八省八校2025屆高三12月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題（含答案）

八省八校2025屆高三12月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間:2024年12月12日15:00-17:00試卷滿分：150分考試用時(shí)：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合A={x|ln(x--1)≤0},B={x|0≤2x--1≤2},則A∪B=A.{x|1＜x≤32}B.{xC.x|12≤x≤22.已知復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=4+i，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知變量x和變量y的一組成對樣本數(shù)據(jù)為((x?,y?)(i=1,2,3,…,8),其中x=98,其回歸直線方程為y=2x?14,當(dāng)增加兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)(一1，5)和(2，A.-3B.-2C.-1D.14.若正整數(shù)a，b滿足等式20232?2?=2024a+b,,且b＜2024,則b=A.1B.2C.2022D.20235.已知a,b均為非零向量,其夾角為θ,則“cosθ=1”是“|a-b|=|a|--|b|”的A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件6.已知等比數(shù)列{an}滿足1a1+1a2+A.78B.74C.72數(shù)學(xué)試題第1頁共4頁7.已知直線l經(jīng)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若使得OP=OA+OB成立的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3A.25B.35C.45D.58.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=CA=CB=2,∠APB=∠ACB=π2,E,F,G分別為PA,PB,PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，若此時(shí)恰好存在一個(gè)小球與三棱錐P-ABC的四個(gè)面均相切，且小球同時(shí)還與平面EFGA.6+2C.13+1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論正確的是A.若x＞0,則2xx2+1≤1B.若x＞y＞0,C.若xy≠0且x＜y,則1x＞1yD.若x＞y＞0,則10.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,0＜φ＜2π)的部分圖象如圖所示,則A.f(x)在區(qū)間?πB.f(x)圖象的一條對稱軸方程為x=C.f(x)圖象的一個(gè)對稱中心為點(diǎn)11πD.f(x)在區(qū)間0π4上的值域?yàn)閇111.甲同學(xué)想用一支鉛筆從如下的直三棱柱的頂點(diǎn)C?出發(fā)沿三棱柱的棱逐步完成“一筆畫”，即每一步均沿著某一條棱從一個(gè)端點(diǎn)到達(dá)另一個(gè)端點(diǎn)，緊接著從上一步的終點(diǎn)出發(fā)隨機(jī)選擇下一條棱再次畫出，進(jìn)而達(dá)到該棱的另一端點(diǎn)，按此規(guī)律一直進(jìn)行，其中每經(jīng)過一條棱稱為一次移動，并隨機(jī)選擇某個(gè)頂點(diǎn)處停止得到一條“一筆畫”路徑，比如“一筆畫”路徑(C?→B?→A?→A→C..若某“一筆畫”路徑中沒有重復(fù)經(jīng)過任何一條棱，則稱該路徑為完美路徑，否則為不完美路徑.下列說法正確的有A.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則甲不可能6次移動后回到點(diǎn)C?B.經(jīng)過4次移動后仍在點(diǎn)C?的概率為19C.若“一筆畫”路徑為完美路徑，則5次移動后回到點(diǎn)C?有5條不同筆跡D.經(jīng)過3次移動后，到達(dá)點(diǎn)A?的條件下經(jīng)過點(diǎn)C的概率為1數(shù)學(xué)試題第2頁共4頁三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a0,b＞013.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個(gè)隨機(jī)變量，且X~N(98，σ2)，對于X≥100的零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取500個(gè)，用Y表示這500個(gè)零件的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間(96，100)的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量Y的方差是.14.已知函數(shù)fx=a??1?log?x?1(其中a＞0四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為(a,b,c,且1(1)判斷△ABC的形狀;(2)設(shè)AB=2,且D是邊BC的中點(diǎn),求當(dāng)∠CAD最大時(shí)△ABC的面積.16.(本小題滿分15分)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,AP=AD=2AB=4BC.(1)求證:平面PAC⊥平面PBD;(2)AM⊥平面PCD于點(diǎn)M,求二面角M-AD-P的余弦值.17.(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)f(1)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的單調(diào)性;(2)判斷并證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間π2數(shù)學(xué)試題第3頁共4頁18.(本小題滿分17分)已知過A(-1，0)，B(1，0)兩點(diǎn)的動拋物線的準(zhǔn)線始終與圓x2+y2=9相切，該拋物線焦點(diǎn)(1)求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)C(-3,0),D(2,0),過點(diǎn)D的動直線與曲線E交于M,N兩點(diǎn),設(shè)△CMN的外心為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：直線OQ與直線MN19.(本小題滿分17分)n為不小于3的正整數(shù)，對整數(shù)數(shù)列S0①將a?,a?,…,an中的a?減1,a?加1,其余項(xiàng)不變,稱此變換為對a1,a2,?,a②取i∈2?n?1,將a③將a1,a2,?,an中的an將數(shù)列S。做一次變換得到S?，將數(shù)列S?做一次變換得到S例如:n=4時(shí),對數(shù)列S?:0,—1,1,0依次做A?,A?變換,意義如下:先對S?做A?變換得到數(shù)列S?:0,0,?1,(1)n=5時(shí),給定數(shù)列S?:0,-1,1,0,0,求證:可以對S?做若干次變換得到數(shù)列0,0,0,0,0;(2)n=5時(shí)，求證：對任意整數(shù)數(shù)列S?:a?,a(3)若將變換①中的a?改為a?，將變換③中的(an??改為an??,在n=10時(shí)，求證：對任意整數(shù)數(shù)列S0:a1,2025屆高三部分重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題參考答案及多維細(xì)目表題號123456答案cDBDCA題號7891011答案ABADABCBCD12.【答案】813.【答案】4514.【答案】[c??,1)15.解：(1)由二倍角公式得sinsinB2+∴整理得sin即sinA2?∵A,B∈0π,∴A2?B(其他方法酌情給分)(2)由(1)及題設(shè),有AC=BC=2CD,∴===≥=32,∴∠CAD≤π6即∠CAD的最大值為π/6，此時(shí)由ADAC=32可得△ACD為直角三角形，又由(1)可得△ABC為正三角形,∴△ABC的面積S=3416.解:(1)在Rt△ABC和Rt△ABD中,tan∠BAC=BCAB=12,tan∠又PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.又AC,PA?平面PAC,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD.∴平面PAC⊥平面PBD.………………7分(2)∵AB,AD,AP兩兩互相垂直,∴分別以AB,AD,AP為x軸,y軸,≈軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)BC=1,則A(0,0,0),C(2,1,0),D(0,4,0),P(0,0,4),∴∵點(diǎn)M在平面PCD內(nèi),∴設(shè)PM則AM=AP+xPC+yPD=00.4+x(2,1,--4)+y(0,4,--………………9分∵AM⊥平面PCD.∴AM⊥PC,AM⊥PD.解得x∴AM=24………………12分∴點(diǎn)M到平面PAD的距離d1=2417,點(diǎn)M到棱AD設(shè)二面角M-AD-P大小為θ,則sinθ=∴即二面角M-AD-P的余弦值為21313.17.解:1f'x=cosx當(dāng)0＜x＜π2時(shí)即此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間0π2上單調(diào)遞增；………當(dāng)π2＜x從而f即此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間π2∴綜上所述，函數(shù)f(x)在區(qū)間0π2上單調(diào)遞增，在區(qū)間π22fπ2=1＞0,又f∴函數(shù)f(x)在區(qū)間π2π上存在唯一的零點(diǎn).………………當(dāng)x∈π3π2時(shí)，記.從而g且此時(shí)sin∴g'(x)＞0,g(x)=f'(x)在區(qū)間π3πg(shù)π=?1＜0,g3π2=π＞0,∴存在x?！师?π2,使得g(x?)=0,…11分且x∈(x∈x03πf(x)在區(qū)間x03π2∴由fπ=?π2+1＜0即函數(shù)f(x)在區(qū)間(π,x?)上無零點(diǎn);而由f即函數(shù)f(x)在區(qū)間x0∴函數(shù)f(x)在區(qū)間π23π2……15分18.解：(1)由題意知拋物線的焦點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和等于點(diǎn)A，B到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和，等于AB的中點(diǎn)O到準(zhǔn)線的距離的2倍，即等于圓x2+y2=∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=2,∴點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn)的橢圓E上,…3分設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1ab＞0),則2a=6,2c=2,∴a∴曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+(2)設(shè)直線MN:x=my+2(m≠0),由∴設(shè)M(x?,y?),N(x?,y?),則y?+yCM的中點(diǎn)坐標(biāo)為x1?3CM的垂直平分線的斜率為?x1+3y1?10分∴CM的垂直平分線方程為由x129∴CM的垂直平分線方程為y=?my1+同理CN的垂直平分線方程為y=?my2+設(shè)點(diǎn)Q(x?,y?),則y?,y?是方程y即y2+16mx?+16y?y+80x?=0相除得?mx0?∴即直線OQ與MN的斜率之積為定值-5.………17分(其他方法酌情給分)19.解:(1)對數(shù)列S。依次做A?,A?,A?變換即可.(2)首先,若對數(shù)列S?:u?,u?,a?,a?,a?依次做A;+?,A;+?,…,A?(i∈{1,2,3,4})變換,得到的數(shù)列a?加1.a?+?減1,其余項(xiàng)不變;若對數(shù)列中S?:a?,a?,a?,a?,a?依次做A?,A,-?,…,A?(i∈{1,2,3,4})變換,得到的數(shù)列中a,減1,a,+1加1,其余項(xiàng)不變.………7分∴可以通過若干次變換使得相鄰兩數(shù)一個(gè)加1.另一個(gè)減1，∴可以通過若干次變換使得第一項(xiàng)變?yōu)?，第二項(xiàng)變?yōu)閍?+a?.同樣的可以通過若干次變換分別使得a?，a?，a?均變?yōu)?,此時(shí)即為0,0,0,0,0.……10分(3)記此時(shí)的變換①為B?,變換③為B??.首先，記T?=a?+a?+a?+a?+a?,T?=a?+a?+a?+a?+a??,每次變換使得T?的值加2或減2或不變，故可以經(jīng)過若干次變換使得T?=0.此時(shí)T?=0;其次,對任意數(shù)列S?:a?,a?,…,a??依次做A,-?,A,,A,,A,+?變換,其中j∈{3.4,…,8},得到的數(shù)列中a，減2,a;-2,a,+2均加1，其余項(xiàng)不變，記此變換為B，，依次做A?，A?，A??變換，得到的數(shù)列中a?減1.a?加1，其余項(xiàng)不變，記此變換為B?，此時(shí)B?,B?,B?,B?,B?只變換a?,a?,a?,a?,a?,且對a?,a?,as,a?,a?規(guī)則同第(2)問,且T?=0,……………15分∴由(2)知可以對S。做若干次變換，得到的數(shù)列中a?=a?=a?=a?=a?=0.同理可以再對S。做若干次變換，得到的數(shù)列中a?=a?=a?=a?=a??=0,則此時(shí)得到數(shù)列0.(其他方法酌情給分)多維細(xì)目表題型題號分值必備知識學(xué)科素養(yǎng)預(yù)估難度數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析易中難選擇題15集合與簡易邏輯??選擇題25復(fù)數(shù)??選擇題35統(tǒng)計(jì)與概率??選擇題45二項(xiàng)式定理???選擇題55平面向量???選擇題65等比