福建省福州市八縣市區(qū)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題

福建省福州市八縣（市、區(qū)）2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．若z＝1+i，則|iz+3|＝（）A． B． C． D．2．設(shè)全集為R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝eq\r(x2－1)}，則A∩(?RB)＝()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．D．{x|0＜x＜2}3．已知f（x）＝ex，若a＞0，b＞0，且f（a）?f（2b）＝e3，則的最小值為（）A．2B．3C． D．54．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，那么下列命題正確的是（）yP(-1,4)xA．假如α∥β，m∥α，l∥βyP(-1,4)xB．假如l∥α，m?α，且l，m共面，那么l∥m C．假如α⊥β，l⊥α，那么l∥β D．假如l⊥m，l⊥α，那么m∥α5．已知角θ的大小如圖所示，則＝（）A．﹣B．C．﹣4D．46．2024年10月16日中國共產(chǎn)黨其次十次全國代表大會在北京召開，這是全黨全國各族人民在全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化新征程的一次盛會，其中《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和運(yùn)用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長a1，a2，a3，a4，a5（單位：cm）成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為b1，b2，b3，b4，b5（單位：cm）且每種規(guī)格的黨旗長與寬之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，則b3＝（）A．160 B．128 C．96 D．647．已知向量滿意＝5，＝6，＝﹣6，則cos＜，＞＝（）高三數(shù)學(xué)第1頁共4頁高三數(shù)學(xué)第2頁共4頁A．﹣ B．﹣高三數(shù)學(xué)第1頁共4頁高三數(shù)學(xué)第2頁共4頁8．已知實(shí)數(shù)滿意，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．二、選擇題（每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對得2分）9．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A．f（x）在區(qū)間單調(diào)遞減 B．f（x）在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn) C．直線x＝是曲線y＝f（x）的對稱軸 D．函數(shù)f（x）的圖像向右平移個(gè)單位長度可以到到函數(shù)g（x）＝sin（2x+）10．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）+f（x+2）＝2，若f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，f（0）＝0，則（）A．f（2）＝4 B．f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱 C．f（x）＝f（x+4） D．f（2k）＝1211．如圖，已知正方體ABCD—的棱長為1，P為正方形底面ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()三棱錐-的體積為定值存在點(diǎn)P，使得若，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動軌跡是線段ACD．若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過P，Q作平面α垂直于平面，則平面α截正方體的截面周長為312．已知函數(shù)f（x）＝exln（1+x），則以下推斷正確的是（）A．函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)是（0，0）B．不等式f（x）>0的解集是（0，+∞）．C．設(shè)g（x）＝f′（x），則g（x）在[0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)D．對隨意的s，t∈（0，+∞），都有f（s+t）＞f（s）+f（t）．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設(shè)a，b∈R，寫出一個(gè)使a＜b和同時(shí)成立的充分條件，可以是．14．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則的最小值為．如圖，在直三棱柱中，,，，，點(diǎn)E,F分別是AA1，AB上的動點(diǎn)，那么的長度最小值是，此時(shí)三棱錐外接球的表面積為.

四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分10分）在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為且滿意（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，的前項(xiàng)和為，證明：18.（本小題滿分12分）在銳角△ABC中，b＝，，（1）求角B；（2）求△ABC的周長l的取值范圍．①，且；②，f（B）＝;③cosB（2a﹣c）＝bcosC；在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并對其進(jìn)行求解．（假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分．）BBCDAP19.（本小題滿分12分）在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．證明：BD⊥PA；（2）點(diǎn)F在線段PD上，試確定點(diǎn)F的位置使BF與平面PAB所成的角的正弦值為．高三數(shù)學(xué)高三數(shù)學(xué)第3頁共4頁高三數(shù)學(xué)第4頁共4頁（本小題滿分12分）記的內(nèi)角的對邊分別為，且，(1)求的值;(2)若邊b=4，當(dāng)角最大時(shí)，求的面積.（本小題滿分12分）汽車智能協(xié)助駕駛已起先得到應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離(并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間)，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就起先報(bào)警提示，等于危急距離時(shí)就自動剎車．若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為打算時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動時(shí)間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示．當(dāng)車速為v(米/秒)，且v∈(0，33.3]時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面狀況而改變，k∈[1，2])

階段打算人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動時(shí)間t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距離d0=10米d1d2

(1)請寫出報(bào)警距離d(米)與車速v(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式d(v)，并求當(dāng)k＝2，在汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未實(shí)行任何制動措施，仍以此速度行駛的狀況下，汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間；(2)若要求汽車不論在何種路面狀況下行駛(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面狀況而改變，k∈[1，2])，報(bào)警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少千米/小時(shí)？（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)y＝f（x）在處的切線方程；（2）若函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，解答以下問題：（I）求實(shí)數(shù)的取值范圍；(II)證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，且2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期八縣（市）一中期中試卷中學(xué)三年數(shù)學(xué)科試卷評分細(xì)則一、選擇題（每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）14:DBBB58:CBDA二、選擇題題（每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對得2分）9.AD10.BC11.ACD12.BD12題D選項(xiàng)證明設(shè)g（x）＝，，設(shè)m（x）＝ex，n（x）＝ln（x+1）+，則g（x）＝m（x）?n（x），由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得m（x）＝ex上（0，+∞）上是增函數(shù)，且m（x）＝ex＞0，n′（x）＝＝，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，n′（x）＞0，n（x）單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，n（x）＝ln（x+1）+＞0，∴g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增．又g（0）＝1，故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，設(shè)w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），由（Ⅱ）有g(shù)（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，又因?yàn)閤+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），故w（x）單調(diào)遞增，又因?yàn)閟＞0，故w（s）＞w（0），即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因?yàn)楹瘮?shù)f（0）＝0，故f（s+t）＞f（s）+f（t），得證．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.a＝﹣1，b＝1，（不唯一，滿意a＜0＜b的均可）14.3915.16.44四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（本小題滿分10分）解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以，可得，…………2分兩式相減可得：，所以，……………3分所以，可得：；……5分（2）由(1)知：，所以，……6分…………8分，………9分，原命題得證．………10分18．（本小題滿分12分）解：（1）選①，∵，且，∴，即cosB＝，∵，∴B＝．……6分(沒有注明角的范圍的扣1分)選②，∵cosB（2a﹣c）＝bcosC，∴由正弦定理可得，cosB（2sinA﹣sinC）＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinBcosC+cosBsinC＝sin（B+C）＝sinA，∵sinA＞0，∴2cosB＝1，即cosB＝，∵，∴B＝．……………6分(沒有注明角的范圍的扣1分)選③，＝＝＝＝＝，∵f（B）＝，∴，∵，∴B＝．…………6分(沒有注明角的范圍的扣1分)（2）由正弦定理可得，，…………………7分則△ABC的周長l＝a+c+b＝4sinA+4sinC+2＝＝＝，…………………9分∵，解得，………10分∴，∴，∴＜≤3，………11分故△ABC的周長l的取值范圍為（3+，3]．……12分19．（本小題滿分12分）證明：（1）證明：∵PD⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴PD⊥BD，…………1分取AB中點(diǎn)E，連接DE，∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∴∠DAB＝60°，又∵AE＝AB＝AD＝1，∴DE＝1，∴DE＝，………3分∴△ABD為直角三角形，且AB為斜邊，∴BD⊥AD，………………4分又PD∩AD＝D，PD?面PAD，AD?面PAD，∴BD⊥面PAD，又PA?面PAD，∴BD⊥PA；………………6分（2）由（1）知，PD，AD，BD兩兩相互垂直，分別以DA,DB,DP為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，則，……………………8分設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，則可取，…………9分設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是，則BF的坐標(biāo)是設(shè)BF與平面PAB所成的角為θ，則解得……………………11分點(diǎn)F在線段PD上，則，即點(diǎn)F在PD的中點(diǎn)處滿意題意……12分若有其他解法，可酌情給分！20．（本小題滿分12分）解：（1）∵，由正弦定理得：，………………1分∵，∴，∴，………………4分方程兩邊同時(shí)除以得：∴，………………6分（2）方法一：∵當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)A取到最大值.………………9分∵，∴，則，由正弦定理得：，即，解得，………………11分當(dāng)角A最大時(shí)，………………12分方法二：∵，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)A取到最大值為，………………10分∵，∴，∴當(dāng)A最大時(shí)，………………12分若有其他解法，可酌情給分！21．（本小題滿分12分）解：(1)由題意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋eq\f(v2,20k)＝10＋v＋eq\f(v2,20k)……2分當(dāng)k＝2時(shí)，d(v)＝10＋v＋，……3分t(v)＝eq\f(10,v)＋＋1≥1＋2＝1＋1＝2(秒)．……5分即此種狀況下汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間約為2秒．………………6分(2)依據(jù)題意要求對于隨意k∈[1，2]，d(v)<50恒成立．即對于隨意k∈[1，2]，10＋v＋eq\f(v2,20k)<50，即eq\f(1,20k)<eq\f(40,v2)－eq\f(1,v)恒成立．……8分由k∈[1，2]，得eq\f(1,20k)∈[eq\f(1,40)，eq\f(1,20)]．所以eq\f(1,20)<eq\f(40,v2)－eq\f(1,v)，即v2＋20v－800<0，解得－40<v<20.………………10分所以0<v<20，20×eq\f(3600,1000)＝72(千米/小時(shí))．…………11分即汽車的行駛速度應(yīng)限制在20米/秒以下，即72千米/小時(shí)以下．……12分（本小題滿分12分）解：(1)切線方程：即………………2分(2)，當(dāng)時(shí)，，，（I）①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，明顯在上遞增，又因?yàn)?，，所以在上有唯一零點(diǎn)，所以，；，，所