2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：等式與不等式的性質(zhì)

第3講等式與不等式的性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與。比較與1比較

a>ba-b>04〉1(。，Z?〉0)或q<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=O-=l(Z?^0)

b

a<ba-b=O@<1(。，Z?>0)或3>l(a,b<0)

bb

2、不等式的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對(duì)稱(chēng)性a>b<^b<a\a<b<^b>a

傳遞性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^>a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向a>c,c>d^a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,neN"=>an>bn

【解題方法總結(jié)】

1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時(shí)要做到言必有據(jù)，特

別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí)，有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法，以提高解題的效率.

2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、

利用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與。的大小；（4）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是塞或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.

必考題型全歸納

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【解題方法總結(jié)】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說(shuō)明.

2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（多選題）（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知a>b>c,ac>0,則下列關(guān)系式一定

成立的是（）

A.c2>bcB.Z?c（a-c）>0

cb一

C.a+b>cD.-H—>2

bc

【答案】BD

【解析】因?yàn)椤ā?gt;0,所以〃>b>c>0或

當(dāng)a>b>c〉0時(shí)，boc1,A不成立，Z?c（a-c）>0,a+b>c,

由7>0,2>0,故岸22乒=2,當(dāng)且僅當(dāng)9=2,即/,=c時(shí)，等號(hào)成立，

bcbe\bcbc

因?yàn)樯场礳,故等號(hào)不成立，故5+2>2；

bc

當(dāng)0>〃〉人>。時(shí)，be<c2bc（Q-c）>。，

不妨設(shè)2>—3,貝！J〃+b=c,故此時(shí)C不成立，

由故字22、以=2,當(dāng)且僅當(dāng)￡=2,即b=c時(shí)，等號(hào)成立，

bcbe\bcbc

ch

因?yàn)閆7>c,故等號(hào)不成立，故：+g>2；

bc

綜上：BD一定成立.

故選：BD

例2.（多選題）（2024?山東?校聯(lián)考二模）已知實(shí)數(shù)4c滿(mǎn)足。>b>c,且

a+b+c=O,則下列說(shuō)法正確的是()

A.--—>—--B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a-cb-c

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,9：a>b>c,.'.a-c>b-c>0,/.—-—<——,A錯(cuò)誤；

a-cb-c

對(duì)于B,'：a>b>c,Q+5+C=0,:.a>0,c<0,:.b+c=-a<0,a-b>0,

:.a-b>b-\-c,BPa-c>2b,B正確；

122

對(duì)于C,\-a-b>Ofa+b=-c>G,:.c^-b=(<7+6)(<2-/?)>0,gpa>bfC正確；

對(duì)于D,ab+bc=b(a-^-c)=-b2<0,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

例3.(多選題)(2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))^a>0>b>c,則下列結(jié)論正確的是

()

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a-cN2d(a-b)(b-c)

【答案】ACD

【解析】-：a>0>b>c,則b-c>0,bc>0,:心；=空出>6,即q>f,A正

cbbecb

確；

例如“=1,6=—2,c=-3,/=(-2)2=4,。2°=(-3)2=9,顯然4<9,B錯(cuò)誤；

,a—bbci(c—b)?n—hh.

由〃〉0〉b>。得。一匕<0,。一。>0,-----------=一(-----7>0，即----->一，C正確；

易知a-c>0,a-b>0,b-c>0,

ci—c—2^1(a—b)(b一c)=(<7—b)+(b-c)—2J(a-Z?)(b—c)=(Ja-b—yjb—c)~20,

a-c>2d(a-b)(b-c),D正確；

故選：ACD.

題型二：比較數(shù)(式)的大小與比較法證明不等式

【解題方法總結(jié)】

比較數(shù)(式)的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利

用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是累或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

右。>0,/?>0,則一>1b>a；—<1b<a；——1b=a；

aaa

bbb

若〃<0力<0,則一—==

aaa

例4.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若0<。<4。+8=1,則將“也；,2曲4+片從小到大

排列為.

【答案】a<2ab<-^<a2+b2<b

-12

【解析】???0vav〃，a+b=l,不妨令〃=§乃=耳，

45

貝!J有2ab=§,/+〃=§,

.,.有b>/+/>—>2ab>a,

2

BP6Z<lab<—<a2+b2<b.

2

故答案為：a<2ab<—<a2+b2<b.

2

例5.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如果給出下列不等式：

①?a3>b3；③@2ac2>2bc2；⑤色>1；@a2+b2+\>ab-\-a-\-b.

62UI）

其中一定成立的不等式的序號(hào)是.

【答案】②⑥

【解析】令。=1涉=-1,->7,排除①，后=后,排除③選項(xiàng)，7=-1<1,排除⑤.

abb

當(dāng)c=0時(shí)，排除④.由于幕函數(shù)y=/為R上的遞增函數(shù)，故〃3>/，②是一定成立的.由于

a1+b2+>0,i^a2+b2+1>ab+a+b.故⑥正

確.所以一定成立的是②⑥.

ha

例6.(2024?高三課時(shí)練習(xí))(1)已知〃>b>0,c<d<0,求證：——<——；

a-cb-d

(2)設(shè)x,yeR,比較-尸)"與孫(x-y)2的大小.

【解析】(1)由。>匕>0,c<d<0,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,從而得

0<^—.

ci—cb—d

ba

又a>b>3所以----<----

a-cb-d

(2)因?yàn)開(kāi)y2)2_孫(1_,)2=14+,4_%3,一孫3=%3(%一,)+,3(,一%)

=(x-y)(x3-y3)=(x-y)2(x2+xy+/)=(x-y)2[++|j2之。，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等

號(hào)成立，

所以當(dāng)x=y時(shí)，(x2-/)2=xy(x-y)2；

當(dāng)時(shí)，(爐一,2)2>孫(]一丁)2.

例7.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))(1)試比較(x+l)(%+5)與(x+3)2的大??；

(2)已知〃>人，—<-r,求證：ab>0.

ab

【解析】(1)由題意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

=+6尤+5—%2—6無(wú)一9——4v0,

所以(％+1)(X+5)<(%+3)2.

(2)證明：因?yàn)楣?lt;《，所以!一?<。，即字<0,

ababab

而所以/?一。<0,則就〉0.得證.

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【解題方法總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每

個(gè)變量的范圍，否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.

例8.(多選題)(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))己知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足

~3<x+2y<2,—1<2x—y<4,貝°()

A.x的取值范圍為(-1,2)B.V的取值范圍為(-2,1)

C.無(wú)+y的取值范圍為(-3,3)D.*一，的取值范圍為(-1,3)

【答案】ABD

【解析】因?yàn)?l<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8.因?yàn)?3<x+2y<2,所以

-5<5x<10,則-1<%<2,故A正確；

因?yàn)?3〈尤+2y<2,所以一6<2尤+4y<4.因?yàn)橐?<2x-y<4,所以-4<-2尤+y<1,所以

-10<5y<5,所以一2<y<l,故B正確；

936114

因?yàn)?3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以_]<￡（無(wú)+2y）<],_/E（2x_y）<],則

—2<x+y<2,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)橐?<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一]+貝|

-1<彳-”3,故。正確.

故選：ABD.

例9.（2024?廣東?高三校聯(lián)考期末）已知lVa-bV3,3<a+b<l,則5o+b的取值范

圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

、/\/\/\/、fm+n=5fm=2

3

【解析】^5a+b=m（<a—b）+nya+b）=\ni+n）a-r\ji—m）b,所以<,

貝lJ5a+Z?=2（a-b）+3（a+Z?）,又1（。一/?43,3<tz+Z?<7

所以242（a—6）46,9V3（a+6）421,由不等式的性質(zhì)得：H42（a—6）+3（“+6）W27,

則5a+b的取值范圍為[11,27].

故選：D.

例10.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知”aV2,-l<b<4,則。-26的取值范圍是

（）

A.-1<a-2b<4B.-6<a-2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<8

【答案】A

【解析】因?yàn)橐??〃44,所以一8W—2/?W2,

由得一74a—2b44.

故選：A.

例11.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三個(gè)實(shí)數(shù)。、b、c,當(dāng)c>0時(shí)，Z?W2〃+3c且

根=/,則三主的取值范圍是____________.

b

【答案】（-8,3

【解析】當(dāng)。>0時(shí)滿(mǎn)足：瓦2〃+3。且慶=〃2,

二《,,2"+3c,BPa2-2ac-3c2<0,進(jìn)而（與②-2.烏一3,,0,解得一啜/3.

CCCC

所以c或1￡C?-i,

a3a

a—2c_ac—2c2_ccY_

ba1a\aJa

c「1、

令一=t,tG-,+ooo（-oo-l］,

a_3）

/⑺=-2/+f=-2上一；］+1，

由于feg,+oo）u（-oo-f|

所以/■⑺在t?（?，1］單調(diào)遞增，在f?管，？字單調(diào)遞減，

當(dāng)"如嘲土當(dāng)I時(shí)，〃-1）=一3,

所以4）￡（

g1,

故答案為：蹤？

題型四：不等式的綜合問(wèn)題

【解題方法總結(jié)】

綜合利用等式與不等式的性質(zhì)

例12.（多選題）（2024?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知?！?,

4151

b>0,且滿(mǎn)足。之一+丁，b>-+-.則/+〃2的取值可以為（）

abba

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

41S1

【解析】因?yàn)?。之?:，b>—+—,

abba

所以b2>5+—,

ba

故24+色+5+2W9+2jq-2=11,

ba\ba

當(dāng)/=4+f,〃=5+2且f=2,而“=〃時(shí)/力/，即等號(hào)不能同時(shí)成立，

baba

所以/+〃>1],故AB錯(cuò)誤，CD正確.

故選：CD.

例13.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知/（丁+1）=1,則（）

1

A.xy<lB.x9y>~-

5

C.x+xy<\D.x9+xy<-

【答案】ABD

【解析】由?。ǘ?1）=1得“，由于y??。，所以0</41,

所以彳、2=1_/？[0,1）,因此一1〈孫<1且孫wo,故A正確，

無(wú)。=子7，當(dāng)y<o時(shí)，",一手力-二"，由于>+一<-2,當(dāng)且僅當(dāng)、=一1時(shí)，等號(hào)

y+1J+-y

0c>----1--->—11

成立，故、.1-2,當(dāng)丁上。時(shí)，x2y>0,所以故B正確，

y+—2

y

x2（l+y）2=x2（l+2>+/）=x2（/+l）+2x2y=l+2x2y<l+x2（l+/）=2,當(dāng)且僅當(dāng)

1f—l

2y=1+9？>1,無(wú)2=3時(shí)取等號(hào)，故一逝4彳。+/）=X+孫4應(yīng)，所以C錯(cuò)誤，

222

x+Xy=l-xy+xy=-(xy-^\+|<|,當(dāng)且僅當(dāng)孫=g取等號(hào)，又/(9+1)=1,所以

與邛或者-奈尸￥等號(hào)成立，

X

故選：ABD

例14.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足七>不,則（）

A.l°g0.2023a<l°go.2O23人B.a3<b3

-bb+1D-"+力的最小值為1

C.->-----

aa+1

【答案】BC

【解析】由3；可知Q〉0,b>0,由不等式的性質(zhì)可知，貝!JO<a<〃.

7a7bab

選項(xiàng)A：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logo.2023元為減函數(shù)，0<a<b,所以logo.2023a>logo.2023b，故A

錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：由函數(shù)y=%3的單調(diào)性可知〃3<〃，故B正確;

必工「Ibb+\b(a+l)-a(b+l)

選項(xiàng)C:因?yàn)?-----7=——2—-—-前土°，所以卜然，故,正確;

aa+1

選項(xiàng)D：ab-\------=(ab+l]-\-------l>2.(ab+l)x-------1=1,

ab+1')ab+lVab+1

當(dāng)且僅當(dāng)成+1二1二，即必=0時(shí)取得等號(hào)，顯然等號(hào)不成立，故D錯(cuò)誤.

ab+1

故選：BC.

例15.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足〃+0+c=0,a2+b2+c2=1,則

a的最大值是一.

【答案】亞

3

222

【解析】a+b+c=lf

b+c=-a,b2+c2=1-a2,

,be=g?(2Z?c)=([(〃+c)2-(b2+/)]=/-3

：.b、c是方程：N+QX+〃2—：=o的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

A>0

—4(〃2—5)>0

2

即a92<-

3

33

即a的最大值為亞

3

故答案為：好.

3

題型五：糖水不等式

【解題方法總結(jié)】

糖水不等式：若a>b>0,機(jī)>0,則一定有生絲>2,或者竺

a+mab+mb

例16.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知糖水中含有Qg糖（人>〃〉0）,若

再添加機(jī)g糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據(jù)這個(gè)事

實(shí)，下列不等式中一定成立的有（）

aa+ma+ma+2m

A.——<------------<---------

bb+mb+mb+2m

21

C.(tz+2m)(Z?+m)<(d：+m)(Z?+2m)D.

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,由題意可知￡＜十,正確;

bb+m

a+m+2m—ma+2m

對(duì)于3,因?yàn)楦?%所以"正確;

b+mb+m+2m-m~b+2m

十八〃+根a+m+ma+2m\/c\/\

對(duì)于C,-------<-------------=---------BaPn(z6z+m)(Z7+2m)<(6z+2m)(Z77+m)錯(cuò)誤;

b+mb+m+mb+2m

22+1_3_11

對(duì)于。,3T<3。+「*一聲"〈聲正確.

故選：ABD

例17.（2024?山西?統(tǒng)考一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會(huì)更甜.這

hb+m

句話(huà)用數(shù)學(xué)符號(hào)可表示為：上＜2_