2025屆新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練專題24利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問(wèn)題教師版

專題24利用導(dǎo)數(shù)解決雙變量問(wèn)題一、單選題1．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)于，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意只需，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，推斷單調(diào)性求出最小值，對(duì)函數(shù)探討對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，得到函數(shù)最小值，利用即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若對(duì)于，，使成立，只需，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，所以函數(shù)取得最小值．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取得最小值，需，不成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)取得最小值，需，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取得最小值，需，解得或，此時(shí)無(wú)解；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)在區(qū)間的最值的求法，考查分類探討思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.2．已知函數(shù)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】的兩個(gè)極值點(diǎn)是的兩個(gè)根，依據(jù)韋達(dá)定理，確定的關(guān)系，用表示出，用表示出，求該函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：的定義域，，令，則必有兩根，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以的最小值為故選：A.【點(diǎn)睛】求二元函數(shù)的最小值通過(guò)二元之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最小值，同時(shí)考查運(yùn)算求解實(shí)力和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，中檔題.3．已知函數(shù)，若，其中，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件，通過(guò)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，以及畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可知，進(jìn)而可得，最終通過(guò)設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】由題意，，，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，作函數(shù)的圖象如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，有唯一解，故，且，∴，設(shè)，，則，令，解得，易得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，即的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，變形計(jì)算實(shí)力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題，本題可得關(guān)鍵是推斷.4．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)于，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)對(duì)于，，使成立，用導(dǎo)數(shù)法求得的最小值，用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，再解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，?dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，所以函數(shù)取得最小值.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，不成立；當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)于，，使成立，所以，解得，此時(shí)；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查雙變量問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了分類探討的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.5．已知函數(shù)，，實(shí)數(shù)，滿意．若，，使得成立，則的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)，和，，并推斷函數(shù)的單調(diào)性，由條件轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，從而確定值.【詳解】，，，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，所以在的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)取得最小值，，函數(shù)在單調(diào)遞增，，，所以，，令，解得：或，由條件可知的值域是值域的子集，所以的最大值是，的最小值是，故的最大值是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為子集問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題型.二、解答題6．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若存在兩個(gè)不相等的數(shù)，，滿意，求證：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.【分析】（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）首先確定函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，并得到在上恒成立，并利用單調(diào)性，變形得到.【詳解】（Ⅰ），所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅱ）令，解得，當(dāng)時(shí)，在．上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以為的極大值點(diǎn)，不妨設(shè)，由題可知．令，，因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞減．又，所以在上恒成立，即在上恒成立．所以，因?yàn)椋?，又在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是典型的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，需先分析出原函數(shù)的極值點(diǎn)，找到兩個(gè)根的大致取值范圍，再將其中一個(gè)根進(jìn)行對(duì)稱的轉(zhuǎn)化變形，使得與在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性分析.7．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)隨意的且，有.【答案】（1）（i）；（ii）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；微小值為，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）（i）確定函數(shù)，求出，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可；（ii）確定函數(shù)，求出，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值即可；（2）求出，對(duì)要證得不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換后，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合等價(jià)轉(zhuǎn)換后的結(jié)果即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）（i）當(dāng)時(shí)，，故.可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（ii）依題意，，，從而求導(dǎo)可得，整理可得.令，解得.當(dāng)改變時(shí)，，的改變狀況如下表：10微小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的微小值為，無(wú)極大值.（2）證明：由，得.對(duì)隨意的，且，令，則.①令，.當(dāng)時(shí)，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，，所?②由（1）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故.③由①②③可得.所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的，且，有.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.8．已知函數(shù).其中為常數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類探討確定的正負(fù)，得的單調(diào)性，從而得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）求得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍，設(shè)，則，，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定它是減函數(shù)，得，然后利用，再結(jié)合的單調(diào)性得出證明．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以此時(shí)只有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以滿意題意.不妨設(shè)，則，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?，所以，又，，且在上單調(diào)遞增，所以，故得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)，證明不等式．難點(diǎn)是不等式的證明，首先由零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出參數(shù)范圍，在不妨設(shè)，則，后關(guān)鍵是引入函數(shù)，同樣用導(dǎo)數(shù)得出它的單調(diào)性，目的是證得，然后利用這個(gè)不等關(guān)系變形的單調(diào)性得結(jié)論．9．已知函數(shù)，，設(shè)．（1）若，求的最大值；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）最大值為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再推斷的符號(hào)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）由題知，，即，，要證，即可，令，則只需證．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性即可得證；【詳解】解：（1）解：當(dāng)時(shí)，所以．留意，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減．所以的最大值為．（2）證明：由題知，，即，，可得．．不妨，則上式進(jìn)一步等價(jià)于．令，則只需證．設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，從而，即，故原不等式得證．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力，推理論證實(shí)力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有肯定的探究性．綜合性強(qiáng)，屬于難題．10．已知函數(shù)，其中.（1）若在上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）設(shè)，，若存在最大值，記為，則當(dāng)時(shí)，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值為．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將題意轉(zhuǎn)換為在上有解，由在上遞增，得，，求出的范圍即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，求出（a），依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出（a）的最大值即可．【詳解】解：（1），，由題意得，在上有根（不為重根），即在上有解，由在上遞增，得，，檢驗(yàn)，時(shí)，在上存在極值點(diǎn)，，；（2）中，若，即在上滿意，在上遞減，，不存在最大值，則；方程有2個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，令其為，，且不妨設(shè)，則，在遞減，在遞增，在遞減，對(duì)隨意，有，對(duì)隨意，有，，（a），將，代入上式，消去，得：（a），，，，由在遞增，得，，設(shè)，，，，，，，即在，遞增，（e），（a）存在最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．11．已知函數(shù)，，其中.（1）若函數(shù)的圖象與直線在第一象限有交點(diǎn)，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）依據(jù)題意設(shè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，在有解，求導(dǎo)，分類探討①若，②若，③若時(shí)，分析單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論.（2）運(yùn)用分析法和構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，即可得證.【詳解】解：（1）設(shè)，則由題設(shè)知，方程，在有解，而.設(shè)，則.①若，由可知，且，從而，即在上單調(diào)遞減，從而恒成立，因而方程在上無(wú)解.②若，則，又時(shí)，，因此，在上必存在實(shí)根，設(shè)最小的正實(shí)根為，由函數(shù)的連續(xù)性可知，上恒有，即在上單調(diào)遞減，也即，在上單調(diào)遞減，從而在上恒有，因而在上單調(diào)遞減，故在上恒有，即，留意到，因此，令時(shí)，則有，由零點(diǎn)的存在性定理可知函數(shù)在，上有零點(diǎn)，符合題意.③若時(shí)，則由可知，恒成立，從而在上單調(diào)遞增，也即在上單調(diào)遞增，從而恒成立，故方程在上無(wú)解.綜上可知，的取值范圍是.（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以（2），即，設(shè)，則要證，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只要證明，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，（2），所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，，，所以，方程即構(gòu)造函數(shù)，則，，，記，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，且，設(shè)，，所以遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，，，，所以，同理，所以，所以，所以，由得：，綜上：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，不等式的證明，關(guān)鍵是運(yùn)用分類探討，構(gòu)造函數(shù)的思想去解決問(wèn)題，屬于難題.12．已知函數(shù).（1）若在單調(diào)遞增，求a的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的值域.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）由在單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)知在上恒成馬上可求參數(shù)a的值；（2）由有，利用二階導(dǎo)數(shù)可知在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可知，使得，則有的單調(diào)性得最小值，結(jié)合并構(gòu)造函數(shù)可求取值范圍，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性即可求范圍；【詳解】（1），又在單調(diào)遞增，∴，即在上恒成立，（i）當(dāng)時(shí)，，則需，故，即；（ii）當(dāng)時(shí)，，則；（iii）當(dāng)時(shí)，，則需，故，即；綜上所述：；（2），，，∵，有，∴在上單調(diào)遞增，又，，∴，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故的最小值為，由得，因此，令，，則，∴在上單調(diào)遞增，又，，，∴取值范圍為，令（），則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，∴，即函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，由原函數(shù)得到最值，構(gòu)造中間函數(shù)并依據(jù)其導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，求最值的取值范圍；中間函數(shù)須要依據(jù)步驟中的探討對(duì)象及目的確定；13．已知函數(shù).（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，依據(jù)二次函數(shù)的與的關(guān)系來(lái)分類探討函數(shù)的單調(diào)性，并留意一元二次方程根的正負(fù)與定義域的關(guān)系；（2）由是兩個(gè)極值點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理形式，然后利用條件將轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于函數(shù)，再運(yùn)用的關(guān)系將不等式轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，得出最值，不等式可得證.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則.①當(dāng)時(shí)，對(duì)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，令，得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）知且，所以.又由.又因?yàn)?所以要證，只需證.因?yàn)?，所以只需證，即證.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對(duì).所以.所以若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于較難題.導(dǎo)數(shù)中通過(guò)雙極值點(diǎn)求解最值或證明不等式時(shí)，可通過(guò)雙極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等式將待求的式子或待證明的式子轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于同一變量（留意變量的范圍）的式子，然后通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，分析新函數(shù)的單調(diào)性后從而達(dá)到求解最值或證明不等式的目的.14．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，求證：．【答案】（1）增區(qū)間為，；減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)對(duì)定義域分段，再由導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由，可得是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，即證．由，得，結(jié)合，是方程的兩個(gè)實(shí)根，得到，代入，只需證，不妨設(shè)．轉(zhuǎn)化為證．設(shè)，則等價(jià)于．設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可．【詳解】（1）解：，令，得，．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．增區(qū)間為，；減區(qū)間為；（2）證明：，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則要證，只需證．由，得，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，，①，②，①②得：，代入，只需證，不妨設(shè)．，只需證．，只需證．設(shè)，則等價(jià)于．設(shè)，只需證，又，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，則．，從而在上是增函數(shù)，．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬難題．15．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）證明：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；（2）設(shè)，函數(shù)，假如總存在，對(duì)隨意，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）干脆對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，推斷導(dǎo)函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)即可證明；（2）總存在，，對(duì)隨意都有，即函數(shù)在，上的最大值不小于，的最大值；借助單調(diào)性換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分別求最值列不等式求解即可【詳解】（1）證明：令，解得，∴在上單調(diào)遞增令，解得，∴在上單調(diào)遞減（2）總存在，，對(duì)隨意都有，即函數(shù)在，上的最大值不小于，的最大值令，∴，對(duì)稱軸∴∴，，令，∴，∴∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查三角函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的最值以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.16．已知函數(shù)，．其中，為常數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，列式求解的取值范圍；（2）求出當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，得到，再通過(guò)構(gòu)造得到，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.【詳解】（1），因?yàn)楹瘮?shù)在定義域有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)．所以滿意題意．不妨設(shè)，則，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，所以，又，，且在上單調(diào)遞增，所以，故得證．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，零點(diǎn)，函數(shù)與方程，不等式的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查邏輯推理，轉(zhuǎn)化與變形，計(jì)算實(shí)力，屬于難題.17．已知函數(shù)，既存在極大值，又存在微小值.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，，分別為的極大值點(diǎn)和微小值點(diǎn).且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可；（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，設(shè)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可．【詳解】解：（1）由得，即，由題意，若存在極大值和微小值，則必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由得，所以必有一個(gè)非零實(shí)數(shù)根，∴，，∴且，∴或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知的極大值點(diǎn)為，微小值點(diǎn)為，此時(shí)，，依題意得對(duì)隨意恒成立，由于此時(shí)，所以；所以，即，設(shè)，，則，令，判別式.①當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，所以，即，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)的兩根為，，且，則，，因此，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，沖突，不合題意；綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于難題．18．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）寫出函數(shù)定義域并求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需最大值即可.（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，可得，兩式相減得，欲證，即證，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性即可得到證明.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?令得，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，故欲使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即.（2）證明：不妨設(shè)，則由（1）可知，且，兩式相減可得.欲證，即證，設(shè)，則即證，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，原不等式得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點(diǎn)，單調(diào)性以及最值問(wèn)題，考查利用變量集中的思想解決不等式的證明，考查構(gòu)造函數(shù)的思想，屬于中檔題.19．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，試比較與的大小．（取為2.8，取為0.7，取為1.4）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依據(jù)條件得到對(duì)恒成立，由此得到關(guān)于的不等式，采納分別常數(shù)的方法求解出的取值范圍；（2）依據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)列出對(duì)應(yīng)的方程組，用關(guān)于的式子表示出，由此得到關(guān)于的等式，通過(guò)設(shè)變量得到關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出關(guān)于的函數(shù)的最值，再借助基本不等式以及構(gòu)造函數(shù)并利用的單調(diào)性分析出與的關(guān)系.【詳解】（1），則，∵在上單調(diào)遞增，∴對(duì)，都有，即對(duì)，都有，∵，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）由題意知，，兩式相加得，兩式相減得，即，∴，即，不妨令，記，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，則，∴，又，∴，即，令，則時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，又，∴，則，即．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到依據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍以及雙變量轉(zhuǎn)化為單變量等問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的分析、計(jì)算與轉(zhuǎn)化實(shí)力要求很高，難度偏難.20．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：．（Ⅱ）設(shè)，若，，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【分析】（1）將代入，只需證明成馬上可，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)區(qū)間及最小值，利用最值證明即可；（2）若，，使得成立，只需使在，上恒成立，然后分別探討函數(shù)與的最小值，利用最值分析求解.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，要證，只需證，令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，故，所以．（Ⅱ）問(wèn)題等價(jià)于，，由得，由得，所以在上，是增函數(shù)，故．定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，在上是減函數(shù)，所以，不成立；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減．若，即時(shí)，在是減函數(shù)，所以，不成立；若，即時(shí)，在處取得最小值，，令，則在上恒成立，所以在是增函數(shù)且，此時(shí)成立，滿意條件．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)與雙變量問(wèn)題，難度較大,考查學(xué)生分析問(wèn)題處理問(wèn)題的實(shí)力.導(dǎo)數(shù)與不等式的證明，一般須要構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)證明函數(shù)的最值滿意條件從而得出結(jié)論,雙變量問(wèn)題多用函數(shù)的最值來(lái)比較.21．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，試探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，試問(wèn)是否為的根？說(shuō)明理由．【答案】（1）分類探討，答案見(jiàn)解析；（2）不是的根，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）把代入后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；（2）先對(duì)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可求的單調(diào)性，欲證，只需證明，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)即可證明．【詳解】解：（1）由可知，，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；（2）證明：由題可知，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，欲證，只需證明，設(shè)，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)，則，兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即，式可轉(zhuǎn)化為，即，因?yàn)?，所以，不妨令，即證成立，記，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，在上單調(diào)遞增，又（1），，，故，即不成立，故不是的根．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，欲證，只需證明，設(shè)，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)，則，兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即，式可轉(zhuǎn)化為，即，因?yàn)椋?，不妨令，即證成立，記，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，在上單調(diào)遞增，又（1），，，故，即不成立，故不是的根．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題．22．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，，化為：，.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.（2）在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，?方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，利用根的分布可得的范圍，再利用根與系數(shù)關(guān)系可得：，得，令.利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性極值與最值即可得出.【詳解】（1）解：∵函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴，化為：，，令，則時(shí)取等號(hào)..∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）證明：在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記，則，解得，，，令，，記，，令在上單調(diào)遞增.，因此函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，使得，當(dāng)

；當(dāng)時(shí)，，而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，，可得：，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、分類探討方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于難題.23．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，函數(shù)的最小值為，求的值域.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為；無(wú)單調(diào)減區(qū)間；（2）.【分析】（1）由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可證明，進(jìn)而可得，即可得解；（2）由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得且，令，由導(dǎo)數(shù)結(jié)合可得，進(jìn)而可得，令，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的值域即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?，則，令，則恒成立；∴在上單調(diào)遞增，，∴恒成立，故的單調(diào)增區(qū)間為；無(wú)單調(diào)減區(qū)間.（2）∵，令，明顯在單調(diào)遞增，又，，∴據(jù)零點(diǎn)存在定理，存