2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練09解析幾何教師版

熱點(diǎn)09解析幾何從新高考的考查狀況來(lái)看，解析幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)：①直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線問(wèn)題、圓與圓的位置關(guān)系；②橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，其中離心率與漸近線、通徑等是考試的熱點(diǎn)；③求曲線的軌跡方程，多在解答題第（1）問(wèn)中出現(xiàn)；④直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系，常與向量、圓、三角形等學(xué)問(wèn)綜合考查，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏上。主要考查考生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸思想等核心素養(yǎng)。1、解析幾何中的弦長(zhǎng)問(wèn)題：（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可干脆利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng).（3）當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).2、解析幾何中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題：定點(diǎn)、定值問(wèn)題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等學(xué)問(wèn)交匯，形成了過(guò)定點(diǎn)、定值等問(wèn)題的證明.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是引進(jìn)參變量表示所求問(wèn)題，依據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等找尋不受參數(shù)影響的量.3、解析幾何中的最值（范圍）問(wèn)題：1）處理圓錐曲線最值問(wèn)題的求解方法圓錐曲線中的最值問(wèn)題類型較多，解法敏捷多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.2）解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．4、解析幾何中的軌跡方程問(wèn)題：1）干脆法求軌跡方程的應(yīng)用條件和步驟：若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿意的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用干脆法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)→列式→化簡(jiǎn)→檢驗(yàn)．2）定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點(diǎn)：求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線間的等量關(guān)系滿意圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可干脆依據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程.留意：利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，假如不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制．3）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求軌跡方程的四步驟：熱點(diǎn)1.求離心率（范圍）離心率在圓錐曲線問(wèn)題中有著重要應(yīng)用，它的改變會(huì)干脆導(dǎo)致曲線類型和形態(tài)的改變，同時(shí)它又是圓錐曲線統(tǒng)肯定義中的三要素之一．有關(guān)求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高考試卷中均有出現(xiàn)．關(guān)于圓錐曲線離心率（范圍）問(wèn)題處理的主體思想是：建立關(guān)于一個(gè)的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要留意的是建立的方程或不等式應(yīng)當(dāng)是齊次式．一般建立方程有兩種方法：eq\o\ac(○,1)利用圓錐曲線的定義解決；eq\o\ac(○,2)利用題中的幾何關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。另外，不能忽視了圓錐曲線離心率的自身限制條件(橢圓、雙曲線離心率的取值范圍不一樣)，否則很簡(jiǎn)單產(chǎn)生增根或者擴(kuò)大所求離心率的取值范圍．熱點(diǎn)2.求軌跡方程應(yīng)用圓錐曲線的定義或由已知條件求曲線方程或軌跡方程是本節(jié)的命題熱點(diǎn)，題型以解答題為主，難度中等偏上，考查學(xué)問(wèn)點(diǎn)較多，實(shí)力要求較高．熱點(diǎn)3.直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題（特殊是一些經(jīng)典問(wèn)題，如：定值與定點(diǎn)、最值與取值范圍、探究性問(wèn)題）始終是高考熱點(diǎn)問(wèn)題．經(jīng)常與向量、圓等學(xué)問(wèn)交匯在一起命題，多以解答題形式出現(xiàn)，難度較大．A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·福建·三模）如圖，拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射，通過(guò)聚光獲得熱量進(jìn)行炊事烹飪食物的一種裝置.由于太陽(yáng)光基本上屬于平行光線，所以當(dāng)太陽(yáng)灶(旋轉(zhuǎn)拋物面)的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，在這里形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)就在它的主光軸上.現(xiàn)有一拋物線型太陽(yáng)灶，灶口直徑為，灶深為，則焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖建系，設(shè)出拋物線的方程，由題意得A的坐標(biāo)，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出p值，進(jìn)而可得答案.【詳解】解：由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，與重合：設(shè)拋物線的方程為，由題意可得，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程可得：，解得，所以拋物線的方程為：，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，所以焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為.故選：B.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓和雙曲線在軸上具有相同的焦點(diǎn)，，設(shè)雙曲線與橢圓的上半部分交于A，兩點(diǎn)，線段與雙曲線交于點(diǎn).若，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可得，為則雙曲線的實(shí)半軸），，又，，則，即可求橢圓的離心率．【詳解】解：如圖，設(shè)，則，，，，為則雙曲線的實(shí)半軸），依據(jù)雙曲線定義可得，，在△中，滿意，，則，則橢圓的離心率是．故選：C．3．（2024·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制勝利的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿意，，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因?yàn)?，故解得，則，在中，，即，所以．故選：C．4．（2024·天津市試驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校高三期中）“直線與相互垂直”是“”的（）A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由兩直線相互垂直，知，由此能求出實(shí)數(shù)的值，再利用充分必要條件的定義推斷得解.【詳解】解：直線與相互垂直，，解得或．因?yàn)榛驎r(shí)，不肯定成立，因?yàn)闀r(shí)，或肯定成立.“直線與相互垂直”是“”的必要不充分條件.故選：A5．（2024·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)料）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，若圓的圓心在線段上，且圓與圓相切，切點(diǎn)在圓的劣弧上，則圓的半徑的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依據(jù)給定條件可得圓與圓內(nèi)切，再借助兩圓內(nèi)切圓心距等于兩圓半徑差的肯定值列式，然后分析計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，依題意，圓的圓心在圓內(nèi)，設(shè)半徑為，如圖，因圓與圓內(nèi)切，則，即，而點(diǎn)在線段AB上，過(guò)O作于P，則，明顯，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)取“=”，于是得，所以圓的半徑的最大值是2.故選：B6．（2024·遼寧·模擬預(yù)料）已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿意：直線的斜率與直線的斜率之積為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)已知條件可得出、所滿意的等式，求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由題意可知，，整理得，則，故，因?yàn)?，所以，所以，即．故選：C．7．（2024·河南·鄭州市高三期中）已知拋物線，過(guò)內(nèi)一點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，的拋物線的兩條切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)將拋物線的切線方程聯(lián)立，再依據(jù)A，，三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)整理即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)B不為原點(diǎn)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，得，，整理得：，即，代入可得，即，當(dāng)B為原點(diǎn)時(shí)，依舊成立，同理點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立解得，設(shè)點(diǎn)，則，，又，，三點(diǎn)共線，則，整理得，即，故選：B.8．（2024·天津市第四十七中學(xué)高三期中）過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線于于兩點(diǎn)，在第一象限，分別為的左?右焦點(diǎn)，連接交雙曲線右支于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】用雙曲線定義，結(jié)合三角形為直角三角形，求得，再結(jié)合勾股定理即可求得離心率.【詳解】依據(jù)題意，取中點(diǎn)為，連接，，作圖如下：在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故可得//；在中，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，故可得；綜上可得：.不妨設(shè)，則，，，故在中，由勾股定理可得：，解得：.則在中，由勾股定理可得：，整理得：，解得：.選：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，解決關(guān)鍵是充分挖掘題中包含的幾何關(guān)系，以及雙曲線定義的運(yùn)用；本題中，利用雙曲線定義以及幾何關(guān)系求得的長(zhǎng)度是突破點(diǎn)，再利用勾股定理，求得離心率；考查了學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力，理解實(shí)力，屬于中檔題.9．（2024·湖北武漢·高三期中）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為的直線與雙曲線在其次象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的漸近線為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)得到，結(jié)合題干中的斜率條件表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入雙曲線方程求解與的關(guān)系，求解漸近線方程.【詳解】因?yàn)?，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則，設(shè)，，由勾股定理得：，解得：，故，把A點(diǎn)代入雙曲線方程，得：，解得：，明顯=0，所以，所以雙曲線的漸近線為故選：D二、多選題10．（2024·河北邯鄲·高三期末）已知A，B是拋物線上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，拋物線上存在一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若，則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C．若外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓半徑為D．若，則直線AB的斜率為【答案】ABC【分析】依據(jù)拋物線定義可推斷A；由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理法可推斷B；利用直線與圓的位置關(guān)系可推斷C；由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理法及條件可推斷D.【詳解】依據(jù)拋物線定義可知，得，故A正確；設(shè)，，因?yàn)橹本€AB斜率必不為0，設(shè)直線，代入，得，∴，，∴，即，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；外接圓圓心橫坐標(biāo)為，外接圓半徑為，故C正確；因?yàn)?，所以AB過(guò)焦點(diǎn)，且，可設(shè)直線，則代入，得，∴，，，解得，即直線AB的斜率為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．11．（2024·江蘇·南京市中華中學(xué)高三期中）已知曲線：，則（）A．時(shí)，則的焦點(diǎn)是，B．當(dāng)時(shí)，則的漸近線方程為C．當(dāng)表示雙曲線時(shí)，則的取值范圍為D．存在，使表示圓【答案】ABD【分析】AB選項(xiàng)，代入的值，分別得出是什么類型的曲線，進(jìn)而作出推斷；C選項(xiàng)，要想使曲線表示雙曲線要滿意；D選項(xiàng)，求出曲線表示圓時(shí)m的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線：，是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，，A正確；當(dāng)時(shí)，曲線：，是焦點(diǎn)在在y軸上的雙曲線，則的漸近線為，B正確；當(dāng)表示雙曲線時(shí)，要滿意：，解得：或，C錯(cuò)誤；當(dāng)，即時(shí)，，表示圓，D正確故選：ABD12．（2024·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且圓上的全部點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等，則下列說(shuō)法正確的是（）A．橢圓的焦距為2B．橢圓的短軸長(zhǎng)為C．的最小值為D．過(guò)點(diǎn)的圓的切線斜率為【答案】AD【分析】依據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)恰與圓的直徑長(zhǎng)相等求得；將的最值轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn),以及左焦點(diǎn)的最小值問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合求得，即可推斷選項(xiàng)；再結(jié)合橢圓定義，以及圓的切線方程的求解，即可推斷.【詳解】依據(jù)題意，作出如下所示的圖形，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與圓的直徑長(zhǎng)相等，，，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義可知，，，，解得或，因?yàn)?，?橢圓的焦距為2，即正確；由，得橢圓的短軸長(zhǎng)為，即錯(cuò)誤；，即錯(cuò)誤；設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為，則，解得，即正確．綜上所述：正確的選項(xiàng)是：.故選：.13．（2024·江蘇徐州·高三期中）已知圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．圓關(guān)于直線對(duì)稱B．直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為C．的最大值為D．的最小值為【答案】AC【分析】驗(yàn)證圓心是否過(guò)直線推斷A，求出相交弦長(zhǎng)推斷B，把變以代入圓方程，利用判別式不小于0推斷C，利用原點(diǎn)到圓心的距離求得最小值推斷D．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，，半徑為，易得點(diǎn)在直線上，A正確；點(diǎn)到直線的距離為，弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)；由得代入圓的方程整理得，，，所以的最大值是，C正確；，，所以的最小值是，D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，駕馭直線與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵，圓的弦長(zhǎng)一般用幾何法求解，即求出圓心到直線的距離后用勾股定理計(jì)算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用幾何意義求解，如分式型可以用直線斜率，平方型利用兩點(diǎn)間距離求解．三、填空題14．（2024·山東費(fèi)縣·高三期末）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______；經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則______．【答案】；9.【分析】由拋物線的解析式可知，即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)為；過(guò)、、作準(zhǔn)線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)、、，依據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】解：由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，由拋物線的定義可得，再依據(jù)為線段的中點(diǎn)，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：；9.15．（2024·江蘇徐州·高三期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，若，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【分析】依據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化可得，求出最大值即可.【詳解】由題可得為準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)，過(guò)作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，由拋物線定義可得,則，則當(dāng)最小時(shí)，即最大時(shí)，取得最大值，由圖知當(dāng)直線與拋物線相切，最大，設(shè)直線方程為，代入拋物線得，則由，解得，由于拋物線的對(duì)稱性，取即可得，此時(shí)，所以的最大值為.故答案為：.16．（2024·浙江省三門中學(xué)高三期中）設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，是橢圓上一點(diǎn)，，，，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】設(shè)，則，由橢圓定義可得即，由勾股定理可得，兩式相除可得，再令由函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由橢圓的定義可得，設(shè)，則，所以，即，①因?yàn)?，所以，②兩式相除可得，令可得，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)即，時(shí)取得最小值，此時(shí)最小為，當(dāng)或即，時(shí)取得最大值，此時(shí)最大為，所以橢圓離心率的取值范圍為，故答案為：.17．（2024·湖北武漢·高三期中）已知橢圓的方程為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，直線PI與x軸交于點(diǎn)Q，橢圓的離心率為，若，則的值為_(kāi)__________.【答案】【分析】連接?，是的內(nèi)心，得到為的角平分線，即到直線?的距離相等，利用三角形的面積比，得到，結(jié)合橢圓的離心率的定義，即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接?，是的內(nèi)心，所以?分別是和的角平分線，由于經(jīng)過(guò)點(diǎn)與的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點(diǎn)，則為的角平分線，則到直線?的距離相等，所以，同理可得，，由比例關(guān)系性質(zhì)可知.又橢圓的離心率.所以，所以，故，故答案為：4.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，依據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.18．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）P是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，，分別為其左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，如圖圓C是的內(nèi)切圓，設(shè)圓與，分別切于點(diǎn)D，E，當(dāng)圓C的面積為時(shí)，直線的斜率為_(kāi)_____.【答案】【分析】由雙曲線的定義以及切線的性質(zhì)可得圓心橫坐標(biāo)為，又依據(jù)圓的面積可求出半徑，可知圓心，可求出，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，借助于角相等可求直線的斜率.【詳解】由題意可知，，，所以，設(shè)，則，即，設(shè)圓C的半徑為，因?yàn)閳AC的面積為，則，因?yàn)?，所以，于是，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，所以，即直線的斜率為.故答案為：.四、解答題19．（2024·四川南充·一模））已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，且，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求△OMN的面積；（3）求證：直線與直線的交點(diǎn)T恒在一條定直線上．【答案】（1）,（2）,（3）見(jiàn)（3）詳解.【分析】(1)由可得，結(jié)合離心率可求基本量，進(jìn)而得橢圓的方程.(2)寫出直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，從而可求出三角形的面積.(3)設(shè)，由在同一條直線上，且在同一條直線上，建立之間的等量關(guān)系可得證.（1）因?yàn)?，所以，即，，，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（2）直線的方程為，設(shè)，方程聯(lián)立，整理得，則，所以，原點(diǎn)到的距離，則的面積.（3）設(shè)直線的方程為：，，則，整理得，則，，則，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，所以，所以，則交點(diǎn)T恒在一條直線上.【點(diǎn)睛】本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)交點(diǎn)，利用三點(diǎn)共線建立動(dòng)點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的等量關(guān)系.20．（2024·上海金山·一模）已知為橢圓C：內(nèi)肯定點(diǎn)，Q為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于P?Q兩點(diǎn)之間），O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）當(dāng)直線PQ的傾斜角為時(shí)，求直線OQ的斜率；（2）當(dāng)AOB的面積為時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)，，試問(wèn)是否為定值？若是，懇求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）或（3）1【分析】（1）先得到直線PQ的方程為：，由得到Q的坐標(biāo)求解；（2）設(shè)直線PQ的方程為，由，結(jié)合韋達(dá)定理求得，再由求解.（3）設(shè)直線PQ的方程為，由，得到，，有，再依據(jù)，，得到求解.（1）解：因?yàn)橹本€PQ的傾斜角為，且，所以直線PQ的方程為：，由，得，所以直線OQ的斜率是；（2）易知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，由，得，設(shè)，則，所以，所以，解得，即，所以直線PQ的方程為或，由，得；由，得；（3）易知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，由，得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，，所以，所以?21．（2024·江蘇連云港·高三期中）已知離心率為的橢圓與直線x+2y-4=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以AB為直徑的圓外時(shí)，求直線l斜率的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由將橢圓方程化簡(jiǎn)為，進(jìn)而結(jié)合判別式法求得答案；（2）設(shè)，，直線l方程為，依據(jù)，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.（1）依據(jù)題意，，而，則，，所以橢圓方程為，，，，所以，，橢圓C方程為：.（2）設(shè)直線l方程為，，，，即，或，且,因?yàn)镺在以AB為直徑的圓外，所以，則，于是，即.綜上：l斜率k的取值范圍為.22．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)料）已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或.【分析】（1）依據(jù)離心率可得的關(guān)系，再將的坐標(biāo)代入方程后可求，從而可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線的方程為，，結(jié)合內(nèi)切圓的半徑為可得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于的方程，求出其解后可得直線方程.（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故可設(shè)，故橢圓方程為，代入得，故，故橢圓方程為：.（2）的周長(zhǎng)為，故.設(shè)，由題設(shè)可得直線與軸不重合，故可設(shè)直線，則，由可得，整理得到，此時(shí)，故，解得，故直線的方程為：或.23．（2024·北京市第三十五中學(xué)高三期中）已知橢圓．（1）若橢圓E的焦距為2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）點(diǎn)A，B，C位于橢圓E上，且A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若橢圓E上存在等邊，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）依據(jù)條件中的的值，求得參數(shù)a的值.（2）為等邊三角形，有，對(duì)直線斜率存在狀況進(jìn)行探討，不存在及為0時(shí)，直線是確定直線，易求得a的值.當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，則直線方程為，然后與橢圓聯(lián)立，求得的表達(dá)式，由，求得參數(shù)a的范圍.（1）由題知，，所以；（2）若為等邊三角形，應(yīng)有，即．若直線斜率不存在時(shí)，即直線方程為，且．此時(shí)若為等邊三角形，點(diǎn)C應(yīng)在長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，且，即．若直線斜率為0，即直線方程為，且．此時(shí)若為等邊三角形，點(diǎn)C應(yīng)在短軸頂點(diǎn)，此時(shí)，不為等邊三角形．當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，則直線方程為．由，得．同理．因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)?，所以，若有解，只需，即．綜上，a的取值范圍是．24．（2024·浙江·臺(tái)州一中高三期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且滿意，連接，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；（2）記，的面積分別為，，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），（2），【分析】（1）依據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)干脆可得拋物線方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得，再依據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定點(diǎn)及點(diǎn)到直線的距離，可求，，結(jié)合基本不等式，可得的最小值與點(diǎn)的坐標(biāo).（1）由拋物線焦點(diǎn)，可得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，（2）設(shè)直線，點(diǎn)，，聯(lián)立，得，即，所以，且，又，，的方程為，即點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，又，，，所以，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)為，即的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要留意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可干脆運(yùn)用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必需用一般弦長(zhǎng)公式．B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·浙江·臺(tái)州一中高三期中）如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在其次象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，聯(lián)立圓與雙曲線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，將利用坐標(biāo)表示計(jì)算可得表示，再將點(diǎn)代入雙曲線方程可得關(guān)于的齊次方程，結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)，，由整理可得：，即，因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線與圓在其次象限的一個(gè)交點(diǎn)，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，則，，由可得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，整理可得：，所以，即，兩邊同時(shí)平方可得：，所以，即，，可得：或（舍），所以，故選：B.2．（2024·河北邯鄲·高三期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A，B是雙曲線右支上兩點(diǎn)，且，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，的內(nèi)切圓圓心為，直線與線段交于點(diǎn)P，且，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由角平分線的性質(zhì)得，結(jié)合雙曲線的定義表示出各邊長(zhǎng)，可推斷，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖所示：由題意知為的角平分線上點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得，因?yàn)?，∴，由雙曲線的定義得，因此，，∴，，由雙曲線定義得，滿意，可得，由在中，，即，∴，.故選：B．3．（2024·福建·福州三中模擬預(yù)料）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值時(shí)，該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，結(jié)合雙曲線的定義，，則，所以，進(jìn)而解出和的值，再由即可得漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以，由雙曲線的定義可得：，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，如圖，與漸近線垂直時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，所以，可得，所以雙曲線的漸近線方程為：，故選：D.4．（2024·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)．點(diǎn)滿意，且．若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】由，確定M的位置，解三角形求，，由余弦定理可得，的關(guān)系，由此可求離心率.【詳解】∵，∴M為線段的中點(diǎn)，，即垂直平分，∴，設(shè)，則又為直角三角形，∵，即，∴，，由雙曲線定義可得，，∴，∴，∴，，又，由余弦定理可得，∴，∴，∴離心率.故選：C.5．（2024·浙江·模擬預(yù)料）已知橢圓右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，該橢圓上一點(diǎn)與的連線的斜率，的中點(diǎn)為，記的斜率為，且滿意，若分別是軸?軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則三角形面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，表示出點(diǎn)E坐標(biāo)，即可依據(jù)求出，依據(jù)四邊形的面積結(jié)合基本不等式可求.【詳解】由題意知：，直線的方程為，聯(lián)立方程可得，因?yàn)槭瞧渲幸粋€(gè)解，則另一個(gè)解滿意，即，所以，則可得的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，解得，則即，設(shè)，則由四邊形的面積為2，有，即，由基本不等式得，，從而三角形的面積，等號(hào)當(dāng)，時(shí)取到.所以三角形面積的最大值為.故選：A.6．（2024·浙江·模擬預(yù)料）如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，，短軸端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，.現(xiàn)將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過(guò)程中（不共面），以下說(shuō)法不正確的是（）A．存在某個(gè)位置,使B．存在某個(gè)位置,使二面角的平面角為C．對(duì)隨意位置，都有平面D．異面直線與所成角的取值范圍是【答案】B【分析】選項(xiàng)A.設(shè)在平面的射影為，當(dāng)時(shí)，可推斷；選項(xiàng)B.設(shè)為的中點(diǎn),為二面角的平面角,從而可得范圍，即可推斷;選項(xiàng)C.由可推斷;選項(xiàng)D.直線,將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過(guò)程中,異面直線與所成角,即為以為軸，為母線的圓錐的母線與所成角,從而可推斷.【詳解】由,所以為銳角則為銳角三角形，故過(guò)作的垂線，垂足在線段上，設(shè),當(dāng)平面時(shí)，則，又所以平面,且平面，所以，故A正確；

如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，由,則所以為二面角的平面角.設(shè),則，所以當(dāng)時(shí)，，所以所以，所以不存在某個(gè)位置,使二面角的平面角為，，故B錯(cuò)；由，分別為的中點(diǎn)，則，由平面，平面，則平面，故C正確；直線,將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過(guò)程中異面直線與所成角,即為以為軸，為母線的圓錐的母線與所成角.以為軸，為母線的圓錐軸截面頂角為，故D正確.故選：B7．（2024·浙江·高二期中）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在圓O：上，PQ的垂直平分線交直線OQ于M點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，則m的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，由幾何性質(zhì)可得，此時(shí)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.當(dāng)在圓上時(shí)，線段的中垂線交線段于圓心.當(dāng)在圓外時(shí)，,此時(shí)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，從而可得答案.【詳解】當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，設(shè)與圓的另一交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為弦的中點(diǎn),則,線段的中點(diǎn)在線段內(nèi)，則線段的中垂線交線段于點(diǎn)，如圖1.連接,則,所以則此時(shí)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.當(dāng)在圓上時(shí)，線段的中垂線交線段于圓心.當(dāng)在圓外時(shí)，設(shè)與圓的另一交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為弦的中點(diǎn),則,線段的中點(diǎn)在線段內(nèi)，則線段的中垂線交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖2.連接,則,所以則此時(shí)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.同理當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，還會(huì)得到所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，則在圓外,所以故選：D8．（2024·遼寧·凌源市試驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn).下列說(shuō)法不正確的是（）A．B．(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為C．D．若是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】C【分析】設(shè)直線的方程、，并與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理和得，再利用求導(dǎo)推斷A；利用可推斷B；由可推斷C；過(guò)作與，利用可推斷D.【詳解】由已知的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，設(shè)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理得，所以，，由，得，代入得，，所以，開(kāi)方可得或，可得在，因?yàn)?，所以，在，因?yàn)?，所以，所以，，故A正確；由，得，故B正確；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；由得，所以在拋物線內(nèi)部，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖過(guò)作與，交拋物線與點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)在一條直線上時(shí)最小，此時(shí)，故D正確.故選：C.二、多選題9．（2024·江蘇·高三期中）設(shè)m∈R，直線與直線相交于點(diǎn)P（x，y），線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，Q為弦AB的中點(diǎn)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)P在定圓 B．點(diǎn)P在圓C外C．線段PQ長(zhǎng)的最大值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】依據(jù)直線與直線可求得兩直線分別過(guò)定點(diǎn)和定點(diǎn)，且兩直線垂直，從而可得交點(diǎn)的軌跡方程，即可推斷A；推斷點(diǎn)的軌跡圓與圓C的位置關(guān)系即可推斷B；依據(jù)Q為弦AB的中點(diǎn)，，可得弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心的圓，則線段PQ長(zhǎng)的最大值為圓心距加兩圓的半徑，從而可推斷C；，求出線段PQ長(zhǎng)的最小值，即可推斷D.【詳解】解：直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，又，所以兩直線垂直，所以兩直線的交點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，，所以交點(diǎn)的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以圓與圓C：相離，即點(diǎn)P在圓C外，故B正確；因?yàn)镼為弦AB的中點(diǎn)，，所以，所以弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為，則圓與圓相離，所以線段PQ長(zhǎng)的最大值為，故C正確；，因?yàn)榫€段PQ長(zhǎng)的最小值為，所以的最小值為，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，傾斜角為的直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，且，則（）A．雙曲線的離心率為 B．與內(nèi)切圓半徑比為C．與周長(zhǎng)之比為 D．與面積之比為【答案】BD【分析】設(shè)設(shè)，則，則，，在和中由余弦定理可得，即可得離心率可推斷A；將代入可得，進(jìn)而可得與周長(zhǎng)可推斷C；由可得與面積之比可推斷D；由三角形的面積等于乘以三角形的周長(zhǎng)再乘半徑結(jié)合周長(zhǎng)之比可得內(nèi)切圓的半徑之比，可推斷B，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，在中，由余弦定理可得：，即，所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，可得，所以，所以離心率，故選項(xiàng)A不正確；設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，故選項(xiàng)D正確；將代入可得：，所以的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，所以與周長(zhǎng)之比為，故選項(xiàng)C不正確；設(shè)與內(nèi)切圓半徑分別為，，的面積與的面積之比為，所以，故選項(xiàng)B正確；故選：BD.11．（2024·山東省青島第十七中學(xué)高三期中）瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿意，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為B．圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D．若圓與圓有公共點(diǎn)，則【答案】BD【分析】求出“歐拉線”方程，利用“歐拉線”與圓相切求出，利用圓的幾何性質(zhì)可推斷A選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出圓到直線的距離，可推斷B選項(xiàng)的正誤；設(shè)，利用直線與圓有公共點(diǎn)，求出的取值范圍可推斷C選項(xiàng)的正誤；利用圓與圓的位置關(guān)系可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意，為等腰三角形，的歐拉線即的垂直平分線，、，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，則的垂直平分線方程為，即．由“歐拉線”與圓相切，所以，圓心到直線的距離為，則圓的方程為，圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；的幾何意義為圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，即，則直線與圓有公共點(diǎn)，由，解得，的最小值是，故C錯(cuò)誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距的范圍為，所以，,解得，故D正確．故選：BD．12．（2024·江蘇·高三開(kāi)學(xué)考試）古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺(jué)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（）．A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線D．在上存在點(diǎn)，使得【答案】BC【分析】依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算化簡(jiǎn)，逐一推斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿意，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，即，所以A錯(cuò)誤；B：假設(shè)在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得，設(shè)，，則，化簡(jiǎn)得，由軌跡的方程為，可得，，解得，或，（舍去），所以B正確；C：當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，，可得射線是的角平分線，所以C正確；D：若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，與聯(lián)立，方程組無(wú)解，故不存在點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題13．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，在拋物線：上，且直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的斜率為_(kāi)__________；若直線在y軸上的截距為正數(shù)，則面積的最大值為_(kāi)__________.【答案】1【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)得拋物線方程，易知直線PA的斜率存在，設(shè)直線PA的方程為，代入拋物線方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱性得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算斜率，再由斜率設(shè)的方程，代入拋物線方程后，由判別式大于0得參數(shù)范圍，設(shè)，，應(yīng)用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)，再求出到直線的距離，得三角形面積，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)求得最大值，從而得面積最大值．【詳解】由題意可知，，解得，所以拋物線C的方程為.易知直線PA的斜率存在，設(shè)直線PA的方程為，由，得，得，.因?yàn)橹本€PA與直線PB關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則，所以，.則.可設(shè)直線AB的方程為，由，整理得，由，得.設(shè)，，則，，所以，原點(diǎn)到直線AB的距離，所以的面積為.令，則，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故面積的最大值為.故答案為：1；．14．（2024·浙江省杭州其次中學(xué)高三期中）已知圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____；若圓上存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.【答案】或或【分析】依據(jù)圓和圓相交于，兩點(diǎn)得到，再解不等式組即可得到.首先兩圓的方程相減，得到直線的方程，再分類探討為直角頂點(diǎn)和或?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)求解即可.【詳解】圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑.，因?yàn)閳A和圓相交于，兩點(diǎn)，所以.兩圓的方程相減，可得直線的方程為：.因?yàn)閳A上存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，①當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則直線過(guò)圓的圓心，所以，即.①當(dāng)或?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)時(shí)，則直線或直線過(guò)圓的圓心，則，即到直線的距離為，所以，解得或.故答案為：；或或15．（2024·浙江省杭州其次中學(xué)高三期中）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，直線與雙曲線的左、右支分別交于P，Q（P，Q均在x軸上方）.若直線、的斜率為，且四邊形的面積為.則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.【答案】【分析】連接，，在中，利用余弦定理求出，同理求出，再由四邊形的面積即可求解.【詳解】連接，，設(shè)直線、的傾斜角為，，則，在中，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)整理可得，又因?yàn)?，則，，所以，同理可得，又因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，則，代入整理可得，即，即，解得或（舍）答案：16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率大于0的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與的右支交于，兩點(diǎn)，若與的內(nèi)切圓面積之比為9，則直線的斜率為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別為，，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)，，，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)得．設(shè)直線的傾斜角為，在中，，在中，，由題得得，再由二倍角公式可得答案．【詳解】設(shè)與的內(nèi)切圓圓心分別為，，連接，，，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)，，，如圖，則，所以，即，同理，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，在中，，由題得，所以，解得，所以．故答案為：﹒17．（2024·河南·正陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)料）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.【答案】2【分析】由雙曲線的定義知，，再依據(jù)得，進(jìn)而依據(jù)相像關(guān)系得，，，再結(jié)合雙曲線的定義得，故，進(jìn)而得答案.【詳解】由雙曲線的性質(zhì)，可知，.因?yàn)?，所以?又，且，所以，所以，所以，.因?yàn)?，所?又，所以，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題型，求離心率是圓錐曲線?？碱}型，涉及的方法包含1.依據(jù)干脆求，2.依據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.依據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.四、解答題18．（2024·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)料）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)分別為，．短軸端點(diǎn)分別為，，．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）把代入橢圓方程結(jié)合求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，進(jìn)而得到的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界），得到直線斜率的取值范圍.（1）由題設(shè)條件知，，，解得：，．故橢圓的方程為．（2）易證四邊形為正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)，明顯直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．如圖，設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，線段的中點(diǎn)為，由，得，①由，解得．②因?yàn)?，是方程①的兩根，所以，于是，．因?yàn)椋渣c(diǎn)不行能在軸的右邊，又直線，的方程分別為，，所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為．即，亦即．解得，此時(shí)②也成立，故直線斜率的取值范圍．19．（2024·四川·樹(shù)德中學(xué)高三期中）己知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線上的投影．當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為．（1）求的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與線段交于點(diǎn)．試問(wèn)：是否存在，使得和△的面積相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）依據(jù)三角形面積以及的形態(tài)，結(jié)合拋物線定義，列出方程組，即可求得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，寫出的方程，聯(lián)立橢圓方程，依據(jù)面積相等，列出等量關(guān)系，即可推斷和求解.（1）設(shè)，，∵為等邊三角形時(shí)，其面積為，∴，解得，∵Q為P在動(dòng)直線上的投影，∴；當(dāng)為等邊三角形時(shí)，，由拋物線的定義知，，∴，解得，∴C的方程為；（2）設(shè)，，，則，∵，∴，∴切線l：，即l：，，∴，∴；∵，∴，，∵和△的面積相等，且A，M，B在同一條直線上，則點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴，即，則．綜上，存在t，使得和三角形△面積相等恒成立，．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求解，以及拋物線中的存在性問(wèn)題；本題其次問(wèn)結(jié)合了導(dǎo)數(shù)的幾何意義用來(lái)求切線的方程，屬綜合困難題.20．（2024·上海浦東新·一模）已知斜率為的直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、.（1）若點(diǎn)和到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為和，求；（2）若，求的值；（3）點(diǎn)，，對(duì)隨意確定的實(shí)數(shù)，若是以為斜邊的直角三角形，推斷符合條件的點(diǎn)有幾個(gè)，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）一個(gè)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）依據(jù)拋物線的定義求得焦點(diǎn)弦長(zhǎng)；（2）直線的方程為，代入拋物線方