福建福州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

福建福州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）班級____________姓名____________座號____________一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．）1.數(shù)列、、、的下一項應(yīng)當(dāng)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】視察數(shù)列的項之間的改變規(guī)律，即可求得答案.【詳解】視察數(shù)列、、、的項之間的規(guī)律，可得根號下的數(shù)依次增加4，故數(shù)列、、、的下一項應(yīng)當(dāng)是，故選：C2.已知方程表示的曲線是橢圓,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】因為方程表示的曲線是橢圓，所以，解得且，即實數(shù)的取值范圍是，故選B.3.若向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義推斷．【詳解】由已知，，，與不垂直．，若，則，，但是，，因此與不共線．故選：D．4.若直線與直線平行，則m的值為（）A.2 B. C.2或 D.或【答案】B【解析】【分析】依據(jù)直線的平行可列出方程，求得m的值，驗證直線是否重合，即得答案.【詳解】由題意知直線與直線平行，而直線的斜率為，則直線必有斜率，即，則，故，解得或，當(dāng)時，直線與直線重合，不合題意；當(dāng)時，直線與直線平行，符合題意，故，故選：B5.設(shè)為直線上的動點(diǎn)，為圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由切線的性質(zhì)可得四邊形面積為，求出，又為圓心到直線的距離，即可求解.【詳解】圓的圓心，半徑為，為兩條切線，為切點(diǎn)，，四邊形面積為，故當(dāng)最小時，四邊形面積最小，又最小值為圓心到直線的距離，，故四邊形面積最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6.設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列滿意的條件求得公比，將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知正項等比數(shù)列滿意，設(shè)的首項和公比分別為，則，即，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：B7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由可得，求出，結(jié)合拋物線的定義，即可得解．【詳解】解：由拋物線，可知，準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，因為，所以，所以，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：C．8.如圖所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】選定基底，依據(jù)空間向量的加減運(yùn)算表示出，再依據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得，，則,故選：B二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．漏選得2分，選錯不得分．）9.已知為直線l的方向向量,分別為平面,的法向量（,不重合）,那么下列說法中正確的有（）．A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)法線面垂直平行的性質(zhì)及法向量、方向向量的概念即可選出選項.【詳解】解:若,因為,不重合,所以,若,則共線,即,故選項A正確;若,則平面與平面所成角為直角,故,若,則有,故選項B正確;若,則,故選項C錯誤;若,則或,故選項D錯誤.故選:AB10.已知曲線，則下列結(jié)論正確是（）A.若曲線C是橢圓，則其長軸長為 B.若，則曲線C表示雙曲線C.曲線C可能表示一個圓 D.若，則曲線C中過焦點(diǎn)的最短弦長為【答案】BD【解析】【分析】因為恒成立，所以，曲線C不行能為圓，可推斷選項C錯誤，當(dāng)時為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，可推斷選項A錯誤，時為雙曲線，所以選項B正切，時，曲線方程確定，須要用弦長公式求解弦長的最小值【詳解】解：由題意，若曲線C是橢圓，則，因為恒成立，所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以其長軸長為，故A錯誤；若，依據(jù)雙曲線定義可知曲線C表示雙曲線，故B正確；因為對隨意的m恒成立，所以曲線C不行能表示一個圓，故C錯誤；若，則曲線C為橢圓，方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，若過焦點(diǎn)的直線斜率為0時，此時該直線截橢圓C的弦長為；若過焦點(diǎn)直線斜率不為0時，不妨設(shè)該直線過橢圓C的右焦點(diǎn)，方程為，與橢圓C的兩個交點(diǎn)分別為，由，可得，則有，當(dāng)時，上式不等式可取等號，即綜上，可知橢圓中過焦點(diǎn)的最短弦長為，故D正確；故選：BD11.已知直線，圓C的方程為，則下列選項正確的是（）A.直線l與圓肯定相交B.當(dāng)k=0時，直線l與圓C交于兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)E是圓C上的動點(diǎn)，則面積的最大值為C.當(dāng)l與圓有兩個交點(diǎn)M，N時，|MN|的最小值為2D.若圓C與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C，D四個點(diǎn)，則四邊形ABCD的面積為48【答案】AC【解析】【分析】由直線過定點(diǎn)在圓內(nèi)推斷A，由圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值，求得三角形面積最大值推斷B，當(dāng)定點(diǎn)與圓心連線垂直于直線時，弦長最短，由勾股定理計算可得弦長，推斷C，求出圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由面積公式計算面積推斷D．【詳解】直線過定點(diǎn)，，在圓內(nèi)，因此直線肯定與圓相交，A正確；時，直線為，代入圓方程得，，因此，圓心為，圓半徑為，圓心到直線的距離為，因此到直線的距離的最大值為，的面積最大值為，B錯；當(dāng)l與圓有兩個交點(diǎn)M，N時，|MN|的最小時，，，因此，C正確；在圓方程中分別令和可求得圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，四邊形面積為，D錯．故選：AC．12.如圖的形態(tài)出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家揚(yáng)輝所著的《詳解九章算法·商功》中后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，其次層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)第n層有個球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.不存在正整數(shù)，使得為質(zhì)數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)每層的球的個數(shù)可得，利用累加法求得，即可求得的值，推斷A，B；依據(jù)，可推斷C；依據(jù)，結(jié)合數(shù)的奇偶性，可推斷D.【詳解】依題意因為，以上n個式子累加可得︰,又滿意上式，所以,故，故A錯誤；因，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，故當(dāng)且為整數(shù)時，，此時必為偶數(shù)，則為整數(shù)，且為合數(shù)，則不存在正整數(shù)，使得為質(zhì)數(shù)，D正確，故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為________________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩條直線平行的關(guān)系，可知所求直線的斜率，可得結(jié)果.【詳解】由直線與直線平行所以直線的斜率為：又直線過點(diǎn)，所以依據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程為：即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，對于平面中兩條直線的位置關(guān)系，可想到斜率之間的聯(lián)系，屬基礎(chǔ)題.14.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，點(diǎn)若點(diǎn)E在直線AB上，且，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)E在直線AB上，可得，然后利用，即可求解E的坐標(biāo).【詳解】由題意可得：，∵點(diǎn)E在直線AB上，∴，又∵，則，∴，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為.故答案為：15.已知數(shù)列{an}滿意a1=1，，則{an}的前20項和等于___________.【答案】300【解析】【分析】由數(shù)列的通項公式可求得，推出數(shù)列的通項公式可得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，求解即可.【詳解】因為所以，由題意可得，其中，可得，則，當(dāng)時，也適合上式，所以，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，則的前20項和為故答案為：300.16.設(shè)、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，、是雙曲線上關(guān)于軸對稱的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，則雙曲線的離心率是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，有，結(jié)合已知得，進(jìn)而求離心率即可.【詳解】設(shè)，而，則，∵，又，則，而，∴，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用點(diǎn)在雙曲線上且關(guān)于x軸對稱，結(jié)合已知條件得到，應(yīng)用離心率公式求即可.四、解答題（本大題共6小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.已知等差數(shù)列中，為其前n項和，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)題意列出方程組，求得首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式.（2）由（1）可得，利用裂項求和即可求得答案.【小問1詳解】由題意等差數(shù)列中，，設(shè)公差為d，可得，解得，故.【小問2詳解】由（1）可得，故.18.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切．（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)的作圓C的切線，求切線方程．【答案】（1）；（2）和．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)到直線距離公式得圓半徑后可得圓方程；（2）分類探討，檢驗斜率不存在的直線是否為切線，斜率存在時設(shè)出切線方程，由圓心到切線的距離等于半徑得結(jié)論．【小問1詳解】由題意，圓半徑不，所以圓方程為；【小問2詳解】易知過點(diǎn)斜率不存在的直線是圓的切線，再設(shè)斜率存在的切線方程為，即，，解得，直線方程為，即．所以切線方程是和．19.已知過點(diǎn)的拋物線方程為，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；（2）求所在的直線方程.【答案】(1)拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)或.【解析】【分析】(1)依據(jù)給定條件求出p值即可求解；(2)設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并借助弦長公式求解即得.【詳解】(1)因點(diǎn)在拋物線方程上，則，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：；(2)明顯，直線不垂直y軸，設(shè)直線方程為：，由消去x得：，設(shè)，則有，于是得，解得，即直線AB：，所以所在的直線方程：或.20.如圖，四棱錐中，平面，，E為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，，可得平面.（2）分別求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.【小問1詳解】連接，如圖所示：中，，，為等腰三角形，E為中點(diǎn)，∴，平面，平面，∴，平面，所以平面.【小問2詳解】以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，有，，，，，，平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得,∴,二面角的平面角為，，所以二面角的余弦值為.21.已知數(shù)列的前n項和為，滿意．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用，，可得為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求得通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可求．【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由可得，兩式相減可得，即，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1），，則，兩式相減得，所以．點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由數(shù)列前項和求通項公式時，一般依據(jù)求解，考查學(xué)生的計算實力.22.設(shè)a，b是實數(shù)，若橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓E的上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，摸索究過C，D兩點(diǎn)的直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因為