艾森斯坦判別法的推廣及其應(yīng)用

目錄1引言12核心概念與定義13艾森斯坦判別法23.1艾森斯坦判別法的證明23.2艾森斯坦判別法的應(yīng)用34艾森斯坦判別法推廣到高斯整環(huán)54.1艾森斯坦判別法的推廣證明54.2艾森斯坦判別法推廣后的應(yīng)用65結(jié)束語(yǔ)6參考文獻(xiàn)7致謝8摘要：艾森斯坦判別法是一種用來(lái)判斷整環(huán)中的元素是否可以唯一分解為素元的方法，也能判斷整系數(shù)多項(xiàng)式是否可約，但只是充分條件。本文主要討論多項(xiàng)式的系數(shù)為高斯整環(huán)時(shí)，艾森斯坦判別法的推廣形式。高斯整環(huán)是一種特殊的整數(shù)環(huán)，其中包含了所有的高斯整數(shù)，即形如a+bi的數(shù)，其中a和b都是整數(shù)，i是虛數(shù)單位。在高斯整環(huán)中，艾森斯坦判別法仍然適用，可以用于判斷高斯整系數(shù)多項(xiàng)式的不可約性。因此，我們需要對(duì)艾森斯坦判別法進(jìn)行適當(dāng)?shù)男薷?，以便能夠處理這種更一般的情況。關(guān)鍵詞：艾森斯坦判別法；高斯整環(huán)；整數(shù)；不可約性；1引言艾森斯坦判別法作為充分條件，用來(lái)判斷整系數(shù)多項(xiàng)式能否可約。具體地說(shuō)，如果有一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)=anxn+an?1x高斯整環(huán)，也被稱(chēng)為高斯整數(shù)環(huán)，是復(fù)數(shù)域C中的一個(gè)特殊環(huán)。它由所有形如a+bi的數(shù)構(gòu)成，其中a和b都是整數(shù)，且i是虛數(shù)單位，滿足i2=-1。這個(gè)環(huán)對(duì)于通常的加法和乘法運(yùn)算形成一個(gè)整環(huán)。在高斯整環(huán)中，單位元只有四個(gè)，分別是1,-1,i和-i。此外，高斯整環(huán)的素元有特定的條件：如果a和b都不為0，且a2+b2是素?cái)?shù)，那么這個(gè)高斯整數(shù)就是素元。在高斯整環(huán)中，艾森斯坦判別法同樣適用，可以用來(lái)判斷高斯整環(huán)中的多項(xiàng)式是否可唯一分解為素元。具體來(lái)說(shuō)，如果有一個(gè)高斯整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)，其形式為f(x)=anxn+an?1xn?1+?+a0（其中an這一推廣形式的艾森斯坦判別法同樣是一個(gè)充分條件，可以用來(lái)判斷高斯整環(huán)中的多項(xiàng)式是否可約。它基于高斯整環(huán)的唯一分解性質(zhì)，利用高斯素?cái)?shù)的特性來(lái)判斷多項(xiàng)式的可約性。這對(duì)于在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行多項(xiàng)式分析和因式分解非常有用。2核心概念與定義高斯整數(shù)環(huán)（ringofGaussintegers）是歐氏環(huán)的一個(gè)著名例子。設(shè)Z[i]={a+bi|a,b是整數(shù)，i為虛數(shù)單位}。Z[i]對(duì)通常數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)整環(huán)，稱(chēng)為高斯整數(shù)環(huán)。[[1]丘維聲.抽象代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2003:135.[1]丘維聲.抽象代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2003:135.數(shù)域P上次數(shù)≧1的多項(xiàng)式p(x)稱(chēng)為域p上的不可約多項(xiàng)式，如果它不能表成數(shù)域P上的兩個(gè)次數(shù)比p(x)的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積。[[][]馬躍超.整系數(shù)不可約多項(xiàng)式的兩個(gè)判別法[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1988(06):20－21．在環(huán)R中，如果理想P滿足以下條件，則稱(chēng)P為素理想：P是R的真理想，即P不等于R；對(duì)于R中的任意兩個(gè)元素a和b，如果ab屬于P，則a或b至少有一個(gè)屬于P。[[][]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M]修訂本.北京:人民教育出版社,1978:89.商域（quotientfield）是抽象代數(shù)中的一個(gè)概念。它涉及到整環(huán)（integritydomain）的局部化。具體地說(shuō)，設(shè)整環(huán)R的所有非零元組成的乘性子集為S，則分式環(huán)s?1R被定義為商域。[[[]寇福來(lái).Eisenstein判別法的推廣[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(05):9-11.3艾森斯坦判別法3.1艾森斯坦判別法的證明為了更簡(jiǎn)潔地證明艾森斯坦判別法，引入一個(gè)引理.引理1如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.[[][]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2013:302-305.證明：設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)有分解式f(x)=其中g(shù)(x),h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，且σ令f(x)=af1(x),這里f1(x),g1(x),?1(x)都是本原多項(xiàng)式，a所以g1rs=這就是說(shuō)rs是一整數(shù)，因此有f(x)=(rs這里rsg1(x)定理1（艾森斯坦判別法）設(shè)f(x)=是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù)p，使得（1）p?（2）p/an?1，an?2（3）p2那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的.證明如果f(x)在有理數(shù)域上可約，那么由引理1，f(x)可以分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積：f(x)=(l,m＜n，l+m=n.于是a因?yàn)閜/a0,所以p能整除b0或c0.但是p2?a0，所以p不能同時(shí)整除b0及c0.因此不妨假定p/b0但p?c0.另一方面，因?yàn)閍式中ak，bk?1，?，b0都能被p整除，所以bkc3.2艾森斯坦判別法的應(yīng)用例1判斷多項(xiàng)式x4?8x3[]王萼芳,石生明.高等代數(shù)數(shù)輔與習(xí)題解答.北京:高等教育出版社,2013.12.該例題只需取素?cái)?shù)p=2.該多項(xiàng)式a4=1a3=-8a2=12a得出多項(xiàng)式系數(shù)并不難，也不難發(fā)現(xiàn)（1）p?（2）p/a3，a2（3）p2很顯然，符合艾森斯坦判別法，據(jù)此可知該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是不可約的，再看下面的例題.例2判斷多項(xiàng)式4x4+9x2+6x+3[]張海山.Eisenstein判別法的推廣[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,(03):13-15.DOI:10.19789/j.1004-9398.2001.03.003.該例題只需取素?cái)?shù)p=3.該多項(xiàng)式a4=4a3=0a2=9a得出多項(xiàng)式系數(shù)并不難，也不難發(fā)現(xiàn)（1）p?（2）p/a3，a2（3）p2很顯然，按照艾森斯坦判別法，該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上并不可約，繼續(xù)舉例說(shuō)明.例3判斷多項(xiàng)式3x4+4x該例題只需取素?cái)?shù)p=3.該多項(xiàng)式a4=3a3=4a2=8a得出多項(xiàng)式系數(shù)并不難，也不難發(fā)現(xiàn)（1）p?（2）p/a3，a2（3）p2滿足艾森斯坦判別法的相關(guān)條件，很顯然，該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是不可約的.再看接下來(lái)的例題.例4判斷多項(xiàng)式x4例題中多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是不可約的，但該多項(xiàng)式a4=1a3=0a2得出多項(xiàng)式系數(shù)并不難，顯然找不出素?cái)?shù)p使得（1）p?（2）p/a3，a2（3）p2該例子很好地說(shuō)明了艾森斯坦判別法是充分不必要條件.4艾森斯坦判別法推廣到高斯整環(huán)在以上的例子中已經(jīng)足夠看出艾森斯坦判別法條件的嚴(yán)格，適用范圍也并不大，所以將艾森斯坦判別法拓展到其他環(huán)上是很有必要的[[][]張鴻圖.Eisenstein判別法的應(yīng)用(2)[Ｊ].聊城師院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1991(03):27－29．綜上所述，將艾森斯坦判別法推廣到高斯整環(huán)上也將對(duì)許多問(wèn)題提供一個(gè)有效的方法.該證明需要運(yùn)用近世代數(shù)中的相關(guān)知識(shí)，例如素理想，商域，環(huán)等性質(zhì)進(jìn)行推廣證明.4.1艾森斯坦判別法的推廣證明定理2[[]王子茹,梅瑞,梁菊先.Eisenstein判別法的變換與推廣[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,33(05):9-13+19.]設(shè)高斯整環(huán)G，Q是G的商域，G[x]是G上未定元x的多項(xiàng)式環(huán)，[]王子茹,梅瑞,梁菊先.Eisenstein判別法的變換與推廣[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,33(05):9-13+19.（1）a（2）a（3）a那么f(x)不能分解為G[x]中兩個(gè)次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式的乘積；換而言之，f(x)在F(x)中不可約.證明用反證法，假設(shè)在G[x]中，有f(x)=g(x)?(x)g(x)=?(x)=其中b那么a因?yàn)閍0=b0c0∈P，P為R的素理想，所以b0∈P或c可以斷言不能有bi∈P，i=0,1,2，?，r.若不然，br∈P可推出b0，考察f(x)的系數(shù)a因?yàn)閗≤r<n，所以由（2），ak∈P得(bk?1c1+?+b1注：高斯整環(huán)的商域Q是Q[i]={a+bi|a,b∈Q且不難發(fā)現(xiàn)艾森斯坦判別法不僅能推廣到高斯整環(huán)，還能推廣到其他整環(huán)上.4.2艾森斯坦判別法推廣后的應(yīng)用例5判斷多項(xiàng)式（1-2i）x4+1+2i在Q[i]={a+bi|a,b與整系數(shù)多項(xiàng)式中的艾森斯坦判別法類(lèi)似，有一素理想P，且1+2i∈P則顯然滿足條件（1）a（2）a（3）a可知該多項(xiàng)式在高斯整環(huán)的商域上不可約.與整系數(shù)多項(xiàng)式中的艾森斯坦判別法一樣，推廣后的也只是充分不必要條件.[[][]金國(guó)祥.對(duì)“Eisenstein判別法的應(yīng)用（2）”一文中所承認(rèn)的一個(gè)結(jié)論的商榷[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1993(04):44－47.5結(jié)束語(yǔ)在本文中，我們深入探討了艾森斯坦判別法在高斯整環(huán)的推廣。通過(guò)系統(tǒng)的理論分析和實(shí)證研究，我們成功地將艾森斯坦判別法從傳統(tǒng)的整數(shù)環(huán)推廣到了高斯整環(huán)，進(jìn)一步豐富了代數(shù)數(shù)論的研究?jī)?nèi)容。通過(guò)艾森斯坦判別法，我們不僅可以在特定的數(shù)域中判斷多項(xiàng)式的不可約性，還可以將其應(yīng)用于更廣泛的整環(huán)環(huán)境。這一推廣不僅豐富了數(shù)論和代數(shù)學(xué)的研究工具，也為解決更復(fù)雜的問(wèn)題提供了新的視角和方法。在高斯整環(huán)的框架下，艾森斯坦判別法的應(yīng)用更加靈活和多樣。我們可以利用它來(lái)探究高斯整環(huán)中元素的分解性質(zhì)，揭示高斯整環(huán)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在規(guī)律。同時(shí)，這一判別法也為整環(huán)上的多項(xiàng)式分解提供了有效的判斷依據(jù)，有助于我們更深入地理解高斯整環(huán)的代數(shù)性質(zhì)?？傊?，艾森斯坦判別法推廣到整環(huán)為我們提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具，用于研究整環(huán)的分解性質(zhì)和多項(xiàng)式分解問(wèn)題。這一推廣不僅拓寬了艾森斯坦判別法的應(yīng)用范圍，也為我們解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的思路和方法。展望未來(lái)，我們將繼續(xù)關(guān)注艾森斯坦判別法在不同整環(huán)上的推廣和應(yīng)用。我們相信，隨著研究的深入，艾森斯坦判別法將在更多領(lǐng)域發(fā)揮重要作用，為數(shù)學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展做出更大的貢獻(xiàn)。參考文獻(xiàn)[1]丘維聲.抽象代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2003:135.[2]馬躍超.整系數(shù)不可約多項(xiàng)式的兩個(gè)判別法[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1988(06):20－21．[3]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M]修訂本.北京:人民教育出版社,1978:89.[4]寇福來(lái).Eisenstein判別法的推廣[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(05):9-11.[5]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2013:302-305.[6]王萼芳,石生明.高等代數(shù)數(shù)輔與習(xí)題解答.北京:高等教育出版社,2013.12.[7]張海山.Eisenstein判別法的推廣[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,(03):13-15.DOI:10.19789