河南省靈寶市實(shí)驗(yàn)高中2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

河南省靈寶市實(shí)驗(yàn)高中2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．2．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問(wèn)折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問(wèn)折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)D．去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元．5．小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A． B． C． D．6．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．周期為 D．在上是增函數(shù)7．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)，現(xiàn)日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過(guò)程中，“閱讀文章”不能放首位，四個(gè)答題板塊中有且僅有三個(gè)答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4328．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī)，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，9．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．10．從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，若在中，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn)，的面積為3，則的值是______.14．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.15．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，．若，，，則_____________16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（異于原點(diǎn)O）為y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長(zhǎng)為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程,并說(shuō)明其表示什么軌跡；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離.18．（12分）為了解廣大學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)校園食品安全的認(rèn)識(shí)，某市食品安全檢測(cè)部門對(duì)該市家長(zhǎng)進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長(zhǎng)僅有一次參加機(jī)會(huì)，現(xiàn)對(duì)有效問(wèn)卷進(jìn)行整理，并隨機(jī)抽取出了200份答卷，統(tǒng)計(jì)這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.（1）請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求；（2）該市食品安全檢測(cè)部門為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生家長(zhǎng)制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)：②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）概率市食品安全檢測(cè)部門預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)約5000人，請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話費(fèi)？附：①；②若；則，，.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，為等邊三角形，平面底面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）點(diǎn)在線段上，且，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，為圓與曲線的公共點(diǎn)，若直線的斜率，且，求的值．21．（12分）已知拋物線，焦點(diǎn)為，直線交拋物線于兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)是原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別是，當(dāng)直線的縱截距為1時(shí)，有數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知存在正整數(shù)使得，求m的值.22．（10分）某動(dòng)漫影視制作公司長(zhǎng)期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場(chǎng)和廣大觀眾的一致好評(píng)，同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤(rùn).該公司年至年的年利潤(rùn)關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤(rùn)與年份代號(hào)線性相關(guān)）.年份年份代號(hào)年利潤(rùn)（單位：億元）（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司年（年份代號(hào)記為）的年利潤(rùn)；（Ⅱ）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤(rùn)的實(shí)際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤(rùn)的估計(jì)值時(shí)，稱該年為級(jí)利潤(rùn)年，否則稱為級(jí)利潤(rùn)年.將（Ⅰ）中預(yù)測(cè)的該公司年的年利潤(rùn)視作該年利潤(rùn)的實(shí)際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機(jī)抽取年，求恰有年為級(jí)利潤(rùn)年的概率.參考公式：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.2、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.3、C【解析】試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1．考點(diǎn)：程序框圖．4、C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長(zhǎng)，所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了圖表分析，學(xué)生的分析能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為，以12：00點(diǎn)為開始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解析】

當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；f(x)得周期，當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù)．本題選擇D選項(xiàng).7、C【解析】

四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個(gè)答題板塊中選三個(gè)捆綁在一起，和另外一個(gè)答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問(wèn)題．對(duì)相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法是解決這類問(wèn)題的常用方法．8、B【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績(jī)不小于80的有12個(gè)，成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè)，故，．考點(diǎn)：程序框圖、莖葉圖．9、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)10、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，所以，解得，把點(diǎn)代入拋物線方程可得，，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入斜率公式可得，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形，構(gòu)造函數(shù)，并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，結(jié)合存在性問(wèn)題的求法，即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，，由題意得，即，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)的結(jié)構(gòu)形式，設(shè)，求導(dǎo)，則，在上是增函數(shù)，再根據(jù)在中，，得到，，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到，再利用的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以，在上是增函數(shù)，在中，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，且，所以，即，所以，即故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對(duì)求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程，令，可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，由的面積為3，求解即得.【詳解】由題，，切線斜率，則切線方程為，令，解得，又的面積為3，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，難度不大.14、【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡(jiǎn)單組合體的體積應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．15、或【解析】試題分析：由，則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系：，已知兩邊及其對(duì)角，求角．用正弦定理；，則；可得．考點(diǎn)：運(yùn)用正弦定理解三角形．（注意多解的情況判斷）16、【解析】分析：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長(zhǎng)．詳解：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），表示圓心為，半徑為的圓；（2）【解析】

（1）根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.（2）直線方程為，計(jì)算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.【詳解】（1），即，化簡(jiǎn)得到：.即，表示圓心為，半徑為的圓.（2），即，圓心到直線的距離為.故曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直線和圓的距離的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18、（1）；（2）估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話費(fèi)【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.（2）設(shè)某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)為元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出的話費(fèi)數(shù)額.【詳解】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據(jù)題意，某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)的可能值有10，20，30，40元，且每位家長(zhǎng)獲得贈(zèng)送1次、2次話費(fèi)的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費(fèi)；得分不低于平均值，2次均獲贈(zèng)10元話費(fèi)，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈(zèng)10元話費(fèi)，另一次獲贈(zèng)20元話費(fèi)，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機(jī)會(huì)均獲20元話費(fèi)，概率為.所以變量的分布列為：某家長(zhǎng)獲贈(zèng)話費(fèi)的期望為.所以估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話費(fèi).【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計(jì)算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)進(jìn)行，本題屬于中檔題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得底面，由此證得，結(jié)合證得平面，由此證得：平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由題意可知為正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，由已知，得，設(shè)平面的法向量為，則令，則，∴由（1）知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、見解析【解析】

（1）設(shè)，則點(diǎn)到軸的距離為，因?yàn)閳A被軸截得的弦長(zhǎng)為，所以，又，所以，化簡(jiǎn)可得，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€的斜率，所以可設(shè)直線的方程為，由及，消去可得，所以，，所以．設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，，所以直線的斜率為，所以，所以，所以．易得