上海市黃浦區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題含解析

Page17上海市黃浦區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一模試題一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【詳解】由題設(shè)有，解得，故函數(shù)的定義域為，填．2.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】運用數(shù)軸法求集合的并運算.【詳解】如圖所示，則.故答案為：.3.在的二項綻開式中，的系數(shù)是________【答案】80【解析】【分析】寫出綻開式的通項公式，利用公式即可得答案.【詳解】由題意得：，當(dāng)時，∴的系數(shù)是80.故答案為：804.已知向量，，若，則mn的值為______.【答案】-2【解析】【分析】運用向量平行的坐標(biāo)運算公式即可.【詳解】∵，∴，解得：，，∴.故答案為：.5.已知復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模等于______.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得.【詳解】因為，則，.故答案：.6.某個品種的小麥麥穗長度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.【答案】10.8【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運用百分位數(shù)的運算公式即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序為：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12個，所以，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個數(shù)即：10.8.故答案為：10.87.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與以點O為圓心的單位圓交于點，則的值為______.【答案】##0.28.【解析】【分析】運用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算即可.【詳解】由題意知，，所以.故答案為：.8.若一個圓錐的側(cè)面綻開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.【答案】【解析】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.9.已知的三邊長分別為4、5、7，記的三個內(nèi)角的正切值所組成的集合為，則集合中的最大元素為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)的三邊長分別為，依據(jù)余弦定理確定三角形最大角角為鈍角，利用大邊對大角及正確函數(shù)性質(zhì)，可知三個內(nèi)角的正切值最大為，再利用余弦定理及同角三角關(guān)系即可求得得值.【詳解】不妨設(shè)的三邊長分別為，則由大邊對大角可得，所以最大角為，由余弦定理得：，又，故角為鈍角，所以，又函數(shù)在上遞增，此時，在上遞增，此時，所以三個內(nèi)角的正切值最大為，由余弦定理得：，則，所以.故答案為：.10.現(xiàn)有5人參與抽獎活動，每人依次從裝有5張獎票（其中3張為中獎票）的箱子中不放回地隨機抽取一張，直到3張中獎票都被抽出時活動結(jié)束，則活動恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題活動恰好在第4人抽完后結(jié)束，包含的狀況有；（不中）中中中，中（不中）中中，中中（不中）中．則概率為；考點：相互獨立事務(wù)及互斥事務(wù)概率算法．11.已知四邊形ABCD是平行四邊形，若，，，且，則在上的數(shù)量投影為______.【答案】10【解析】【分析】運用向量共線、向量垂直畫圖，運用平行線性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)可得、，再運用數(shù)量積運算及幾何意義即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以A、D、E三點共線，且，又因為，所以，所以，因為，所以B、E、F三點共線，又因為，所以，如圖所示，設(shè)，則，所以，解得：，所以在上的數(shù)量投影為.故答案為：10.12.已知曲線與曲線，長度為1的線段AB的兩端點A、B分別在曲線、上沿順時針方向運動，若點A從點起先運動，點B到達點時停止運動，則線段AB所掃過的區(qū)域的面積為______.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)已知條件知，曲線與曲線是兩個半圓，分別求出起點、終點處時A、B的坐標(biāo)，可得線段AB掃過的面積，進而通過三角形面積公式及扇形面積公式計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)、分別為A、B點的起點，、分別為A、B點運動的終點，則圖中陰影部分即為線段AB掃過的面積.如圖所示，則，，設(shè)，，∵曲線方程：，曲線方程：，，即：，，即：，記為圓的面積，為圓的面積，為與、圍成的面積，為與、圍成的面積，為上半圓環(huán)的面積，為線段AB掃過的面積.則，因為，，，所以，所以，所以，所以，又因為，，，所以，所以，所以，所以.故答案為：.二.選擇題（本大題共4題，第13、14題各4分，第15、16題各5分，共18分）13.在平面直角坐標(biāo)系中，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】由雙曲線方程的特征計算得m的范圍，再由集合的包含關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】∵表示雙曲線，∴.∴是表示雙曲線的充要條件.故選：C.14.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，點G為MC的中點.則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.平面平面ABNC.直線GB與AM是異面直線 D.直線GB與平面AMD無公共點【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，證明推斷A；利用線面、面面平行的判定推理推斷B；取DM中點O，證得四邊形是梯形推斷CD作答.【詳解】因為平面ABCD，平面ABCD，則，取中點，連接，如圖，點G為MC的中點，則，且，于是四邊形是平行四邊形，，在正方形中，，則，因此四邊形為平行四邊形，，而，點G為MC的中點，有，所以，A正確；因為，平面，平面，則平面，又，平面，平面，則平面，而平面，所以平面平面ABN，B正確；取DM中點O，連接，則有，即四邊形為梯形，因此直線必相交，而平面AMD，于是直線GB與平面AMD有公共點，D錯誤；明顯點平面，點平面，直線平面，點直線，所以直線GB與AM是異面直線，C正確.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：經(jīng)過平面內(nèi)一點和外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.15.已知，且函數(shù)恰有兩個極大值點在，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用整體思想法，求得的范圍，再運用正弦函數(shù)圖象分析即可.【詳解】∵，，∴，又∵在恰有2個極大值點，∴由正弦函數(shù)圖象可知，，解得：.故選：B.16.設(shè)a、b、c、p為實數(shù)，若同時滿意不等式、與的全體實數(shù)x所組成的集合等于.則關(guān)于結(jié)論：①a、b、c至少有一個為0；②.下列推斷中正確的是（）A.①和②都正確 B.①和②都錯誤C.①正確，②錯誤 D.①錯誤，②正確【答案】D【解析】【分析】分類探討探討一元二次不等式的解集即可.【詳解】對于①假設(shè)、、，則三個不等式解集為，不符合題意，所以“、、至少有一個為0”是錯誤的.對于②，由題意知，、、三個都不小于0，當(dāng)，，時，解集為R，解集為，解集為，所以三個集合交集為；當(dāng)，，時，解集為，解集為，解集為R，所以三個集合交集為；當(dāng)，，時，解集為，解集為，解集為R，所以三個集合交集為；同理可得：當(dāng)，，時，當(dāng)，，時，當(dāng)，，時，三個集合交集也是；當(dāng)，，時，若有兩個不同的根，設(shè)的兩根為、，則，，所以且，所以解集為或，只有一個根時，解集為，無根時，解集為R，所以集合的交集為，與題意不符，綜述：、、中有一個為0且另外兩個大于0或、、中有兩個為0且另外一個大于0，.故選：D.三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項公式計算即可.（2）運用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計算即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，，，又，可得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，故，以它為通項的數(shù)列是以-1為首項、公比為-3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前2n項和為：.即:數(shù)列的前2n項和為.18.如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，且直線又棱為的中點，(Ⅰ)求證：直線；(Ⅱ)求直線與平面的正切值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】試題分析：（1）由線面垂直的判定定理證明，EA⊥AB，EA⊥PA，得EA⊥平面PAB；（2）∠AEP為直線AE與平面PCD所成角，所以．試題解析：解：（1）證明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2，∴△AED是以∠AED為直角Rt△，又∵AB∥CD,∴EA⊥AB，又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB；（2）如圖所示，連結(jié)PE，過A點作AH⊥PE于H點.∵CD⊥EA,CD⊥PA，∴CD⊥平面PAE,又∵AH?平面PAE，∴AH⊥CD，又AH⊥PE,PE∩CD=E,PE?平面PCD,CD?平面PCD,∴AH⊥平面PCD,∴∠AEP為直線AE與平面PCD所成角.在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=,∴.【詳解】19.某展覽會有四個展館，分別位于矩形ABCD的四個頂點A、B、C、D處，現(xiàn)要修建如圖中實線所示的步道（寬度忽視不計，長度可變）把這四個展館連在一起，其中百米，百米，且.（1）試從各段步道的長度與圖中各角的弧度數(shù)中選擇某一變量作為自變量x，并求出步道的總長y（單位：百米）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求步道的最短總長度（精確到0.01百米）.【答案】（1）答案見解析（2）18.39百米【解析】【分析】（1）若設(shè)百米，運用勾股定理表示、，進而寫出y與x的關(guān)系式；若設(shè)，運用三角函數(shù)表示、、，進而寫出y與x的關(guān)系式；（2）運用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】設(shè)直線EF與AD，BC分別交于點M，N，若設(shè)百米，則，所以，又因為，所以.若設(shè)，則，，，則，解得，又因為，所以，所以）.【小問2詳解】設(shè)，，令，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得微小值（最小值）（百米）.所以步道的最短總長度約為18.39百米.設(shè)），，令，可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得微小值（最小值）（百米），所以步道的最短總長度約為18.39百米.20.已知橢圓的離心率為，以其四個頂點為頂點的四邊形的面積等于.動直線、都過點，斜率分別為k、，與橢圓C交于點A、P，與橢圓C交于點B、Q，點P、Q分別在第一、四象限且軸.（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）若直線與x軸交于點N，求證：；（3）求直線AB的斜率的最小值，并求直線AB的斜率取最小值時的直線的方程.【答案】（1）（2）證明見解析（3），【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，分別求出a、b、c的值即可.（2）依據(jù)兩個斜率的關(guān)系式求得，由兩點間距離公式求得、即可.（3）聯(lián)立直線與橢圓方程解得、，代入直線AB的斜率公式再應(yīng)用基本不等式可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)橢圓C的焦距為2c，則由，且，可得，，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，則，，可得，解得，又，，所以.【小問3詳解】設(shè)，，直線，的方程分別為，，由（2）知，所以，又m，均大于0，可知，由可得，所以，即，同理可得，直線AB的斜率為（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.當(dāng)時，，此時在橢圓C上，所以，又，可得，所以直線AB的斜率的最小值為，且當(dāng)直線AB的斜率取最小值時的直線的方程為.21.已知集合A和定義域為的函數(shù)，若對隨意，，都有，則稱是關(guān)于A的同變函數(shù).（1）當(dāng)與時，分別推斷是否為關(guān)于A的同變函數(shù)，并說明理由；（2）若是關(guān)于的同變函數(shù)，且當(dāng)時，，試求在上的表達式，并比較與的大小；（3）若n為正整數(shù)，且是關(guān)于的同變函數(shù)，求證：既是關(guān)于的同變函數(shù)，也是關(guān)于的同變函數(shù).【答案】（1）當(dāng)時，是關(guān)于的同變函數(shù)；當(dāng)時，不是關(guān)于的同變函數(shù)，理由見解析.（2），當(dāng)時，；當(dāng)時，（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，運用定義證明即可；當(dāng)時，舉反例說明即可.（2）由定義推導(dǎo)出是以2為周期的周期函數(shù)，進而可得在解析式，再運用作差法后運用換元法探討函數(shù)的最值來比較與的大小.（3）運用定義推導(dǎo)出是以為周期的周期函數(shù)，再用定義分別證明與兩種狀況即可.【小問1詳解】當(dāng)時，對隨意的，，，由，可得，又，所以，故是關(guān)于的同變函數(shù)；當(dāng)時，存在，，使得，即，所以不是關(guān)于的同變函數(shù).【小問2詳解】由是關(guān)