5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【八大必考點(diǎn)+十八秒殺招+十大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類（解析版）

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【八大必考點(diǎn)+十八秒殺招+十大題型+分層訓(xùn)練】知識精講知識精講知識點(diǎn)01正弦函數(shù)的圖象1．正弦曲線正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象叫做正弦曲線.2．正弦函數(shù)圖象的畫法(1)幾何法①利用單位圓畫出y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；②將圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長度)．(2)“五點(diǎn)法”①畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲線連接；②將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長度)．知識點(diǎn)02余弦函數(shù)的圖象(1)余弦曲線余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線.(2)余弦函數(shù)圖象的畫法①要得到y(tǒng)＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位長度即可，這是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五點(diǎn)法”畫余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動(dòng)2π個(gè)單位長度)．知識點(diǎn)03正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)名稱函數(shù)性質(zhì)y＝sinxy＝cosx相同處定義域RR值域[－1,1][－1,1]周期性最小正周期2π最小正周期2π不同處圖象奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上單調(diào)遞減在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調(diào)遞減最值x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1對稱性對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)對稱中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z)知識點(diǎn)04解讀正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性(1)正弦、余弦函數(shù)在定義域R上均不是單調(diào)函數(shù)，但存在單調(diào)區(qū)間．(2)求解(或判斷)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(或單調(diào)性)是求值域(或最值)的關(guān)鍵一步．(3)確定含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要注意使用復(fù)合函數(shù)的判斷方法來判斷．知識點(diǎn)05解讀正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值與對稱性(1)明確正、余弦函數(shù)的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)對有些函數(shù)，其最值不一定是1或－1，要依賴函數(shù)的定義域來定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數(shù)的最值通常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝z，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝Asinz的形式求最值．(4)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(5)正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心一定是正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值(余弦值)為0.知識點(diǎn)06正切函數(shù)的圖象知識點(diǎn)07正切函數(shù)的性質(zhì)1．定義域：，2．值域：R3．周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是4．奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)，即．5．單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識點(diǎn)08正切函數(shù)型的性質(zhì)1、定義域：將“”視為一個(gè)“整體”．令解得．2、值域：3、單調(diào)區(qū)間：（1）把“”視為一個(gè)“整體”；（2）時(shí)，函數(shù)單調(diào)性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：解題大招解題大招大招01用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上簡圖的步驟(1)列表x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列五個(gè)點(diǎn)：(0，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，這里的y是通過函數(shù)式計(jì)算得到的．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來，不要用線段進(jìn)行連接．大招02用圖象變換法作函數(shù)圖象對于某些函數(shù)的圖象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通過圖象變換，如平移變換、對稱變換等作圖．(1)把y＝sinx的圖象在x軸上方的保留，在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，就可得y＝|sinx|的圖象．(2)把y＝sinx的圖象在y軸右側(cè)的保留，去掉y軸左側(cè)的圖象，再把y軸右側(cè)的圖象沿y軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè)，就可得y＝sin|x|的圖象．大招03三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)角的三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時(shí)，若遇到kπ±α的形式，需對k進(jìn)行分類討論，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡．大招04三角函數(shù)式的化簡注意:(1)利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù);(2)常用“切化弦”法，即通常將表達(dá)式中的切函數(shù)化為弦函數(shù);(3)注意“1”的變形應(yīng)用.大招05求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，若ω為負(fù)數(shù)，則要先把ω化為正數(shù)．當(dāng)A>0時(shí)，把ωx＋φ整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．當(dāng)A<0時(shí)，上述方法求出的區(qū)間是其單調(diào)性相反的區(qū)間．最后，需將最終結(jié)果寫成區(qū)間形式．大招06求y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，可以把ωx＋φ看作一個(gè)整體(保證ω>0)放入y=sinx和y=cosx的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，解不等式求得.尤其注意保證x的系數(shù)為正，否則應(yīng)按“同增異減”的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解.大招07比較三角函數(shù)值大小的方法(1)比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．(2)比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較．大招08三角函數(shù)最值問題的三種常見類型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))的有界性，注意對a正負(fù)的討論．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設(shè)t＝sinx，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值．t的范圍需要根據(jù)定義域來確定．大招09求三角函數(shù)的周期，一般有三種方法（1）定義法：直接利用周期函數(shù)的定義求周期．使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有.利用定義我們可采用取值進(jìn)行驗(yàn)證的思路，非常適合選擇題；（2）公式法，即將函數(shù)化為或的形式，再利用求得，對于形如y＝asinωx＋bcosωx的函數(shù)，一般先將其化為y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；（3）圖象法：利用三角函數(shù)圖象的特征求周期．如：正、余弦函數(shù)圖象在相鄰兩最高點(diǎn)(最低點(diǎn))之間為一個(gè)周期，最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)之間為半個(gè)周期．相鄰兩對稱軸間的距離為eq\f(T,2)，相鄰兩對稱中心間的距離也為eq\f(T,2),相鄰對稱軸和對稱中心間的距離也為，函數(shù)取最值的點(diǎn)與其相鄰的零點(diǎn)距離為.函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．大招10正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性（1）對于函數(shù)（A>0,ω>0）：時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)．（2）對于函數(shù)（A>0,ω>0）：時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)．大招11正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性(1)定義法：正(余)弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)．(2)公式法：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；大招12求正切函數(shù)定義域的方法①求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝tanx有意義，即x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.②求正切型函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定義域時(shí)，要將“ωx＋φ”視為一個(gè)“整體”．令ωx＋φ≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x.大招13求正切函數(shù)值域的方法①對于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整體，結(jié)合圖象，利用單調(diào)性求值域．②對于與y＝tanx相關(guān)的二次函數(shù)，可以把tanx看成整體，利用配方法求值域大招14正切函數(shù)的圖象問題熟練掌握正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決與正切函數(shù)有關(guān)的綜合問題的關(guān)鍵，需注意的是正切曲線是被相互平行的直線x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的．大招15運(yùn)用正切函數(shù)單調(diào)性比較大小的方法①運(yùn)用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式將角化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．②運(yùn)用單調(diào)性比較大小關(guān)系．大招16求函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的求法是把ωx＋φ看成一個(gè)整體，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．當(dāng)ω<0時(shí)，先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值再求單調(diào)區(qū)間．大招17與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略(1)一般地，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝eq\f(π,|ω|)，常常利用此公式來求周期．(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若不對稱，則該函數(shù)無奇偶性；若對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．大招18正切函數(shù)的對稱性正切曲線的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，解關(guān)于對稱中心的題目時(shí)需要把整個(gè)三角函數(shù)看成一個(gè)整體，從整體性入手求出具體范圍．題型分類題型分類題型01五點(diǎn)法畫正弦、余弦函數(shù)的圖象【例1】用“五點(diǎn)法”作y=12cosA．0，π2，π，3B．0，π4，π2，C．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π【解題思路】結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖特征，直接求出結(jié)論即可.【解答過程】函數(shù)y=12cos用“五點(diǎn)法”作y=12cosx的圖象，即作函數(shù)所以五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，π2，π，3故選：A.【變式1-1】當(dāng)x∈0,2π時(shí)，曲線y=cosx與A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】作出兩函數(shù)在0,2π【解答過程】x=0時(shí)，y=2sin令2x+π3=π2令2x+π3=π，得令2x+π3=3π2令2x+π3=2π，得x=2π時(shí)，y=2函數(shù)y=2sin2x+π結(jié)合周期，利用五點(diǎn)法作出圖象，

由圖知，共有4個(gè)交點(diǎn).故選：C.【變式1-2】作出下列函數(shù)的大致圖像：(1)y=sin(2)y=3sin【解題思路】（1）（2）根據(jù)五點(diǎn)作圖法列表、描點(diǎn)、連線即可得到函數(shù)圖象；【解答過程】（1）解：因?yàn)閥=sinx?π5411x+0ππ32y010?10描點(diǎn)連線，可得函數(shù)圖象如圖示：（2）因?yàn)閥=3sinxπ5π2π11π72x?0ππ32y030?30描點(diǎn)連線，可得函數(shù)圖象如圖示：題型02正、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用【例2】函數(shù)fx=ex?A．

B．

C．

D．

【解題思路】先根據(jù)判斷fx為偶函數(shù)，排除C，由f0=0，排除D，由x∈0,π【解答過程】因?yàn)閒?x=e?x?因?yàn)閒0=0，排除D，因?yàn)楫?dāng)x∈0,π時(shí)，故選：A.【變式2-1】當(dāng)x∈0,2π時(shí)，曲線y=cosx與A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】作出函數(shù)y=cosx與【解答過程】作出函數(shù)y=cosx與觀察在0,2π故選：C.【變式2-2】函數(shù)fx=1?A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.【解答過程】f(x)=(1?23x+1)?又f?x所以fx當(dāng)x=π時(shí)，f故選：B.題型03三角函數(shù)的定義域、值域與最值【例3】函數(shù)fx=?3tanA．xx≠π4C．xx≠2kπ+【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)特征，得到不等式，求出定義域.【解答過程】由正切函數(shù)的定義域，令x2+π所以函數(shù)fx=?3tan故選：C.【變式3-1】函數(shù)fx=sinA．[0,3?1] B．[0,34] 【解題思路】利用三角恒等變換結(jié)合換元法，最后利用二次函數(shù)的值域求解即可.【解答過程】函數(shù)f(x)=sin令t=cosx，因?yàn)閤∈[0,π2]g(t)=?t2+當(dāng)t=32時(shí)，g(t)取得最大值，當(dāng)t=0時(shí)，g(t)取得最小值，g(t)所以f(x)在x∈[0,π2故選：B.【變式3-2】已知函數(shù)f(x)=sin3ωx+π6(ω>0)的最小正周期為2π3A．?32 B．?12 【解題思路】先根據(jù)f(x)的最小正周期為2π3，求出【解答過程】因?yàn)閒(x)=sin3ωx+所以f(x)的最小正周期T=2π3ω所以f(x)=sinx∈?π所以sin3x+當(dāng)x=?π18時(shí)，取所以f(x)在?π18,故選：C.題型04由三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)【例4】當(dāng)x∈π6,m時(shí)，函數(shù)f(x)=cos3x+π3A．π9,7C．π9,5【解題思路】解法一：畫出函數(shù)的圖象，由x的范圍求出3x+π3的范圍，根據(jù)解法二：由x的范圍求出3x+π3的范圍，根據(jù)y=cos【解答過程】解法一：由題意，畫出函數(shù)的圖象，由x∈π6,m因?yàn)閒π6=要使fx的值域是?1,?32即m∈2解法二：由題x∈π6,m由y=cosx的圖象性質(zhì)知，要使fx則π≤3m+π3故選：D.

【變式4-1】已知函數(shù)y=1+cos2ωx2(ω>0)在?π4A．1 B．23 C．43【解題思路】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷即可.【解答過程】因?yàn)閤∈?π4由于函數(shù)y=1+cos2ωx2(ω>0)則y=cosα在?πω所以?πω2故選：C.【變式4-2】函數(shù)fx=a?3tan2x在x∈A．5π12 B．π3 C．π【解題思路】首先根據(jù)區(qū)間的定義以及fx的有界性確定b的范圍，然后再利用正切函數(shù)的單調(diào)性得到fx的單調(diào)性，再代入相應(yīng)端點(diǎn)值及對應(yīng)的最值得到相應(yīng)的方程，解出【解答過程】∵x∈?π6,b，根據(jù)函數(shù)f(x)在x∈?所以2b<π2，即b<π4，根據(jù)正切函數(shù)則f(x)=a?3tan2x∴f?π6則tan2b=33，∵2b∈?π∴ab=4×π故選：B.題型05求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例5】函數(shù)y=3cosx+πA．kπ,kπ+π2，C．2kπ?π2,2kπ+【解題思路】利用誘導(dǎo)公式可得y=3cos【解答過程】因?yàn)閥=3cos且y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ所以函數(shù)y=3cosx+π2的單調(diào)遞減區(qū)間為故選：C．【變式5-1】下列關(guān)于函數(shù)y=sinx，x∈[0,2π]的單調(diào)性的敘述，正確的是（A．在[0,π]上單調(diào)遞增，在[π,2π]上單調(diào)遞減B．在[0,π2]C．在[0,π2]及[D．在[π2,3π2【解題思路】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，直接分析求解即可.【解答過程】解：∵x∈[0,2π]，∴當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[π2,3π故只有C正確．故選：C.【變式5-2】函數(shù)fx=cosA．2kπ+π6,2kπ+7C．2kπ+7π6,2kπ+【解題思路】先變形cosπ【解答過程】已知cosπ令2kπ≤x?π6≤2kπ+所以函數(shù)fx=cosπ6故選：A.題型06根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例6】已知函數(shù)y=sin3x+φ0<φ<π在區(qū)間?2A．0,π6 B．π6,π4【解題思路】由整體法可得3x+φ∈?【解答過程】當(dāng)x∈?2π因?yàn)?<φ<π，所以?2π所以?π2≤?2π3+φ故選:B．【變式6-1】若函數(shù)fx=1?tanωx?π4ω≠0A．?π2,0C．0,π4 【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到?ω>0，且?ω+π【解答過程】由函數(shù)fx=1+tan根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得?ω>0，當(dāng)x∈0,1時(shí)，可得?ωx+π4∈π故選：D.【變式6-2】若函數(shù)fx=cosnx?π4n∈A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】先對n分不同情況進(jìn)行討論，得出當(dāng)n=1時(shí)不滿足條件，當(dāng)n=2或n=3時(shí)滿足條件，當(dāng)n≥4時(shí)不滿足條件，即得到所求的全部n為n=2和n=3，從而得到答案.【解答過程】若n=1，則fπ8=若n=2或n=3，則對π8≤x≤3π8有所以nx?π4∈0,π若n=4，則f5π16=?1<?若n≥5，則由3n?28?n?28=此時(shí)π8<4k+14nπ<3π綜上，滿足條件的有n=2和n=3.故選：C.題型07三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題【例7】下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且其圖象關(guān)于π4,0對稱的是（A．y=cos2x+πC．y=cosx+π【解題思路】利用誘導(dǎo)公式逐一化簡可判斷奇偶性，然后代入驗(yàn)證判斷對稱性即可.【解答過程】對于A，y=cos對于B，y=sin因?yàn)閏os2×π4=cos對于C，y=cos因?yàn)?cosπ4=?2對于D，y=sin故選：B.【變式7-1】已知函數(shù)f(x)=sin(3x+φ)，若fx+π12A．x=π4 B．x=π3 C．【解題思路】首先求函數(shù)fx+π12【解答過程】函數(shù)fx+則π4+φ=π令3x+φ=k1π+因?yàn)閗1,k∈Z，則k1?k∈故選：D.【變式7-2】已知函數(shù)fx=tanA．π2是函數(shù)fx的一個(gè)周期 B．函數(shù)fxC．函數(shù)fx的圖像關(guān)于點(diǎn)2024π,0對稱 【解題思路】先利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【解答過程】由題可得：fx=tan根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，fx=?tan根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，fx=?tanx的圖像關(guān)于點(diǎn)kπ2,0對稱(k∈fx故選：C.題型08三角函數(shù)的周期性問題【例8】函數(shù)y=cos2x+πA．4π B．2π C．π 【解題思路】根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式運(yùn)算求解.【解答過程】由題意可得：函數(shù)y=cos2x+π故選：C.【變式8-1】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是周期為π的函數(shù)為（

）A．y=cosx B．y=sinx C．【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和周期性一一判斷即可.【解答過程】對A，y=cosx是偶函數(shù)，周期為對B，設(shè)fx=sinx，定義域?yàn)橐驗(yàn)閥=sinx周期為2π，則y=sin對C，y=sin2x是奇函數(shù)，周期為對D，y=tan2x是奇函數(shù)，周期為故選：B.【變式8-2】設(shè)函數(shù)fx=3sinωx?φ(ω>0,φ<πA．ω=13,φ=?7C．ω=23,φ=?【解題思路】由題意求得T4，再由周期公式求得ω，再由f5π8=3可得【解答過程】由f(x)的最小正周期大于2π，可得T因?yàn)閒?π8則T=3π，且ω>0，所以ω=即f(x)=3由f5π8可得5π12?φ=π2+2kπ且φ<π，可得k=0，所以ω=23，故選：C．題型09三角函數(shù)的零點(diǎn)問題【例9】若函數(shù)fx=3cosωx+φω<0，?π2<φ<πA．π6,π2 B．?π2【解題思路】根據(jù)給定周期求得ω=?2，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點(diǎn)所在區(qū)間列出不等式組，然后結(jié)合已知求出范圍.【解答過程】由函數(shù)f(x)的最小正周期為π，得2π|ω|=π，而則f(x)=3cos(?2x+φ)=3cos得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π因此2kπ+φ≤?π3，且由余弦函數(shù)的零點(diǎn)，得2x?φ=nπ+π而f(x)在(0,π6)于是?nπ?π2<φ<?n所以φ的取值范圍是(?π故選：B.【變式9-1】已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期為T,fA．7π2,4π B．4π,【解題思路】根據(jù)題意得到曲線fx的一條對稱軸為x=T6+T32【解答過程】因?yàn)閒x=sin所以曲線fx的一條對稱軸為x=所以f0設(shè)零點(diǎn)從小到大依次為x1,x有72T≤2<4T，即7π所以ω的取值范圍是7π故選：A．【變式9-2】已知函數(shù)fx=sinωx?2A．fxB．fxC．ω的取值范圍是8D．fx在區(qū)間0,【解題思路】畫出y=sin【解答過程】∵ω>0，當(dāng)x∈0,π時(shí)，由于函數(shù)y=fx在0,故2π≤π設(shè)ωx?2π3如下圖作出函數(shù)y=sin則y=sint在?2有一個(gè)或兩個(gè)最大值點(diǎn)（最大值為1），所以fx+1有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x∈0,π21由83≤ω<11而y=sint在?2故fx在0,故選：D.

題型10三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例10】已知函數(shù)f(x)=1(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)的圖象的對稱軸方程和對稱中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的取值集合．【解題思路】（1）利用正弦函數(shù)的周期及單調(diào)性求解即可.（2）利用正弦函數(shù)的對稱性求出對稱軸方程及對稱中心坐標(biāo).（3）借助正弦函數(shù)最值情況求解即得.【解答過程】（1）函數(shù)f(x)=12sin由?π2+2k由π2+2kπ所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[?π3+k（2）由2x+π6=所以f(x)的圖象的對稱軸方程為x=π由2x+π6=k所以f(x)的圖象的對稱中心為(?π（3）當(dāng)2x+π6=?π2+2kπ所以f(x)的最小值為34，此時(shí)x的取值集合為{x|x=?【變式10-1】已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx(3)當(dāng)x∈0,π2時(shí)，求函數(shù)f【解題思路】（1）由最小正周期的計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）由整體法代入求解即可；（3）利用整體法求解范圍，進(jìn)而可求解最小值．【解答過程】（1）由fx=2sin（2）令?π2+2kπ≤2x+故函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?π3（3）x∈0,π2當(dāng)2x+π6=7π6，即【變式10-2】已知函數(shù)f(x)=2sin(1)求fx(2)求fx(3)當(dāng)x∈0,π時(shí)，求f【解題思路】（1）由周期公式可得周期，將12x+π6看作整體角，令（2）由?π2+2k（3）當(dāng)x∈0,π時(shí)，求出整體角12x+【解答過程】（1）fx的最小正周期T=由12得函數(shù)f(x)的對稱軸為x=2π3（2）由?π得?所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）由0≤x≤π，得π所以，當(dāng)12x+π6當(dāng)12x+π6所以，函數(shù)fx分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即可得出．【詳解】解：畫出圖象，，，可得與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．故選：C．2．的定義域?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．【答案】A【分析】復(fù)合函數(shù)定義域問題，分解函數(shù)，分別求定義域再求交集.【詳解】令，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)的定義域：，則，即，所以的定義域?yàn)楣蔬x：A3．已知函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出在指定區(qū)間內(nèi)相位的范圍，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】由，得，由在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以的取值范圍是.故選：D4．已知命題，，命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題【答案】C【分析】解不等式，結(jié)合的值域?yàn)?，及命題的真假判斷即可.【詳解】，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，解得，所以命題是真命題；的值域?yàn)?，所以命題是假命題，則是真命題.故選：.5．已知函數(shù)的最小正周期為，則在的最小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得，所以，當(dāng)，則，所以當(dāng)，即時(shí)取得最小，即.故選：A6．函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊函數(shù)值驗(yàn)證求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)和；當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，取，排除選項(xiàng),故選：.7．設(shè)函數(shù)，已知，，且的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的最小正周期，再利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)，已知，，且的最小值為，則，可得，故.故選：D.8．函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（

）A．π B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與其對應(yīng)方程的根、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】由得，即，函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，作出函數(shù)和的圖象，如圖，由圖可知兩個(gè)圖均關(guān)于中心對稱且在上有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)，所以4個(gè)零點(diǎn)的和為．故選：B．9．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷定義域以及奇偶性，再根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得出正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)，其中，且，由定義域可以排除B，因?yàn)?，該函?shù)為奇函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤，A正確，故選：A.10．已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為(

).A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意計(jì)算出周期，再由周期求，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以列出不等式，計(jì)算出，判斷即可.【詳解】由題意知，，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.11．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的周期與函數(shù)的周期相同C．函數(shù)圖象的對稱中心為D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AD【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可.【詳解】對于A，令,則,函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確;對于B，函數(shù)的周期與的周期相同,為的周期，即函數(shù)的周期與函數(shù)的周期不相同，錯(cuò)誤；對于C，令則,函數(shù)圖象的對稱中心為，C錯(cuò)誤;對于D，令,則,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確.故選：AD.12．（多選）已知函數(shù)（其中均為常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的最小正周期為C．圖象的一個(gè)對稱中心為D．的單調(diào)增區(qū)間為【答案】ABD【分析】由圖象可得函數(shù)的周期，再由特殊角的三角函數(shù)值可得A，B正確；代入檢驗(yàn)可得C錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間可得D正確；【詳解】A：由圖象可得，所以，代入可得，則且，所以，故A正確；B：由選項(xiàng)A的解析可得最小正周期為，故B正確；C：因?yàn)?，代入，可得，故C錯(cuò)誤；D：由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，可得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故D正確；故選：ABD.13．（多選）已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BCD【分析】利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)的正誤；計(jì)算的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；代入檢驗(yàn)可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，令，則，，故函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，D對.故選：BCD.14．如圖，函數(shù)的圖像由折線段組成，且當(dāng)x取偶數(shù)時(shí)，對應(yīng)的y的值為0；而當(dāng)x取奇數(shù)時(shí)，對應(yīng)的y的值為2.(1)寫出函數(shù)y=fx(2)作出函數(shù)的圖像.【答案】(1)2(2)見解析【分析】（1）利用圖象與周期的意義可求最小正周期.（2）利用圖象的變換可作圖象.【詳解】（1）由圖象可知最小正周期為2；（2）作出圖象如圖所示：15．已知函數(shù).(1)求y=fx(2)若，求y=fx的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】（1）由二倍角公式及輔助角公式化簡，結(jié)合周期公式即可；（2）通過，進(jìn)而可求解.【詳解】（1），所以的最小正周期為.（2）令，則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.又因?yàn)?，分別取和，得到，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【能力提升】1．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除AC，再結(jié)合時(shí)，即可排除D，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題意，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故AC不滿足；當(dāng)時(shí)，，，則，故D不滿足，B符合題意.故選：B.2．函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化成圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意可將問題轉(zhuǎn)化成，在上的根的個(gè)數(shù)，也即在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過五點(diǎn)作圖法畫出兩函數(shù)圖象：

由圖象可知共有6個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：C3．已知，其部分圖象如圖所示，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圖象求出的值，求出函數(shù)的最小正周期，可求出的值，再由以及的范圍、函數(shù)在附近的單調(diào)性可求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，因?yàn)椋傻?，因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞增，故，可得，因?yàn)?，則，因此，，故選：D.4．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.【詳解】若，則當(dāng)時(shí)，，則恒成立，不符合題意.若，函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，且都在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使在上存在零點(diǎn)，只需，即，所以.故選：.5．已知函數(shù)在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)得圖像特征，借助極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及單調(diào)區(qū)間來確定的取值范圍即可.【詳解】對于函數(shù)，極小值點(diǎn)為.，令，.因?yàn)橛星覂H有個(gè)極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，解不等式得.

因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為.對于，令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.當(dāng)時(shí)，，則且.解不等式得.

綜合以上兩個(gè)條件，的取值范圍是.故選：D.6．設(shè)，.若對任意實(shí)數(shù)，都有，則滿足條件的有序數(shù)對的個(gè)數(shù)是（

）A．無數(shù)個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】先討論的情形，由恒成立得，時(shí)，由所以對任意實(shí)數(shù)x均有，確定只有，由正弦函數(shù)的周期性，，再分類確定的值即可得．【詳解】若，則恒成立，故，而，故.若，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x均有，所以對任意實(shí)數(shù)x均有，又因?yàn)?，，所以只能是對任意?shí)數(shù)x均有成立，由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，必有，若，此時(shí)方程可化為，根據(jù)三角函數(shù)的周期性，此時(shí)，，解得，，又，所以；若，此時(shí)方程可化為，根據(jù)三角函數(shù)的周期性，此時(shí)，，解得，，又，所以；綜上滿足條件的有序?qū)崝?shù)對為，，共有3個(gè)，故選：C.7．已知函數(shù)滿足，若函數(shù)在上的零點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由方程組法求得，判斷其奇偶性，再結(jié)合函數(shù)圖形即可判斷.【詳解】由，可得，解得，易知為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)y=fx在上的圖急關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)y=fx在上的零點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對稱，和為0，在上的零點(diǎn)和即為上的零點(diǎn)和，令，得，作出和在同一坐標(biāo)系中的圖象，可知y=fx在內(nèi)的零點(diǎn)有，故零點(diǎn)之和為故選：B8．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可證明為偶函數(shù)，又易得時(shí)，可得結(jié)論.【詳解】由，解得，均能滿足有意義，故函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，故排除B；又，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以排除A，D；故選：C.9．已知是定義在上的周期函數(shù)，周期，且當(dāng)時(shí)，若，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．時(shí)，可以有三個(gè)解B．時(shí)，可以有三個(gè)解C．時(shí)，可以有一個(gè)解D．時(shí)，可以有四個(gè)解【答案】B【分析】分析兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)特征，結(jié)合圖象可判斷結(jié)論.【詳解】因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，且在上，要判斷有多少個(gè)解，需分析與在一個(gè)周期內(nèi)的解的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)，因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，是線性函數(shù)，與最多有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)，因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，是線性函數(shù)，與最多有1個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)在兩個(gè)周期內(nèi)的圖象，如圖所示：由圖象可知，當(dāng)，若時(shí)，直線過原點(diǎn)與，此時(shí)只有1個(gè)交點(diǎn)，向下平移至與曲線相切之前有兩個(gè)交點(diǎn)，相切時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，所以與最多兩個(gè)交點(diǎn)，最多二個(gè)解，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，若，直線過原點(diǎn)與，與可能有二個(gè)交點(diǎn)，向下平移至與曲線相切之前有三個(gè)交點(diǎn)，故可以有三個(gè)解，故B正確；當(dāng)時(shí)，若，直線過原點(diǎn)與，與有兩個(gè)交點(diǎn)，左右平移也有兩個(gè)交點(diǎn)，所以與一定有兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有一個(gè)解