2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第1講　空間幾何體原卷版

第1講空間幾何體（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】空間幾何體的折展問題 3【考點(diǎn)二】表面積與體積 4【考點(diǎn)三】多面體與球 7【專題精練】 8考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·天津·高考真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高考真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．34．（2023·全國·高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．8．（2024·全國·高考真題）已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為,下底面半徑均為，圓臺的母線長分別為,，則圓臺甲與乙的體積之比為．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】空間幾何體的折展問題核心梳理：空間幾何體的側(cè)面展開圖(1)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形．(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．(3)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)．一、單選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·三模）如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（

）

A． B．1 C． D．2二、多選題3．（2024·云南昆明·一模）在矩形中，，，以對角線BD為折痕將△ABD進(jìn)行翻折，折后為，連接得到三棱錐，在翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．三棱錐體積的最大值為 B．點(diǎn)都在同一球面上C．點(diǎn)在某一位置，可使 D．當(dāng)時，4．（22-23高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐的平面展開圖中，四邊形ABCD為直角梯形，，，.在四棱錐中，則（

）A．平面PAD⊥平面PBDB．AD平面PBCC．三棱錐P-ABC的外接球表面積為D．平面PAD與平面PBC所成的二面角的正弦值為三、填空題5．（2023·陜西西安·一模）將平面內(nèi)等邊與等腰直角（其中為斜邊），沿公共邊折疊成直二面角，若，且點(diǎn)在同一球的球面上，則球的表面積為.6．（20-21高三上·廣東·階段練習(xí)）一個圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖為半圓，當(dāng)此圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面與圓錐的底面在同一個平面內(nèi)）的側(cè)面積達(dá)到最大值時，該內(nèi)接圓柱的底面半徑為.規(guī)律方法：空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面中兩點(diǎn)間的最短距離問題，注意展開后對應(yīng)的頂點(diǎn)和邊．【考點(diǎn)二】表面積與體積核心梳理：1．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．2．空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）如圖，攬?jiān)麻w位于西安市雁塔南路最高點(diǎn)，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點(diǎn)和標(biāo)志性建筑，可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個攬?jiān)麻w模型塔底寬，塔頂寬約，側(cè)面面積為，據(jù)此計(jì)算該攬?jiān)麻w模型體積為（

）A．1400 B．2800 C． D．84002．（2024·廣東·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一個正四棱臺形水庫，該水庫的下底面邊長為2km，上底面邊長為4km，側(cè)棱長為，則該水庫的最大蓄水量為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（24-25高三上·廣西·階段練習(xí)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個頂點(diǎn)均有個面角，每個面角均為，故其各個頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在正方體中，，則（

）A．在四面體中，點(diǎn)的曲率為B．在四面體中，點(diǎn)的曲率大于C．四面體外接球的表面積為D．四面體內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖所示，四面體的底面是以為斜邊的直角三角形，體積為，平面，，為線段上一動點(diǎn)，為中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積和三棱錐的體積相等B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．四面體的外接球球心為，且外接球體積與之比的最小值是三、填空題5．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）如圖所示的“升”是我國古代測量糧食的一種容器，從形狀上可抽象成一個正四棱臺．現(xiàn)有一個上、下底面邊長分別為和的“升”，側(cè)棱長為，要做成一個該“升”的幾何體，其側(cè)面所需板材的最小面積為．6．（2024·北京·三模）我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異．”“勢”即是幾何體的高，“冪”是截面積，意思是：如果兩等高的幾何體在同高處的截面積相等，那么這兩個幾何體的體積相等．已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為．若直線與在第一象限內(nèi)與雙曲線及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，則該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為．規(guī)律方法：空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解．(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體．(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積．【考點(diǎn)三】多面體與球核心梳理：求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．一、單選題1．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖甲，在邊長為2的正方形中，分別是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使得三點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖乙，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建·模擬預(yù)測）已知正四棱臺下底面邊長為，若內(nèi)切球的體積為，則其外接球表面積是（

）A．49π B．56π C．65π D．130π二、多選題3．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）在正三棱臺中，，，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．正三棱臺的高為B．正三棱臺的體積為C．與平面所成角的正切值為1D．正三棱臺外接球的表面積為4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在圓錐中，母線，底面圓的半徑為r，圓錐的側(cè)面積為，則（

）A．當(dāng)時，圓錐內(nèi)接圓柱體的體積最大值為B．當(dāng)時，過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)時，圓錐能在棱長為4的正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動D．當(dāng)時，棱長為1的正四面體能在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動三、填空題5．（2024·湖南邵陽·三模）在四面體中，是邊長為的等邊三角形，，，，點(diǎn)在棱上，且，過點(diǎn)作四面體的外接球的截面，則所得截面圓的面積最小值與球的表面積之比為．6．（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知球O是某圓錐內(nèi)可放入的最大的球，其半徑為該圓錐底面半徑的一半，則該圓錐的體積與球O的體積之比為．規(guī)律方法：(1)求錐體的外接球問題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長方體等求解．(2)求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4．已知P為該圓臺某條母線的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺的側(cè)面運(yùn)動一圈后又回到點(diǎn)P，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的最短路徑長為（

）A． B．6 C． D．2．（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱中，，，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)（含邊界）運(yùn)動，當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡長度為，則該三棱柱的表面積為（

）A．4 B． C． D．3．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）圓柱與圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐內(nèi)切球半徑為（

）A． B．C． D．4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知圓臺的上?下底面半徑分別為1和3，母線長為，則圓臺的體積為（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·天津·期中）冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”.通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為，則該陀螺的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的兩個相對三角形面間的距離為（

）

A． B．C． D．7．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）在矩形中，，，為的中點(diǎn)，將和分別沿，折起，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，若三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河南焦作·開學(xué)考試）半徑為4的實(shí)心球與半徑為2的實(shí)心球體積之差的絕對值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，有一個棱臺形的容器（上底面無蓋），其四條側(cè)棱均相等，底面為矩形，，容器的深度為，容器壁的厚度忽略不計(jì)，則下列說法正確的是（

）A．B．該四棱臺的側(cè)面積為C．若將一個半徑為的球放入該容器中，則球可以接觸到容器的底面D．若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著容器外壁爬到點(diǎn)，則其爬行的最短路程為10．（21-22高二下·浙江紹興·期末）在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，的面積為定值D．當(dāng)時，直線與所成角的范圍為11．（2024·江蘇南京·二模）在棱長為1的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，則三棱錐外接球的表面積為B．若，則異面直線與所成角的余弦值為C．若，則面積的最小值為D．若存在實(shí)數(shù)使得，則的最小值為三、填空題12．（2025·江蘇南通·一模）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的側(cè)面積為．13．（2024·江蘇蘇州·一模）已知直三棱柱外接球的直徑為6，且，，則該棱柱體積的最大值為．14．（2024·江西九江·二模）將兩個觀賞球體封閉在一個正方體容器內(nèi)，設(shè)正方體棱長為1，則兩個球體體積之和的最大值為．四、解答題15．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為邊CD的中點(diǎn)，沿AE把折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的表面積16．（2022·陜西榆林·模擬預(yù)測）如圖，已知三棱柱中，，平面，，M為邊上的動點(diǎn)．(1)當(dāng)時，求證：平面；(2)求三棱錐的體積．17．（2024·上?！つM預(yù)測）設(shè)一個簡單幾何體的表面積為，體積為，定義系數(shù)，已知球體對應(yīng)的系數(shù)為，定義為一個幾何體的“球形比例系數(shù)”.(1)計(jì)算正方