4.3對(duì)數(shù)【四大必考點(diǎn)+十一秒殺招+五大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類(lèi)

4.3對(duì)數(shù)【四大必考點(diǎn)+十一秒殺招+五大題型+分層訓(xùn)練】知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)兩種特殊的對(duì)數(shù)①常用對(duì)數(shù)：通常，我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為lgN；②自然對(duì)數(shù)：以e為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為lnN(其中e＝2.71828…)．知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系(1)對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)①負(fù)數(shù)和0沒(méi)有對(duì)數(shù)，即真數(shù)N>0；②1的對(duì)數(shù)為0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．(2)兩個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．在對(duì)數(shù)的概念中規(guī)定a>0且a≠1的原因(1)若a<0，則當(dāng)N為某些值時(shí)，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①當(dāng)N≠0時(shí)，x的值不存在．如：log03(可理解為0的多少次冪是3)不存在；②當(dāng)N＝0時(shí)，x可以是任意正實(shí)數(shù)，是不唯一的，即log00有無(wú)數(shù)個(gè)值．(3)若a＝1，①當(dāng)N≠1時(shí)，x的值不存在．如：log13不存在；②當(dāng)N＝1時(shí)，x可以為任意實(shí)數(shù)，是不唯一的，即log11有無(wú)數(shù)個(gè)值．因此規(guī)定a>0，且a≠1.知識(shí)點(diǎn)03對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知識(shí)點(diǎn)04換底公式(1)對(duì)數(shù)的換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).(2)三個(gè)較為常用的推論①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不為1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不為1)；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不為1，m≠0)．(1)推廣：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．(2)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)的基本方法：利用對(duì)數(shù)的定義將對(duì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為指數(shù)問(wèn)題，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，然后把它還原為對(duì)數(shù)問(wèn)題．(3)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的實(shí)質(zhì)就是把積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘運(yùn)算，使用時(shí)要注意公式的適用條件．(4)只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n.(5)逆向運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可以將幾個(gè)對(duì)數(shù)式化為一個(gè)對(duì)數(shù)式，有利于化簡(jiǎn)，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.解題大招解題大招大招01對(duì)數(shù)有意義的兩個(gè)條件：①底數(shù)大于零且不等于1；②對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零．大招02指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法(1)將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，只需要將冪作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對(duì)數(shù)值，底數(shù)不變，寫(xiě)出對(duì)數(shù)式；(2)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫(xiě)出指數(shù)式．大招03指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系求值的基本方法①將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問(wèn)題．②利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算．③指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系求值基本思想在一定條件下求對(duì)數(shù)的值，或求對(duì)數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解．大招04利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解的兩類(lèi)問(wèn)題的解法(1)求多重對(duì)數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．大招05性質(zhì)alogaN＝N與logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一個(gè)正實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)．大招06對(duì)數(shù)運(yùn)算基本原則對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問(wèn)題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行．大招07對(duì)數(shù)的運(yùn)算兩種常用的方法①“收”：將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；②“拆”：將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)．大招08利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧大招09利用換底公式求值的思想與注意點(diǎn)大招10應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解對(duì)數(shù)方程的三種方法(1)定義法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程時(shí)，常借助對(duì)數(shù)的定義等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)＝ab求解．(2)轉(zhuǎn)化法：適用于同底型，即通過(guò)對(duì)數(shù)的運(yùn)算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x)＝g(x)，且求解．(3)換元法：適用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解問(wèn)題，這類(lèi)方程一般可通過(guò)設(shè)中間變量的方法(換元法)來(lái)解．大招11解決對(duì)數(shù)應(yīng)用題的一般步驟題型分類(lèi)題型分類(lèi)題型01對(duì)數(shù)的概念【例1】對(duì)數(shù)loga+35?a中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（A．?∞,5 B．?3,5 C．?3,?2∪【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)和底數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)式的底數(shù)為大于零不等于1的實(shí)數(shù)，真數(shù)為正實(shí)數(shù)，所以有5?a>0a+3>0故選：C【變式1-1】函數(shù)y=a2+a?5logaA．3 B．?3 C．2 D．?2【變式1-2】若對(duì)數(shù)log3a(?2a+1)有意義，則a的取值范圍是題型02指數(shù)對(duì)數(shù)的互化【例2】已知2m=9n=6A．log618 B．log65【答案】D【分析】把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式后，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由2m=9n=6所以2m故選：D.【變式2-1】已知2a=5，log83=b，則A．25 B．5 C．259 D．【變式2-2】已知log32x=1題型03對(duì)數(shù)的求值【例3】設(shè)fx定義在R上且fx=log【答案】0【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式一一計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閒x所以f13f10同理可得f13故答案為：0【變式3-1】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=log2x，則fA．?1 B．0 C．1 D．2【變式3-2】定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足fx=log2題型04對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例4】求值：(1)0.027?(2)lg25+【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）0.027=0.3（2）lg==2lg【變式4-1】計(jì)算下列各式的值：(1)481(2)27(3)log【變式4-2】計(jì)算下列各式的值.(1)27(2)log2題型05換底公式【例5】計(jì)算下列各式的值：(1)log4(2)lg5【答案】(1)?3(2)2【分析】（1）根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的換底公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）解：由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的換底公式，可得：log=(=(=(1（2）解：由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可得lg==3【變式5-1】（1）求值：lg5+（2）設(shè)log0.63=m，log63=n，用m，【變式5-2】計(jì)算：log4分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．對(duì)數(shù)中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．化簡(jiǎn)等于（

）A．14 B．0 C．1 D．64．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，則（

）A． B．1 C．2 D．5．已知，，，且，則（

）A．5 B．6 C．7 D．126．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知，，，則（

）A． B． C． D．8．若，則的值是（

）A．零 B．正數(shù) C．負(fù)數(shù) D．以上皆有可能9．若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．10．已知，且，則（

）A． B． C． D．1511．（多選）以下運(yùn)算中正確的有（

）A．若，，則B．C．D．12．（多選）若，則下列各式中，成立的是（

）A． B．C． D．13．（多選）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．若,則14．將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．15．（1）化簡(jiǎn)求值：；（2）已知，求的值.

【能力提升】1．已知是定義在上的奇函數(shù).，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B． C．1 D．22．使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，則（

）A． B． C．1 D．24．已知是奇函數(shù)，，則是成立的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．若，則的最小值為（

）A．2 B．C．1 D．6．已知若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則（

）A． B．C． D．7．已知，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意x恒成立，且時(shí)，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．29．當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．若函數(shù)是奇函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．11．（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)fx=C．若，則D．若冪函數(shù)fx=2m12．（多選）下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（