2025版新教材高中數(shù)學第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.6函數(shù)的應(yīng)用二課時作業(yè)新人教B版必修第二冊

PAGEPAGE14．6函數(shù)的應(yīng)用(二)必備學問基礎(chǔ)練進階訓練第一層1．某公司為適應(yīng)市場需求，對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長快速，后期增長越來越慢．若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用()A.一次函數(shù)B．二次函數(shù)C.指數(shù)型函數(shù)D．對數(shù)型函數(shù)2．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，其次年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.eq\f(p＋q,2)B．eq\f(（1＋p）（1＋q）－1,2)C.eq\r(pq)D．eq\r(（1＋p）（1＋q）)－13．某公司為激勵創(chuàng)新，安排逐年加大研發(fā)獎金投入．若該公司2016年全年投入研發(fā)獎金130萬元．在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎金起先超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2024年B．2024年C.2024年D．2024年4．我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求．音量大小的單位是分貝(dB)，對于一個強度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計算：η＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度).設(shè)η1＝70dB的聲音強度為I1，η2＝60dB的聲音強度為I2，則I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍B．10倍C.10eq\f(7,6)倍D．lneq\f(7,6)倍5．某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為y＝xα(α為常數(shù))，其中x不超過5萬元．已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預料今年藥品利潤為________萬元．6．2024年某地官方數(shù)字顯示：該地區(qū)人口約有60萬，但其人口總數(shù)在過去40年內(nèi)翻了一番，問該地區(qū)每年人口的平均增長率是多少？以下數(shù)據(jù)供計算時運用：真數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000對數(shù)lgN0.00430.00650.00730.11730.3010關(guān)鍵實力綜合練進階訓練其次層7．下面給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A.指數(shù)函數(shù)：y＝2tB．對數(shù)函數(shù)：y＝log2tC.冪函數(shù)：y＝t3D．二次函數(shù)：y＝2t28．(多選)如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t(月)的近似函數(shù)關(guān)系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的圖象，則()A.第3個月有害物質(zhì)的剩留量是eq\f(2,27)B.第4個月時，剩留量就會低于eq\f(1,5)C.每月削減的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等D.當剩留量為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)時，所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t39．(多選)江蘇省高郵市素有“魚米之鄉(xiāng)”之稱，高郵城西有風光秀麗的高郵湖，湖內(nèi)盛產(chǎn)花鰱魚，記花鰱魚在湖中的游速為vm/s，花鰱魚在湖中的耗氧量的單位數(shù)為x，經(jīng)探討發(fā)覺，花鰱魚的游速v與log2eq\f(x,100)(x≥100)成正比，經(jīng)測定，當花鰱魚的耗氧量為200單位時，其游速為eq\f(1,2)m/s.則下列說法正確的是()A.v＝eq\f(1,2)log2eq\f(x,100)(x≥100)B.當花鰱魚靜止時，耗氧量為100單位C.當花鰱魚的耗氧量為400單位時，其游速為2m/sD.若某條花鰱魚的游速提高了1m/s，則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的2倍10．在一次數(shù)學試驗中，應(yīng)用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02給出下列幾個函數(shù)：①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋eq\f(b,x).其中可以近似表示這些數(shù)據(jù)滿意的規(guī)律的是________．11．有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，中國某行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾在2015年約為400萬噸，2016年的年增長率為50%，有專家預料，假如不實行措施，將來包裝垃圾還將以此增長率增長，從________年起先，該行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾將超過4000萬噸．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)12．一個駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度削減，為了保障交通平安，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么這個駕駛員至少要經(jīng)過________小時才能開車．(精確到1小時，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)核心素養(yǎng)升級練進階訓練第三層13．為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數(shù))，如圖所示，依據(jù)圖中供應(yīng)的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放起先，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為________；(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放起先，至少須要經(jīng)過________小時后，學生才能回到教室．14．美國對中國芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國“芯”的探討熱潮．某公司研發(fā)的A，B兩種芯片都已經(jīng)獲得勝利．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2千萬元，現(xiàn)在打算投入資金進行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預料，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)B芯片的毛收入y(千萬元)與投入的資金x(千萬元)的函數(shù)關(guān)系為y＝kxa(x>0)，其圖象如圖所示．(1)試分別求誕生產(chǎn)A，B兩種芯片的毛收入y(千萬元)與投入資金x(千萬元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)假如公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？(3)現(xiàn)在公司打算投入4億元資金同時生產(chǎn)A，B兩種芯片，設(shè)投入x千萬元生產(chǎn)B芯片，用f(x)表示公司所獲凈利潤，當x為多少時，可以獲得最大凈利潤？并求出最大凈利潤．(凈利潤＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研發(fā)耗費資金)4．6函數(shù)的應(yīng)用(二)1．答案：D解析：由題意分析，符合對數(shù)型函數(shù)的特點．2．答案：D解析：設(shè)年平均增長率為x，則有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(（1＋p）（1＋q）)－1.3．答案：C解析：設(shè)第x年的研發(fā)獎金為200萬元，則由題意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq\f(20,13)，∴x＝log1.12eq\f(20,13)＝log1.1220－log1.1213＝eq\f(lg20,lg1.12)－eq\f(lg13,lg1.12)＝eq\f(（lg2＋lg10）－（lg1.3＋lg10）,lg1.12)≈eq\f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200萬元，第4年超過200萬元，即2024年超過200萬元．4．答案：B解析：依題意可知，η1＝10lgeq\f(I1,I0)，η2＝10lgeq\f(I2,I0)，所以η1－η2＝10lgeq\f(I1,I0)－10lgeq\f(I2,I0)，則1＝lgI1－lgI2，所以eq\f(I1,I2)＝10.5．答案：125解析：由已知投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函數(shù)關(guān)系式為y＝x3，所以當x＝5時，y＝125.6．解析：設(shè)該地區(qū)每年人口的平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，則y·(1＋x)n＝60，則當n＝40時，y＝30，即30(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2，兩邊取對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，則lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.007525，∴1＋x≈1.017，解得x≈1.7%.7．答案：A解析：由題干中的圖象可知，該函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)模型．8．答案：BD解析：由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2，eq\f(4,9))，故函數(shù)的關(guān)系式為y＝(eq\f(2,3))t.當t＝3時，y＝(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，故A錯誤；當t＝4時，y＝eq\f(16,81)<eq\f(1,5)，故B正確；當t＝1時，y＝eq\f(2,3)，削減eq\f(1,3)，當t＝2時，y＝eq\f(4,9)，削減eq\f(2,9)，故每月削減的有害物質(zhì)質(zhì)量不相等，故C錯誤；分別令y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，解得t1＝logeq\f(2,3)eq\f(1,2)，t2＝logeq\f(2,3)eq\f(1,4)，t3＝logeq\f(2,3)eq\f(1,8)，所以t1＋t2＝t3，故D正確．9．答案：AB解析：因為花鰱魚的游速v與log2eq\f(x,100)(x≥100)成正比，所以設(shè)v＝k·log2eq\f(x,100)，又因為當x＝200時，v＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)＝k·log2eq\f(200,100)，解得k＝eq\f(1,2)，所以v＝eq\f(1,2)log2eq\f(x,100)(x≥100)，故A正確；當花鰱魚靜止時即v＝0，得eq\f(1,2)log2eq\f(x,100)＝0，解得x＝100，故B正確；當花鰱魚的耗氧量為400單位時，即x＝400，得v＝eq\f(1,2)log2eq\f(400,100)＝eq\f(1,2)log24＝1m/s，故C錯誤；設(shè)花鰱魚起先的游速為v0，耗氧的單位數(shù)為x0，則后來的速度為v1，設(shè)提速后的耗氧單位數(shù)為x1，因為v1＝v0＋1＝eq\f(1,2)log2eq\f(x0,100)＋1＝eq\f(1,2)(log2eq\f(x0,100)＋2)＝eq\f(1,2)log2eq\f(4x0,100)，又因為v1＝eq\f(1,2)·log2eq\f(x1,100)，即eq\f(1,2)log2eq\f(4x0,100)＝eq\f(1,2)log2eq\f(x1,100)，所以x1＝4x0，即耗氧量的單位數(shù)是原來的4倍，故D錯誤．10．答案：②解析：由題中表格數(shù)據(jù)畫出函數(shù)的大致圖象，可知這些數(shù)據(jù)滿意的規(guī)律近似于指數(shù)函數(shù)．11．答案：2024解析：設(shè)該行業(yè)生產(chǎn)的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2015年起先增加的年份的數(shù)量，由題意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×(eq\f(3,2))n，當y＝4000時，有(eq\f(3,2))n＝10，兩邊取對數(shù)可得n(lg3－lg2)＝1，∴n(0.4771－0.3010)＝1，解得n≈6，∴從2015＋6＝2024年起先，該行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾將超過4000萬噸．12．答案：5解析：設(shè)經(jīng)過n小時后才能開車，此時酒精含量為0.3(1－0.25)n.依據(jù)題意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式兩邊取常用對數(shù)，則有nlgeq\f(3,4)＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，將已知數(shù)據(jù)代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq\f(13,3)＝4eq\f(1,3)，故至少經(jīng)過5小時才能開車．13．答案：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,（\f(1,16)）t－0.1，t>0.1))(2)0.6解析：(1)因為藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比，則設(shè)函數(shù)為y＝kt(k>0)，將點(0.1，1)代入y＝kt，可得k＝10，所以y＝10t，將點(0.1，1)代入y＝(eq\f(1,16))t－a，得a＝0.1，故所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,（\f(1,16)）t－0.1，t>0.1.))(2)由(eq\f(1,16))t－0.1＝0.25＝????\??\lc\(\rc\)(\a\vs4\????\????即至少要經(jīng)過0.6小時后，學生才能回到教室．14．解析：(1)設(shè)投入資金x千萬元，則生產(chǎn)A芯片的毛收入y＝eq\f(x,4)(x>0).將(1，1)，(4，2)代入y＝kxa，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,k·4a＝2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,a＝\f(1,2)，))∴生產(chǎn)B芯片的毛收入y＝eq\r(x)(x>0).(2)由eq\f(x,4)>eq\r(x)，得x>16；由eq\