全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題7解析幾何

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺(tái)--教育因你我而變好教育云平臺(tái)--教育因你我而變解析幾何考點(diǎn)：1．直線方程與圓的方程（1）直線方程的五種形式名稱方程形式適用條件點(diǎn)斜式y(tǒng)?不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)=kx+b兩點(diǎn)式不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線截距式不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0(A，B可以表示所有類型的直線（2）兩條直線平行與垂直的判定①兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，②兩條直線垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1（3）兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1x+B1則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組（4）三種距離公式①P1(x1，②點(diǎn)P0(x0，y0③平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+（5）圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x?a圓心：(a，b)一般方程x2(圓心：，半徑：（6）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，①若M(x0，②若M(x0，③若M(x0，2．直線、圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r（2）圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R，r(R>r)，則位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210d，R，r的關(guān)系d>R+rd=R+rR?r<d<R+rd=R?rd<R?r公切線條數(shù)432103．圓錐曲線及其性質(zhì)（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(?cF1(0頂點(diǎn)坐標(biāo)，A2(a，0)，，B2長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸A1A2短軸短軸B1B2焦距焦距F1F2范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a離心率，越接近1，橢圓越扁；e越接近0，橢圓越圓（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形一般方程m幾何性質(zhì)范圍|x|≥a，y|y|≥a，x焦點(diǎn)F1(?cF1(0頂點(diǎn)A1(?aA1(0對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱實(shí)、虛軸長(zhǎng)線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|=2a；線段焦距焦距|F1F離心率漸近線方程（3）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)方程標(biāo)準(zhǔn)y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0對(duì)稱軸y=0(x軸)x=0(y軸)焦點(diǎn)離心率e=1準(zhǔn)線方程范圍x≥0，yx≤0，yy≥0，xy≤0，x焦半徑(其中P(4．圓錐曲線的綜合問題（1）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)=0，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量即聯(lián)立，消去y，得ax2①當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0則Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；Δ=0?直線與圓錐曲線C相切；Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．②當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．（2）圓錐曲線的弦長(zhǎng)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，M(x則或．進(jìn)階訓(xùn)練：一、選擇題．1．已知直線l:kx+y+4=0(k∈R)是圓C:x2兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則三角形PAB的面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橹本€kx+y+4=0是圓C:x所以直線kx+y+4=0過圓心，即3k?1+4=0，k=?1，所以點(diǎn)P1，?1因?yàn)閳AC的半徑r=1，所以切線長(zhǎng)PA=且在直角三角形中，所以∠APC=∠BPC=30°，∠APB=60°所以三角形PAB的面積，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了直線與圓的位置關(guān)系，以及切線長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題．2．已知x，y都是實(shí)數(shù)，則“x+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】x+y≤2表示的區(qū)域是以x2+y所以x2+y【點(diǎn)評(píng)】本題考查必要不充分條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是q的必要不充分條件，則q對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是q的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是q的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是q的既不充分又不必要條件，則對(duì)的集合與q對(duì)應(yīng)集合互不包含．3．已知圓O:x2+y2=r2r>0與x軸的交點(diǎn)為A、B，以A、B為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支與圓O交于P、A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知PQ為OB的中垂線，因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為?r，0、r，0，所以聯(lián)立，解得，可取，，所以雙曲線的焦距為2c=2r，即c=r，因?yàn)?，，由雙曲線定義可得2a=PA?PB所以雙曲線的離心率，故選A．【點(diǎn)評(píng)】求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率．4．過點(diǎn)P(x，y)作圓C1:x2+y2=1與圓A．2 B．2 C．22 D．【答案】B【解析】如圖所示，由圓的切線的性質(zhì)得C1在Rt△PAC1由題知PA=∴PC1=P由題知C1(0，0)，C2(2，C1與C2所在直線的斜率為∴P，Q所在直線l1∴直線l1的方程為y=?1×(x?1)+1，即y=?x+2點(diǎn)P(x，y)在y=?x+2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足所以x2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓相切的性質(zhì)及函數(shù)的最值；解題方法是根據(jù)已知條件，將x2+y2表示為只含有一個(gè)未知數(shù)x的函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的特征求出其最小值；解題的關(guān)鍵點(diǎn)是找出點(diǎn)P所在的一條直線，進(jìn)而用一個(gè)未知數(shù)5．已知拋物線，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于兩點(diǎn)Ax1，y且拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線為，代入拋物線方程得y2由直線上兩點(diǎn)Ax1，y1，A正確；，B正確；∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為，故，，，當(dāng)m≠0時(shí)，MA?MB≠0，即由，D正確，綜上所述，本題選C，故選C．【點(diǎn)評(píng)】（1）坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法；（2）拋物線的焦點(diǎn)弦的常用性質(zhì)：①弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p；②，；③以6．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，直線交雙曲線于P?Q兩點(diǎn)(P在第一象限)，直線PA與線段FQ交于點(diǎn)B，若FB=2BQ，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】依題意可得A?a，0因?yàn)镻在第一象限，所以k>0，設(shè)Px1，y1消去y得b2?a所以，，設(shè)Bm，n，由FB=2BQ即，即，解得，即，因?yàn)锽、A、P在一條直線上，所以kAP即，即，即2ab+2ab所以2ab2?a所以，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．二、填空題．7．已知雙曲線與拋物線C2：的焦點(diǎn)F重合，過點(diǎn)F作直線l與拋物線C2交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在x軸上方）且滿足AF=3BF，若直線l只與雙曲線右支相交于兩點(diǎn)，則雙曲線C1【答案】1【解析】設(shè)直線l的傾斜角θ，直線l與拋物線C2交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在x則為銳角，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)記為P，過A、B分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為C、D，過B向AC作垂線，垂足為E，設(shè)直線與x軸交點(diǎn)記為Q，過A向x軸作垂線，垂足為G，由拋物線的定義AF=因?yàn)镚F=AFcos∴，BF=因?yàn)镕Q=BFcosθ，由，則，由直線l只與雙曲線右支相交于兩點(diǎn)，則，則，由e∈1，故答案為1，【點(diǎn)評(píng)】求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率．8．設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B，且，則【答案】2【解析】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為設(shè)直線AB的方程為y=kx?1，代入y2=4x設(shè)Ax1，y1，B由拋物線的定義可得AF=x1由，得，即，由，即，解得或x2=?2（舍），所以x1所以，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線中過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是方程聯(lián)立得到x1x2=1，由拋物線的定義可得：AF=三、解答題．9．已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l:y=2x+a與拋物線C交于A（1）若a=?1，求△FAB（2）已知圓M:(x?3)2+y2=4，過點(diǎn)P(4，4)作圓求證：直線DE與圓M相切．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)A(x把y=2x?1方程代入拋物線y2=4x，可得，，∴|AB|=點(diǎn)F到直線l的距離，．（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為，由直線與圓M相切得，可得，設(shè)切線PD，PE的斜率分別為t1，t把代入拋物線方程可得，則4，y1是方程的兩根，可得，同理．則有，，直線，即為，則圓心(3，0)到直線DE的距離為由，代入上式，化簡(jiǎn)可得d=2，所以直線DE與圓M相切．【點(diǎn)評(píng)】證明直線與圓相切，求出直線的方程，圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離求出圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)求值等于半徑即可．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為A(?2，0)，過點(diǎn)A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．（1）求橢圓C的方程；（2）已知P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若過O點(diǎn)作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求的最小值．【答案】（1）；（2）存在，；（3）22．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，左頂點(diǎn)為A(?2，0)，所以a=2，又，所以c=1，可得b2=所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線l的方程為y=k(x+2)，由，可得(x+2)(4k所以x1=?2，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，直線l的方程為y=k(x+2)，令x=0，得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m，n)(m≠0)，使得則kOP?k所以(4m+6)k?3n=0，所以，即，所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．（3）因?yàn)椋設(shè)M的方程可設(shè)為，和聯(lián)立可得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為22．【點(diǎn)評(píng)】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為Ax1，（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1（5）代入韋達(dá)定理求解．11．已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2=8x的焦點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）記橢圓C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，M是直線x=1上任意一點(diǎn)，直線，與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為D，E．求證：直線DE過定點(diǎn)H(4，0)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率，所以，即．由y2=8x，得2p=8，所以p=4，其焦點(diǎn)為因?yàn)閽佄锞€y2=8x的焦點(diǎn)所以a=2，所以c=1，所以橢圓C的方程為．（2）由（1）可得A(?2，0)，B(2，0)，設(shè)點(diǎn)直線的方程為．將與聯(lián)立，消去y整理得：4m設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為xD，y故，則．直線的方程為，將與聯(lián)立，消去y整理得4m設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為xE，y故，則，直線HD的斜率為，直線HE的斜率為．因?yàn)閗1=k2，所以直線【點(diǎn)評(píng)】通過HD和HE的斜率相等來證明直線DE過定點(diǎn)H(4，12．已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)F，AF=3．過F且斜率存在的直線交橢圓于P，N兩點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，是否存在常數(shù)λ，使得k1=λk【答案】（1）；（2）λ=3．【解析】（1）因?yàn)殡x心率為，所以，又AF=3，所以a+c=3，解得a=2，c=1又c2=a所以橢圓方程為．（2）由（