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】以滑槽AB所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，其方程為設(shè)點(diǎn)，，，依題意，，且，所以，且即且由于t不恒為0，于是，故，，代入，可得，則，，當(dāng)時(shí)，取最小值，故的最小值為22．費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)．當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為．根據(jù)以上性質(zhì)，函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．【答案】

【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖象，函數(shù)表示的是點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)，到的距離之和，則這個(gè)等腰三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在高線AD上，設(shè)O點(diǎn)即費(fèi)馬點(diǎn)，連接OB，OC，則，，，，，，，距離之和的最小值為：故答案為：23．用平行于圓錐母線的平面不過(guò)頂點(diǎn)截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分．如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)，已知過(guò)CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于__________．【答案】

【解析】連接PO，由題意可得面ABC，所以，由題意，因?yàn)镋是母線PB的中點(diǎn)，所以，由題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以BP為y軸以O(shè)E為x軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示：可得：，設(shè)拋物線的方程為，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，所以，所以拋物線的方程為：，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故答案為：07賦值法巧解填空題24．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，給出下列判斷：；在上是增函數(shù)；的圖象關(guān)與直線對(duì)稱；函數(shù)在處取得最小值；函數(shù)沒(méi)有最大值，其中判斷正確的序號(hào)是__________．【答案】①④

【解析】由得到，再結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，，，將x換做得：，，所以函數(shù)的周期是在中，令時(shí)，得，所以，又周期為4，，所以①正確；在區(qū)間上單調(diào)遞增，是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，又，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上減，在上增，函數(shù)的大致圖象可模擬如下：故函數(shù)在處可取得最小值，函數(shù)在處可取得最大值，y軸和都是函數(shù)的對(duì)稱軸，而不是對(duì)稱軸，所以②錯(cuò)誤，③錯(cuò)誤，④正確，⑤錯(cuò)誤；故答案為①④．25．若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則__________．【答案】

【解析】，令，則，可得，令，則，可得，由，可得，，故答案為：26．對(duì)于函數(shù)，給出下列命題：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；若，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；若，則函數(shù)是周期函數(shù)；若，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．其中所有正確命題的序號(hào)是__________．【答案】①③④

【解析】設(shè)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，解得：，即函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故①正確；若，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故②錯(cuò)誤；③若，，則函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，故③正確；④若，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故④正確．故答案為：①③④27．函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足當(dāng)時(shí)，，則__________．【答案】1

【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，，且又，，，可得，奇函數(shù)的周期為4，故答案為08正難則反法巧解填空題28．設(shè)集合…，，，2，3，…，，則集合A中滿足條件“…”的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_________．【答案】

【解析】集合A中共有個(gè)元素；其中…的只有一個(gè)元素，…的有