2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：參數(shù)范圍與最值（學(xué)生版）

第78講參數(shù)范圍與最值

知識梳理

1、求最值問題常用的兩種方法

（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這

是幾何法.

（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求

該函數(shù)的最值.求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法

等，這就是代數(shù)法.

2、求參數(shù)范圍問題的常用方法

構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如48=/優(yōu)），并且進(jìn)一步找到自變量范圍，進(jìn)而

求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：

（1）二次函數(shù)；（2）“對勾函數(shù)"、=尤+4（4>0）；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù).若

X

出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決.這里找自

變量的取值范圍在A>0或者換元的過程中產(chǎn)生.除此之外，在找自變量取值范圍時，還可

以從以下幾個方面考慮：

①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

②利用己知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)

系.

③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍.

④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

必考題型全歸納

題型一：弦長最值問題

例L（2024?湖北武漢?高二華中師大一附中?？计谥校┮阎獔A。:/+/=產(chǎn)的任意一條切

線/與橢圓工+匕=1都有兩個不同交點A,B（。是坐標(biāo)原點）

124

（1）求圓。半徑r的取值范圍；

（2）是否存在圓。，使得OAOB=0恒成立？若存在，求出圓。的方程及|。4||。目的最大

值；若不存在，說明理由.

例2.（2024?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸上滑動，點8在

y軸上滑動，A、8兩點間距離為1+6.點P滿足2尸=6尸4，且點尸的軌跡為C.

⑴求C的方程；

（2）設(shè)M,N是C上的不同兩點，直線斜率存在且與曲線/+丁=1相切，若點尸為

（72,0）,那么，肱兩的周長是否有最大值.若有，求出這個最大值，若沒有，請說明理

由.

例3.（2024.廣東佛山.華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）在橢圓

C：4+4=l（?>^>0））中，c=2,過點（0⑼與（。,0）的直線的斜率為一3.

ab3

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)尸為橢圓C的右焦點，尸為直線x=3上任意一點，過歹作PF的垂線交橢圓C于

兩點，求\"M的N\最大值.

J+/=l（a>6>0）的離心率為孝，焦

變式1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓E:

距為2,過E的左焦點廠的直線/與E相交于A、8兩點，與直線x=-2相交于點

⑴若M（—2,—1）,求證：|阿?怛巴=|乂8|.|竊|；

⑵過點/作直線/的垂線機(jī)與E相交于C、D兩點，與直線x=-2相交于點N.求

商+畫+西+網(wǎng)的最大值?

2V21

變式2.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:亍r+左=1（。＞人＞0）的離心率為左頂

點為4（-2,0）,直線/與橢圓C交于尸，Q兩點.

⑴求橢圓的C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線釬，A。的斜率分別為《，k2,且匕人=一；，求|尸。|的最小值.

變式3.（2024.江西南昌?統(tǒng)考一模）已知雙曲線j一與=1（6＞。＞0）,O為坐標(biāo)原點,

ab

離心率e=2,點/（逐,四）在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線/與雙曲線交于尸、Q兩點，且。POQ=0.求|OPF+|OQ|2的最小值.

題型二：三角形面積最值問題

22

例4.（2024.云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓C:號+《=1（°＞6＞0）的左、右頂點分別為

M2,T為橢圓上異于加2的動點，設(shè)直線7加1、力%的斜率分別為左、k2,

3

且《?一“

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動直線/與橢圓C相交于A、8兩點，0為坐標(biāo)原點，若。4.03=0，OAB的面積是

否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

例5.（2024?安徽安慶?安慶一中校考模擬預(yù)測）如圖，E,尸,G,〃分別是矩形ABCD四邊的

中點，F(xiàn)（2,0）,C（2,l）,CS=ACF,OR=AOF.

（1）求直線EK與直線GS交點M的軌跡方程；

（2）過點/（L。）任作直線與點”的軌跡交于P,。兩點，直線HP與直線。尸的交點為J,直

線與直線P尸的交點為K,求△〃K面積的最小值.

例6.（2024?上海黃浦?高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:工+.=1.

43

（1）求該橢圓的離心率；

⑵設(shè)點尸（x。,%）是橢圓C上一點，求證：過點尸的橢圓C的切線方程為邛+與=1；

⑶若點M為直線/：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA,MB,切點分別為A8,

求△M4B的面積的最小值.

22

變式4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：鼻-2=1（“>6>0）和圓0：

ab

丁+〉2=/（其中原點。為圓心），過雙曲線C上一點尸（X。,幾）引圓。的兩條切線，切點分

別為A、B.

（1）若雙曲線C上存在點P,使得NAPB=90，求雙曲線離心率e的取值范圍；

（2）求直線A5的方程；

（3）求三角形。4B面積的最大值.

變式5.（2024.上海普陀.高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線「：、2=2耳4&加、"為

拋物線T上四點，點T在y軸左側(cè)，滿足7>1=2TM,TB=2TN.

（1）求拋物線F的準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo)；

（2）設(shè)線段AB的中點為。.證明：直線7Z）與>軸垂直；

⑶設(shè)圓C:（尤+2）2+9=3,若點T為圓C上動點，設(shè)△7XB的面積為S,求S的最大值.

變式6.（2024.河北.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C:尤2=2py（p>0）,過點尸（0,2）的直線/與

C交于A,8兩點，當(dāng)直線/與y軸垂直時，OALOB（其中。為坐標(biāo)原點）.

（1）求C的準(zhǔn)線方程；

（2）若點A在第一象限，直線/的傾斜角為銳角，過點A作C的切線與y軸交于點T,連接

交C于另一點為。，直線4）與y軸交于點Q,求△4尸。與_">7面積之比的最大值.

題型三：四邊形面積最值問題

例7.（2024.河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點尸（2,0）,直線

l:x=—2,作直線/的平行線r:x=a（x>2）,動點尸滿足到尸的距離與到直線/'的距離之

和等于直線I與/'之間的距離.記動點P的軌跡為E.

⑴求E的方程；

⑵過。（31）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交E于A,3兩點和C,。兩點，且直線的傾

TT7T

斜角ae,求四邊形面積的最大值.

o4

22

例8.（2024?全國?高三專題練習(xí)）。為坐標(biāo)原點橢圓￡:J+與=1（。>6>0）的左右焦點分

ab

22

別為月,月，離心率為竹；雙曲線=l的左右焦點分別為工,工，離心率為S，已

ab

知exe2—w，切寓用=回-

⑴求GC的方程；

（2）過尸1作G的不垂直于y軸的弦AB,M為的中點，當(dāng)直線與。2交于尸，。兩點

時，求四邊形A尸3。面積的最小值.

22

例9.（2024.全國?高三專題練習(xí)）如圖,。為坐標(biāo)原點，橢圓G言+方=i（a>6>0）的左右

22

焦點分別為耳，工，離心率為。；雙曲線C?：=-與=1的左右焦點分別為號工，離心率為羯,已

知的2=母，且隹且|=百-1.

⑴求GC的方程；

⑵過月點作G的不垂直于y軸的弦A3,/為A3的中點，當(dāng)直線OM與c2交于P,Q兩點時，

求四邊形APBQ面積的最小值.

22

變式7.（2024?山西朔州.高三校聯(lián)考開學(xué)考試）己知橢圓風(fēng)「+斗=1（。>6>0）的左、

右焦點分別為耳，工，M為橢圓E的上頂點，點N（0,T）在橢圓E上.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)經(jīng)過焦點B的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于43兩點和C,。兩點，求

四邊形ACBD的面積的最小值.

22

變式8.（2024.湖南郴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C:三+斗=l（a>6>0）的左、右焦點分

ab

別為月，工，尸是橢圓C上異于左、右頂點的動點，尸耳?尸居的最小值為2,且橢圓C的離

心率為g.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/過工與橢圓c相交于A,8兩點，A,B兩點異于左、右頂點，直線4過百交橢

圓C于N兩點，1口,求四邊形4WBN面積的最小值.

變式9.（2024.寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）平面內(nèi)動點”與定點產(chǎn)（0,1）的距離和

它到定直線>=4的距離之比是1:2.

（1）求點M的軌跡E的方程；

⑵過點F作兩條互相垂直的直線乙，分別交軌跡E于點AC和瓦。，求四邊形ABQ5面積

S的最小值.

題型四：弦長的取值范圍問題

例10.（2024?河北?統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系》分中，橢圓

E.+|=l（“>6>0）的中心在原點，點尸",￡|在橢圓E上，且離心率為當(dāng).

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵動直線/:y=&x-立交橢圓E于A,8兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為

2

k2,且匕&=；,M是線段0c上一點，圓”的半徑為廣，且向j=g，求學(xué)的范圍.

例IL（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知橢圓C：：+]=l,點N（0,l）,斜率不為0的直線/與橢

圓C交于點48,與圓N相切且切點為為A3中點.

⑴求圓N的半徑r的取值范圍；

⑵求|鈿|的取值范圍.

變式12.（2024?廣東深圳?高三校聯(lián)考期中）已知點M（x,y）在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系

式：,（尤—&）+;/+J（x+布）+;/=4.

⑴點M的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；

（2）設(shè)圓O:x2+y2=1,直線/:，=依+根與圓。相切且與點M的軌跡交于不同兩點A,8,

當(dāng)2=0405且北時，求弦長|明的取值范圍.

變式13.（2024.江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知橢圓Cf3+丁=1的左、右頂點是雙曲線

=1

C2：4-4<?>0>6>。)的頂點，G的焦點到C?的漸近線的距離為正.直線/:y=kx+t

a1b23

與C2相交于A,3兩點，0403=-3.

⑴求證：8k2+t2=1

⑵若直線/與G相交于尸，。兩點，求|尸。|的取值范圍.

22

變式14.(2024?陜西咸陽??？既?己知雙曲線。:。-==1(°>0/>0)的離心率為

ab

后，過雙曲線C的右焦點/且垂直于X軸的直線/與雙曲線交于A,3兩點，且|A3|=2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線7”：丫=丘-1與雙曲線C的左、右兩支分別交于尸，。兩點，與雙曲線的漸近線分

別交于兩點，求湍的取值范圍.

22

變式15.(2024.全國?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知雙曲線C:'-方=l(a>0,b>0)的漸近

線方程為>=±乙點耳，八分別為雙曲線C的左、右焦點，過F?且垂直于x軸的直線與雙

曲線交于第一象限的點A,且耳片的周長為8(亞+1).

(1)求雙曲線C的方程;

⑵若直線y=^T與雙曲線的左支、右支分別交于N,M兩點，與直線y=x,y=-x分

\MN\

別交于P,。兩點，求薪的取值范圍.

題型五：三角形面積的取值范圍問題

例13.（2024?浙江杭州.高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）己知雙曲線

W:[-￡=l（a,b＞0）,其左、右焦點分別為耳、F2,印上有一點尸滿足/￡尸工=占，

ab3

S,尸I%=退?

⑴求b；

⑵過尸作1直線/交W于3、C,取5c中點。，連接0。交雙曲線于區(qū)H,當(dāng)5。與即的

夾角為9時，求產(chǎn)^的取值范圍.

4'叢EHF?

22

例14.（2024.廣東茂名.高三茂名市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓q：a+方=1（。＞方＞0）

的離心率為也，左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,上頂點為A,點月到直線人工的距離為④.

2

⑴求G的方程；

⑵過點。（若,0）的直線/交雙曲線C2：/-y2=i右支于點加，N,點P在C1上，求

PAW面積的取值范圍.

22

例15.（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）尸是雙曲線匕一二=1右支上一點，A,2是雙曲線的左

412

右頂點，過A,B分別作直線小，尸8的垂線AQ,BQ,AQ與2。的交點為Q,B4與2Q

的交點為C.

（1）記P,。的縱坐標(biāo)分別為力，為，求+的值；

（2）記的面積分別為is2,當(dāng)^WtanNAQBW巫時，求1t的取值范圍.

25s2

變式16.（2024.云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知4（-2,0）,*2,0）為橢圓C：

，+/=1（°>6>0）的左、右頂點，且橢圓C過點［1,力.

⑴求C的方程；

⑵過左焦點廠的直線/交橢圓C于D,￡兩點（其中點。在x軸上方），求*比的取值范

^ABDF

圍.

變式17.（2024.四川南充?模擬預(yù)測）如圖所示，以原點。為圓心，分別以2和1為半徑作

兩個同心圓，設(shè)A為大圓上任意一點，連接。4交小圓于點8,設(shè)NAOx=。，過點AB分

別作x軸，y軸的垂線，兩垂線交于點M.

⑴求動點M的軌跡C的方程；

⑵點E、歹分別是軌跡C上兩點，且OE-OF=0，求，EOF面積的取值范圍.

22

變式18.(2024.福建漳州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知橢圓C:0+]=l(o>6>())的左焦點

ab

為E(-6,O),且過點?白,；)

⑴求C的方程；

(2)不過原點。的直線/與C交于尸，。兩點，且直線。P,PQ,。。的斜率成等比數(shù)列.

⑴求/的斜率；

(ii)求△OPQ的面積的取值范圍.

題型六：四邊形面積的取值范圍問題

22

例16.(2024?四川成都.高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知橢圓^-+4=1

ab

(a>6>0)左、右焦點分別為百，居，且居為拋物線C2：V=8x的焦點，P(2,0)為

橢圓G上一點.

⑴求橢圓G的方程;

⑵已知A,B為橢圓G上不同兩點，且都在x軸上方，滿足耳4=2月3.

（i）若2=3,求直線月A的斜率；

（ii）若直線片A與拋物線丁=》無交點，求四邊形面積的取值范圍.

fV21

例17.（2024?河北?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C：3+a=1（°>6>0）的離心率為

點尸百,孝）在橢圓上.直線/與橢圓交于AB兩點.且0403=0,其中0為坐標(biāo)原點.

⑴求橢圓C的方程；

（2）若過原點的直線小與橢圓C交于C。兩點，且過A3的中點M.求四邊形AC3D面積的

取值范圍.

22

例18.（2024.全國.模擬預(yù)測）設(shè)橢圓C章+方=1（。>6>0）的左焦點為R上頂點為P,

離心率為O是坐標(biāo)原點，且|?！覆穦/研=應(yīng).

⑴求橢圓C的方程；

（2）過點尸作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A,B,M,N四點，求四邊形川WBN面

積的取值范圍.

變式19.（2024?遼寧遼陽?高三遼陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線

且r的漸近線方程為丁=土瓜.

（1）求r的方程;

（2）如圖，過原點。作互相垂直的直線4，4分別交雙曲線于A,8兩點和C,O兩點，

A,。在X軸同側(cè).

①求四邊形AC3D面積的取值范圍；

②設(shè)直線仞與兩漸近線分別交于M,N兩點，是否存在直線仞使M,N為線段AO的

三等分點，若存在，求出直線AO的方程；若不存在，請說明理由.

22

變式20.（2024.浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓G：A+之=1（°>6>0）的離心率為

ab

號,拋物線C2：Y=8y的準(zhǔn)線與G相交，所得弦長為2指.

⑴求C1的方程；

⑵若4（石,乂）,8（%,%）在C2上，且再<。<尤2,分別以48為切點，作c?的切線相交于點

P,點尸恰好在G上，直線AR8P分別交x軸于M,N兩點.求四邊形面積的取值范

圍.

題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題

例19.（2024?吉林長春?長春市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知氏/+4/=%2（%>0）,直線

/不過原點0且不平行于坐標(biāo)軸，/與E有兩個交點A,B,線段A3的中點為

（1）若帆=2,點K在橢圓E上，片、居分別為橢圓的兩個焦點，求防.阻的范圍；

（2）若I過點（也多,射線與橢圓E交于點尸，四邊形。犯3能否為平行四邊形？若

能，求此時直線/斜率；若不能，說明理由.

例20.（2024?安徽合肥?合肥市廬陽高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓

C：「+/=l（a>6>0）的左，右焦點分別為《，工，焦距為2百，點在C上.

（1）P是C上一動點，求P耳子鳥的范圍；

⑵過C的右焦點F”且斜率不為零的直線/交C于M,N兩點，求△片MN的內(nèi)切圓面積

的最大值.

22

例21.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：鼻+方=1（。>6>0）經(jīng)過點網(wǎng)2,&）,一

個焦點/的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/：>=辰+，〃與橢圓C交于A,B兩點，。為坐標(biāo)原點，若%?%=3，求

0403的取值范圍.

22

變式21.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：a+方二：1,〉?！怠＃┙?jīng)過點尸（2,0）,

一個焦點廠的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/：產(chǎn)h+，〃與橢圓C交于A,3兩點，。為坐標(biāo)原點，若k0rk0B=-;，求

0408的取值范圍.

變式22.（2024?黑龍江佳木斯?高二佳木斯一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓

22

C:與+￡=1（。>b>0）經(jīng)過點P（2訴,一個焦點F的坐標(biāo)為（2,0）.

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)直線/：/=依+1與橢圓C交于A8兩點，。為坐標(biāo)原點，求的取值范圍.

題型八：參數(shù)的取值范圍

22

例22.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知曲線C:二一+二一=1表示焦點在x軸上的橢圓.

5—mm—2

（1）求“2的取值范圍；

（2）設(shè)〃?=3,過點尸（0,2）的直線/交橢圓于不同的兩點A,B（8在A,P之間），且滿

足PB=A.PA，求4的取值范圍.

例23.（2024?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）己知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，離心率

e=*且經(jīng)過拋物線x?=4y的焦點.若過點3（2,0）的直線/（斜率不等于零）與橢圓交于

不同的兩點E、F（E在B、尸之間），

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求直線/斜率的取值范圍；

（3）若‘03E與03/面積之比為力，求；I的取值范圍.

例24.（2024?廣東廣州?高二執(zhí)信中學(xué)校考期末）已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在無軸上的橢

圓過