四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文含解析

Page17Page17四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（文）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)一元二次不等式的解法求出集合A，結(jié)合交集的概念和運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以.故選：C2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，即可得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】解：復(fù)數(shù)故的虛部為.故選：A．3.已知是其次象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用以及是其次象限角，求出，再利用正切的二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭瞧浯蜗笙藿?，為其終邊上的一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用三角函數(shù)的定義，求出，進(jìn)而可以求出，再利用正切的二倍角公式即可求.4.已知命題p：若，則；命題q：，.那么下列命題為真命題是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推斷命題p,q的真假，從而推斷的真假，依據(jù)且命題真假的推斷方法，可得答案.【詳解】對于命題p：因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，故時，則，因此命題p為真命題，則為假命題，對于命題q：當(dāng)時，，故q為假命題，故為真命題，因此為假命題，為真命題，為假命題，為假命題，故選：B5.設(shè)，，．若，則實(shí)數(shù)的值等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由已知得，因?yàn)?，則，因此，解得，故選A．考點(diǎn)：平面對量數(shù)量積．6.把物體放在冷空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列方程，依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可詳解】解：由題意得，，，兩邊取自然對數(shù)得，，所以，故選：A7.為銳角，，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，所以，即，解得，所以，故選A．考點(diǎn)：1、同角三角形函數(shù)間的基本關(guān)系；2、兩角和的正切公式．【方法點(diǎn)睛】依據(jù)已知單角或復(fù)角的三角函數(shù)值求和角（或差角或單角）的三角函數(shù)，通常將結(jié)論角利用條件角來表示，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化為相關(guān)角的三角函數(shù)后，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式可求解．8.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合圖象，先推斷奇偶性，然后依據(jù)且趨近0時推斷，最終利用的零點(diǎn)進(jìn)行推斷，即可得到答案【詳解】解：因?yàn)椋?，解得，則的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，由可得，發(fā)覺，故為奇函數(shù)，故B錯誤；當(dāng)且無限接近0時，，所以此時，故A錯誤；因?yàn)楫?dāng)即，解得，所以在軸正半軸的第一個零點(diǎn)是，其次個零點(diǎn)是，第三個零點(diǎn)是，第四個零點(diǎn)是，第五個零點(diǎn)是，所以在第四個零點(diǎn)和第五個零點(diǎn)之間不行能始終遞增，故C錯誤；故選：D9.各項(xiàng)為正數(shù)且公比為的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件是等比數(shù)列，假設(shè)出首項(xiàng)和公比，再依據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)列式計算即可.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，所以，解得或（舍去），故選:C.10.把函數(shù)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)g的圖象，已知函數(shù)g=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|）的部分圖象如圖所示，則f（x）=（）A.sin（4x+） B.sin（4x+） C.sin（x+） D.sin（x+）【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)圖像，由振幅和可得，再反向平移，向左平移個單位長度，再橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍即可得解.【詳解】先依據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)g=Asin（ωx+φ）得解析式，由振幅可得，明顯，所以，所以，所以，所以，再由，由|φ|可得，所以，反向移動先向左平移個單位長度可得，再橫坐標(biāo)縮短到原來的2倍可得，故選：D11.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.為奇函數(shù)C.在上為減函數(shù) D.一個周期為8【答案】C【解析】【分析】由、可推出的周期為8，利用對稱性、周期性求、推斷奇偶性剛好的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則關(guān)于對稱，所以，即，則，即，由，則關(guān)于對稱，所以，即，綜上，，則，故，即易知的周期為8，D正確；，A正確；由，而為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，B正確；由時遞增，則時遞增，明顯C錯誤.故選：C12.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，都有不等式成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行比較即可．【詳解】當(dāng)時不等式成立，，在上是減函數(shù)．則，，，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，則，，在上是減函數(shù)，，則，故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知，則______．【答案】##0.75【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可.【詳解】解：由題意得：∵，∴．故答案為：14.若向量滿意，則_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.15.寫出a的一個值，使得直線是曲線的切線，則a=______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先設(shè)切點(diǎn)，并求切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，然后確定直線恒過定點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式求參數(shù)的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，直線恒過定點(diǎn)，，則，則，可得其中一個根，，此時，得.故答案為：（答案不唯一）16.已知函數(shù)(ω>0)，若在上恰有兩個零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由在上恰有兩個零點(diǎn)，令，，可得，令，，可得f(x)在上單調(diào)遞增，從而有，聯(lián)立求解即可得答案.【詳解】解：由題意，令，，得x＝，，∴f(x)的第2個、第3個正零點(diǎn)分別為，，∴，解得，令，，∴，，令k＝0，f(x)在上單調(diào)遞增，∴，∴，解得，綜上，ω的取值范圍是.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分.17題-21題各12分，22題10分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角三角恒等變換先將函數(shù)化簡為，即可求出最小正周期；（2）令，，即可求出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）解：，.（2）解：令，，解得，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能正確利用和的正弦公式、二倍角公式、協(xié)助角公式將函數(shù)化簡為正弦型函數(shù).18.設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）由{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn．解：（Ⅰ）∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴設(shè)其公比為q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q="2"∴{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，留意題目條件的應(yīng)用．在用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時留意辨析q是否為1，只要簡潔數(shù)字運(yùn)算時不出錯，問題可解，是個基礎(chǔ)題．19.在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合，以及誘導(dǎo)公式、二倍角公式、正弦定理化簡原式，即得解；（2）利用正弦定理，協(xié)助角公式可化簡，結(jié)合的范圍即得解【小問1詳解】，，又為銳角【小問2詳解】由正弦定理，，由銳角，故故.20.某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為．現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分層抽樣的方法得到一個樣本，其部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自生產(chǎn)線的標(biāo)記．產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)估計；大約有多大把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)？參考公式：（2）從樣本的全部二等品中隨機(jī)抽取件，求至少有件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)；（2）【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表，計算出卡方，再與觀測值比較即可推斷；（2）記甲生產(chǎn)線的2個二等品為，，乙生產(chǎn)線的3個二等品為，，，用列舉法列出全部可能結(jié)果，再依據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：依題意可得列聯(lián)表如下：產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計甲生產(chǎn)線3840乙生產(chǎn)線310總計455所以，因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)；【小問2詳解】解：依題意，記甲生產(chǎn)線的2個二等品為，，乙生產(chǎn)線的3個二等品為，，；則從中隨機(jī)抽取件，全部可能結(jié)果有，，，，，，，，，共10個，至少有件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的有，，，，，，共7個，所以至少有件為甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的概率；21.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時，．【答案】（1）切線方程是；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程．（2）方法一：當(dāng)時，，令，只需證明即可．【詳解】（1），．因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮當(dāng)時，．令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以．因此．［方法二］：【通性通法】導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)的定義域?yàn)镽，．當(dāng)時，令，得，或，其中．則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．又，當(dāng)時，恒成立，故，故當(dāng)時，．［方法三］：等價變形＋含參探討不等式等價于．令．當(dāng)時，（導(dǎo)數(shù)法證明過程參考方法二）．當(dāng)時，易知在R上單調(diào)遞增且．所以存在唯一實(shí)數(shù)使得，即．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故．記，則的圖像為開口向上，對稱軸的拋物線，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故．綜上所述，當(dāng)時，．［方法四］：【最優(yōu)解】利用切線不等式放縮不等式等價于．因?yàn)椋裕?dāng)時，，即結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評】（2）方法一：利用不等式性質(zhì)放縮，轉(zhuǎn)化為求詳細(xì)函數(shù)的最值，方法簡潔易操作，是該題的最優(yōu)解；方法二：干脆探討函數(shù)的單調(diào)性求最小值，即可解出，是該類型題的通性通法；方法三：將不等式等價變形，然后再含參探討新函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，此法也是常規(guī)手段，但是對于解決該題，顯得有些繁瑣；方法四：將不等式等價變形，然后利用切線不等式，不等式的性質(zhì)放縮，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出，也可以認(rèn)為是本題的最優(yōu)解．22.在平面直角坐標(biāo)系中，伯努利雙紐線（如圖）的一般方程為，曲線的參數(shù)方程為（其中，為參數(shù)）．（1）以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，