2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第3講　數(shù)列的遞推關(guān)系解析版

第3講數(shù)列的遞推關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 13【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列 13【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系 18【專題精練】 22考情分析：數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列真題自測真題自測一、單選題1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題5．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．6．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．參考答案：題號123答案BBA1．B【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.【詳解】法1：因?yàn)?，故，對于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.對于D，當(dāng)時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.法2：因?yàn)?，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，即，因?yàn)樵谏希?，則為遞減數(shù)列，因?yàn)?，令，則，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，即，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，所以，綜上：，因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；對于C，因?yàn)?，則，注意到當(dāng)時(shí)，，，猜想當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與時(shí)，與滿足，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，假設(shè)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，因?yàn)樵谏希?，所以為遞增數(shù)列，因?yàn)椋?，則，因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因?yàn)?，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.2．B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

3．A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，由累乘法可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．4．①③④【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.【詳解】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因?yàn)?，解得，①對；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).5．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．【整體點(diǎn)評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．6．(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列一、單選題1．（2024·山東濰坊·一模）已知數(shù)列an滿足，．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．31二、多選題3．（2024·湖南長沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)步的概率為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進(jìn)3步的概率最大4．（2023·遼寧朝陽·一模）已知數(shù)列滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．C． D．三、填空題5．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.6．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若，則的最小值為.參考答案：題號1234答案ABBCABD1．A【分析】利用等比數(shù)列求出，進(jìn)而求得，再利用累加法求通項(xiàng)得解.【詳解】依題意，，，當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：A2．B【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.【詳解】依題意，數(shù)列滿足，，，所以，也符合，所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，由，解得，所以的最大值為.故選：B3．BC【分析】根據(jù)題意直接求概率判斷選項(xiàng)A，然后根據(jù)題意求出遞推公式即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式判斷選項(xiàng)C，分類討論求解概率通項(xiàng)的最大值判斷D.【詳解】根據(jù)題意，小郡前進(jìn)1步的概率和前進(jìn)2步的概率都是，所以，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，其前進(jìn)幾步是由兩部分組成：先前進(jìn)步，再前進(jìn)1步，其概率為，或者先前進(jìn)步，再前進(jìn)2步，其概率為，所以，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，而，所以，即，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減，所以；綜上，當(dāng)時(shí)，概率最大，即小華一共前進(jìn)2步的概率最大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC4．ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式和首項(xiàng)即可判斷選項(xiàng)A和B；利用數(shù)列的單調(diào)性和累加法求出，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】因?yàn)楹涂芍?，?shù)列的各項(xiàng)均為正值，由可得，所以，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；由選項(xiàng)A的分析可知：數(shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)椋?，故選項(xiàng)B正確；由兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，則，所以，因?yàn)閿?shù)列為遞減數(shù)列，由可得，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，，，不等式累加可得：，所以，則，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由可得，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.5．【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，由累乘可得.故答案為：6．7【分析】降次作差得，構(gòu)造數(shù)列，求出，則得到，作差構(gòu)造新數(shù)列，再證明其單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋瑑墒较鄿p得：，即.兩邊同除以可得，又，得，滿足，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，即，所以，因?yàn)椋?，則，所以數(shù)列單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)7時(shí)，，即.所以的最小值為7.故答案為：7.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先是作差得到，然后是構(gòu)造等差數(shù)列，從而得到，最后作差并結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可.規(guī)律方法：(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個(gè)等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(3)形如an＋1＝eq\f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的數(shù)列，取倒數(shù)可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(p,q)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(p,q)，構(gòu)造等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通項(xiàng)公式．(4)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構(gòu)造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．(5)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構(gòu)造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系一、單選題1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．32．（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．1 C． D．2二、多選題3．（2024·貴州貴陽·二模）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小三、填空題5．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，則.6．（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足，設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，則=參考答案：題號1234答案BDABBC1．B【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿寫作差后得到，進(jìn)而得到，然后利用裂項(xiàng)相消法求出不等式左邊的最大值即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，即，則，與上式作差后可得，因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以?shí)數(shù)的最小值為，故選：B.2．D【分析】由已知和式求出通項(xiàng)的通項(xiàng)，從而得出，再由已知條件，從而求出，類似的往前推，求出即可.【詳解】時(shí)，時(shí)，，故選：D.3．AB【分析】由條件找到，結(jié)合等比數(shù)列定義即可得A、B；由的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式，即可得C、D.【詳解】對A、B：，，又，數(shù)列是首項(xiàng)公比都為的等比數(shù)列，故，即，故A、B正確；對C、D：當(dāng)，，當(dāng)，，，故C錯(cuò)誤.，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AB.4．BC【分析】借助等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推關(guān)系逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】對于選項(xiàng)A，，，，，不滿足an是等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)也滿足上式，所以，則，所以an是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因此?shù)列為以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，也是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)數(shù)列an的公差為，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，沒有最小值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC．5．【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和，所以，所以.故答案為：6．【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出即可.【詳解】數(shù)列an滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因此，而滿足上式，于是，顯然，即數(shù)列an是等差數(shù)列，所以.故答案為：規(guī)律方法：在處理Sn，an的式子時(shí)，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數(shù)列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數(shù)列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項(xiàng)公式，表面上看應(yīng)該消去Sn，但這會導(dǎo)致解題陷入死胡同，這時(shí)需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．專題精練專題精練一、單選題1．畫條直線，將圓的內(nèi)部區(qū)域最多分割成（

）A．部分 B．部分C．部分 D．部分2．已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．4．?dāng)?shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．17．設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6二、多選題9．?dāng)?shù)列滿足，且對任意的都有，則（

）A． B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為10．已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．存在，使得C． D．11．設(shè)無窮數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，若存在，使成立，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．對任意給定的實(shí)數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，三、填空題12．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則.四、解答題15．已知數(shù)列滿足，（）．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，令，求證：．17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的最值．18．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．網(wǎng)球運(yùn)動是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂部的運(yùn)動員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為；若運(yùn)動員第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為．若運(yùn)動員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等．(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，求．參考答案：題號12345678910答案BCDDCCCCABBD題號11答案BCD1．B【分析】設(shè)畫條線把圓最多分成部分，根據(jù)已知條件得到遞推關(guān)系式，從而求出通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)畫條直線，將圓最多分割成部分，則，，因此，相加得：，所以，當(dāng)，，符合上式，所以，故選：B.2．C【分析】根據(jù)題意，由累乘法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，得，，．由累乘法，得，即，又，所以．故選：C．3．D【分析】由代入即可求得.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)也滿足，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為.故選：D4．D【分析】將取倒數(shù)結(jié)合累加法求得，再利用數(shù)列單調(diào)遞減列不等式并分離參數(shù)，求出新數(shù)列的最大值即可求得答案【詳解】由題意，，兩邊取倒數(shù)可化為，所以，，，由累加法可得，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，故，即，整理可得，，因?yàn)?，，所以，?故選:D.5．C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系利用累乘法求出通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出的前100項(xiàng)和得解.【詳解】由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.設(shè)①，則②，①-②得，，，.故選：C.6．C【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，采用兩式相減的方法推出，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出表達(dá)式，結(jié)合單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題意知，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則，即，故，又，所以an為首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，故，隨n的增大而減小，且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)均為負(fù)值，偶數(shù)項(xiàng)為正值，故時(shí)，取最大值，最大值為，故選：C7．C【分析】根據(jù)給定條件，利用，結(jié)合已知變形構(gòu)造數(shù)列，求出，進(jìn)而求出即可判斷得解.【詳解】數(shù)列an中，由，得，整理得，則，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，于是，即，而滿足上式，因此，，，ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C8．C【分析】易通過，可得，也可求得，但此數(shù)列存在不確定的首項(xiàng)，所以在求和后發(fā)現(xiàn)結(jié)果為，與選項(xiàng)中的四個(gè)數(shù)進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)一定不能為負(fù)整數(shù)，所以只能選C.【詳解】由可得：且，由上式又有：，還有，兩式相減得：，兩邊同時(shí)除以得：，由上式可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差為1，所以，由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)公式為，又由，所以可以判斷一定不能為負(fù)整數(shù)，即只能有，故選：C.9．AB【分析】利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷AD選項(xiàng)；利用裂項(xiàng)相消法可判斷BC選項(xiàng)；【詳解】因?yàn)?，所以，又，?dāng)時(shí)，所以，也滿足，故對任意的，.所以數(shù)列的第項(xiàng)為，故A正確，D錯(cuò)誤；所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，故B正確，C錯(cuò)誤．故選：AB.10．BD【分析】根據(jù)遞推公式分別求出和可判斷A；將兩邊同時(shí)取倒數(shù)后配方，再適當(dāng)放縮可得到，即可判斷B；根據(jù)，再利用累加法可判斷C；根據(jù)，再利用累乘法可求出即可判斷D.【詳解】，，易知，，對于A，，，故A正確；對于B，，，，兩邊開方得，故B錯(cuò)誤；對于C，由B知，，即，當(dāng)時(shí)，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，故C正確；對于D，由C知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，當(dāng)時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選：BD.11．BCD【分析】根據(jù)題意，得到且an是遞減數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，可得，且，即又由，可得數(shù)列an是等差數(shù)列，公差，所以an是遞減數(shù)列，所以是最大項(xiàng)，且隨著的增加，無限減小，即，所以A錯(cuò)誤、D正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，所以B正確；因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以C正確.故選：BCD.12．/0.5【分析】構(gòu)造得，從而得到，則，再利用等比數(shù)列求和公式代入計(jì)算即可.【詳解】由，得，則，又，則，則，，，，故答案為：.13．【分析】利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)，再分組求和即可得解.【詳解】