2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練18 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練18空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[考情分析]高考必考內(nèi)容，主要以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，題目難度較小，或者以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明，并與空間角的計算綜合命題．【練前疑難講解】一、空間直線、平面位置關(guān)系的判定1．判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題的方法：借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定．2．兩點(diǎn)注意：(1)平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中．(2)當(dāng)從正面入手較難時，可先假設(shè)結(jié)論成立，然后推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷．二、空間平行、垂直關(guān)系1．直線、平面平行的判定定理及其性質(zhì)定理(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，且a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．直線、平面垂直的判定定理及其性質(zhì)定理(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.三、空間直線、平面位置關(guān)系中的綜合問題1．處理空間點(diǎn)、直線、平面的綜合問題，要認(rèn)真審題，并仔細(xì)觀察所給的圖形，利用空間直線、平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解．2．解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．一、單選題1．（2023·四川南充·一模）如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C．9 D．182．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·山東·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面B．存在點(diǎn)，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過四點(diǎn)的球的表面積為4．（23-24高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AC，上的動點(diǎn)，，，且.記與所成角為，與平面所成角為，則（

）

A．當(dāng)時，四面體的體積為定值B．當(dāng)時，存在，使得平面C．對于任意，，總有D．當(dāng)時，在側(cè)面內(nèi)總存在一點(diǎn)P，使得三、填空題5．（2024·遼寧大連·一模）在邊長為4的正方形ABCD中，如圖1所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點(diǎn)，分別沿AE，AF及EF所在直線把和折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐，如圖2所示，則三棱錐外接球的表面積是；過點(diǎn)M的平面截三棱錐外接球所得截面的面積的取值范圍是．6．（2024·浙江溫州·二模）如圖，在等腰梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于．

四、解答題7．（2024·山東·二模）已知三棱錐中，平面，過點(diǎn)分別作平行于平面的直線交于點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，，求直線與平面所成角的正切值．8．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。畢⒖即鸢福侯}號1234答案BAABCABC1．B【分析】根據(jù)，分別是，的中點(diǎn)，得到，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，有，從而有，由平面的基本性質(zhì)得到在同一平面內(nèi)，截面是等腰梯形，再利用梯形面積公式求解.【詳解】由題知連接，，，如圖所示因為分別是的中點(diǎn)，所以，在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，所以平面截該正方體所得的截面為平面，因為正方體的棱長為，所以，，，則到的距離為等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B正確.故選：B.2．A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過點(diǎn)作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．3．ABC【分析】由題意，當(dāng)Q與點(diǎn)重合時，四點(diǎn)共面，即可判斷A；根據(jù)平行的傳遞性可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷B；利用等體積法和棱錐的體積公式計算即可判斷C；易知經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長方體的外接球，求出球的半徑即可判斷D.【詳解】A：如圖，在正方體中，連接．因為N，P分別是的中點(diǎn)，所以．又因為，所以．所以四點(diǎn)共面，即當(dāng)Q與點(diǎn)重合時，四點(diǎn)共面，故A正確；B：連接，當(dāng)Q是的中點(diǎn)時，因為，所以．因為平面平面，所以平面，故B正確；C：連接，因為，則，故C正確；D：分別取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，構(gòu)造長方體，則經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長方體的外接球．設(shè)所求外接球的直徑為，則長方體的體對角線即為所求的球的直徑，即，所以經(jīng)過C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為，故D錯誤．故選：ABC4．ABC【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，由三棱錐的體積計算判斷A；取點(diǎn)，借助面面平行推理判斷B；利用線線角、線面角的意義判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計算判斷D作答.【詳解】對于A，當(dāng)時，為的中點(diǎn)，的面積為定值，點(diǎn)到平面的距離為定值2，因此四面體的體積為定值，A正確；對于B，當(dāng)時，F(xiàn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，令，取的中點(diǎn)，連接，顯然平面，平面，則平面，而，同理平面，又平面，因此平面平面，又平面，所以平面，B正確；對于C，過作交于，連接，由平面，得平面，而平面，有，顯然是與平面所成的角，即，由，得是與所成的角，即，所以，C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時，，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，設(shè)，，則，于是始終為銳角，D錯誤.

故選：ABC5．【分析】補(bǔ)體法確定外接球直徑進(jìn)而求得表面積；利用球的截面性質(zhì)確定面積最值.【詳解】由題意，將三棱錐補(bǔ)形為邊長為2，2，4長方體，如圖所示：三棱錐外接球即為補(bǔ)形后長方體的外接球，所以外接球的直徑，所以三棱錐外接球的表面積為，過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面為圓，其中最大截面為過球心的大圓，此時截面圓的面積為，最小截面為過點(diǎn)垂直于球心與連線的圓，此時截面圓半徑（其中MN長度為長方體前后面對角線長度），故截面圓的面積為，所以過點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積的取值范圍為．故答案為：;6．/【分析】根據(jù)圖象可得直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，設(shè)，利用余弦定理求得相關(guān)線段的長度再進(jìn)行計算即可.【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn),連接,由題知平面平面,平面平面,又平面,所以平面，

則直線與平面所成角的余弦值等于的正弦值，易求得，,又,解得，,則,所以直線與平面所成角的余弦值等于，故答案為：.7．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面平行的判定、性質(zhì)推理即得.（2）連接，由線面角的定義，結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系求解即得.【詳解】（1）由平面平面，平面，得平面平面，而平面，所以平面．（2）連接，由平面平面，得，則是直線在平面內(nèi)的射影，是直線與平面所成的角，在中，，則，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，在中，，所以直線與平面所成角的正切值是．8．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【詳解】（1）正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是（2）連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.即為所求.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，且線段的長度最小值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽淮北·一模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，且，則 B．若，且，則C．若，且，則 D．若，且，則3．（2024·湖北·一模）如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與平面垂直的直線可以是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·山西晉城·期末）設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知是兩個平面，，是兩條直線，則下列命題錯誤的是（

）A．如果，，那么B．如果，，那么C．如果，，那么D．如果，，，那么6．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）學(xué)校某生物老師指導(dǎo)學(xué)生培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成一個圓臺，圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，其母線與底面所成的角為，則這個圓臺的體積為（

）A． B． C． D．7．（2023·四川眉山·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知長方體的體積為是棱的中點(diǎn)，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．10．（21-22高一下·貴州黔西·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中點(diǎn)．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C﹣ABD，連接BM，翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角B．棱CD上總恰有一點(diǎn)N，使得MN∥平面ABCC．當(dāng)三棱錐C﹣ABD的體積最大時，AB⊥BCD．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角11．（23-24高三上·山東濰坊·期中）在正方體中，直線平面，直線平面，直線平面，則直線的位置關(guān)系可能是（

）A．兩兩垂直 B．兩兩平行C．兩兩相交 D．兩兩異面12．（2024·山東濰坊·三模）在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則（

）A．直線與是異面直線B．直線與所成的角是C．直線平面D．平面截正方體所得的截面面積為.三、填空題13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上、下底面積分別為，且棱臺側(cè)面與下底面所成二面角的余弦值為，則棱臺側(cè)面的高為．14．（2024·陜西漢中·二模）已知三棱錐，點(diǎn)到平面的距離是，則三棱錐的外接球表面積為．四、解答題15．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知等腰梯形，，，取的中點(diǎn)，將等腰梯形沿線段翻折，使得二面角為，連接、得到如圖所示的四棱錐，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積．16．（23-24高一下·陜西咸陽·期中）如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，．(1)求三棱錐的體積．(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面.如果存在，請說明點(diǎn)位置并證明.如果不存在，請說明理由.17．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，都是正三角形．(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求三棱錐的表面積．18．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)時，求三棱錐的體積．19．（2024·上海普陀·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.20．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，連接，為的中點(diǎn).(1)若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離；(2)不考慮點(diǎn)與點(diǎn)重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.參考答案：題號12345678910答案ADDBDBCABCBC題號1112答案ACDABD1．A【分析】根據(jù)即可求解最小值時，即可求解，利用平移可得為其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，由余弦定理即可求解.【詳解】由于三棱柱為直三棱柱，所以底面,底面,所以,故,故當(dāng)時，此時最小，線段的長度最小值，由于線段的最小值為，故此時，為中點(diǎn)，故，連接,則,故為其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，,,故異面直線與所成角的余弦值為故選：A2．D【分析】構(gòu)建正方體，利用其特征結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定選項即可.【詳解】

如圖所示正方體，對于A，若對應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故A錯誤；對于B，若對應(yīng)直線與平面，顯然符合條件，但，故B錯誤；對于C，若對應(yīng)直線與平面，平面，顯然符合條件，但，故C錯誤；對于D，若，且，又，是兩個不同的平面，則，故D正確.故選：D3．D【分析】作出與平面平行的平面，證明面即可.【詳解】連接，如下圖所示：因為分別為的中點(diǎn)，故//，//，又面面，故//面；又面面，故//面；又面，故面//面；則垂直于平面的直線一定垂直于面；顯然面面，故，又，面，故面，又面，故；同理可得，又面，故面，也即面；若其它選項的直線垂直于平面，則要與平行，顯然都不平行.故選：D.4．B【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，借助于正方體，逐項分析即可.【詳解】對于A,如上圖正方體中，設(shè)平面為，平面為，為，滿足，，此時，故A錯誤；對于B，因為，，α、β是不同的平面，則必有，故B正確；對于C，如上圖正方體中，設(shè)平面為，平面為，為，滿足，，此時，故C錯誤；對于D，如上圖正方體中，設(shè)平面為，為，為，則滿足，，此時，故D錯誤.故選:B.5．D【分析】結(jié)合空間中的線面位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對于A:由面面平行的定義可得與沒有公共點(diǎn)，即，故A正確；對于B:如果，，那么在內(nèi)一定存在直線，又，則，故B正確；對于C:如果，，那么根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，故C正確;對于D；如果，，則或，又，那么與可能相交，也可能平行，故D錯誤.故選：D.6．B【分析】可設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，，根據(jù)題意求出圓臺的高和的值，即可求出圓臺的體積．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為，，因為母線長為8，且母線與底面所成的角為，所以圓臺的高為，并且，得所以圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為．由此可得圓臺的體積為．故選：B．7．C【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，，利用向量的夾角公式可得答案.【詳解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以，所以互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，，所以.所以直線與直線夾角的余弦值為.故選：C.

8．A【分析】根據(jù)題意，先求平面與交點(diǎn)的位置，再設(shè)長方體的長、寬、高分別為，最后利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，易知，所以平面與交點(diǎn)為.

設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則.平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為.故選：A.9．BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因為，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.10．BC【分析】對A：根據(jù)線面垂直的判斷定理證明BD⊥平面CME，可證CM⊥BD；對B：根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；對C：根據(jù)錐體的體積公式分析可知:當(dāng)CE⊥平面ABD，三棱錐C﹣ABD的體積最大，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判斷和定義分析說明；對D：根據(jù)二面角的平面角的定義理解分析.【詳解】對A，取BD中點(diǎn)E，連接CE，ME，如圖，因△BCD是正三角形，有CE⊥BD，而M是AD的中點(diǎn)，有ME∥AB，而AB⊥BD，則ME⊥BD，CE∩ME＝E，CE，ME?平面CME，于是得BD⊥平面CME，CM?平面CME，所以CM⊥BD，A不正確；對B，取CD的中點(diǎn)N，連MN，因M是AD的中點(diǎn)，則MN∥AC，AC?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABC，B正確；對C，因S△ABD=12AB?DB=2，要三棱錐C﹣ABD由選項A知，點(diǎn)C到直線BD的距離CE=3，∠CEM是二面角A﹣BD當(dāng)∠CEM＝90°時，CE⊥平面ABD，即當(dāng)C到平面ABD距離最大為時，三棱錐C﹣ABD的體積最大，此時CE⊥ME，有CE⊥AB，而AB⊥BD，CE∩BD＝E，CE，BD?平面BCD，則有AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AB⊥BC，C正確；對D，若∠CMB是二面角C﹣AD﹣B的平面角，則AD⊥CM，因為M為AD中點(diǎn)，故CA＝CD，這不一定成立，故D錯誤．故選：BC．11．ACD【分析】在正方體中可分別取兩兩垂直、兩兩相交，兩兩異面的直線，即可判斷A，C，D選項，結(jié)合線面平行的判定以及性質(zhì)定理可判斷B.【詳解】對于A，當(dāng)l為，m為，n為時，兩兩垂直，A正確；對于B，不妨假設(shè)，和不重合，因為平面，平面，則平面，又平面，平面平面，故，則，又平面，平面，故，則，即不可能兩兩平行，B錯誤；對于C，當(dāng)l為，m為，n為時，兩兩相交，C正確；對于D，當(dāng)l為，m為，n為時，兩兩異面，D正確，故選：ACD12．ABD【分析】根據(jù)異面直線成角，線面垂直的判定定理，梯形面積公式逐項判斷即可.【詳解】對于A，由于平面，平面，故直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點(diǎn)，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，故直線與所成的角是，故B正確；對于C，如圖，假設(shè)直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構(gòu)成直角三角形，所以與不垂直，故假設(shè)錯誤，故C錯誤；對于D，如圖，連接，因為，所以，所以平面截正方體所得的截面為梯形，且，所以梯形的高為，所以截面面積為，故D正確.故選：ABD.13．【分析】根據(jù)題意，求得，，分別取的中點(diǎn)，取分別為上、下底面的中心，得到側(cè)面與下底面所成角為，列出方程，求得的長，即可求解.【詳解】如圖所示，在正三棱臺中，因為正三棱臺的上、下底面積分別為，可得，解得，，分別取的中點(diǎn)，連接，取，，則分別為上、下底面的中心，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，所以，可得，側(cè)面與下底面所成角，即為，在直角中，可得，解得，所以故棱臺側(cè)面的高為．故答案為：3.14．【分析】根據(jù)題意求得外接圓的半徑，再利用勾股定理證得平面，從而利用側(cè)棱垂直于底面的三棱錐的外接球的性質(zhì)即可得解.【詳解】記為的中點(diǎn)，連接，由題意知，且，所以外接圓的直徑為，且，即半徑，過作平面，因為平面，則，又點(diǎn)到平面的距離是，即，而，所以，同理，又，所以是同一個點(diǎn)，所以平面，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，則三棱錐的外接球表面積為.故答案為：15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先說明四邊形為平行四邊形，連接交于點(diǎn)，連接，即可得到，從而得證；（2）在等腰梯形中可得、為等邊三角形，在四棱錐中取的中點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可得到為二面角的平面角，求出，再證明平面，最后根據(jù)計算可得.【詳解】（1）在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在等腰梯形中，由（1）知，即為等邊三角形，則，連接，則也為等邊三角形，即，所以也為等邊三角形，在四棱錐中取的中點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，依題意且，所以為二面角的平面角，即，又，所以為等邊三角形，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又，所以.16．(1)(2)存在，為的中點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)計算可得；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時滿足平面平面，設(shè)，連接，即可證明、，從而得到平面，平面，即可得證.【詳解】（1）在直四棱柱中，底面為正方形，所以平面，所以.（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時滿足平面平面，設(shè)，連接，因為為正方形，所以為的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知可得，，可證平面，可得，又易得，進(jìn)而可證平面．（2）由已知可得，，利用體積可求得的值，進(jìn)而可求表面積.【詳解】（1）因為是正三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．因為，是正三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，．因為，平面，平面，所以平面．因為平面，所以，因為，平面，平面，所以平面．（2）設(shè)，則是邊長為的正三角形，因為，所以，因為是正三角形，且，所以，所以三棱錐的體積，所以，的面積為，與的面積相等，其面積之和為，在中，，，所以的面積為．所以三棱錐的表面積為．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定證明平面即可；（2）先根據(jù)線面垂直的判定證明平面，再根據(jù)求解即可.【詳解】（1）因為，所以四點(diǎn)共面，因為四邊形為菱形，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）因為平面，平面，所以，又因為，平面，故平面，又因為互相平分，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，又因為，所以三棱錐的體積為.19．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）取線段、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，然后四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而證明線面平行；（2）根據(jù)線面角的定義，可由幾何圖形作出線面角，然后根據(jù)三角形求解即可.【詳解】（1）證明：取線段、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，則，，又底面是正方形，即，則，即四邊形為平行四邊形，則，又在平面外，平面，故平面.

（2）取線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，又，底面是邊長為的正方形，則，且，，又二面角的大小為，即平面平面，又平面，平面平面，則平面，則是直線與平面所成角，在中，，即，故直線與平面所成角的大小為.20．(1)；(2)【分析】（1）利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離；（2）根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角，結(jié)合余弦值得出，利用勾股定理可得答案.【詳解】（1）連接，則，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的邊長為，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，，，即點(diǎn)到平面的距離；（2）取的中點(diǎn)，連接，，，，，為二面角的平面角，，由題可知與全等，在中，，，，，，.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·遼寧·二模）長方體中，四邊形為正方形，直線與直線AD所成角的正切值為2，則直線與平面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·北京通州·期末）設(shè)l是直線，α，β是兩個不同平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．（2024·山東濰坊·一模）如圖所示，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)為截面上的動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長度是（

）A． B． C． D．14．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．5．（22-23高一下·河南周口·期末）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點(diǎn)N為側(cè)面上的一點(diǎn)，且MN//平面，若點(diǎn)N的軌跡長度為2，則（

）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝66．（2024·河南·一模）如圖是棱長均為2的柏拉圖多面體，已知該多面體為正八面體，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B．1 C． D．7．（2024·甘肅定西·一模）在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（

）A． B． C． D．8．（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長為2，P為的中點(diǎn)，過A，B，P三點(diǎn)作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（22-23高一下·河南商丘·階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，過A，D，E三點(diǎn)的平面與平面PBC的交線為l，則（

）A．直線l與平面PAD有一個交點(diǎn)B．C．直線PA與l所成角的余弦值為D．平面截四棱錐所得的上下兩個幾何體的體積之比為10．（2024·河北·一模）如圖，在圓柱中，軸截面ABCD為正方形，點(diǎn)F是的上一點(diǎn)，M為BD與軸的交點(diǎn)．E為MB的中點(diǎn)，N為A在DF上的射影，且平面AMN，則下列選項正確的有（

）A．平面AMNB．平面DBFC．平面AMND．F是的中點(diǎn)11．（2024·浙江·二模）正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．平面B．平面C．異面直線與所成角為60°D．平面截正方體所得截面為等腰梯形12．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角的大小為B．直線平面C．平面平面D．四面體外接球的體積與正方體的體積之比為三、填空題13．（2024·上海虹口·二模）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則線段的長度和的最小值為.14．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）若正四面體的頂點(diǎn)都在一個表面積為的球面上，過點(diǎn)且與平行的平面分別與棱交于點(diǎn)，則空間四邊形的四條邊長之和的最小值為.15．（23-24高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）一個三棱錐形木料，其中是邊長為的等邊三角形，底面，二面角的大小為，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為．若將木料削成以A為頂點(diǎn)的圓錐，且圓錐的底面在側(cè)面PBC內(nèi)，則圓錐體積的最大值為．16．（23-24高三下·四川·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，且交于點(diǎn)，現(xiàn)沿折痕將折起，直至滿足條件，此時.

四、解答題17．（2024·重慶·三模）如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)證明平面，并求直線到平面的距離.18．（2024·北京東城·一模）如圖，在五面體中，底面為正方形，.

(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分19．（23-24高一下·廣東河源·期中）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是棱的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.20．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在斜三棱柱中，為AC的中點(diǎn)，.(1)證明：.(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：題號12345678910答案BBBABBDDBDBCD題號1112答案ACDABD1．B【分析】由異面直線所成的角求得長方體中棱的關(guān)系，再根據(jù)線面角定義計算．【詳解】長方體中，，所以就是直線與直線AD所成角，因此，即，又由平面知是直線與平面所成角，，故選：B．2．B【分析】由線面平行，線面垂直，面面平行，面面垂直的性質(zhì)逐項判斷即可；【詳解】A：若，，則或相交，故A錯誤；B：若，，由線面平行和垂直的性質(zhì)可得，故B正確；C：若，，則或，故C錯誤；D：若，，則相交或或，故D錯誤；故選：B.3．B【分析】連接，利用線面垂直的判定推理證得平面即可確定點(diǎn)的軌跡得解.【詳解】在棱長為1的正方體中，連接，由平面，平面，得，而，平面，則平面，又平面，于是，同理，而平面，因此平面，因為，則平面，而點(diǎn)為截面上的動點(diǎn)，平面平面，所以點(diǎn)的軌跡是線段，長度為.故選：B4．A【分析】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．因為E為BC的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長為．故選：A．5．B【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面，再由MN//平面可得點(diǎn)N的軌跡為線段DE，據(jù)此即可得解.【詳解】如圖，

取的中點(diǎn)D，的中點(diǎn)E，連接MD，DE，ME，由，，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面所以平面平面，又平面，故點(diǎn)N的軌跡為線段DE，又由，可得．故選：B．6．B【分析】由三棱錐等體積法，可得，運(yùn)算得解.【詳解】連接．由已知得為的中位線，所以，為正三角形的中線，所以，又，所以，所以為直角三角形，所以．因為，所以到平面的距離為，設(shè)到平面的距離為，因為，所以，所以，所以．故選：B.7．D【分析】設(shè)，利用線面角的定義，結(jié)合正切函數(shù)的和差公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】如圖，設(shè)，因為在矩形中，，所以，因為底面，所以分別是與底面所成的角，即，所以.因為，所以，解得(負(fù)根舍去)，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將看作一個整體，結(jié)合題設(shè)條件得到關(guān)于的方程，從而得解.8．D【分析】根據(jù)給定條件，求出球心到平面的距離，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面圓半徑即可.【詳解】正方體的外接球球心是的中點(diǎn)，而，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半，又平面過線段的中點(diǎn)P，因此點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，由平面，，得平面，在平面內(nèi)過作于，而平面，于是，又，從而，又球的半徑，則正方體的外接球被平面截得的截面圓半徑，有，所以正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積.故選：D9．BD【分析】根據(jù)所給圖像，作中點(diǎn)，連接，則為交線l，然后根據(jù)線面平行的基本定理可判斷A；結(jié)和線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷B；結(jié)合異面直線所成角的定義可判斷C；結(jié)和棱錐的體積公式可判斷D.【詳解】如圖，取棱PC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，因為E是棱PB的中點(diǎn)，則，即A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則l為直線EF，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，即平面PAD，故A錯誤；由底面ABCD，平面ABCD，所以，由，可得為等腰直角三角形，而斜邊PC的中點(diǎn)為F，所以，再由底面ABCD是正方形，易得，又，且平面PDC，所以平面PDC，又平面PDC，所以，又，且平面ADFE，所以平面ADFE，又平面ADFE，所以，故B正確；由，則直線PA與l所成的角，即PA與AD所成的角，由，則，即PA與AD所成的角的余弦值為，故C錯誤；，，所以，所以，故D正確.故選：BD.

10．BCD【分析】利用線面關(guān)系即可判斷A；利用線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，即可判斷BC；利用圖形，結(jié)合垂直關(guān)系和平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.【詳解】A.由題意可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)平面，所以平面，則直線與平面不平行，故A錯誤；B.因為平面，平面，所以，且，，且平面，所以平面，且平面，且平面平面，因為，所以平面，故B正確；C.由平面，平面，所以，因為軸截面ABCD為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，且平面，所以平面，故C正確；D.平面，平面，所以，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，因為平面，平面，平面平面，所以，所以，且是的中點(diǎn)，所以，且,所以，則，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線線，線面，面面的位置關(guān)系，本題的關(guān)鍵是能從幾何體中抽象出線線，線面的位置關(guān)系，以及根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系.11．ACD【分析】于A，連接，利用三角形中位線證得，結(jié)合線面平行判定定理即可判斷A；對于B，取中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為，根據(jù)線段長度結(jié)合勾股定理判斷與是否垂直，即判斷與是否垂直，從而可判斷B；對于C，連接，根據(jù)正方體的面對角線性質(zhì)，即可得異面直線與所成角的大小，從而判斷C；對于D，連接，確定截面完整圖形為四邊形，再計算其四邊長度與位置關(guān)系，即可判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接，因為，分別為棱和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，如圖，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為，中點(diǎn)，則，故，設(shè)正方體棱長為，則，故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B錯誤；對于C，如圖，連接，在正方體中，，即為正三角形，又因為，分別為棱和的中點(diǎn)，所以，故異面直線與所成角即為，故C正確；對于D，如圖，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，所以四點(diǎn)共面，故平面截正方體所得截面為四邊形，設(shè)正方體棱長為，則，所以，又，故截面為四邊形為等腰梯形，故D正確.故選：ACD.12．ABD【分析】根據(jù)異面直線所成角可判定A選項，根據(jù)線面平行的判定定理可判定B選項，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判定C選項，根據(jù)正方體的體積及外接球的體積公式可判定D選項.【詳解】解析：對于A：連接，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知，，即為正三角形．又因為分別為的中點(diǎn)，則，因此直線與所成的角即為直線與所成的角，即或其補(bǔ)角，又，所以直線與所成的角的大小為，A正確；對于B：因為，所以平面平面，故直線平面，B正確；對于C：取的中點(diǎn)為，連接，顯然的中點(diǎn)為，則，假設(shè)平面平面，而平面平面，于是平面，又平面，則，與矛盾，C錯誤；對于D：不妨設(shè)正方體的棱長為，則正方體的體積為，又因為四面體的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球即為以為棱的長方體的外接球，于是球的直徑，體積為，于是，D正確，故選：ABD．13．【分析】取的中點(diǎn)，連接、、、，首先證明，即可、、、四點(diǎn)共面，連接，，求出，將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點(diǎn)，最后利用余弦定理計算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、、、，因為點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，又且，所以為平行四邊形，所以，所以，即、、、四點(diǎn)共面，連接，，則，，因為底面為菱形，且，所以，所以，所以，所以，即，所以，將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點(diǎn)，則，又，在中，即，所以，即線段、的長度和的最小值為.故答案為：14．/【分析】根據(jù)條件求出正四面體的棱長為，設(shè)，利用幾何關(guān)系得到空間四邊形的四條邊長之和，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，將正四面體放置到正方體中，易知正四面體外接球即正方體的外接球，設(shè)正四面體的棱長為，所以正方體的邊長為，易知正方體的外接球直徑為體對角線的長，又，所以正四面體的半徑，依題有，得到，即正四面體的棱長為，因為面，面面，面，所以，設(shè)因為，則，，在中，因為，所以，在中，，，則，所以空間四邊形的四條邊長之和，又，當(dāng)時，，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于設(shè)出后，利用幾何關(guān)系得出，，，從而得出空間四邊形的四條邊長之和，轉(zhuǎn)化成求的最小值來解決問題.15．【分析】畫出圖形后結(jié)合等體積法可計算點(diǎn)A到平面PBC的距離，在三角形中，找出