2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練22 隨機(jī)變量及其分布（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練22隨機(jī)變量及其分布[考情分析]高考?？純?nèi)容，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差進(jìn)行決策或分析，多與概率結(jié)合考查綜合題型，試題閱讀量大，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中檔偏上．【練前疑難講解】一、分布列的性質(zhì)及應(yīng)用1．離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn離散型隨機(jī)變量X的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1(i＝1,2,3，…，n)．2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi；D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi.3．均值、方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．二、隨機(jī)變量的分布列1．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.2．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．三、正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.(4)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．(5)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．一、單選題1．（23-24高三上·山東臨沂·開學(xué)考試）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·期末）現(xiàn)實(shí)世界中的很多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布.例如反復(fù)測(cè)量某一個(gè)物理量，其測(cè)量誤差通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布.若某物理量做次測(cè)量，最后結(jié)果的誤差，要控制的概率不大于0.0027，至少要測(cè)量的次數(shù)為（

）[參考數(shù)據(jù)：]A．141 B．128 C．288 D．512二、多選題3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）從含有2件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽出3件，則（

）A．抽出的產(chǎn)品中恰好有1件是次品的抽法有種B．抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為C．抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為D．抽出的產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某電子展廳為了吸引流量，舉辦了一場(chǎng)電子競(jìng)技比賽，甲、乙兩人入圍決賽，決賽采用局勝的賽制，其中，即先贏局者獲得最終冠軍，比賽結(jié)束.已知甲每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則（

）A．若，，則甲最終獲勝的概率為B．若，，記決賽進(jìn)行了局，則C．若，，記決賽進(jìn)行了局，則D．若比時(shí)對(duì)甲更有利，則三、填空題5．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，其中，隨機(jī)變量的分布列為012表中，則的最大值為．我們可以用來刻畫與的相似程度，則當(dāng)，且取最大值時(shí)，．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知4件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐個(gè)不放回檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)次數(shù)為，則.四、解答題7．（2023·全國(guó)·高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6358．（2024·江蘇·一模）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．附：若，取，．參考答案：題號(hào)1234答案ACACDABD1．A【分析】根據(jù)取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為求出n的值，再求出X的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義即可計(jì)算.【詳解】由題可知，，解得，X的可能取值為，，，，，∴.故選：A2．C【分析】根據(jù)題意得，可得，然后根據(jù)正態(tài)分布的概率求法可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得，則，即，因?yàn)椋?，所以，所以，解得，所以至少要測(cè)量的次數(shù)為288次，故選：C3．ACD【分析】對(duì)于A，由題意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，對(duì)于BC，利用超幾何分布的概率公式求解，對(duì)于D，設(shè)抽出的次品數(shù)為，由題意可知可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，從而可求出其期望.【詳解】對(duì)于A，若抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是次品，則抽出1件次品，2件合格品，所以共有種不同的抽法，所以A正確，對(duì)于B，由題意可知抽出的產(chǎn)品中至多有1件是次品的概率為，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由題意得抽出的產(chǎn)品中至少有件是次品的概率為，所以C正確，對(duì)于D，設(shè)抽出的次品數(shù)為，由題意可知可能取值為0，1，2，則，，，所以，所以D正確.故選：ACD4．ABD【分析】對(duì)于A，利用獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最終獲勝的概率即可判斷；對(duì)于B，由條件求的分布列，再求其期望及方差即可判斷，對(duì)于C，由條件求的分布列，再由期望公式求其期望即可判斷，對(duì)于D，分別求，時(shí)甲獲勝的概率，列不等式確定的范圍即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以甲獲勝的概率為，A正確.對(duì)于B，因?yàn)?，，由已知的取值有，，，所以，所以，B正確.對(duì)于C，因?yàn)椋?，又的可能取值有，所以，，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，甲獲勝的概率為，當(dāng)時(shí)，甲獲勝的概率為，若比時(shí)對(duì)甲更有利，則，所以，所以，又，所以，D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵在于確定其可能的取值，準(zhǔn)確理解取各值所對(duì)應(yīng)的事件，結(jié)合概率的求法確定取各值的概率.5．【分析】根據(jù)題意，求得和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得取得最大值，再由二項(xiàng)分布方差，求得，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由題意，可得，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，又由，可得，解得，可得，又因?yàn)?，可得，所?故答案為：；,6．【分析】首先確定，分別求出各自的概率，然后期望公式可求【詳解】記檢測(cè)次數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，檢測(cè)的兩件產(chǎn)品均為正品或?yàn)榇纹?，則，當(dāng)時(shí)，只需前兩件產(chǎn)品中正品和次品各一件，第三件無論是正品還是次品，都能確定所有次品，則，所以，故答案為：7．(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.8．(1)0.09；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由正態(tài)分布的概率公式代入計(jì)算，再由全概率公式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由二項(xiàng)分布的概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．因?yàn)?，所以，，．所以，所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，所以．由，解得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以最大．因此當(dāng)時(shí)，最大．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2021·浙江溫州·二模）多項(xiàng)選擇題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．若選項(xiàng)中有i（其中）個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量（其中），則有（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽，根據(jù)以往的成績(jī)記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)和的分布列如下表一和下表二所示；表一6789100.070.220.380.300.03表二6789100.090.240.320.280.07概率分布條形圖如下圖三和圖四所示：則以下對(duì)這兩名同學(xué)的射擊水平的評(píng)價(jià)，正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最小的一組是（

）A． B．C． D．5．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，真命題的是（

）A．若回歸方程，則變量與正相關(guān)B．線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)用來刻畫回歸的效果，若值越小，則模型的擬合效果越好C．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為4D．一個(gè)人連續(xù)射擊三次，若事件“至少擊中兩次”的概率為0.7，則事件“至多擊中一次”的概率為0.36．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知隨機(jī)變量，分別滿足二項(xiàng)分布，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，若從該超市中隨機(jī)選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)的方差為（

）A．14.4 B．9.6 C．24 D．488．（2024·江蘇·一模）青少年的身高一直是家長(zhǎng)和社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個(gè)體成長(zhǎng)，也是社會(huì)健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，且身高在到之間的人數(shù)占樣本量的，則樣本中身高不低于的約有（

）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人二、多選題9．（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）012340.10.40.20.2A． B．，C．， D．，10．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．11．（2023·浙江·三模）下列說法中正確的是（

）A．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績(jī)（單位：環(huán)）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為8B．若隨機(jī)變量，且，則C．若隨機(jī)變量，且，則D．對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，由此得到的線性回歸方程為：，至少有一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在回歸直線上三、填空題12．（2022·天津南開·二模）甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球．①先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則；②從甲、乙兩罐中分別隨機(jī)各取出一球，則取到黑球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如下：012若，則．14．（21-22高二下·北京朝陽(yáng)·期中）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響．隨機(jī)變量表示在3次活動(dòng)中甲獲勝的次數(shù)，則；．參考答案：題號(hào)12345678910答案BCDCDCAABDBD題號(hào)11答案BC1．B【分析】分別求出、、時(shí)，再一一判斷即可；【詳解】解：當(dāng)時(shí)，的可能情況為0,3,5選擇的情況共有：種；，，所以當(dāng)時(shí)，的可能情況為0,3,5選擇的情況共有：種；，，所以當(dāng)時(shí)，的可能情況為3,5選擇的情況共有：種；，，所以對(duì)于AB：，，所以，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于CD：，，所以，故CD錯(cuò)誤；故選：B2．C【分析】首先將男生人數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，且，，，,則.故選：C3．D【分析】根據(jù)分布列數(shù)據(jù)代入數(shù)學(xué)期望、方差公式求解即可.【詳解】由分布列可得，，，，所以，.故選：D4．C【分析】由題意，分別求出選項(xiàng)中的方差，根據(jù)方差的大小即可判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小，結(jié)合選項(xiàng)即可求解．【詳解】對(duì)于A，所以，對(duì)于B，所以，對(duì)于C，所以，對(duì)于D，所以，故選：C5．D【分析】利用正負(fù)相關(guān)的意義判斷A；利用相關(guān)指數(shù)的意義判斷B；求出標(biāo)準(zhǔn)差判斷C；利用對(duì)立事件求出概率判斷D.【詳解】對(duì)于A，回歸方程，由，得變量與負(fù)相關(guān)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，值越接近于1，模型的擬合效果越好，越接近于0，模型的擬合效果越差，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)據(jù)的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“至多擊中一次”的事件是“至少擊中兩次”的事件的對(duì)立事件，則事件“至多擊中一次”的概率為0.3，D正確.故選：D6．C【分析】由二項(xiàng)分布的方差公式求出，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，則，若，則.所以“”是“”的充要條件.故選：C.7．A【分析】由題意根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出的值，確定質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式，即可求得答案.【詳解】由題意知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且，故，從該超市中隨機(jī)選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在的盤錦大米的袋數(shù)故，故選：A8．A【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，計(jì)算出和即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以則，所以樣本中身高不低于的約有人.故選：A.9．BD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)計(jì)算q的值，然后根據(jù)期望、方差公式及性質(zhì)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，故，因此選項(xiàng)B正確；又，所以，，，故C錯(cuò)D對(duì).故選：BD10．BD【分析】由正態(tài)分布定義可得A、C，由期望與方差的性質(zhì)計(jì)算可得B、D.【詳解】由，則，，故A、C錯(cuò)誤；，故B正確；，故D正確.故選：BD.11．BC【分析】對(duì)于A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解判斷即可；對(duì)于B，根據(jù)二項(xiàng)分布的均值和方差求解即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可判斷；對(duì)于D，結(jié)合線性回歸方程的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，將10次射擊成績(jī)從小到大排列為：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，即，則，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，所以，故C正確；對(duì)于D，數(shù)據(jù)可能都不在回歸直線上，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．/0.6/0.9【分析】利用條件概率的概率公式可求條件概率，設(shè)取得黑球的個(gè)數(shù)為，利用乘法公式可求的分布列，從而可求其期望.【詳解】，設(shè)取得黑球的個(gè)數(shù)為，則可取，又，，，故的分布列為：012故故答案為：13．【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望公式，列出方程求出、的值，進(jìn)而利用方差公式求出方差即可.【詳解】由題意知，解得，所以.故答案為：.14．【分析】首先根據(jù)甲猜對(duì)乙沒有猜對(duì)可求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率，進(jìn)而可計(jì)算在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解．根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求．【詳解】由題可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為，則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為；根據(jù)題意可知，，所以，故答案為：；．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知在的二項(xiàng)展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，若在展開式中任取3項(xiàng)，其中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則=（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，…，()，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，…，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大B．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)m的值是4C．50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)，已知，則的人數(shù)為20人D．已知隨機(jī)變量，若，則3．（2021·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2024·山東濟(jì)南·三模）某同學(xué)投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·三模）下列說法正確的是（

）A．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，直至出現(xiàn)正面向上，則停止拋擲.設(shè)隨機(jī)變量表示停止時(shí)拋擲的次數(shù)，則B．從6名男同學(xué)和3名女同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組中，隨機(jī)選取2人參加某項(xiàng)活動(dòng)，設(shè)隨機(jī)變量表示所選取的學(xué)生中男同學(xué)的人數(shù)，則C．若隨機(jī)變量，則D．若隨機(jī)變量，則當(dāng)減小，增大時(shí)，保持不變6．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于隨機(jī)變量的說法正確的是（

）A．若服從正態(tài)分布，則B．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C．若服從超幾何分布，則期望D．若服從二項(xiàng)分布，則方差三、填空題7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量，向量與向量的夾角為銳角的概率是0.5，則的值是．8．（2024·新疆烏魯木齊·一模）在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，購(gòu)買者要求直徑為，不在這個(gè)范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為；（若，則）9．（2024·河南開封·二模）袋中有個(gè)紅球，個(gè)黃球，個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，則．四、解答題10．（23-24高三上·河南駐馬店·期末）一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為.(1)已知螞蟻2秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；(2)記螞蟻4秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，求的分布列與期望.11．（2024·浙江·二模）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種元件100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：測(cè)試指標(biāo)元件數(shù)（件）121836304(1)現(xiàn)從這100件樣品中隨機(jī)抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；(2)關(guān)于隨機(jī)變量，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意正數(shù)，均有成立.（i）若，證明：；（ii）利用該結(jié)論表示即使分布未知，隨機(jī)變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內(nèi)的概率是有界的.若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據(jù)所給樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)結(jié)合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當(dāng)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率小于0.05時(shí)，可稱事件A為小概率事件）12．（23-24高二上·吉林·期末）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)在6名男志愿者和4名女志愿者，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；(2)用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望、方差.13．（2023·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）甲，乙，丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的手機(jī)充電器在某地市場(chǎng)上的占有率分別為25%，35%，40%，其充電器的合格率分別為70%，75%，80%．(1)當(dāng)?shù)毓ど藤|(zhì)檢部門隨機(jī)抽取3個(gè)手機(jī)充電器，其中由甲廠生產(chǎn)的手機(jī)充電器數(shù)目記為，求的概率分布列，期望和方差；(2)現(xiàn)從三個(gè)廠家生產(chǎn)的手機(jī)充電器中隨機(jī)抽取1個(gè)，發(fā)現(xiàn)它是不合格品，求它是由甲廠生產(chǎn)的概率．14．（2024·遼寧撫順·三模）某市共有教師1000名，為了解老師們的寒假研修情況，評(píng)選研修先進(jìn)個(gè)人，現(xiàn)隨機(jī)抽取了10名教師利用“學(xué)習(xí)APP”學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，時(shí)長(zhǎng)不低于80小時(shí)的教師評(píng)為“研修先進(jìn)個(gè)人”．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取3名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)，求這3名教師中恰有2名教師是研修先進(jìn)個(gè)人的概率．(2)若該市所有教師的學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)近似地服從正態(tài)分布，其中為抽取的10名教師學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①試估計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)不低于50小時(shí)的教師的人數(shù)（結(jié)果四舍五人到整數(shù)）；②若從該市隨機(jī)抽取的名教師中恰有名教師的學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)，則為何值時(shí)，的值最大？附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．參考答案：題號(hào)123456答案CDBABDBCDACD1．C【分析】首先通過二項(xiàng)式定理得出在的二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)有3項(xiàng)，無理項(xiàng)有8項(xiàng)，然后結(jié)合超幾何分布求得相應(yīng)的概率，進(jìn)而結(jié)合均值公式即可得解.【詳解】的二項(xiàng)展開式為，由題意，解得，若要取到有理項(xiàng)，則需要能被3整除，則，即在的二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)有3項(xiàng)，無理項(xiàng)有8項(xiàng)，若在展開式中任取3項(xiàng)，其中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，可知的所有可能取值分別為0，1，2，3，，，所以.故選：C.2．D【分析】計(jì)算可得平均數(shù)不變，可得新數(shù)據(jù)極差變小，可判斷A；利用賀歸直線過樣本中心點(diǎn)，可求，可判斷B；可求得，進(jìn)而可判斷C；由已知得，計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A：新數(shù)據(jù)的總和為，與原數(shù)據(jù)的總和相等，且數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等，因此平均數(shù)不變，因?yàn)椋?，即極差變小了，由于兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，而極差變小，說明新數(shù)據(jù)相對(duì)原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)，因此方差變小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榛貧w直線方程必經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)橐荒？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)，，所以，所以，所以的人數(shù)為人，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，，解得，故D正確.故選：D.3．B【分析】利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可求得，代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，則，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.4．ABD【分析】利用全概率公式及貝葉斯公式可判定A、D選項(xiàng)，利用期望與方差公式可判定B、C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易知，故A正確；對(duì)于D，易知，故D正確；對(duì)于B、C，易知可取，則,，所以，，故B正確；C錯(cuò)誤；故選：ABD5．BCD【分析】求出判斷A；利用超幾何分布的期望公式計(jì)算判斷B；利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算判斷C，利用正態(tài)分布的特定區(qū)間的概率判斷D.【詳解】對(duì)于A，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面、反面的概率均為，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然隨機(jī)變量服從超幾何分布，則，B正確；對(duì)于C，由隨機(jī)變量，得，C正確；對(duì)于D，由正態(tài)分布的意義知，為定值，D正確.故選：BCD6．ACD【分析】A選項(xiàng)，先得到，進(jìn)而根據(jù)方差的性質(zhì)得到答案；B選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)分布求出概率，得到方程，求出，再根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出概率；C選項(xiàng)，根據(jù)超幾何分布的期望公式求出答案；D選項(xiàng)，由二項(xiàng)分布方差公式求出D正確.【詳解】對(duì)A，由于，所以，根據(jù)方差的性質(zhì)，，故A正確；對(duì)B，服從二項(xiàng)分布，∴，解得，∴，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的期望公式，，故C正確；對(duì)D，服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式得，，故D正確.故選：ACD.7．2【分析】由平面向量夾角為銳角的性質(zhì)求得的范圍，再結(jié)合正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及意義求解即可．【詳解】已知向量與向量的夾角為銳角，則，解得，且向量不能同向共線，當(dāng)時(shí)，可得，解得，所以，不是同向共線，即，又向量與向量的夾角為銳角的概率是，則，則，故答案為：2.8．0.1/【分析】依題意得，則，由，得，即可求解.【詳解】若，則）因?yàn)楣I(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，所以，則，由，得，則要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為.故答案為：##9．【分析】記取出的兩個(gè)球都是紅球?yàn)槭录?，則，即可求出，從而得到的可能取值為、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】依題意、為非負(fù)整數(shù)，記取出的兩個(gè)球都是紅球?yàn)槭录?，則，所以，解得或（舍去），所以的可能取值為、、，則，，，所以.故答案為：10．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）記螞蟻2秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則由題意可知事件包括2秒內(nèi)一直向可移動(dòng)和一次向右移動(dòng)與一次向左移動(dòng)，事件為2秒內(nèi)一次向右移動(dòng)與一次向左移動(dòng)，然后利用獨(dú)立事件的概率公式求出，再利用條件概率公式可求得