高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教案與練習(xí)題

1.簡(jiǎn)單幾何體及綜合練習(xí)題

2.直線和圓及綜合練習(xí)題

3.圓錐曲線及綜合練習(xí)題

4.概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)拓展、概率與統(tǒng)計(jì)選擇題訓(xùn)練和解答題訓(xùn)練、概率與統(tǒng)計(jì)經(jīng)點(diǎn)答疑

教學(xué)內(nèi)容：簡(jiǎn)單幾何體

【考點(diǎn)梳理】

一、考試內(nèi)容

1.棱柱（包括平行六面體）。棱錐。多面體。

2.球。

3.體積的概念與體積公理。棱柱、棱錐的體積。球的體積。

二、考試要求

1.理解棱柱、棱錐、球及其有關(guān)概念和性質(zhì)。

掌握直棱柱、正極錐、球的表面積和體積公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算。

3.了解多面體的概念，能正確畫(huà)出棱柱、正棱錐的直觀圖。

對(duì)于截面問(wèn)題，只要求會(huì)解決與幾種特殊的截面（棱柱、棱錐的衣角面，棱柱的直截面,

球的截面）以及已給出圖形或它的全部頂點(diǎn)的其他截面的有關(guān)問(wèn)題。

三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析

1.棱柱

側(cè)核不垂

.于底面除棱柱I

棱柱卜一

于底面

底鯉皿_[^西麗遨長(zhǎng)皆相等定詞

2.棱錐

r^g-i__頂點(diǎn)在底面上的射影

正棱錐

一是底面正多邊形的中心一

3.棱柱、棱錐的側(cè)面積與體積

S）Ft4H：?j=C/r'S正校檢（產(chǎn)—Ch'VH：（4=Sh'V^=-Sh,

23

4.球

,4[

Sm=4;nR-V球=一兀R3

3

四、思想方法

1.割補(bǔ)法。它是通過(guò)“割”與“補(bǔ)”等手段，將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體,

是一種常用的轉(zhuǎn)化方法。

2.正棱錐的計(jì)算問(wèn)題。應(yīng)抓住四個(gè)直角三角形和兩個(gè)角。四個(gè)直角三角形，即正棱錐

的高、側(cè)棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面邊長(zhǎng)的一半組成的四個(gè)直

角三角形。兩個(gè)角，即側(cè)棱與底面所成的線面角，側(cè)面與底面所成的二面角。四個(gè)直角三角

形所圍成的幾何體稱(chēng)之為“四直角四面體”，它是解決極錐計(jì)算問(wèn)題的基本依據(jù)，必須牢固

掌握。

3.正棱錐的側(cè)面積與底面枳的關(guān)系。

正棱錐：SJS=Smcoso

4.多面體中表面上兩點(diǎn)的最短距離。

多面體中表面上兩點(diǎn)的最短距離，就是其平面展開(kāi)圖中，連結(jié)這兩點(diǎn)的線段長(zhǎng)度，這是

立體幾何中求最短距離的基本依據(jù)（球面上兩點(diǎn)間的距離除外）。

5.關(guān)于組合體體積的計(jì)算問(wèn)題。

有很多的幾何體，都由一些簡(jiǎn)單幾何體所組成，這樣的幾何體叫做組合體。

構(gòu)成組合體的方式一般有兩種：其一是由幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體堆積而成，其體積就等于這幾

個(gè)簡(jiǎn)單幾何體體積之和；其二是從一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體中挖去幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體而成，其體積就等

于這個(gè)幾何體的體積減去被挖去的幾個(gè)幾何體的體積。

因此，組合體體積的求法，艮]為“加、減”法，關(guān)鍵是合理的分割，可使計(jì)算簡(jiǎn)化。

6.關(guān)于等積變換問(wèn)題。

等積變換的依據(jù)是等底等高的棱錐體積相等。

等積變換求體積或求點(diǎn)到平面的距離，都是在基本幾何體一一四面體和平行六面體中進(jìn)

行的。這是因?yàn)檫@些幾何體變換底面后，計(jì)算體積的方法不變，幾何體仍為四面體和平行六

面體，這樣，我們就可以選擇適當(dāng)?shù)拿鏋榈酌?，使?jì)算簡(jiǎn)單、易行。

若幾何體本身不是四面體或平行六面體，則需先將其分成幾個(gè)四面體或平行六面體之

后，再施行等積變換。

用等積變換求點(diǎn)到平面的距離，是用兩種不同的體積計(jì)算方法，來(lái)建立所求距離的方程,

使問(wèn)題得解。

異面直線間的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，因此也可用等積變換求解。

用等積變換求距離，可繞過(guò)距離的作圖，從而降低了題目的難度。

【例題解析】

例1如圖8-1,已知斜三棱柱ABC—AIBICI的底面是直角三角形，AC±CB,Z

ABC=30°,側(cè)面A1ABB1是邊長(zhǎng)為a的菱形，且垂直于底面，ZA(AB=60°,E、F分別是

ABi、BC的中點(diǎn)。

(1)求證：EF〃側(cè)面AiACG；

(2)求四棱錐ABiBCG的體積；

(3)求EF與側(cè)面AIABBI所成角的大小。

(1)連結(jié)AiB、AiC

???AIABBI是菱形，且E是ABi的中點(diǎn)，

???E是AR的中點(diǎn)。

又F是BC的中點(diǎn)，

.??EF〃AiC。

又AC帛平面A1ACC1，

EF(Z平面AiACCi，

???EF〃面AIACCI。

(2)???平面A|ABB|_L平面ABC,交線為AB,

在平面A]ABBi內(nèi)，過(guò)Ai作AQ_LAB于0,則AQ_L平面ABC,且〃二AQ二且小

2

XVAC1CB,ZABC=30°,?'-S=S=-ACB-C,BC=—a,AC=-a

ALBC222

???vA-C[CBB1

=V柱-VA-AIB[c]

,1221

=Sh--S/?=-S/i=---?AC?BC?AiO

3332

211VJVs1.

=—,—-----a,—a=-a

322228

(3)在平面ABC內(nèi)，過(guò)F作FH_LAB于H,則FH_L側(cè)面AiABBi。

連結(jié)EH,則NHEF為EF與剜面AiABBi所成的角。

?3

??,在Rl^FHB中，F(xiàn)H=-BF=—?,BH=-a；

288

在Z\HEB中，HE=+(BH)2-2BEBH-cosZ^,BA

=(—a)2+(—a)2-2—a-?cos60°

V2828

8

?*人士/HFV39

，在RtaEHF中，tanZHEF=——=------

HE13

?'?ZHEF=arctan

13

例2如圖8—3,三棱錐P—ABC中，AABC是正三角形，ZPCA=90°,D為PA的

中點(diǎn)，二面角P—AC—B為120°,PC=2,AB=2V3o

(1)求證：AC±BD；

(2)求BD與底面ABC所成的角(用反正弦表示);

(3)求三棱錐P—ABC的體積。

圖8-3圖8-4

解(1)如圖8—4,取AC中點(diǎn)E,連DE、BE,則DE〃PC,VPC1AC,/.DE±

ACo

「△ABC是正三角形，/.BE±ACo

又DE呈平面DEB,BE帛平面DEB,

,?，DB梟平面DEB,AACXDB.

(2)法一：：AC_L平面DEB,AC年底面ABC,，平面DEB_L底面ABC,AEB是

DB在底面ABC內(nèi)的射影，ZDBE是BD與底面ABC所成的角。

XVDEIAC,BE_LAC,,/DEB即為二面角P—AC—B的平面角。

…占1V3

在4DEB中，VDE=-PC=1,BE=——AB=3,

22

???由余弦定理,得BD2=12+32-2X1X3cos1200=13,BD=713,

得1_屈

，由正弦定理,行sinNOBE-sin120。

J39J39

解得sinZDBE=------，即BD與底面ABC所成的角為arcsin-------。

2626

法二：???AC_L平面DEB,ACE平面ABC。???平面DEB_L平面ABC,作DF_L平面ABC,

F為垂足，則F在BE的延長(zhǎng)線上，NDBF是BD與平面ABC所成的角。VDE1AC,BE

]y/3

1AC,AZDEB是二面角P—AC—B的平面角。在RtADBF中，DE=-PC=1,BE=—AB=3,

22

/o

ZDEB=120°,ZDEF=60°,DF=-o

2

，在ADEB中，由余弦定理得BD=jm,

DFV39V39

，sinNDBF=-----=-------,故BD與底面ABC所成的角為arcsin-------。

DB2626

(3)〈AC，平面DEB,AC導(dǎo)面PAC,

???平面DEB_L平面PAC,J過(guò)點(diǎn)B作平面PAC的垂線段BG,垂足G在DE的延長(zhǎng)線

上。

???在RtZ\BEG中，ZBEG=60°，BE=3,ABG=——，

2

3A/3

112x273vO

**.VP-ABC=VB-PAC=—SAPACXBG=-X---------------X----------=3

3322

例3如圖8-5,三棱錐P—ABC中，已知PA±BC,PA=BC=/,PA、BC的公垂線DE=〃,

求三棱錐P—ABC的體積。

分析：思路一直接求三棱錐P—ABC的體積比較困難?？紤]到DE是棱PA和BC的公

垂線，可把原棱錐分割成兩個(gè)三棱錐P—EBC和A—EBC,利用PA_L截面EBC,且4EBC

的面積易求，從而體積可求。

圖8-5

解如圖8—5—1,連結(jié)BE,CEoTDE是PA、BC的公垂線，JPALDE。又PA_L

，

BC,，PA_L截面EBC。..VP-EBC=-SziEBC-PE,VA-EBC=-S^EBC?AEoVDE1BC,AS

33

△EBC=-BC,DE=—//?,/.VpABC=VPEBC+VAEBC=_S△EBC,(PE+AE)=—PA?SAEBC=—

22336

圖8-5-1圖8-5-2

注本例的解法稱(chēng)為分害IJ法，把原三棱錐分割為兩個(gè)三棱錐，它們有公共的底面aEBC,

而高的和恰為PA,因而計(jì)算簡(jiǎn)便，

思路二本題也可用補(bǔ)形法求解。

解如圖8-5-2,將4ABC補(bǔ)成平行四邊形ABCD,連結(jié)PD,則PA_LAD,且BC

〃平面PAD,故C到平面PAD的距離即為BC和平面PAD的距離。

VMN1PA,又MN_LBC,BC〃AD,AMN1AD,MN,平面PAD。

故Vp-ABC=Vp-ADC=Vc-PAD=—S..PAD?MN=—(—?PA?AD)?MN=—

3326

注本題的解法稱(chēng)為補(bǔ)形法，將原三棱錐補(bǔ)形成四棱錐，利用體積互等的技巧進(jìn)行轉(zhuǎn)換,

以達(dá)到求體積的目的。

本題也可將三棱錐補(bǔ)成三棱柱求積。想一想，怎樣做？

例4如圖8-6,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,并且PD=?,

PA=PC=V2ao

(1)求證：PD_L平面ABCD；

(2)求異面直線PB與AC所成的角;

(3)求二面角A—PB—D的大??；

.??△PDC是RlA,

且PD±DCo

同理，PD±ADo

而ADADC二D,，PDJ_平面ABCD。

(2)如圖8—7,連BD,YABCD是正方形,

ABDlACo

又,.,PD_L平面ABCD。

ABD是PB在平面ABCD上的射影。

由三垂線定理，得PB_LAC。

???PB與AC成90°角。

(3)設(shè)ACABD=O,作AE_LPB于E,連OE。

VAC1BD,又PD_L平面ABCD,AC辜平面ABCD。

APDlACo

而PDGBD二D,???AC_L平面PDB,

則0E是AE在平面PDB上的射影。

由三垂線定理逆定理知OE_LPB,

ZAEO是二面角A—PB—D的平面角。

???PD_L平面ABCD,DAlABoAPAlABo

在Rt△PAB中，AE?PB=PA?AB。又AB=a，AP=72a，

PB=ylPD2+AD2+AB2=43a,

41

:.AE=—=a又AO=-----a

百o2

sinZAEO=,ZAEO=60°

AE2

???二面角A—PB—D的大小為60°o

（4）設(shè)此球半徑為R,最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)而相切，球心為S,連SA、SB、SC、

SD、SP,則把此四棱錐分為五個(gè)小棱錐，它們的高均為R。

由體積關(guān)系，得

Vp-ABCD="R（SapDC+SAPDA+SCPBC+SAPAB+S正方形ABCD）

3

-R(—+—+—?2+—?2+a2)o

32222

1a

又:〃

—R(2?2+V2cr)=

3￥

2

例5如圖8—8,已知長(zhǎng)方體ABCD—AIBIGDI中，AB=BC=4,AA尸8,E、F分別為

AD和CCi的中點(diǎn)，Oi為下底面正方形的中心。求：

（1）二面角C—EB—Oi的正切值；

（2）異面直線EB與OF所成角的余弦值；

（3）三棱錐Oi—BEF的體積。

解如圖8—9,(1)取上底面的中心O,OG_LEB于G,連001和GO”由長(zhǎng)方體的

性質(zhì)得OOi_L平面ABCD,則由三垂線定理得OiG_LEB,

則/OGOi為二面角C—EB—Oi的平面角。由已知可求得EB=A/22+42=275。

2

利用△ABEsZ\GEO(圖8-10),可求得OG=7。

圖8-10

在RtZ\OiOG中，tanZOiGO=^L=4V5o

OG

(2)在BiC上取點(diǎn)H,使&H=1,連OiH和FH。

易證明OiH〃EB,則NFOiH為異面直線EB與O1所成角。

X0)H=-BE=V5,HF=物+42=5,

2

OIF=>/22+22+42=2V6?

???在△OiHF中，由余弦定理，得

24+5—25A/30

cosZFOiH=

2-V5-2V6于

B

BtHG

圖8-11

(3)連HB,HE,由O1H〃EB,得OiH〃平面BEF。

VQBE產(chǎn)VH—BEF=VE—BHF二一"SABHF,AB

'3

VSABHF=32--(1X8+3X4+4X4)=14

2

156

VBEF=-x14X4=—

0o'33

例6如圖8—12,球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直,

且PA=PB=PC=tz,求這個(gè)球的表面積。

解如圖8—12,設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r,圓心為O',球心到該圓

面的距離為d。在三棱錐P—ABC中，

VPA,PB,PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=4

AAB=BC=CA=V2PffiAABC內(nèi)的射影即是aABC的中心O'。

由正弦定理，得=理工尸a。

sin6003

又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有00'_L平面ABC,而PO'J_平面ABC,

???P、O、O’共線，球的半徑R=J^+d2。又po,=JPA2T2一/哼小

00'=R—a=d=R'—r2,(R—?)2=R2-(a)2,解得R二

3332

AS球=4JiR2=3na2o

注本題也可用補(bǔ)形法求解。將P-ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱(chēng)性可知，正方體內(nèi)

接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R==。,下略。

2

例7如圖8—13所示，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2,

E是AC的中點(diǎn)，異面.直線AD與BE所成的角為arccos——，求四面體ABCD的體積。

10

解如圖814,過(guò)A引BE的平行線，交CB的延K線于F,則NDAF是異方直線

BE與AD所成的角。

ZDAF=arccos------

10

YE是AC的中點(diǎn)，???B是CF的中點(diǎn)，EBF=AB=2oVAB±BC=2BE=叵

r.AF=2BE=25/2

ADF=DA,VDB±BA,DB_LBF,BF=BA,

則三角形ADF是等腰三角形，

AD=-----------5-------=而，BD=ylAD2-AB2=4

2cosZDAF

1Q8

故四面體VBCD=-ABXBCXBD=-,因此四面體ABCD的體積是一。

A633

例8如圖8—15,在平行六面體ABCD—AiBiGDi中,已知AB=5,AD=4,AAi=3,

AB_LAD,ZA|AB=ZA|AD=-o

3

(1)求證：頂點(diǎn)Ai在底面ABCD上的射影O在/BAD的平分線上；

(2)求這個(gè)平行六面體的體積。

解(1)如圖8—16,連結(jié)AQ,則AQ_L底面ABCD。作OM_LAB交AB于M,作

ON1AD交AD于N,連結(jié)A.M,AiNo由三垂線定得得AiMlAB,A|NJ_AD。丁ZA|AM=

ZAiAN,

.,.RtAAiNA^RtAAiMA,/.AiM=AiN,

從而OM=ON。???點(diǎn)0在NBAD的平分線上。

|3

(2)VAM=AAiCOS—=3X-=-

322

幾3

AAO=AMsec—=-72o又在RtZXAOAi中，

42

9Q3收

AIO2=AAI2-AO2=9\AIO=——，

222

???平行六面體的體積v=5X4X—=30A/2。

2

例9如圖8—17,已知正四棱柱ABCD—AiBiGDi，點(diǎn)E在棱DiD上，截面EAC〃

DiB,且面EAC與底面ABCD所成角為45°,AB=〃。

（1）求截面EAC的面積；

（2）求異面直線AIBI與AC之間的距離；

（3）求三棱錐Bi—EAC的體積。

（1999年全國(guó)高考試題）

圖8-17圖8-18

解（1）如圖8—18,連結(jié)DB交AC于0,連結(jié)E0。

???底面ABCD是正方形,ADOXACo又TED，底面AC,/.EO±ACo，NEOD就

是面EAC與底面AC所成的二面角的平面角，NEOD=45°。

又D(J=a,AC=V2a,EO=t?sec45°=a,故SAEAC=~~a2。

222

(2)由題設(shè)ABCD—AiBiGDi是正四棱柱，得AiA_L底面AC,AiA±AC<?又A【A_L

A1B1，AAiA是異面直線AiBi與AC之間的公垂線。：D|B〃面EAC,且面DiBD與面EAC

交線為EO,???D|B〃EO。又O是DB的中點(diǎn)，AE是D)D的中點(diǎn)，DiB=2EO=2a。/.

22

DiD=^D1B-DB=41a,即異面直線A,B,與AC之間的距離為我〃。

(3)法一：如圖8—18,連結(jié)DiB,???DQ=DB=&a,???四邊形BDDiBi是正方形。連

結(jié)BQ交DiB于P,交EO于Q。YBiD^DiB,EO〃D】B,ABiDlEOo又AC_LEO,AC

_LED,???AC_L面BDD1B1，ABiDlAC,.'.BiDJ"面EAC。則BiQ是三棱錐Bi—EAC的

__^331V293VI.

23

身。由DQ=PQ得BiQ=—B\D=—a,..VB_EAC=—?-----a,—a=a0

4213224

所以三棱錐Bi—EAC的體積是—a\

4

法二：連結(jié)BQ,則均「余=2匕_￡。5：AOJ?面BDDB，???AO是三棱錐A—EOBi

的高，AO=-do在正方形BDD】Bi中，E、0分別是D]D、DB的中點(diǎn)（如圖8—19）,

2

Q1QBB

則SAEOB=巳〃2。VB1_￡AC=2X-X-。2X2!_〃=2!_。3。所以三棱錐BLEAC的體積是

1413424

拒3

-----aJ

4

例10如圖8—20,在正方體ABCD—AIBIGD]中，E、F分別是BB】、CD的中點(diǎn)。

（1）證明ADXDiF；

（2）求AE與DiF所成的角；

（3）證明面AEDJL面AiFDi；

（4）設(shè)AAi=2,求三棱錐F—AIEDI的體積匕。

（1997年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題）

圖8-21

解（1）???多面體AG是正方體,AADX?DCio又DF呈面DG,AADlDiFo

（2）如圖8—21,取AB的中點(diǎn)G,連結(jié)AiG,FG。因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、

AD平行且相等，又AQi、AD平行且相等，所以GF、AQ1平行且相等，故GFDRi是平

行四邊形，AiG〃DF,設(shè)AiG與AE相交于點(diǎn)H,貝iJ/AHAi是AE與DF所成的角。因

為E是BBi的中點(diǎn)，所以Rt^AiAG絲RtZ\ABE,NGA|A二NGAH,從而NAHAi=90°,即

直線AE與DiF所成角為直角。

（3）由（1）知AD_LDiF,曰（2）知AE_LDE又ADGAE=A,所以D】F_L面AED。

又因?yàn)镈]F辜面AiFD],所以面AED_L面AIFDI。

(4)連結(jié)EG,GDi,FG//AD,:.FG〃面A)EDi,，體積

^F-A[ED[=%_&叩="_A]GE，

VAAi=2??**S^GE=-o=V0_4iC；E=—XAjDiX5M1(;￡=—X2X—=lo

教學(xué)內(nèi)容：簡(jiǎn)單幾何體綜合能力訓(xùn)練

【綜合能力訓(xùn)練】

一、選擇題

1.如果一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰是一個(gè)半圓，那么這個(gè)圓錐軸截面三角形的頂角為

（）

2.如圖8-22,用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，得到一個(gè)三棱錐。在這個(gè)三棱錐中，除截

面外的三個(gè)面的面積分別為$、S2>S3,則這個(gè)三棱錐的體積為（）

A.阻

3

圖8-22

3.?個(gè)三楂錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個(gè)側(cè)面（

A.必定都不是直角三角形B.至多有一個(gè)直角三角形

C.至多有兩個(gè)直角三角形D,可能都是直角三角形

4.長(zhǎng)方體的三個(gè)相鄰面的面積分別為2,3,6,這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,

則這個(gè)球面的表面積為（）

7乃

A.—B.56nC.14nD.64n

2

5.把一個(gè)半徑為R的實(shí)心鐵球熔化鑄成兩個(gè)小球（不計(jì)損耗），兩個(gè)小球的半徑之比

為1：2,則其中較小球半徑為（）

1^/3V25V3

A.-RB.—RC.----RD.—R

3353

6.棱錐被平行于底面的平面所截，當(dāng)截面分別平分棱錐的側(cè)棱、側(cè)面積、體積時(shí)，相

應(yīng)的截面面積分別為Si、S2、S3,則（）

A.S1〈S2Vs3B.S3Vs2VsiC.S2VsiVS3D.S1〈S3Vs2

7.圖8-23中多面體是過(guò)正四棱柱的底面正方形ABCD的頂點(diǎn)A作截面ABCQi而截

得的，且BiB二DQ。已知截面ABQD］與底面ABCD成30°的二面角，AB=1,則這個(gè)多

面體的體積為（）

G

V676A/6V6

B.--c.—D.

234

8.設(shè)地球半徑為R,在北緯300圈上有甲、乙兩地，它們的經(jīng)度差為120°,那么這

兩地間的緯線之長(zhǎng)為（）

D.2“R

9.如圖8-24,在一個(gè)倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個(gè)鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個(gè)

面都接觸上，經(jīng)過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是（）

10.如圖8-25,在三棱柱的側(cè)棱AiA和BiB上各有一動(dòng)點(diǎn)P,Q.且滿足A】P二BQ,過(guò)

P、Q、C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為（）

A.3：1B.2：1C.4：1D.V3：1

11.如圖8-26,下列四個(gè)平面形中，每個(gè)小四邊形皆為正方形，其中可以沿兩個(gè)正方形

的相鄰邊折疊圍成一個(gè)立方體的圖形是（）

12.已知A、B、C、D為同一球面上的四點(diǎn)，且連接每點(diǎn)間的線段長(zhǎng)都等于2,則球心

O到平面BCD的距離等于（）

二、填空題

13.命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。

命題A的等價(jià)命題B可以是：底面為正三角形，且

的三棱錐是正三棱錐。

B

圖8-27

14.如圖8-27,在三棱錐S—ABC中，E、F、G、H分別是棱SA、SB、BC、AC的中

點(diǎn)，截面EFGH將三棱錐分割為兩個(gè)幾何體AB—EFGH、SC-EFGH,其體積分別是V1、

V2,則V、：V2的值是o

15.已知三棱錐的一條棱長(zhǎng)為1,其余各條棱長(zhǎng)皆為2,則此三棱錐的體積為

◎

16.已知正四棱柱的體積為定值V,則它的表面積的最小值為。

三、解答題

17.正四棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別為。和b,上、下底面積之和等于側(cè)面積，求棱臺(tái)體積。

18.如圖8-28,已知三棱錐P—ABC中，PA=PB,CB_L平面ABP,PM=MC,AN=3NB0

(1)求證:MN_LAB；

（2）當(dāng)NAPB=90。，BC=2,AB=4時(shí)，求MN的長(zhǎng)。

圖8-28

19.如圖8-29,半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方

體的一邊長(zhǎng)為布，求半球的表面積和體積。

8-29

20.用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖

8-30）,設(shè)容器的高為人米，蓋子邊長(zhǎng)為。米。

（1）求。關(guān)于"的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)〃為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值。

（求解本題時(shí)，不計(jì)容器的厚度）

圖8-30

21.如圖8-31,已知三棱柱ABC—A'B'C的底面ABC是邊長(zhǎng)為。的正三角形，側(cè)

面ABB'A'是菱形，且/A'AB=60°,M是A'B'的中點(diǎn)，已知BM_LAC。

（1）求證：BM_L平面ABC：

（2）證明：平面ABB'A'_L平面ABC；

（3）求極錐M—CBB'C'的體枳；

（4）求異面直線AA'與BC所成角的大小。

圖8?3】

22.如圖8-32,在正三棱柱ABC—AIBICI中，E￡BB1，截面AiECll側(cè)面ACi。

（1）求證：BE=EB）；

（2）若AA產(chǎn)A1B1，求平面AiEC與平面A1B1C1所成二面角（銳角）的度數(shù)。

圖8-32

屋

旖我定在亞信函行答短！9k?

參考答案

【綜合能力訓(xùn)練】

l.C2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.A9.B10.Bll.C12.B

13.側(cè)棱相等/側(cè)棱與底面所成角相等/……

ViT3/777

14.1：115.——16.6VV2

17.解：V=————(a2+ab+b2)o

3(。+b)

18.解(1)取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)PD,DC,又取DC的中點(diǎn)E,連ME,NE,則ME

〃PD,由PA=PB,D為AB的中點(diǎn)得PD_LAB,AAB±MEo又AN=3NB,AN是DB的

中點(diǎn)，又E是DC的中點(diǎn)，則EN〃CB。?.,CB_L平面ABP,，CB_LAB,，EN_LAB而ME

AEN=E,/.ABlffiMNE,由此可得MN_LAB。

(2)當(dāng)NAPB=90°,BC=2,AB=4時(shí)，有PD_LAB,且PD=2,.,.ME=1,EN=1。由

CBlYffiABPnJWffiABClffiPAB,〈PD^AB,???PD_L面ABC,又ME〃PD,，ME

_1面人8(2,又EN辜面ABC,AME±ENo在直角三角形MNE中，有MN二正。

19.解設(shè)球的半徑為r,過(guò)正方體與半球底面垂直的對(duì)角面作截面a，則a截半球面得半

圓，a截正方體得一矩形，且矩形內(nèi)接于半圓，如圖所示，則矩形一邊長(zhǎng)為布，另一邊長(zhǎng)

為收?灰=25

/.12=(V6)2+(>/3)2=9,Ar=3,故S手球=2nF+nr2=27n,

2

Vr.j*=—n18n,即半球的表面積為27兀，體積為18/。

3

注：本題是正方體內(nèi)接于半球問(wèn)題，它與正方體內(nèi)接于球的問(wèn)題是有本質(zhì)差別的，請(qǐng)注

意比較。

20.解（1）設(shè)M為正四棱錐的斜高，

〃2+4TZ=2.

由已知得《2

h1+-a2=ft'2,

4

1

解得a=7TO(h>0)o

h

(2)V=-ha2=(h>0),

33(h2+1)

易得V二------

3("：)

h

因?yàn)閔+,22J/?」=2,所以VW，,

h\h6

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)h=1,即h=l時(shí)取得。

h

故當(dāng)h=l米時(shí)，V有最大值，V的最大值為立方米。

6

21.解(1)連結(jié)A'B,由ABB'A'是菱形，

且NA'AB=60°,知4A'BB'是正三角形，

故BM_LA'B',即BM1AB,

又BM_LAC,得BM_L平面ABC。

V3

：BM_L平面A'B'C,BM=

??VB-MBC=_S.A.MBc?BM=—a3,

316

13

VM-CBBC=VM-BBC+VM-CCB=2VB_WB.C.=—a?

8

(4)作MN_LB'C',垂足為N,連結(jié)BN,

又BM_LB'C,故B'C'，平面BNM,

??.B'C'±BNo在直角ABB'N中，

,1,,1,,B'N1

VBZN=-B'C'=-a,BB;=a,/.cosZBB/N=------=一。

44BB4

又YAA'〃BB',BC〃B'C',則NBB'N即為異面直線AA‘與BC所成的角,

故AA'與BC所成的角的大小為arccos,。

22.解(1)在截面AiEC內(nèi)，過(guò)E作EG_LAiC,G是垂足。；面AiECJ?面ACi，:.

EG_L側(cè)面AG，取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)BF,FG,由AB二BC得BF_LAC。:面ABC_L側(cè)面

ACi，???BF_L側(cè)面AC”得BF〃EG。由BF,EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面ACi于FG。VBE

〃側(cè)面AC”???BE〃FG,四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG?VBE/ZAAi，/.FG#AAio

又△AAICS/\FGC,且AF=FC,AFG=-AAi=-BBi，HPBE=-BB),故BE二EBi。

222

(2)分別延長(zhǎng)CE、GBi交于點(diǎn)D,連結(jié)AiD。???EBi〃CCi，EBi=-BB^-CCi，/.

22

DBi=-DCi=BiCi=AiB|oVZBIAICI=ZBICIAI=60°，ZDAiBi=ZAiDB)=-(180°-Z

22

DBiAi)=30°,r.ZDAiCi=ZDAiBi+ZBiAiCi=90°，即DAi_LAiC?！碈Ci，平面AIGBI，

即AiG是AiC在平面AiGD上的射影，根據(jù)三垂線定理得DAi_LACi，...NCAiG是所求

二面角的平面角。???CC產(chǎn)AA.AB產(chǎn)AC],ZAiCiC=90°,AZCAiCi=45°,即所求二面

角為45°。

教學(xué)內(nèi)容：直線和圓

【考點(diǎn)梳理】

一、考試內(nèi)容

1.有向線段。兩點(diǎn)間的距離。線段的定比分點(diǎn)。

2.直線的方程。直線的斜率。直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程。直線方

程的一般式。

3.兩條直線平行與垂直的條件。兩條直線所成的角。兩直線交點(diǎn)。點(diǎn)到直線的距離。

4.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。

二、考試要求

1.理解有向線段的概念。掌握有向線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公

式和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

2.理解直線斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式。熟練掌握直線方程的點(diǎn)斜式,

掌握直線方程的斜截式、兩點(diǎn)式、截距式以及直線方程的一般式。能夠根據(jù)條件求出直線的

方程。

3.掌握兩條直線平行與垂直的條件，能夠根據(jù)直線的方程判定兩條直線的位置關(guān)系。

會(huì)求兩條相交直線的夾角和交點(diǎn)。掌握點(diǎn)到直線的距離公式。

4.熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和?般方程。能夠根據(jù)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。

掌握直線和圓的位置關(guān)系的判定方法。

三、考點(diǎn)簡(jiǎn)析

1.有向線段。有向線段是解析幾何的基本概念，可用有向線段的數(shù)量來(lái)刻劃它，而在

數(shù)軸上有向線段AB的數(shù)量AB=XB-XAO

2.兩點(diǎn)間的距離公式。不論A（xi，yi）,B（X2,yz）在坐標(biāo)平面上什么位置，都有

d二|AB|二J（七一々）2+（%一為）2，特別地，與坐標(biāo)軸平行的線段的長(zhǎng)|AB|=|X2-XI|或

|AB|=|y2-yi|o

3.定比分點(diǎn)公式。定比分點(diǎn)公式是解決共線三點(diǎn)A（xi，y。，B（X2，yz）,P（x,y）之間數(shù)

量關(guān)系的一個(gè)公式，其中人的值是起點(diǎn)到分點(diǎn)，分點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量之比。這里起

點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)的位置是可以任意選擇的，一旦選定后人的值也就隨之確定了。若以A為

X=X1+AX2

1+，o當(dāng)P點(diǎn)為AB的中點(diǎn)時(shí),

起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，P為分點(diǎn)，則定比分點(diǎn)公式是，

1.一。+加2

1+2

_xt+x2

X~-2-

X=l,此時(shí)中點(diǎn)公式是

V_M+)'2

2

4.直線的傾斜角和斜率的關(guān)系

（1）每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。

（2）斜率存在的直線，其斜率k與傾斜角a之間的關(guān)系是k=tana。

5.確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意

各種形式的直線方程的適用范圍。

名稱(chēng)方程說(shuō)明適用條件

k-----斜率傾斜角為90°的直線不

斜截式y(tǒng)=kx+b

b——縱截距能用此式

（xo>yo）------直線上傾斜角為90°的直線不

點(diǎn)斜式y(tǒng)-yo=k(x-x)

o己知點(diǎn)，k——斜率能用此式

y-y,x-x）（xi，yi）,（X2,yz）是直線上與兩坐標(biāo)軸平行的直線

兩點(diǎn)式