2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第3講 數(shù)列的遞推關(guān)系解析版_第1頁
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文檔簡介

第3講數(shù)列的遞推關(guān)系(新高考專用)目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 13【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列 13【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系 18【專題精練】 22考情分析:數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容,作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列,可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解,但也有一些數(shù)列真題自測真題自測一、單選題1.(2023·北京·高考真題)已知數(shù)列滿足,則(

)A.當(dāng)時(shí),為遞減數(shù)列,且存在常數(shù),使得恒成立B.當(dāng)時(shí),為遞增數(shù)列,且存在常數(shù),使得恒成立C.當(dāng)時(shí),為遞減數(shù)列,且存在常數(shù),使得恒成立D.當(dāng)時(shí),為遞增數(shù)列,且存在常數(shù),使得恒成立2.(2022·浙江·高考真題)已知數(shù)列滿足,則(

)A. B. C. D.3.(2021·浙江·高考真題)已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則(

)A. B. C. D.二、填空題4.(2022·北京·高考真題)已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論:①的第2項(xiàng)小于3;

②為等比數(shù)列;③為遞減數(shù)列;

④中存在小于的項(xiàng).其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題5.(2022·全國·高考真題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.已知.(1)證明:是等差數(shù)列;(2)若成等比數(shù)列,求的最小值.6.(2022·全國·高考真題)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知是公差為的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)證明:.參考答案:題號123答案BBA1.B【分析】法1:利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤,利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì),故可判斷B的正誤.法2:構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況,再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間,從而判斷的單調(diào)性;對于A,構(gòu)造,判斷得,進(jìn)而取推得不恒成立;對于B,證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論;對于C,記,取推得不恒成立;對于D,構(gòu)造,判斷得,進(jìn)而取推得不恒成立.【詳解】法1:因?yàn)?,故,對于A,若,可用數(shù)學(xué)歸納法證明:即,證明:當(dāng)時(shí),,此時(shí)不等關(guān)系成立;設(shè)當(dāng)時(shí),成立,則,故成立,由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而,,,故,故,故為減數(shù)列,注意故,結(jié)合,所以,故,故,若存在常數(shù),使得恒成立,則,故,故,故恒成立僅對部分成立,故A不成立.對于B,若可用數(shù)學(xué)歸納法證明:即,證明:當(dāng)時(shí),,此時(shí)不等關(guān)系成立;設(shè)當(dāng)時(shí),成立,則,故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而,,,故,故,故為增數(shù)列,若,則恒成立,故B正確.對于C,當(dāng)時(shí),可用數(shù)學(xué)歸納法證明:即,證明:當(dāng)時(shí),,此時(shí)不等關(guān)系成立;設(shè)當(dāng)時(shí),成立,則,故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而,故,故為減數(shù)列,又,結(jié)合可得:,所以,若,若存在常數(shù),使得恒成立,則恒成立,故,的個(gè)數(shù)有限,矛盾,故C錯(cuò)誤.對于D,當(dāng)時(shí),可用數(shù)學(xué)歸納法證明:即,證明:當(dāng)時(shí),,此時(shí)不等關(guān)系成立;設(shè)當(dāng)時(shí),成立,則,故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而,故,故為增數(shù)列,又,結(jié)合可得:,所以,若存在常數(shù),使得恒成立,則,故,故,這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾,故D錯(cuò)誤.故選:B.法2:因?yàn)?,令,則,令,得或;令,得;所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令,則,即,解得或或,注意到,,所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上,在和上,對于A,因?yàn)?,則,當(dāng)時(shí),,,則,假設(shè)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則,綜上:,即,因?yàn)樵谏希?,則為遞減數(shù)列,因?yàn)?,令,則,因?yàn)殚_口向上,對稱軸為,所以在上單調(diào)遞減,故,所以在上單調(diào)遞增,故,故,即,假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立,取,其中,且,因?yàn)?,所以,上式相加得,,則,與恒成立矛盾,故A錯(cuò)誤;對于B,因?yàn)?,?dāng)時(shí),,,假設(shè)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,則,所以,又當(dāng)時(shí),,即,假設(shè)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,則,所以,綜上:,因?yàn)樵谏?,所以,所以為遞增數(shù)列,此時(shí),取,滿足題意,故B正確;對于C,因?yàn)?,則,注意到當(dāng)時(shí),,,猜想當(dāng)時(shí),,當(dāng)與時(shí),與滿足,假設(shè)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),所以,綜上:,易知,則,故,所以,因?yàn)樵谏?,所以,則為遞減數(shù)列,假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立,記,取,其中,則,故,所以,即,所以,故不恒成立,故C錯(cuò)誤;對于D,因?yàn)?,?dāng)時(shí),,則,假設(shè)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則,綜上:,因?yàn)樵谏希?,所以為遞增數(shù)列,因?yàn)椋?,則,因?yàn)殚_口向上,對稱軸為,所以在上單調(diào)遞增,故,所以,故,即,假設(shè)存在常數(shù),使得恒成立,取,其中,且,因?yàn)?,所以,上式相加得,,則,與恒成立矛盾,故D錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題,再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系,從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2.B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去,其他項(xiàng)都在范圍內(nèi),再利用遞推公式變形得到,累加可求出,得出,再利用,累加可求出,再次放縮可得出.【詳解】∵,易得,依次類推可得由題意,,即,∴,即,,,…,,累加可得,即,∴,即,,又,∴,,,…,,累加可得,∴,即,∴,即;綜上:.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

3.A【分析】顯然可知,,利用倒數(shù)法得到,再放縮可得,由累加法可得,進(jìn)而由局部放縮可得,然后利用累乘法求得,最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到,從而得解.【詳解】因?yàn)?,所以,.由,即根?jù)累加法可得,,當(dāng)時(shí),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,,由累乘法可得,且,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,由裂項(xiàng)求和法得:所以,即.故選:A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系,再由累加法可求得,由題目條件可知要證小于某數(shù),從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系,改變不等式的方向得到,最后由裂項(xiàng)相消法求得.4.①③④【分析】推導(dǎo)出,求出、的值,可判斷①;利用反證法可判斷②④;利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知,,,當(dāng)時(shí),,可得;當(dāng)時(shí),由可得,兩式作差可得,所以,,則,整理可得,因?yàn)?,解得,①對;假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列,設(shè)其公比為,則,即,所以,,可得,解得,不合乎題意,故數(shù)列不是等比數(shù)列,②錯(cuò);當(dāng)時(shí),,可得,所以,數(shù)列為遞減數(shù)列,③對;假設(shè)對任意的,,則,所以,,與假設(shè)矛盾,假設(shè)不成立,④對.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題在推斷②④的正誤時(shí),利用正面推理較為復(fù)雜時(shí),可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).5.(1)證明見解析;(2).【分析】(1)依題意可得,根據(jù),作差即可得到,從而得證;(2)法一:由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出,即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】(1)因?yàn)?,即①,?dāng)時(shí),②,①②得,,即,即,所以,且,所以是以為公差的等差數(shù)列.(2)[方法一]:二次函數(shù)的性質(zhì)由(1)可得,,,又,,成等比數(shù)列,所以,即,解得,所以,所以,所以,當(dāng)或時(shí),.[方法二]:【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號法由(1)可得,,,又,,成等比數(shù)列,所以,即,解得,所以,即有.則當(dāng)或時(shí),.【整體點(diǎn)評】(2)法一:根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值,適用于可以求出的表達(dá)式;法二:根據(jù)鄰項(xiàng)變號法求最值,計(jì)算量小,是該題的最優(yōu)解.6.(1)(2)見解析【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得,得到,利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí),,進(jìn)而得:,利用累乘法求得,檢驗(yàn)對于也成立,得到的通項(xiàng)公式;(2)由(1)的結(jié)論,利用裂項(xiàng)求和法得到,進(jìn)而證得.【詳解】(1)∵,∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),,∴,整理得:,即,∴,顯然對于也成立,∴的通項(xiàng)公式;(2)∴考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列一、單選題1.(2024·山東濰坊·一模)已知數(shù)列an滿足,.若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,則(

)A. B. C. D.2.(23-24高二上·山東青島·階段練習(xí))若數(shù)列滿足,,則滿足不等式的最大正整數(shù)為(

)A.28 B.29 C.30 D.31二、多選題3.(2024·湖南長沙·一模)小郡玩一種跳棋游戲,一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個(gè)小球,每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回,規(guī)定:若每次抽取號碼小于或等于5的小球,則前進(jìn)1步,若每次抽取號碼大于5的小球,則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響,記小郡一共前進(jìn)步的概率為,則下列說法正確的是(

)A.B.C.D.小華一共前進(jìn)3步的概率最大4.(2023·遼寧朝陽·一模)已知數(shù)列滿足,且,則下列說法正確的是(

)A.?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B.C. D.三、填空題5.(23-24高二上·廣東河源·期末)已知正項(xiàng)數(shù)列滿足,則.6.(2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.若,則的最小值為.參考答案:題號1234答案ABBCABD1.A【分析】利用等比數(shù)列求出,進(jìn)而求得,再利用累加法求通項(xiàng)得解.【詳解】依題意,,,當(dāng)時(shí),,則,所以.故選:A2.B【分析】利用累乘法求得,由此解不等式,求得正確答案.【詳解】依題意,數(shù)列滿足,,,所以,也符合,所以,是單調(diào)遞增數(shù)列,由,解得,所以的最大值為.故選:B3.BC【分析】根據(jù)題意直接求概率判斷選項(xiàng)A,然后根據(jù)題意求出遞推公式即可判斷選項(xiàng)B,根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,求通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)C,分類討論求解概率通項(xiàng)的最大值判斷D.【詳解】根據(jù)題意,小郡前進(jìn)1步的概率和前進(jìn)2步的概率都是,所以,,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),其前進(jìn)幾步是由兩部分組成:先前進(jìn)步,再前進(jìn)1步,其概率為,或者先前進(jìn)步,再前進(jìn)2步,其概率為,所以,故選項(xiàng)B正確;因?yàn)?,所以,而,所以,即,故選項(xiàng)C正確;因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,又,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.所以,所以.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),則,此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增,所以;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù),則,此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減,所以;綜上,當(dāng)時(shí),概率最大,即小華一共前進(jìn)2步的概率最大,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC4.ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式和首項(xiàng)即可判斷選項(xiàng)A和B;利用數(shù)列的單調(diào)性和累加法求出,進(jìn)而判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】因?yàn)楹涂芍?,?shù)列的各項(xiàng)均為正值,由可得,所以,則數(shù)列為遞減數(shù)列,故選項(xiàng)A正確;由選項(xiàng)A的分析可知:數(shù)列為遞減數(shù)列,又因?yàn)椋?,故選項(xiàng)B正確;由兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得,則,所以,因?yàn)閿?shù)列為遞減數(shù)列,由可得,當(dāng)時(shí),,即,當(dāng)時(shí),,即,,,不等式累加可得:,所以,則,所以,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由可得,所以,故選項(xiàng)D正確;故選:ABD.5.【分析】由遞推公式可得,再由累乘法即可求得結(jié)果.【詳解】由可得,由累乘可得.故答案為:6.7【分析】降次作差得,構(gòu)造數(shù)列,求出,則得到,作差構(gòu)造新數(shù)列,再證明其單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋瑑墒较鄿p得:,即.兩邊同除以可得,又,得,滿足,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故,即,所以,因?yàn)椋?,則,所以數(shù)列單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,即;當(dāng)7時(shí),,即.所以的最小值為7.故答案為:7.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵首先是作差得到,然后是構(gòu)造等差數(shù)列,從而得到,最后作差并結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可.規(guī)律方法:(1)形如an+1-an=f(n)的數(shù)列,利用累加法,即利用公式an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1(n≥2),即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)形如eq\f(an+1,an)=f(n)的數(shù)列,常令n分別為1,2,3,…,n-1,代入eq\f(an+1,an)=f(n),再把所得的(n-1)個(gè)等式相乘,利用an=a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an-1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(3)形如an+1=eq\f(qan,pan+q)(p,q≠0)的數(shù)列,取倒數(shù)可得eq\f(1,an+1)=eq\f(1,an)+eq\f(p,q),即eq\f(1,an+1)-eq\f(1,an)=eq\f(p,q),構(gòu)造等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通項(xiàng)公式.(4)若數(shù)列{an}滿足an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),構(gòu)造an+1+λ=p(an+λ).(5)若數(shù)列{an}滿足an+1=pan+f(n)(p≠0,1),構(gòu)造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)].【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系一、單選題1.(2024·山西晉中·模擬預(yù)測)已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為(

)A. B. C. D.32.(2024·江蘇·一模)已知正項(xiàng)數(shù)列滿足,若,則(

)A. B.1 C. D.2二、多選題3.(2024·貴州貴陽·二模)設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為,已知,則下列結(jié)論正確的是(

)A.?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和C.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D.?dāng)?shù)列為等比數(shù)列4.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,下列說法正確的是(

)A.若,則是等差數(shù)列B.若,則是等比數(shù)列C.若,則數(shù)列為遞增數(shù)列D.若數(shù)列為等差數(shù)列,,則最小三、填空題5.(23-24高三上·廣東東莞·期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,,則.6.(23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí))已知數(shù)列an滿足,設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為,則=參考答案:題號1234答案BDABBC1.B【分析】由已知等式交叉相乘后得到,仿寫作差后得到,進(jìn)而得到,然后利用裂項(xiàng)相消法求出不等式左邊的最大值即可.【詳解】因?yàn)椋?,即,即,則,與上式作差后可得,因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列,所以,所以,因?yàn)?,,所以,所以?shí)數(shù)的最小值為,故選:B.2.D【分析】由已知和式求出通項(xiàng)的通項(xiàng),從而得出,再由已知條件,從而求出,類似的往前推,求出即可.【詳解】時(shí),時(shí),,故選:D.3.AB【分析】由條件找到,結(jié)合等比數(shù)列定義即可得A、B;由的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式,即可得C、D.【詳解】對A、B:,,又,數(shù)列是首項(xiàng)公比都為的等比數(shù)列,故,即,故A、B正確;對C、D:當(dāng),,當(dāng),,,故C錯(cuò)誤.,,所以數(shù)列不是等比數(shù)列,故D錯(cuò)誤.故選:AB.4.BC【分析】借助等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推關(guān)系逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】對于選項(xiàng)A,,,,,不滿足an是等差數(shù)列,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)B,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)闀r(shí)也滿足上式,所以,則,所以an是等比數(shù)列,故選項(xiàng)B對于選項(xiàng)C,因?yàn)椋?,因?yàn)椋?,因此?shù)列為以為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,也是遞增數(shù)列,故選項(xiàng)C正確;對于選項(xiàng)D,設(shè)數(shù)列an的公差為,因?yàn)?,所以,即,?dāng)時(shí),沒有最小值,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC.5.【分析】根據(jù)求出,再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和,所以,所以.故答案為:6.【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系求出,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出即可.【詳解】數(shù)列an滿足,當(dāng)時(shí),,兩式相減得,因此,而滿足上式,于是,顯然,即數(shù)列an是等差數(shù)列,所以.故答案為:規(guī)律方法:在處理Sn,an的式子時(shí),一般情況下,如果要證明f(an)為等差(等比)數(shù)列,就消去Sn,如果要證明f(Sn)為等差(等比)數(shù)列,就消去an;但有些題目要求求{an}的通項(xiàng)公式,表面上看應(yīng)該消去Sn,但這會導(dǎo)致解題陷入死胡同,這時(shí)需要反其道而行之,先消去an,求出Sn,然后利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求出an(n≥2).專題精練專題精練一、單選題1.畫條直線,將圓的內(nèi)部區(qū)域最多分割成(

)A.部分 B.部分C.部分 D.部分2.已知數(shù)列滿足,其中,則(

)A. B. C. D.3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為(

)A. B.C. D.4.?dāng)?shù)列滿足,(),,若數(shù)列是遞減數(shù)列,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.5.已知數(shù)列滿足,,,則(

)A. B. C. D.6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的最大值為(

)A. B. C. D.17.設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為,若,且,則(

)A. B. C. D.8.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,則可以是(

)A.18 B.12 C.9 D.6二、多選題9.?dāng)?shù)列滿足,且對任意的都有,則(

)A. B.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為C.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D.?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為10.已知數(shù)列滿足,,,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A. B.存在,使得C. D.11.設(shè)無窮數(shù)列an的前項(xiàng)和為,且,若存在,使成立,則(

)A.B.C.不等式的解集為D.對任意給定的實(shí)數(shù),總存在,當(dāng)時(shí),三、填空題12.記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則.14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,則.四、解答題15.已知數(shù)列滿足,().(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿足,令,求證:.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,在數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求的最值.18.記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,.(1)求;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.網(wǎng)球運(yùn)動是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動,對于力量的消耗是很大的,這就需要網(wǎng)球運(yùn)動員提高自己的耐力.耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運(yùn)動員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓(xùn),在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練.由訓(xùn)練計(jì)劃知,在封閉集訓(xùn)期間,若運(yùn)動員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練,則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為,第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為;若運(yùn)動員第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練,則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為,第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為.若運(yùn)動員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等.(1)封閉集訓(xùn)期間,記3名運(yùn)動員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)封閉集訓(xùn)期間,記某運(yùn)動員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為,求.參考答案:題號12345678910答案BCDDCCCCABBD題號11答案BCD1.B【分析】設(shè)畫條線把圓最多分成部分,根據(jù)已知條件得到遞推關(guān)系式,從而求出通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)畫條直線,將圓最多分割成部分,則,,因此,相加得:,所以,當(dāng),,符合上式,所以,故選:B.2.C【分析】根據(jù)題意,由累乘法代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.【詳解】由題意,得,,.由累乘法,得,即,又,所以.故選:C.3.D【分析】由代入即可求得.【詳解】,當(dāng)時(shí),,當(dāng)也滿足,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.故選:D4.D【分析】將取倒數(shù)結(jié)合累加法求得,再利用數(shù)列單調(diào)遞減列不等式并分離參數(shù),求出新數(shù)列的最大值即可求得答案【詳解】由題意,,兩邊取倒數(shù)可化為,所以,,,由累加法可得,,因?yàn)椋?,所以,因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列,故,即,整理可得,,因?yàn)?,,所以,?故選:D.5.C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系利用累乘法求出通項(xiàng),利用錯(cuò)位相減法求出的前100項(xiàng)和得解.【詳解】由,得,所以,,,,(,),累乘可得,又,得.設(shè)①,則②,①-②得,,,.故選:C.6.C【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式,采用兩式相減的方法推出,結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出表達(dá)式,結(jié)合單調(diào)性,即可求得答案.【詳解】由題意知,故時(shí),,當(dāng)時(shí),,,則,即,故,又,所以an為首項(xiàng)是,公比為的等比數(shù)列,故,隨n的增大而減小,且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均為負(fù)值,偶數(shù)項(xiàng)為正值,故時(shí),取最大值,最大值為,故選:C7.C【分析】根據(jù)給定條件,利用,結(jié)合已知變形構(gòu)造數(shù)列,求出,進(jìn)而求出即可判斷得解.【詳解】數(shù)列an中,由,得,整理得,則,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,于是,即,而滿足上式,因此,,,ABD錯(cuò)誤,C正確.故選:C8.C【分析】易通過,可得,也可求得,但此數(shù)列存在不確定的首項(xiàng),所以在求和后發(fā)現(xiàn)結(jié)果為,與選項(xiàng)中的四個(gè)數(shù)進(jìn)行對比分析,發(fā)現(xiàn)一定不能為負(fù)整數(shù),所以只能選C.【詳解】由可得:且,由上式又有:,還有,兩式相減得:,兩邊同時(shí)除以得:,由上式可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,公差為1,所以,由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)公式為,又由,所以可以判斷一定不能為負(fù)整數(shù),即只能有,故選:C.9.AB【分析】利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,可判斷AD選項(xiàng);利用裂項(xiàng)相消法可判斷BC選項(xiàng);【詳解】因?yàn)?,所以,又,?dāng)時(shí),所以,也滿足,故對任意的,.所以數(shù)列的第項(xiàng)為,故A正確,D錯(cuò)誤;所以,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為,故B正確,C錯(cuò)誤.故選:AB.10.BD【分析】根據(jù)遞推公式分別求出和可判斷A;將兩邊同時(shí)取倒數(shù)后配方,再適當(dāng)放縮可得到,即可判斷B;根據(jù),再利用累加法可判斷C;根據(jù),再利用累乘法可求出即可判斷D.【詳解】,,易知,,對于A,,,故A正確;對于B,,,,兩邊開方得,故B錯(cuò)誤;對于C,由B知,,即,當(dāng)時(shí),,,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,,故C正確;對于D,由C知,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,當(dāng)時(shí),,,故D錯(cuò)誤.故選:BD.11.BCD【分析】根據(jù)題意,得到且an是遞減數(shù)列,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式,逐項(xiàng)判定,即可求解.【詳解】由,可得,且,即又由,可得數(shù)列an是等差數(shù)列,公差,所以an是遞減數(shù)列,所以是最大項(xiàng),且隨著的增加,無限減小,即,所以A錯(cuò)誤、D正確;因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以的最大值為,所以B正確;因?yàn)?,且,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以C正確.故選:BCD.12./0.5【分析】構(gòu)造得,從而得到,則,再利用等比數(shù)列求和公式代入計(jì)算即可.【詳解】由,得,則,又,則,則,,,,故答案為:.13.【分析】利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng),再分組求和即可得解.【詳解】

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