人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：2 1 2 兩條直線平行和垂直的判定

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE12．1.2兩條直線平行和垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.2.會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直3.運(yùn)用兩直線平行和垂直時(shí)的斜率關(guān)系解決相應(yīng)的幾何問題．知識(shí)點(diǎn)一兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示知識(shí)點(diǎn)二兩條直線垂直的判定圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2思考兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？〖答案〗不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．1．若l1∥l2，則k1＝k2.(×)2．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．(×)3．若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．(√)一、兩條直線平行的判定例1已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形，并給出證明．解四邊形ABCD是平行四邊形，證明如下：AB邊所在直線的斜率kAB＝－eq\f(1,2)，CD邊所在直線的斜率kCD＝－eq\f(1,2)，BC邊所在直線的斜率kBC＝eq\f(3,2)，DA邊所在直線的斜率kDA＝eq\f(3,2).因?yàn)閗AB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.因此四邊形ABCD是平行四邊形．反思感悟判斷兩條不重合的直線是否平行的方法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知l1經(jīng)過點(diǎn)A(－3,2)，B(－3,10)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(5，－2)，N(5,5)，判斷直線l1與l2是否平行．解∵l1與l2都與x軸垂直，且l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.(2)試確定m的值，使過點(diǎn)A(m＋1,0)，B(－5，m)的直線與過點(diǎn)C(－4,3)，D(0,5)的直線平行．解由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在．kAB＝eq\f(m－0,－5－m＋1)＝eq\f(m,－6－m)，kCD＝eq\f(5－3,0－－4)＝eq\f(1,2)，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即eq\f(m,－6－m)＝eq\f(1,2)，得m＝－2.經(jīng)驗(yàn)證m＝－2時(shí)直線AB的斜率存在，所以m＝－2.二、兩條直線垂直的判定例2已知△ABC的頂點(diǎn)為A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．解若∠A為直角，則AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(1＋1,1－5)＝－1，解得m＝－7；若∠B為直角，則AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq\f(1＋1,1－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝3；若∠C為直角，則AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝±2.綜上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.反思感悟判斷兩條直線是否垂直在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時(shí)，這兩條直線也垂直．跟蹤訓(xùn)練2判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直．(1)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10,2)，B(20,3)；(2)l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)，B(3,10)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(－10,40)，N(10,40)．解(1)k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.(2)l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸；k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，則l2∥x軸，∴l(xiāng)1⊥l2.垂直與平行的綜合應(yīng)用典例已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀．解由題意知A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，如圖所示，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－－4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD與BC不平行．又因?yàn)閗AB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形．〖素養(yǎng)提升〗用代數(shù)運(yùn)算解決幾何圖形問題(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測(cè)，然后利用直線的斜率關(guān)系進(jìn)行判定．(2)明確運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，是對(duì)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查．1．若過點(diǎn)P(3,2m)和點(diǎn)Q(－m，2)的直線與過點(diǎn)M(2，－1)和點(diǎn)N(－3,4)的直線平行，則m的值是()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．2D．－2〖答案〗B〖解析〗由kPQ＝kMN，即eq\f(2m－2,3－－m)＝eq\f(4－－1,－3－2)，得m＝－eq\f(1,3).經(jīng)檢驗(yàn)知，m＝－eq\f(1,3)符合題意．2．已知直線l1的斜率為a，l2⊥l1，則l2的斜率為()A.eq\f(1,a) B．－eq\f(1,a)C．a(chǎn) D．－eq\f(1,a)或不存在〖答案〗D〖解析〗當(dāng)a≠0時(shí)，由k1·k2＝－1知，k2＝－eq\f(1,a)，當(dāng)a＝0時(shí)，l2的斜率不存在．3．已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個(gè)根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．可能重合 D．無法確定〖答案〗B〖解析〗由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有兩相異實(shí)根，即l1與l2的斜率k1，k2均存在．設(shè)兩根為x1，x2，則k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故選B.4．(多選)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是α1，α2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是()A．若l1∥l2，則斜率k1＝k2B．若k1＝k2，則l1∥l2C．若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2D．若α1＝α2，則l1∥l2〖答案〗ABCD5．若不同兩點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3－b，3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．〖答案〗－1〖解析〗