云南省曲靖市2025屆高三數(shù)學(xué)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析VIP

云南省曲靖市2024屆高三數(shù)學(xué)第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題（本卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘）留意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，將對(duì)應(yīng)的字母填在答題卡相應(yīng)位置上，在試題幕上作答無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.（－2，2） B.[0，3）C.（－2，3） D.（－2，3]【答案】C【解析】【分析】求一元二次不等式與分式不等式的解集再求兩者的并集即可.【詳解】∵，，∴.故選：C2.假如一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)新定義求得a的值，代入求得復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，可得復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】∵，又∵“等部復(fù)數(shù)”的實(shí)部和虛部相等，復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，∴，解得，∴，∴，即：，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限.故選：A.3.在扇形COD中，．設(shè)向量，，則（）A.－4 B.4 C.－6 D.6【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式求解即可.【詳解】∵，，∴，，，∴.故選：D.4.如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成，圓錐的高是0.4m，底面直徑和球的直徑都是0.6m，現(xiàn)對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂膠，假如每平方米須要涂200克，則共需涂膠（）克（精確到個(gè)位數(shù)）A.176 B.207 C.239 D.270【答案】B【解析】【分析】求出圓錐的母線長(zhǎng)，再由臺(tái)燈是由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組成可求得臺(tái)燈表面積的值，進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).【詳解】由已知得圓錐的母線長(zhǎng)，所以臺(tái)燈表面積為，須要涂膠的重量為（克），故選：B.5.已知奇函數(shù)圖像的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為2π，將的圖像向右平移個(gè)單位得函數(shù)的圖像，則的圖像（）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)條件求出，，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸辨析即可.【詳解】相鄰兩對(duì)稱中心的距離為，則，．已知為奇函數(shù)，依據(jù)可知，則，．令，，故A錯(cuò)誤，B正確；令，，故C、D錯(cuò)誤．故選：B．6.若,則在“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡臈l件下,“函數(shù)為奇函數(shù)”的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先列出全部的結(jié)果數(shù),由于函數(shù)的定義域?yàn)?則,恒成立,可得,在全部結(jié)果數(shù)中選出滿意的狀況,求出概率,依據(jù)為奇函數(shù)可得或,在全部結(jié)果數(shù)中選出同時(shí)滿意兩個(gè)事務(wù)狀況,求出其概率,再依據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解:用全部的有序數(shù)對(duì)表示滿意的結(jié)果，則全部的狀況為:,共9種,記“函數(shù)的定義域?yàn)椤睘槭聞?wù)A,因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?所以,恒成立,即,即,其中滿意的基本領(lǐng)件有:共6種,故．記“函數(shù)為奇函數(shù)”為事務(wù)B．已知是奇函數(shù),且定義域?yàn)?則,即,即,解得或．滿意或的狀況有共3種,所以,即同時(shí)滿意事務(wù)A和事務(wù)B的狀況有共3種,故,所以.故選:C7.已知綻開(kāi)式中x的系數(shù)為q，空間有q個(gè)點(diǎn)，其中任何四點(diǎn)不共面，這q個(gè)點(diǎn)可以確定的直線條數(shù)為m，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的三角形個(gè)數(shù)為n，以這q個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以確定的四面體個(gè)數(shù)為p，則（）A.2024 B.2024 C.40 D.50【答案】D【解析】【分析】依據(jù)條件可得綻開(kāi)式中含x的項(xiàng)為6x，則．進(jìn)而可求得答案.【詳解】的綻開(kāi)式中含x的項(xiàng)為：，的綻開(kāi)式中含x的項(xiàng)為：，所以，的綻開(kāi)式中含x的項(xiàng)為6x，其系數(shù)．依題意得，故選：D．8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別得出，，從而得出答案．【詳解】令，則，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即，所以，即．綜上，．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)且漸近線方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.C的離心率為C.曲線經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)D.C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出雙曲線方程，再逐項(xiàng)計(jì)算推斷作答.【詳解】因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，則設(shè)雙曲線C：，又點(diǎn)在雙曲線C上，有，即雙曲線C的方程為，A錯(cuò)誤；雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，雙曲線C的離心率，B錯(cuò)誤；雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中滿意，C正確；雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離，D正確．故選：CD10.已知，且則下列結(jié)論肯定正確的有（）A. B.C.ab有最大值4 D.有最小值9【答案】AC【解析】【分析】A、C選項(xiàng)，分別依據(jù)基本不等式計(jì)算即可得到；B選項(xiàng)找出反例即可；D選項(xiàng)由基本不等式“1”的代換計(jì)算，漏除了4.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，找反例，當(dāng)時(shí)，，，，B不正確；C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；D選項(xiàng)，，D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的解析式可得推斷A，依據(jù)函數(shù)的定義域可推斷B，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的值域推斷C，利用數(shù)形結(jié)合可推斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔆正確；由可得，則函數(shù)與有四個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的大致圖象，由圖象可知函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為底面的中心，是棱上一點(diǎn)，且，，為線段的中點(diǎn)，給出下列命題，其中正確的是（）A.與共面；B.三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)；C.當(dāng)時(shí)，；D.當(dāng)時(shí)，過(guò)，，三點(diǎn)平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為．【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：可得，可推斷；對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)到平面的距離為定值，且的面積為定值可推斷；對(duì)于選項(xiàng)C：分別求出的長(zhǎng)，驗(yàn)證是否滿意勾股定理，從而推斷;對(duì)于選項(xiàng)D：先將過(guò)，，的截面分析做出，再求周長(zhǎng)可推斷.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：在中，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由，因?yàn)榈狡矫婢嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無(wú)關(guān)，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，,可得，，取的中點(diǎn)分別為，連接,則在直角三角形中,則，所以不成立，所以C不正確．對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，取,連接,則,又所以所以共面,即過(guò)，，三點(diǎn)的正方體的截面為，由,則是等腰梯形,且所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，所以D正確；故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為α，則________．【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案.【詳解】，，即，，，利用三角函數(shù)定義，．故答案為：.14.已知隨機(jī)變量，若，則p＝_____．【答案】##0.25【解析】【分析】由可得，進(jìn)而可求解答案.【詳解】已知X～B（2，p），則，∴，解得或（因?yàn)?＜p＜1，故舍去）．故答案為：．15.已知直線與圓C：相交于點(diǎn)A，B，若是正三角形，則實(shí)數(shù)________【答案】##0.5【解析】【分析】由是正三角形得到圓心點(diǎn)到直線的距離為，從而用點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，由可得，因?yàn)槭钦切?，所以點(diǎn)到直線的距離為,即，兩邊平方得，解得.故答案為:.16.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓與拋物線的公共點(diǎn)，，關(guān)于軸對(duì)稱且位于軸右側(cè)，，則橢圓的離心率的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立拋物線與橢圓方程，消元、解得或，再分和兩種狀況探討，當(dāng)時(shí)求出、的坐標(biāo)，由，即可得到關(guān)于的不等式，解得即可.【詳解】解：聯(lián)立拋物線與橢圓的方程消去整理得到，解得或．①時(shí)，代入解得，已知點(diǎn)位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)，則，此時(shí)，與沖突，不合題意．②時(shí)，代入解得．已知點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱且位于軸右側(cè)，取交點(diǎn)、，已知，則軸，．此時(shí)，即，兩端同除以可得：，解得．因?yàn)椋?，所以．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在①，②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后求解．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，．（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，假如兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）（1）請(qǐng)寫出你的選擇，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）選①，；選②，.（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量代入方程組求解即可.（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，，，選①，由題意知，，，所以，，即：，.選②，由題意知，，,所以，，即：，.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）得，∴①，②，①②得：，∴．又∵對(duì)，恒成立，∴．18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)依次是a，b，c，，．（1）求角B的大小；（2）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求∠BAC的平分線AD的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊，再應(yīng)用余弦定理可解得角B.（2）由余弦定理與重要不等式可得△ABC面積最大時(shí)a、c的值，在△ABD中應(yīng)用正弦定理可解得AD的值.【小問(wèn)1詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴由余弦定理得，又∵，∴．【小問(wèn)2詳解】在△ABC中，由余弦定理得，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，，又∵△ABC面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)△ABC面積最大．當(dāng)a＝c＝2時(shí)，．又∵為的角平分線，∴∴在△ABD中，，∴在△ABD中，由正弦定理得．19.某地A，B，C，D四個(gè)商場(chǎng)均銷售同一型號(hào)的冰箱，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2024年10月份這四個(gè)商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)和銷售該型號(hào)冰箱的臺(tái)數(shù)如下表（單位：十臺(tái)）：A商場(chǎng)B商場(chǎng)C商場(chǎng)D商場(chǎng)購(gòu)講該型冰箱數(shù)x3456銷售該型冰箱數(shù)y2.5344.5（1）已知可用線性回來(lái)模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回來(lái)方程；（2）假設(shè)每臺(tái)冰箱的售價(jià)均定為4000元．若進(jìn)入A商場(chǎng)的甲、乙兩位顧客購(gòu)買這種冰箱的概率分別為p，，且甲乙是否購(gòu)買冰箱互不影響，若兩人購(gòu)買冰箱總金額的期望不超過(guò)6000元，求p的取值范圍．參考公式：回來(lái)方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)最小二乘法求線性回來(lái)方程即可；（2）設(shè)甲、乙兩人中選擇購(gòu)買這種冰箱的人數(shù)為X，求出分布列得到期望，由期望的性質(zhì)求出，列出不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，，．所以，則．故y關(guān)于x的線性回來(lái)方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲、乙兩人中選擇購(gòu)買這種冰箱的人數(shù)為X，則X的全部可能取值為0，1，2．，，．所以，X的分布列為X012P所以，．令，即，解得，又，所以．所以p的取值范圍為．20.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)．（1）求證：MN平面PAD；（2）在線段CD上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】【分析】（1）取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．由線面平行的判定定理可證得ME平面PAD，NE平面PAD，再由面面平行的判定定理即可證明；（2）以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式可求出Q點(diǎn)的位置，即可得出的值.【小問(wèn)1詳解】如圖，取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE．∵M(jìn)，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，∴MEPA．又∵平面PAD，平面PAD，∴ME平面PAD，同理得NE平面PAD．又∵，∴平面PAD平面MNE．∵平面MNE，∴MN平面PAD．【小問(wèn)2詳解】∵ABCD為矩形，∴AB⊥AD．QPA⊥平面ABCD，∴AP、AB、AD兩兩垂直．依次以AB、AD、AP為x、y、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，PC中點(diǎn)，∴，．設(shè)平面DMN的法向量，則，即，取x＝1，得y＝1，z＝－1，．若滿意條件的CD上的點(diǎn)Q存在，設(shè)，，又，則．設(shè)直線NQ與平面DMN所成的角為，則，解得t＝1或t＝－3．已知0≤t≤4，則t＝1，∴．DQ＝1，CD＝4，CQ＝CD－DQ＝4－1＝3，．故CD上存在點(diǎn)Q，使直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為，且．21.如圖，已知，直線l：，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)M，設(shè)，，證明定值，并求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.（2）設(shè)直線AB的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程后由韋達(dá)定理得、，由已知向量關(guān)系式可得，，進(jìn)而求得的值與的范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，且．由得，即，化簡(jiǎn)得．故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：．【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線AB的方程為：，則．聯(lián)立直線AB與軌跡C的方程得，消去x得，則．設(shè)，，由韋達(dá)定理知，．由，得：，，整理得，．所以．故為定值0．∵，∴，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù)的圖像與直線l：相切于點(diǎn)．（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在x軸上的截距；（2）求c與a的函數(shù)關(guān)系；（3）當(dāng)a為函數(shù)g（a）的零點(diǎn)時(shí)，若對(duì)隨意，不等式恒成立．求實(shí)數(shù)k的最值．【答案】（1）（2）（3）最大值為3，最小值為．【解析】【