2024-2025學(xué)年廣東省深圳第二外國語學(xué)校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳第二外國語學(xué)校2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)考試時(shí)長：120分鐘滿分：150分第I卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，那么（）A. B. C. D.2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.3.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A. B. C. D.254.已知函數(shù)，則的值等于（）A.2 B.5 C.11 D.5.已知函數(shù)，則（）A.2 B.1 C. D.6.下列四個(gè)命題中為真命題的是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（）A B. C.1 D.38.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（）A. B.3 C. D.6二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則10.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的是（）A.有最小值9 B.的最小值是C.ab有最大值 D.最小值是11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.是偶函數(shù) D.值域是第II卷三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)且，則函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.13.求值：__________.14.已知函數(shù)，若，則__________，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.已知集合，全集.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.已知函數(shù)，滿足（1）求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集；（3）對于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.某公司決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了擴(kuò)大該商品影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬元.作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).18.已知函數(shù)，．（1）若過點(diǎn)，求解析式；（2）若．（?。┊?dāng)函數(shù)不單調(diào)，求a的取值范圍；（ⅱ）當(dāng)函數(shù)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)，求表達(dá)式19.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.深圳第二外國語學(xué)校2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)考試時(shí)長：120分鐘滿分：150分第I卷一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1已知集合，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集知識來求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：C2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根式和分式性質(zhì)，列不等式即可求解.【詳解】的定義域需滿足，解得且，故定義域?yàn)?，故選：C3.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A. B. C. D.25【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由已知條件可得，求出的值，可得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)，則，可得，故，因此，.故選：A.4.已知函數(shù)，則的值等于（）A.2 B.5 C.11 D.【答案】B【解析】【分析】令，求出的值，代入解析式中可得結(jié)果．【詳解】令，求出，則.故選：B5.已知函數(shù)，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由，得，所以.故選：A.6.下列四個(gè)命題中為真命題的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案【詳解】A選項(xiàng)，由得，不是整數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由得，不是整數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，或時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由于，所以D選項(xiàng)正確.故選：D7.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)以及可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．而，∴．故選：C．8.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（）A. B.3 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得出與的關(guān)系式，再利用基本不等式求的最小值．【詳解】因?yàn)槭遣坏仁降慕饧?，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，所以，，所以，且，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立；所以的最小值為．故選：A．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值以及不等式的性質(zhì)來確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則，則，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，則，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的是（）A.有最小值9 B.的最小值是C.ab有最大值 D.最小值是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求最值后判斷．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，A對；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，B對；，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，C對；由，則，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，D錯(cuò).故選：ABC11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在上是減函數(shù)C.是偶函數(shù) D.的值域是【答案】AD【解析】【分析】利用奇偶性的定義判斷可選項(xiàng)A，C，由函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論可判斷選項(xiàng)B，由函數(shù)單調(diào)性求出的取值范圍，結(jié)合定義可得的值域可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)，，可得，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?、在R上是增函數(shù)，所以在R上是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，，即，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，可得，所以的值域?yàn)?，故D正確．故選：AD．第II卷三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)且，則函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)的求法求得正確答案.【詳解】由于，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：13.求值：__________.【答案】##【解析】【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)直接求解即可．【詳解】.故答案為：##.14.已知函數(shù)，若，則__________，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】①.7②.【解析】【分析】根據(jù)條件可得，兩邊平方整理可得，即.利用換元法，結(jié)合分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化成在能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，故，所以.，即，設(shè)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，故，不等式在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故.故答案為：7；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用換元法解決問題時(shí)，一定要注意新元的取值范圍.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.已知集合，全集.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）將代入再由集合的交、補(bǔ)運(yùn)算即可求解；（2）由“”是“”的充分條件，得，再利用集合的包含關(guān)系即可求解.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合或，或；【小問2詳解】由“”是“”的充分條件，得，因?yàn)椋詣t由，得且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)，滿足（1）求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集；（3）對于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）將已知條件代入求出即可求解；（2）由（1）可知，則解不等式即可求解；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，因?yàn)殚_口向上，根據(jù)即可求解.【小問1詳解】由函數(shù)，滿足，，解得，故函數(shù)的解析式為：.【小問2詳解】由（1）知，即不等式轉(zhuǎn)化為，則，所以不等式的解集或.【小問3詳解】不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，因?yàn)殚_口向上，可得，解之可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.某公司決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬元.作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).【答案】（1）40元（2）10.2萬件，30元【解析】【分析】（1）設(shè)每件定價(jià)為元，求出原銷售收入和新銷售收入后列不等式求解；（2）列出不等關(guān)系，分離參數(shù)得，從而利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)每件定價(jià)為元，得，整理得，解得.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.【小問2詳解】依題意知當(dāng)時(shí)，不等式有解，等價(jià)于時(shí)，有解，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，當(dāng)該商品改革后銷售量至少達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.18.已知函數(shù)，．（1）若過點(diǎn)，求解析式；（2）若．（?。┊?dāng)函數(shù)不單調(diào)，求a的取值范圍；（ⅱ）當(dāng)函數(shù)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)，求表達(dá)式【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，求得，即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，即可求解；（ⅱ）由（?。┲?，對稱軸為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，分，和，三種情況討論，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，可得，解得，所以函數(shù)解析式為.【小問2詳解】（?。┯珊瘮?shù)，可得其圖象對應(yīng)的拋物線開口向上，且對稱軸為，要使得函數(shù)不單調(diào)，可得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）由（?。┲瘮?shù)的圖象對應(yīng)的拋物線開口向上，且對稱軸為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，所以，所以表達(dá)式為19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3），使得成立，求實(shí)數(shù)的取