2024-2025學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上學(xué)期段考一數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期第一階段考試高二數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.直線一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.3.正方體的棱長為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.4.直線a⊥平面，b∥，則a與b關(guān)系為A.a⊥b且a與b相交 B.a⊥b且a與b不相交C.a⊥b D.a與b不一定垂直5.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C.或 D.或6.，分別為直線與上任意一點(diǎn)，則最小值為（）A. B. C. D.7.如圖，為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.8.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)A、B、C、D是空間中四個(gè)不同的點(diǎn)，下列命題中正確的是（）A若AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC也是異面直線C.若，則AD=BCD.若，則AD⊥BC10.已知空間四點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A. B.C.點(diǎn)到直線的距離為 D.點(diǎn)到平面的距離為11.下列說法正確的是（）A.方程與方程可表示同一直線B.經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.過兩點(diǎn)，的直線都可用方程表示D.已知，，點(diǎn)在軸上，則的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線經(jīng)過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為_______．13.在正三棱錐中，是的中心，，則______.14.已知：，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)發(fā)射到上的點(diǎn)經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)）斜率的范圍為____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求直線的方程；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4菱形，，.（1）求證：；（2）求的長.17.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程；（2）若點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.18.已知平面邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.（1）證明：平面；（2）若是線段上一點(diǎn)，且平面，①求三棱錐的體積；②求平面與平面夾角余弦值.19.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)在母線上，且，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由

深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期第一階段考試高二數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空間直角坐標(biāo)系的定義求解．【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將直線的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線的一個(gè)方向向量．【詳解】由直線，得，所以直線的斜率為，可得直線的一個(gè)方向向量為，因?yàn)檫x項(xiàng)ACD中的向量均與向量不共線，選項(xiàng)B中的向量與向量共線，所以直線的一個(gè)方向向量為.故選：B.3.正方體的棱長為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，，設(shè)，求得，即可求解.【詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在的直線為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，可得，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，且，所以，可得，又因?yàn)?，所以，?故選：A．4.直線a⊥平面，b∥，則a與b的關(guān)系為A.a⊥b且a與b相交 B.a⊥b且a與b不相交C.a⊥b D.a與b不一定垂直【答案】C【解析】【詳解】，則存在直線有．又因?yàn)椋?，從而可得．而可能相交也可能異面，故選C5.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】假設(shè)所求的點(diǎn)坐標(biāo)為，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)所求的點(diǎn)坐標(biāo)為則所以當(dāng)時(shí)，所求點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，所求點(diǎn)為故選：C6.，分別為直線與上任意一點(diǎn)，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出的最小值.【詳解】由，可得兩條直線相互平行，所以最小值為平行線之間的距離，可化為，所以，.故選：A7.如圖，為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到，故.【詳解】為四面體的棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，故，，，因?yàn)椋裕?故選：A8.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線方程確定定點(diǎn)，根據(jù)時(shí)點(diǎn)線距離最大，求出直線的斜率，進(jìn)而可得直線的斜率，進(jìn)而寫出直線的方程.【詳解】由直線的方程整理可得：，可得直線恒過定點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，到直線的距離最大，可得直線的斜率為，即，所以直線的方程為，即．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)A、B、C、D是空間中四個(gè)不同的點(diǎn)，下列命題中正確的是（）A.若AC與BD共面，則AD與BC共面B.若AC與BD是異面直線，則AD與BC也是異面直線C.若，則AD=BCD.若，則AD⊥BC【答案】ABD【解析】【分析】利用平面的性質(zhì)可判斷AB，利用空間四邊形及線面垂直的判定定理可判斷CD．【詳解】對于選項(xiàng)A，若與共面，則與共面，正確；對于選項(xiàng)B，若與異面直線，則四點(diǎn)不共面，則與是異面直線，正確；如圖，空間四邊形中，AB＝AC，DB＝DC，則AD與BC不一定相等，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)顯然成立，當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，取BC的中點(diǎn)M，連接AM、DM，則，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，故D正確.故選：ABD.10.已知空間四點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A. B.C.點(diǎn)到直線的距離為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，空間的距離公式和點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離的向量運(yùn)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A:結(jié)合題意可得，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B:結(jié)合題意可得，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：結(jié)合題意可得取,,所以,所以點(diǎn)到直線的距離為故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：結(jié)合題意可得,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離為,故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.11.下列說法正確的是（）A.方程與方程可表示同一直線B.經(jīng)過點(diǎn)，且在，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.過兩點(diǎn)，的直線都可用方程表示D.已知，，點(diǎn)在軸上，則的最小值是【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)方程的特點(diǎn)即可判斷A；舉特例當(dāng)直線過原點(diǎn)也符合題意，即可判斷B；根據(jù)兩點(diǎn)式方程的變形進(jìn)行判斷C；先求出關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，再結(jié)合三點(diǎn)共線問題求解即可判斷D.【詳解】對于A，不過點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程，也符合題意，故B錯(cuò)誤；對于C，方程為直線兩點(diǎn)式方程的變形，可以表示經(jīng)過任意兩點(diǎn)，的直線，故C正確；對于D，設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí)，故D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線經(jīng)過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為_______．【答案】或【解析】【分析】按照直線是否經(jīng)過原點(diǎn)分類，結(jié)合截距式方程即可得解.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為：即，滿足題意；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，所以，解得，所以直線方程為即；綜上所述，直線方程為或.故答案為：或.13.在正三棱錐中，是的中心，，則______.【答案】##【解析】【分析】由正三棱錐的性質(zhì)可得平面，從而得到，，再由向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算即可求得.【詳解】∵在正三棱錐中，是的中心，∴平面，平面ABC，∴，即，∵，，∴，∴.故答案為：14.已知：，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)發(fā)射到上的點(diǎn)經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)）斜率的范圍為____________.【答案】4,+∞【解析】【分析】先作出關(guān)于的對稱點(diǎn)，再作關(guān)于的對稱點(diǎn)，因?yàn)楣饩€從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)經(jīng)反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過關(guān)于直線的對稱點(diǎn)點(diǎn)，又因?yàn)樵俳?jīng)反射，反射光線經(jīng)過關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，所以只需連接交與點(diǎn)，連接分別交為點(diǎn)，則之間即為點(diǎn)的變動(dòng)范圍．再求出直線的斜率即可．【詳解】∵，∴直線方程為，直線方程為,如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，再作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則,連接交與點(diǎn)，則直線方程為,∴，連接分別交為點(diǎn)，

則直線方程為，直線方程為，

∴，連接，

則之間即為點(diǎn)的變動(dòng)范圍．

∵直線方程為，直線的斜率為

∴斜率的范圍為

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查入射光線與反射光線之間的關(guān)系，入射光線與反射光線都經(jīng)過物體所成的像，據(jù)此就可找到入射點(diǎn)的范圍，解決此類問題時(shí)，關(guān)鍵在于求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，屬于中檔題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求直線的方程；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由傾斜角和斜率的關(guān)系求斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件列方程求即可.小問1詳解】設(shè)直線的斜率為，因?yàn)橹本€傾斜角為，所以，所以直線的方程為，即【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，.（1）求證：；（2）求的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以為基底，表達(dá)出，計(jì)算出，證明出結(jié)論；（2）在（1）基礎(chǔ)上，表達(dá)出，平方后得到，開方后得到答案.【小問1詳解】證明：設(shè)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，，，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以.所以.17.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為.（1）求直線的方程；（2）若點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)的中點(diǎn)在直線上，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，進(jìn)而可求直線的方程；（2）根據(jù)題意確定點(diǎn)到直線的距離相等，從而得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為與直線平行，且距離等于點(diǎn)到直線的距離的直線.【小問1詳解】由點(diǎn)在，設(shè)，則中點(diǎn)在直線上，所以，解得，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，則有，解得，即，顯然在上，直線的斜率為，由點(diǎn)斜式，整理得，即為直線的方程.【小問2詳解】點(diǎn)到直線的距離的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為與直線平行，且距離等于點(diǎn)到直線的距離的直線，設(shè)軌跡方程為為，則有,解得或4，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為或.18.已知平面邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.（1）證明：平面；（2）若是線段上一點(diǎn)，且平面，①求三棱錐的體積；②求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）先由勾股定理證，再由面面垂直證平面，得，可得平面；（2）①連接,設(shè),連接，利用線面平行的性質(zhì)推得，確定點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，從而求得體積；②依題意建系，寫出相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即得.【小問1詳解】因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，則平面，又平面，則，又，因平面，故平面.【小問2詳解】①如圖，連接,設(shè)，連接,因平面，且平面,平面平面，則，故，在四邊形中，由,可得,故，即，即點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，故②如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以，,,設(shè)平面的法向量為，則，可取，因，故,,設(shè)平面的法向量為，則由，可取，故，故平面與平面夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷證明和空間向量在求空間角方面的應(yīng)用.解題關(guān)鍵在于要熟悉關(guān)于線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理，熟練掌握利