2025年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專項訓(xùn)練18 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（原卷版）

2025二輪復(fù)習專項訓(xùn)練18空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系[考情分析]高考必考內(nèi)容，主要以幾何體為載體考查空間點、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，題目難度較小，或者以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明，并與空間角的計算綜合命題．【練前疑難講解】一、空間直線、平面位置關(guān)系的判定1．判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題的方法：借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進行肯定或否定．2．兩點注意：(1)平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中．(2)當從正面入手較難時，可先假設(shè)結(jié)論成立，然后推出與題設(shè)或公認的結(jié)論相矛盾的命題，進而作出判斷．二、空間平行、垂直關(guān)系1．直線、平面平行的判定定理及其性質(zhì)定理(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，且a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．直線、平面垂直的判定定理及其性質(zhì)定理(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.三、空間直線、平面位置關(guān)系中的綜合問題1．處理空間點、直線、平面的綜合問題，要認真審題，并仔細觀察所給的圖形，利用空間直線、平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解．2．解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口．一、單選題1．（2023·四川南充·一模）如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C．9 D．182．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·山東·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，是線段上的動點，則下列說法中正確的是（

）A．存在點，使四點共面B．存在點，使平面C．三棱錐的體積為D．經(jīng)過四點的球的表面積為4．（23-24高三上·江蘇蘇州·開學考試）圖，在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別是線段AC，上的動點，，，且.記與所成角為，與平面所成角為，則（

）

A．當時，四面體的體積為定值B．當時，存在，使得平面C．對于任意，，總有D．當時，在側(cè)面內(nèi)總存在一點P，使得三、填空題5．（2024·遼寧大連·一模）在邊長為4的正方形ABCD中，如圖1所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點，分別沿AE，AF及EF所在直線把和折起，使B，C，D三點重合于點P，得到三棱錐，如圖2所示，則三棱錐外接球的表面積是；過點M的平面截三棱錐外接球所得截面的面積的取值范圍是．6．（2024·浙江溫州·二模）如圖，在等腰梯形中，，點是的中點．現(xiàn)將沿翻折到，將沿翻折到，使得二面角等于，等于，則直線與平面所成角的余弦值等于．

四、解答題7．（2024·山東·二模）已知三棱錐中，平面，過點分別作平行于平面的直線交于點．(1)求證：平面；(2)若為的中點，，求直線與平面所成角的正切值．8．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點，求直線與平面所成角的大小．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，分別為棱的中點，為棱上的動點，且線段的長度最小值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽淮北·一模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，且，則 B．若，且，則C．若，且，則 D．若，且，則3．（2024·湖北·一模）如圖，在正方體中，分別為的中點，則與平面垂直的直線可以是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·山西晉城·期末）設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知是兩個平面，，是兩條直線，則下列命題錯誤的是（

）A．如果，，那么B．如果，，那么C．如果，，那么D．如果，，，那么6．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習）學校某生物老師指導(dǎo)學生培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成一個圓臺，圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，其母線與底面所成的角為，則這個圓臺的體積為（

）A． B． C． D．7．（2023·四川眉山·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．8．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知長方體的體積為是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小的一部分的體積為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．10．（21-22高一下·貴州黔西·期末）如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中點．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C﹣ABD，連接BM，翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角B．棱CD上總恰有一點N，使得MN∥平面ABCC．當三棱錐C﹣ABD的體積最大時，AB⊥BCD．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角11．（23-24高三上·山東濰坊·期中）在正方體中，直線平面，直線平面，直線平面，則直線的位置關(guān)系可能是（

）A．兩兩垂直 B．兩兩平行C．兩兩相交 D．兩兩異面12．（2024·山東濰坊·三模）在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，則（

）A．直線與是異面直線B．直線與所成的角是C．直線平面D．平面截正方體所得的截面面積為.三、填空題13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上、下底面積分別為，且棱臺側(cè)面與下底面所成二面角的余弦值為，則棱臺側(cè)面的高為．14．（2024·陜西漢中·二模）已知三棱錐，點到平面的距離是，則三棱錐的外接球表面積為．四、解答題15．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知等腰梯形，，，取的中點，將等腰梯形沿線段翻折，使得二面角為，連接、得到如圖所示的四棱錐，為的中點．(1)證明：平面；(2)求四棱錐的體積．16．（23-24高一下·陜西咸陽·期中）如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點，．(1)求三棱錐的體積．(2)在上是否存在一點，使得平面平面.如果存在，請說明點位置并證明.如果不存在，請說明理由.17．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，點為棱的中點，點為的中點，，，都是正三角形．(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求三棱錐的表面積．18．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．(1)求證：平面平面；(2)當時，求三棱錐的體積．19．（2024·上海普陀·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，、分別是、的中點.(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.20．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起使得點到點的位置，連接，為的中點.(1)若平面平面，求點到平面的距離；(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·遼寧·二模）長方體中，四邊形為正方形，直線與直線AD所成角的正切值為2，則直線與平面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·北京通州·期末）設(shè)l是直線，α，β是兩個不同平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．（2024·山東濰坊·一模）如圖所示，在棱長為1的正方體中，點為截面上的動點，若，則點的軌跡長度是（

）A． B． C． D．14．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．5．（22-23高一下·河南周口·期末）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點N為側(cè)面上的一點，且MN//平面，若點N的軌跡長度為2，則（

）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝66．（2024·河南·一模）如圖是棱長均為2的柏拉圖多面體，已知該多面體為正八面體，四邊形為正方形，分別為的中點，則點到平面的距離為（

）A． B．1 C． D．7．（2024·甘肅定西·一模）在四棱錐中，底面為矩形，底面與底面所成的角分別為，且，則（

）A． B． C． D．8．（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長為2，P為的中點，過A，B，P三點作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（22-23高一下·河南商丘·階段練習）如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD，，點E是棱PB的中點，過A，D，E三點的平面與平面PBC的交線為l，則（

）A．直線l與平面PAD有一個交點B．C．直線PA與l所成角的余弦值為D．平面截四棱錐所得的上下兩個幾何體的體積之比為10．（2024·河北·一模）如圖，在圓柱中，軸截面ABCD為正方形，點F是的上一點，M為BD與軸的交點．E為MB的中點，N為A在DF上的射影，且平面AMN，則下列選項正確的有（

）A．平面AMNB．平面DBFC．平面AMND．F是的中點11．（2024·浙江·二模）正方體中，，分別為棱和的中點，則下列說法正確的是（

）A．平面B．平面C．異面直線與所成角為60°D．平面截正方體所得截面為等腰梯形12．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，分別為的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角的大小為B．直線平面C．平面平面D．四面體外接球的體積與正方體的體積之比為三、填空題13．（2024·上海虹口·二模）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點為棱的中點，點在上，則線段的長度和的最小值為.14．（23-24高三下·安徽·階段練習）若正四面體的頂點都在一個表面積為的球面上，過點且與平行的平面分別與棱交于點，則空間四邊形的四條邊長之和的最小值為.15．（23-24高三下·江蘇南通·開學考試）一個三棱錐形木料，其中是邊長為的等邊三角形，底面，二面角的大小為，則點A到平面PBC的距離為．若將木料削成以A為頂點的圓錐，且圓錐的底面在側(cè)面PBC內(nèi)，則圓錐體積的最大值為．16．（23-24高三下·四川·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，且交于點，現(xiàn)沿折痕將折起，直至滿足條件，此時.

四、解答題17．（2024·重慶·三模）如圖，在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點.

(1)證明：平面平面；(2)證明平面，并求直線到平面的距離.18．（2024·北京東城·一模）如圖，在五面體中，