2025年高考數(shù)學二輪復習 專題一 函數(shù)與導數(shù) 第10講　同構函數(shù)問題原卷版

第10講同構函數(shù)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】雙變量同構問題 2【考點二】指對同構問題 4【專題精練】 5考情分析：同構函數(shù)問題，是近幾年高考的熱點問題，考查數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新思維．同構函數(shù)問題是指在不等式、方程、函數(shù)中，通過等價變形形成相同形式，再構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，常見的同構有雙變量同構和指對同構，一般都是壓軸題，難度較大．真題自測真題自測一、填空題1．（2023·湖北武漢·二模）在同一平面直角坐標系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)m的最大值為．二、解答題2．（2022·浙江·高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．考點突破考點突破【考點一】雙變量同構問題一、單選題1．（2024·山東濟南·一模）若不等式對任意的恒成立，則的最小值為（

）A． B．C． D．2．（2023·吉林長春·模擬預測）已知a，b滿足，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（22-23高三上·廣東·階段練習）已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不間斷，當時，，且當時，，則下列說法正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞增C．若，則D．若是在區(qū)間內(nèi)的兩個零點，且，則4．（23-24高二上·重慶·期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)存在兩個極值，則實數(shù)的取值范圍為B．當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當時，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最小值為D．當時，若，則的最小值為三、填空題5．（2023·福建三明·三模）已知不等式恒成立，其中，則的最大值為.6．（2023·湖南郴州·模擬預測）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為；若，則的最大值為．四、解答題7．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.8．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設是函數(shù)的兩個極值點，證明：．規(guī)律方法：含有地位相等的兩個變量的不等式(方程)，關鍵在于對不等式(方程)兩邊變形或先放縮再變形，使不等式(方程)兩邊具有結構的一致性，再構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【考點二】指對同構問題一、單選題1．（2023·湖北武漢·三模）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·河北·期末）設實數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·河南·期中）已知實數(shù)m，n滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知,若,其中是自然對數(shù)的底數(shù),則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·湖南郴州·三模）設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.6．（2022高三·全國·專題練習）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題7．（23-24高三上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若，求函數(shù)的最小值；(3)若有兩個零點，，證明：.8．（2022高三·全國·專題練習），若，求a的取值范圍.規(guī)律方法：指對同構的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構方式：①同左構造形式：aea≤lnbelnb，構造函數(shù)f(x)＝xex；②同右構造形式：ealnea≤blnb，構造函數(shù)f(x)＝xlnx；③取對構造形式：a＋lna≤lnb＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnb))(b>1)，構造函數(shù)f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eq\f(ea,a)≤eq\f(b,lnb)，一般有三種同構方式：①同左構造形式：eq\f(ea,a)≤eq\f(elnb,lnb)，構造函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)；②同右構造形式：eq\f(ea,lnea)≤eq\f(b,lnb)，構造函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)；③取對構造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(b>1)，構造函數(shù)f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構方式：①同左構造形式：ea±a>elnb±lnb，構造函數(shù)f(x)＝ex±x；②同右構造形式：ea±lnea>b±lnb，構造函數(shù)f(x)＝x±lnx.專題精練專題精練一、單選題1．（21-22高二下·陜西西安·期末）已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，對于任意的、，當時，總有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣西柳州·模擬預測）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，則＝（

）A． B．－ C． D．4．（2023·全國·模擬預測）若方程在上有實根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（21-22高三上·福建三明·期末）已知函數(shù)有兩個極值點，，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍為（－∞，1） B．C． D．6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知，，，，則（

）A． B． C． D．7．（22-23高三下·浙江杭州·開學考試）直線與函數(shù)的圖像有4個不同的交點，并且從左到右四個交點分別為，它們的橫坐標依次是，則下列關系式正確的是（

）A． B．C． D．存在使得A點處切線與點處切線垂直8．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)則下列結論正確的有（

）A．當時，是的極值點B．當時，恒成立C．當時，有2個零點D．若是關于x的方程的2個不等實數(shù)根，則三、填空題9．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．10．（2024·全國·模擬預測）若存在正數(shù)，使得不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是．11．（2023·安徽安慶·二模）已知函數(shù)，其中，若不等式對任意恒成立，則的最小值為.12．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）若實數(shù)t是方程的根，則的值為.四、解答題13．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，，且，證明：.14．（2022高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，，