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上海市交通大學附屬中學2025屆高考數(shù)學五模試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.52.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.193.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.54.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且5.已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離6.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.7.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.78.對于定義在上的函數(shù),若下列說法中有且僅有一個是錯誤的,則錯誤的一個是()A.在上是減函數(shù) B.在上是增函數(shù)C.不是函數(shù)的最小值 D.對于,都有9.如圖在直角坐標系中,過原點作曲線的切線,切點為,過點分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機選取一點,則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.10.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.64211.已知函數(shù),當時,的取值范圍為,則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.12.是平面上的一定點,是平面上不共線的三點,動點滿足,,則動點的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_________.14.在中,角、、所對的邊分別為、、,若,,則的取值范圍是_____.15.某班有學生52人,現(xiàn)將所有學生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________.16.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個元素,則實數(shù)a的值為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持,在我國有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名,還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴把質(zhì)量關,合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關,質(zhì)量把關程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關,則該手工藝品質(zhì)量為A級;(ii)若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關,再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關,若第二次質(zhì)量把關這2位行家都認為質(zhì)量過關,則該手工藝品質(zhì)量為B級,若第二次質(zhì)量把關這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關,則該手工藝品質(zhì)量為C級;(iii)若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關,則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關相互獨立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷,且利潤分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級不能外銷,利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤為X元,求X的分布列與期望.18.(12分)已知橢圓E:()的離心率為,且短軸的一個端點B與兩焦點A,C組成的三角形面積為.(Ⅰ)求橢圓E的方程;(Ⅱ)若點P為橢圓E上的一點,過點P作橢圓E的切線交圓O:于不同的兩點M,N(其中M在N的右側),求四邊形面積的最大值.19.(12分)已知三棱錐中側面與底面都是邊長為2的等邊三角形,且面面,分別為線段的中點.為線段上的點,且.(1)證明:為線段的中點;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關?非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63521.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,直線交曲線于兩點,為中點.(1)求曲線的直角坐標方程和點的軌跡的極坐標方程;(2)若,求的值.22.(10分)已知圓的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點:復數(shù)的代數(shù)運算,復數(shù)相等的充要條件,復數(shù)的模2、B【解析】

由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.3、B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉化為a,b,c的關系式.4、D【解析】

首先把三視圖轉換為幾何體,根據(jù)三視圖的長度,進一步求出個各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉換,主要考查運算能力和轉換能力及思維能力,屬于基礎題.5、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r6、B【解析】

根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡,再利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切后,將代入計算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關系,以及直線傾斜角與斜率之間的關系,熟練掌握公式是解本題的關鍵.7、B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關系求公差,屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調(diào)性的關系,進行判斷即可.【詳解】由得關于對稱,若關于對稱,則函數(shù)在上不可能是單調(diào)的,故錯誤的可能是或者是,若錯誤,則在,上是減函數(shù),在在上是增函數(shù),則為函數(shù)的最小值,與矛盾,此時也錯誤,不滿足條件.故錯誤的是,故選:.【點睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應用,結合對稱性和單調(diào)性的關系是解決本題的關鍵.9、A【解析】

設所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關于的方程,可得出,求出的值,進而求得切點的坐標,利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點,所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型,同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.10、A【解析】

設球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設球心為O,則由球的幾何知識得ΔOO1M所以OM=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點睛】本題考查與球有關的組合體的問題,解答本題的關鍵有兩個:(1)構造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內(nèi)求出球的半徑,這是解決與球有關的問題時常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=a+b-c11、C【解析】

求導分析函數(shù)在時的單調(diào)性、極值,可得時,滿足題意,再在時,求解的x的范圍,綜合可得結果.【詳解】當時,,令,則;,則,∴函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為,∴時,的取值范圍為,∴又當時,令,則,即,∴綜上所述,的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)分析函數(shù)值域的方法,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),屬于難題.12、B【解析】

解出,計算并化簡可得出結論.【詳解】λ(),∴,∴,即點P在BC邊的高上,即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應用,根據(jù)條件中的角計算是關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設,由球與四棱錐的內(nèi)切關系可知,設,用和表示四棱錐的體積,解得和的關系,進而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進而求出球的體積的最大值.【詳解】設,,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當且僅當時,等號成立,此時.故答案為:.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題,內(nèi)切球問題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.14、【解析】

計算出角的取值范圍,結合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】,則,所以,,由正弦定理,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題主要考查了正弦定理,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),考查了轉化思想,屬于基礎題.15、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.16、2【解析】

利用AB中有且只有一個元素,可得,可求實數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素,所以,即.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,集合交集的運算本質(zhì)是存同去異,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)①2②期望值為X900600300100P【解析】

(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,.由得,所以當時,,即,由得,所以當時,,所以當時,最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由上可得一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為,所以X的分布列為X900600300100P則期望為.18、(Ⅰ);(Ⅱ)4.【解析】

(Ⅰ)結合已知可得,求出a,b的值,即可得橢圓方程;(Ⅱ)由題意可知,直線的斜率存在,設出直線方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用判別式等于0可得,聯(lián)立直線方程與圓的方程,結合根與系數(shù)的關系求得,利用弦長公式及點到直線的距離公式,求出,得到,整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解:(Ⅰ)可得,結合,解得,,,得橢圓方程;(Ⅱ)易知直線的斜率k存在,設:,由,得,由,得,∵,設點O到直線:的距離為d,,,由,得,,,∴∴,∴而,,易知,∴,則,四邊形的面積當且僅當,即時取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點睛】本題考查了由求橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,考查了學生的計算能力,綜合性比較強,屬于難題.19、(1)見解析;(2)【解析】

(1)設為中點,連結,先證明,可證得,假設不為線段的中點,可得平面,這與矛盾,即得證;(2)以為原點,以分別為軸建立空間直角坐標系,分別求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【詳解】(1)設為中點,連結.∴,,又平面,平面,∴.又分別為中點,,又,∴.假設不為線段的中點,則與是平面內(nèi)內(nèi)的相交直線,從而平面,這與矛盾,所以為線段的中點.(2)以為原點,由條件面面,∴,以分別為軸建立空間直角坐標系,則,,,,,,.設平面的法向量為所以取,則,.同法可求得平面的法向量為∴,由圖知二面角為銳二面角,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何與空間向量綜合,考查了學生邏輯推理,空間想象,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.20、(1)無關;(2),.【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人

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