黑龍江省哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校2025屆高三上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題

哈工大附中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期10月考試（高三數(shù)學(xué)）試題時(shí)間：120分鐘分值：150分命題人：王大力校對(duì)人：王大力一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）1.已知數(shù)集滿足：，，若，則一定有：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集、并集的概念及運(yùn)算結(jié)合元素與集合的關(guān)系判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，，且，所以必有，可能且，也可能且，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A.60 B.72 C.120 D.144【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故選：B3.下列說(shuō)法正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“”是“”的充分不必要條件C.若不等式的解集為，則必有D.命題“，使得.”的否定為“，使得.”【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件分析判斷A；若，滿足，但不滿足，可得結(jié)論判斷B；根據(jù)分類討論的符號(hào)，結(jié)合一元二次不等式分析判斷；根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則，即，滿足題意，但不成立，即充分性不成立；例如，則，即，滿足題意，但不成立，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，滿足，但不滿足，故“”是“”的必要不充分條件，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；綜上所述：若不等式的解集為，則必有，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：命題“，使得.”的否定為“，使得.”，故D不正確.故選：C.4.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，解得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，則，解得，若，則，且定義域?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)為上的奇函數(shù)，綜上所述：.故選：A.5.已知向量，，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示得，再應(yīng)用齊次式運(yùn)算，由弦化切求目標(biāo)式的值.【詳解】由題設(shè)，而.故選：B6.當(dāng)陽(yáng)光射入海水后，海水中的光照強(qiáng)度隨著深度增加而減弱，可用表示其總衰減規(guī)律，其中是消光系數(shù)，（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度處和海面的光強(qiáng).已知某海域5米深處的光強(qiáng)是海面光強(qiáng)的，則該海域消光系數(shù)的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.0.2 B.0.18 C.0.1 D.0.14【答案】B【解析】【分析】理解題意，代值后，將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，取近似值計(jì)算即得.【詳解】依題意得，，化成對(duì)數(shù)式，，解得，.故選：B.7.如圖，某港口某天從6h到18h的水深y（單位：m）與時(shí)間x（單位：h）之間的關(guān)系可用函數(shù)近似刻畫(huà)，據(jù)此可估計(jì)當(dāng)天12h的水深為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可確定周期，即可求解，根據(jù)最低點(diǎn)得，即可代入求解，從而根據(jù)解析式代入即可得解.【詳解】由題圖可得，則，當(dāng)時(shí)，y取得最小值，為，得，∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，即，又，∴，∴.當(dāng)時(shí)，.故選：A.8.設(shè)，，，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，x∈0,1，求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，從而確定的大小關(guān)系.詳解】令，x∈0,1，由，∴fx在所以，即，x∈0,1，，所以；令，x∈0,1由，令，x∈0,1，，令，則，所以在x∈0,1又，，所以存在唯一，使得，即當(dāng)x∈0,x0時(shí)，h'即hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以hx的最小值為，中一個(gè)，而，，所以，即，所以在0,1上單調(diào)遞增，所以，即，x∈0,1，所以，即.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)比較大小問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，給定定義域求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性最后比較函數(shù)值大小即可判斷，例如比較，的大小時(shí)，轉(zhuǎn)換，，可構(gòu)造差函數(shù)，，求導(dǎo)數(shù)f'x結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可確定在的單調(diào)性，從而可得函數(shù)值大小，即可判斷大小關(guān)系.二．多選題（共3小題，每題6分，共18分，部分正確得部分，有錯(cuò)的得0分）9.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則向量與向量的夾角的余弦值為D.若，則向量在向量上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷A；利用向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B；求出向量夾角的余弦判斷C；求出投影向量判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，解得，A正確；對(duì)于B，由，得，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，又，則，C正確；對(duì)于D，若，則，又，于是，則向量在向量上投影向量為，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知復(fù)數(shù)z滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.z的虛部為iB.C.若復(fù)數(shù)，滿足，且，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積為2π【答案】BD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的計(jì)算先化簡(jiǎn)出復(fù)數(shù)的值，判斷A選項(xiàng)；利用模長(zhǎng)公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，判斷BC選項(xiàng)；復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義點(diǎn)到點(diǎn)的距離，從而得出表示一個(gè)圓，計(jì)算出圓的面積判斷D選項(xiàng).【詳解】，虛部為1，選項(xiàng)A不正確；，，∴選項(xiàng)B正確；，則，設(shè)，則，∴，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑的圓，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積為2π，選項(xiàng)D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為πB.直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸C.若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D.將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將所得的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，函數(shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求最小正周期可判斷A，代入檢驗(yàn)法可判斷B，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，利用三角函數(shù)的圖象變換和性質(zhì)可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期為，故A正確；又由，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)椋愠闪?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為，故C正確；由題意得函數(shù)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三.填空題（共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，，求的值________.【答案】【解析】【分析】注意到，從而直接代入求解即可.【詳解】.故答案為：.13化簡(jiǎn)：____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用輔助角公式、平方關(guān)系及正弦和余弦倍角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】原式，故答案為：.14.某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過(guò)程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少．經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少萬(wàn)元．已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過(guò)10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的，設(shè)備將報(bào)廢，但若每年花費(fèi)1萬(wàn)元進(jìn)行設(shè)備維護(hù)，則可使設(shè)備的使用年限提升至20年，每經(jīng)過(guò)一年其價(jià)值就會(huì)減少萬(wàn)元，超過(guò)20年，它的價(jià)值將低于所有花費(fèi)的，設(shè)備將報(bào)廢，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知設(shè)等差數(shù)列及公差，基本量運(yùn)算得出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用列不等式組計(jì)算即可【詳解】設(shè)該設(shè)備使用年后，設(shè)備的價(jià)值為萬(wàn)元，則可得數(shù)列an，由已知可得，即公差為，因?yàn)橘?gòu)進(jìn)價(jià)格為220萬(wàn)元，所以，所以，由題可知即解得．故答案為：．四．解答題（共5小題，共77分）15.在中，若．（1）求角B的大小；（2）若不是鈍角三角形，且，求a、c的值．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角求解即得.（2）根據(jù)給定條件，利用（1）的結(jié)論及余弦定理求解即得.【小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理，得，而，解得，又，所以或.【小問(wèn)2詳解】由（1）及不是鈍角三角形，得，由余弦定理，得，即，而，則，又，所以.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再由整體角范圍求解不等式可得單調(diào)區(qū)間；（2）由伸縮變換與平移變換得解析式，得，根據(jù)整體角范圍求余弦值，再由角的關(guān)系，利用兩角和的余弦公式求解可得.【小問(wèn)1詳解】.由，解得即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），則得到函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，所以.若，則，.由，得，又，所以，則，故.故的值為.17.一塊長(zhǎng)方形魚(yú)塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚(yú)塘內(nèi)建3條如圖所示的觀光走廊OE，EF，OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD上，且．（1）設(shè)，試將的周長(zhǎng)l表示成的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費(fèi)用均為4000元，試問(wèn)如何設(shè)計(jì)才能使建設(shè)總費(fèi)用最低并求出最低總費(fèi)用．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；元.【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出邊長(zhǎng)，即可寫(xiě)出的周長(zhǎng)表達(dá)式，在使實(shí)際問(wèn)題有意義的基礎(chǔ)上可求得定義域.（2）根據(jù)題意可知即求函數(shù)的最小值，利用換元法將函數(shù)化簡(jiǎn)，結(jié)合的范圍，即可求出函數(shù)的最小值和最低總費(fèi)用.【小問(wèn)1詳解】在Rt中，，，所以，在Rt中，，即，又，所以，所以的周長(zhǎng)，即;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，角最小，此時(shí);當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，角最大，此時(shí);故此函數(shù)的定義域是【小問(wèn)2詳解】由題意可知，只需求出的周長(zhǎng)的最小值即可設(shè)，則，則原函數(shù)可化簡(jiǎn)為，因?yàn)?，所以，，則，則從而則當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；即當(dāng)米時(shí)，鋪路總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用為元.18.設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）若，（?。┣蟮耐?xiàng)公式；（ⅱ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．（2）若為等差數(shù)列，且，求．【答案】（1）（?。唬áⅲ?）【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計(jì)算以及的定義即可求解；（2）由等差數(shù)列前n項(xiàng)和基本量的計(jì)算結(jié)合分類討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】（?。┯?，得，解得，則，又，有，即，解得或（舍去），所以.（ⅱ），則，則.【小問(wèn)2詳解】若bn為等差數(shù)列，則有，即，得，即，解得或，由，則，又，，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，得，即，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得.時(shí)，，，符合題意，所以等差數(shù)列an的公差.19.設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱為D上的“凸函數(shù)”．已知函數(shù)．（1）若為上的“凸函數(shù)”，求a的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由“凸函數(shù)”定義可得f'x在區(qū)間D上單調(diào)遞減，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值可得；（2）令，結(jié)合的單調(diào)性與三角函數(shù)的有界性，分區(qū)間討論的單調(diào)性與函數(shù)值的符號(hào)變化即可.【小問(wèn)1詳解】由，則.由題意可知，為上的“凸函數(shù)”，則f'x在區(qū)間上單調(diào)遞減，設(shè)，則，所以在恒成立，則在恒成立，又當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值為，所以有，解得，即a的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由得.令，其中，則，其中.①當(dāng)時(shí)，則，，所以，則在單調(diào)遞增，則恒成立，即在無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，令，其中，由在單調(diào)遞增，又，故存在，使得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；由，故存在，使，即，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；又，故當(dāng)時(shí)，，即無(wú)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由，則，故故在單調(diào)遞增，，且，故由