浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題第Ⅰ卷（選擇題部分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.若向量，，則的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆進(jìn)行向量的減法即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所?故選：C2.已知角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】由題意有，解得或，由于，則，所以滿意題意.故選：A3.將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)平移變換求解.【詳解】函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，.故選：D.4.已知一張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片圍著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)弧度，則該紙片掃過(guò)的區(qū)域形成的幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可知該幾何體為圓柱的八分之一，求其表面積即可.【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形紙片圍著一條邊旋轉(zhuǎn)弧度，所形成的幾何體為柱體的一部分，是底面半徑r為2,高h(yuǎn)為2的圓柱的八分之一，所以其表面積，故選：C5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】推斷函數(shù)在上單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，因此，，解得，所以不等式的解集為.故選：A6.在中，為邊上一點(diǎn)，，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理求得，繼而求出，再依據(jù)三角形外角定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，求得答案.【詳解】如圖示：在中，由正弦定理得：,故,而,故只能是銳角，故，所以，故選：C7.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，與夾角為120°，，的夾角為150°，且，，若，則（）

A. B. C. D.9【答案】B【解析】【分析】作的相反向量，再以射線，為鄰邊，以為對(duì)角線作，依據(jù)向量加法求解即可.【詳解】作的相反向量，再以射線，為鄰邊，以為對(duì)角線作，因?yàn)榕c的夾角為120°，，的夾角為150°，且，，所以，所以，，所以，所以，即即．故選：B8.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為（）A. B. C.10 D.9【答案】D【解析】【分析】作函數(shù)的大致圖象，可知，由與的圖象有四個(gè)交點(diǎn)可得，計(jì)算求得的值即可得的范圍，依據(jù)可得與的關(guān)系，再依據(jù)基本不等式計(jì)算的最小值即可求解.【詳解】作函數(shù)的大致圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，所以，關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，則，由，得或，則，又，所以，所以，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、多選題（本題共4小題，每小題題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 B.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限C. D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求出，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可推斷A、B；利用復(fù)數(shù)模的求法可推斷C、D.【詳解】由，則，所以在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限.所以.故選：BD10.給出以下關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的結(jié)論，其中正確的是（）A.水平放置的角的直觀圖肯定是角 B.相等的角在直觀圖中仍舊相等C.相等的線段在直觀圖中仍舊相等 D.兩條平行線段在直觀圖中仍是平行線段【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)直觀圖和斜二測(cè)畫法的規(guī)則，推斷選項(xiàng).【詳解】水平放置的角的直觀圖肯定是角，故A正確；角的大小在直觀圖中都會(huì)發(fā)生變更，有的線段在直觀圖中也會(huì)變更，比如正方形的直方圖中，故BC錯(cuò)誤；由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，直觀圖保持線段的平行性，所以D正確.故選：AD11.已知向量，，且向量滿意，則（）A. B.C.向量與的夾角為 D.向量在方向上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】由得，，進(jìn)而依次探討各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】由題知,因?yàn)?所以,解得或,又因?yàn)?所以，所以，對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，由于，所以與不平行，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，又，所以，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，向量在方向上的投影向量為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得到函數(shù)的圖象，則（）A.為偶函數(shù)B.的最小正周期是C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)已知條件求出的解析式，在通過(guò)三角函數(shù)的伸縮變更求出的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、奇偶性即可求出答案.【詳解】由圖知，，則，即，因?yàn)椋?因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，則，得.由圖知，，則，所以，，從而.由題設(shè)，，則為非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)；的最小正周期，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以C正確.當(dāng)時(shí)，，不單調(diào)，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題部分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，同時(shí)二次根式在分母，則其被開(kāi)方數(shù)大于零，從而可求出定義域【詳解】由題意可得解得，即的定義域是.故答案為：14.已知在中，，則等于________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出【詳解】因在中，，所以正弦定理可得，則令（），由余弦定理得，故答案為：15.若，，與的夾角為60°，則______．【答案】【解析】【分析】利用平面對(duì)量的模長(zhǎng)公式和數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得.故答案為：.16.物體在常溫下的溫度變更可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過(guò)肯定時(shí)間t（單位：min）后的溫度是T，則，其中稱為環(huán)境溫度，h為常數(shù)，現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的速溶咖啡，放在21℃的房間中，假如咖啡降到37℃須要16min，那么這杯咖啡要從37℃降到25℃，還須要______min．【答案】16【解析】【分析】依據(jù)所給函數(shù)模型，由Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，求得，然后令T0＝37℃，T＝25℃，求得．【詳解】由題意知Ta＝21℃．令T0＝85℃，T＝37℃，得，∴h＝8．令T0＝37℃，T＝25℃，則，∴．故答案為：16．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，，.（1）求的值；（2）求△的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）干脆利用余弦定理即可求解；（2）先用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，再用三角形面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由余弦定理可得，即，解得，【小問(wèn)2詳解】∵，且，∴,由得，,∴.故△的面積為.18.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為a，過(guò)頂點(diǎn)B、D、截下一個(gè)三棱錐．（1）求剩余部分體積；（2）求三棱錐的高；（3）4個(gè)面都是直角三角形的四面體，被稱為鱉臑．你能寫出以該正方體的4個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的鱉臑嗎？寫出一個(gè)即可，不需證明．【答案】（1）（2）（3）(答案不唯一)【解析】【分析】（1）依據(jù)題意及體積公式干脆求解即可；（2）運(yùn)用等體積法求解即可;(3)依據(jù)鱉臑定義，干脆寫出即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則.【小問(wèn)2詳解】，易知△為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，其面積為，，解得．即三棱錐的高為.【小問(wèn)3詳解】由鱉臑定義可知，三棱錐一個(gè)鱉臑.19.已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．（1）若∥，求的值；（2）若⊥（＋2），求實(shí)數(shù)k的值；（3）若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）3；（2）k＝；（3）k＜且k≠－6.【解析】【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；（2）解方程1×＋2×＝0即得解；（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橄蛄浚剑?，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解得k＝．【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)榕c的夾角是鈍角，則＜0且與不共線．即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．20.已知向量，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，；；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,并利用兩角和差的三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)得到函數(shù)的解析式，有三角函數(shù)的性質(zhì)求得周期，單調(diào)增區(qū)間；（2）將不等式分別參數(shù)，依據(jù)不等式有解的意義得到；然后依據(jù)角的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而求得的的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)樗院瘮?shù)的最小正周期；因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，所以，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；（2）不等式有解，即；因?yàn)椋?，又，故?dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為，所以.21.提高隧道的車輛通行實(shí)力可改善旁邊路段高峰期間的交通狀況.在一般狀況下，隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時(shí)）和車流密度（單位：輛/千米）滿意關(guān)系式：.探討表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車道速度是0千米/小時(shí).（1）若車流速度不小于50千米/小時(shí)，求車流密度的取值范圍；（2）隧道內(nèi)的車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿意，求隧道內(nèi)車流量的最大值（精確到1輛/小時(shí)），并指出當(dāng)車流量最大時(shí)的車流密度（精確到1輛/千米）.【答案】（1）；（2）隧道內(nèi)車流量的最大值約為3792輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為87輛/千米.【解析】【分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范圍．（2）由（1）求得函數(shù)，分別利用函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式分段求得最大值，比較可得．【詳解】（1）由題意知當(dāng)（輛/千米）時(shí)，（千米/小時(shí)），代入，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以.綜上，.答：若車流速度不小于50千米/小時(shí)，則車流密度的取值范圍是.（2）由題意得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)成立；當(dāng)時(shí)，.即，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即，即成立.綜上，的最大值約為3792，此時(shí)約為87.答：隧道內(nèi)車流量的最大值約為3792輛/小時(shí)，此時(shí)車流密度約為87輛/千米.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，對(duì)于已經(jīng)給出函數(shù)模型的問(wèn)題，關(guān)鍵是干脆利用函數(shù)模型列出方程、不等式或利用函數(shù)性質(zhì)求解，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于較難題.22.已知函數(shù)．（1）推斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；指出單調(diào)性，不需證明；（2）函數(shù)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)，探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析，上單調(diào)遞減.（2）（3）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先由函數(shù)解析式求出函數(shù)定義域，推斷其奇偶性及單調(diào)性即可；（2）依據(jù)題中，先得到和在上的值域的交集不為空集；分別探討和兩種狀況，分別求出兩函數(shù)的值域，依據(jù)交集不為空集，列出不等式求解，即可得出結(jié)果；（3）利用已知條件令，則，畫出的圖象，視察圖像，分狀況探討即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，由，可得，即的定義域?yàn)?；又，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，明顯單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)，若存在，使得成立，則和在上的值域的交集不為空集；由（1）可知：時(shí)，明顯單調(diào)遞減，所以其值域?yàn)?；若，則在上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)?，此時(shí)只需，即，所以；若，則在遞增，可得的值域?yàn)?，此時(shí)與的交集明顯為空集，不滿意題意；綜上，實(shí)數(shù)的范圍是；【小問(wèn)3詳解】由，得，令，則，畫出的圖象，①當(dāng)，或,所以只有一