2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：概率 與統(tǒng)計

概率與統(tǒng)計

一、選擇題

1.某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡某視頻APP是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女

生人數(shù)是男生人數(shù)的一半，男生喜歡該視頻APP的人數(shù)占男生人數(shù)的工，女生喜歡該

視頻APP的人數(shù)占女生人數(shù)的若依據(jù)小概率值〃的獨立性檢驗’認(rèn)為喜歡

該視頻APP和性別有關(guān)，則男生至少有()

附：

a0.0500.010

Xa3.8416.635

n(ad-bc)2

/(a+Z?)(c+d)(a+c)°+d)，,l~a+^+L+t^

A.12人B.6人C.10人D.18人

2.已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:

X12345

y66788

根據(jù)上表可得回歸直線方程y=Q.6x+a，據(jù)此可以預(yù)測當(dāng)％=8時,V=()

A.8.5B.9C.9.5D.10

3.如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓

柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端

放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入

底部的格子中.記格子從左到右的編號分別為0,1,2,…，10,用X表示小球最后落

入格子的號碼，若P(X=@WP(X=%),則%=()

4.10<x；<x2<x3<x4<IO",隨機(jī)變量。取值X］，了3，%的概率均為:，隨機(jī)變量星

取值X1+X2+X3,X2+X3+X4,X3+X4+X1,的概率也均為1,若記￡>化），￡>化）

33334v7、，

分別是配魔的方差，則（）

A.D&）>D&）B.。閶=%）

C.<。值）D.0（4）與的大小不確定

5.為了研究某公司工作人員人數(shù)x（單位:名）和月銷售量y（單位:萬元）的關(guān)系，從

該公司隨機(jī)抽取10名工作人員，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)

1010

關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為丁=源+。.已知=320,XX-=2400金=5.若該公司工作

1=1(=1

人員為25名，據(jù)此估計其月銷售量為（）

A.195B.200C.205D.210

6.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X51015

pp2+55-2-2pp

'666

則，=（）

A.lB.-lC.-D.一或―一

33223

7.為了研究某公司工作人員人數(shù)x（單位:名）和月銷售量y（單位:萬元）的關(guān)系，從

該公司隨機(jī)抽取10名工作人員，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)

1010

關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為丁=標(biāo)+4.已知E>=320，E>=2400*=5?若該公司工作

z=li=l

人員為25名，據(jù)此估計其月銷售量為（）

A.195B.200C.205D.210

8.已知隨機(jī)變量X-BSp）,若￡>（2X）=2E（X）,則〃=（）

A.—B.lC.lD.1

16842

二、多項選擇題

9.若隨機(jī)變量X~N（0,22）,y?N（o3卜則（）

A.p（X<0）=0.5B.p（X<-2）=P（X>2）

C.P（X<-2）=P（y>2）D.p（X<-2）<P（y>2）

10.變量之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，其經(jīng)驗回歸直線y=/x+a經(jīng)過點（10,嗎），且相

對于點（11,5）的殘差為02則（）

X99.51010.511

y1110m65

A.m=8B%=_2.8C.a=36D.殘差和為0

11.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球（兩箱中的球除顏色外,

沒有其他區(qū)別）,先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件A和4表示從甲箱中取

出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機(jī)取出兩球,用事件3表示從乙箱中取出的兩球都是

紅球，則（）

3g2

Ap（A）=yB.P（B）=HC.P{B\\）=-D,p（4|B）=-

50

三、填空題

12.某人參加一次考試，共有4道試題，至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題

的正確率均為0.5,并且答每道題之間相互獨立，則他能合格的概率為.

13.某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識答題競賽.已

知某同學(xué)答對每道題的概率均為工,且每次答題相互獨立，若該同學(xué)連續(xù)作答20道試題

3

后結(jié)束比賽,記該同學(xué)答對m道試題的概率為“加），則當(dāng)根=時,/（回取得

最大值.

14.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2Q2）,且P（2<X<2.5）=O.36,則

P（X>2.5）=.

四、解答題

15.某工廠統(tǒng)計了某產(chǎn)品的原材料投入x（萬元）與利潤y（萬元）間的幾組數(shù)據(jù)如

下：

原材料投入x（萬元）

利潤y（萬元）

（1）根據(jù)經(jīng)驗可知原材料投入x（萬元）與利潤y（萬元）間具有線性相關(guān)關(guān)系，求

利潤y（萬元）關(guān)于原材料投入x（萬元）的線性回歸方程；

（2）當(dāng)原材料投入為100萬元時，預(yù)估該產(chǎn)品的利潤為多少萬元？

心.女T(…)_

附：b=~~--，a=y—bx-

x:~x

16.某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽，按比賽規(guī)則，進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊如果在

120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù)，則需進(jìn)行點球大戰(zhàn).點球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段，雙方各派5

名球員輪流罰球，雙方各罰一球為一輪，球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分，未罰進(jìn)

不得分，當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時候，比賽即

宣告結(jié)束，剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣，則進(jìn)入第

二階段，雙方每輪各派一名球員罰球，直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局

面，則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊進(jìn)入點球大戰(zhàn)，由甲隊球員先罰球，甲隊每

位球員罰進(jìn)點球的概率均為工，乙隊每位球員罰進(jìn)點球的概率均為‘假設(shè)每輪罰球

23

中，兩隊進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

⑴求每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率；

（2）若在點球大戰(zhàn)的第一階段，甲隊前兩名球員均得分而乙隊前兩名球員均未得分，甲

隊暫時以2:0領(lǐng)先，求甲隊第5個球員需出場罰球的概率.

17.某批發(fā)市場供應(yīng)的排球中，來自甲廠的占40%,來自乙廠的占30%,來自丙廠的

占30%,甲廠生產(chǎn)的排球的合格率為95%,乙廠生產(chǎn)的排球的合格率為92%,丙廠生

產(chǎn)的排球的合格率為96%.

(1)若小張到該市場購買1個排球.求購得的排球為合格品的概率.

(2)若小李到該市場批發(fā)2個排球回去銷售.購買的1個球來自甲廠，1個球來自丙廠，

已知來自甲廠的每個排球售出后可獲得純利潤10元，沒有售出則每個球?qū)p失5元，

且每個球被售出的概率等于排球的合格率；來自丙廠的每個排球售出后可獲得純利潤

8元，沒有售出則每個球?qū)p失6元，且每個球被售出的概率等于排球的合格率.求小

李到該市場批發(fā)2個排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤的數(shù)學(xué)期望.

18.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.

平均氣溫rc-3-4-5-6-7

銷售額/萬元2023273050

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),用最小二乘法求出回歸方程丁=加+。；

(2)預(yù)測平均氣溫為一9。(2時，該商品的銷售額為多少萬元.

_n_n____

人2(王一元)(乂一歹)八

b=----------------=弓---------,a=y-bx

可2之x；—nF

Z=1Z=1

19.零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業(yè)為

了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計整理，得到

數(shù)據(jù)如下表：

零件直徑(單位：厘米)[1.0,1.2)[1.2,1.4)[1.4,1.6)[1.6,1.8)[1.8,2.0]

零件個數(shù)1025302510

已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布N(〃Q2),〃，分別為這100個零件的直徑

的平均數(shù)及方差(同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點值代表).

⑴分別求4,的值；

(2)試估計這批零件直徑在［1,044,1.728］的概率；

(3)隨機(jī)抽查2000個零件，估計在這2000個零件中，零件的直徑在［1.044,1.728］的個

數(shù).

參考數(shù)據(jù)：Jo.052x0.228；若隨機(jī)變量。?M","),則

P(//-cr<^<4+。卜0.6827,P(//-2cr<^<〃+2o■h0.9545,

尸(〃一3b<《<〃+3b)比0.9973?

參考答案

1.答案：A

解析：設(shè)被調(diào)查的男生人數(shù)為X,則被調(diào)查的女生人數(shù)書，則2X2列聯(lián)表為

付某視頻APP的態(tài)度合

性別

喜歡不喜歡計

X5x

男生X

6~6

XXX

女生

I62

X3x

合計X

2~2

根據(jù)小概率值。=0.050的獨立性檢驗，

認(rèn)為喜歡某視頻APP和性別有關(guān)，則J2>3,841，

3x(xx5xx2

2166633x

即/=—>3.841=x

XXgV0.0v5J0V

X-------X

22

則

又土，土，土均為整數(shù),

236

所以男生至少有12人.

故選：A.

2.答案：D

解析:依題意，入=限=「二7,

即樣本的中心點為(3,7)，于是7=0.6x3+a，解得。=5.2,即丁=0.6%+5.2,

當(dāng)％=8時，預(yù)測y=06x8+5.2=10.

故選：D.

3.答案：B

解析：每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為工,

2

每一層均要乘以工，共做10次選擇，

2

故X服從二項分布，

又E（X）=10x；=5,

令P（X=&）最大，

貝/P（x=%）/x"i）

、［p（x=k0）＞p（x=k0+iy

Q11

解得又因為0W左W10,kwZ,所以左0=5,

所以尸（X=左）WP（X=5）,左=0,1,2,3,…,10,

P（X=k）＜P（X=k0）,且3=5.

故選：B.

4.答案：A

解析：E(jJ=

4

。信）=；［（%-石信））2+（%—后信獷+國―￡㈤了+（/—E（JJ）2

=；［（X；+考+X；+X：）—2（玉+X2+*3+%4）E（JJ+4E2信）］

℃）=；/+R+」_E信）j+（x2+；+X4_E（q）］+「3+；+XjE（.J+「4+；+X2_E（q）

；+-+,可+12（玉+々+七+/）E㈤+4爐Q

所以只需比較%；+%；+%；+X：與

七+/+X]）?[/+*1+%21的大小,

所以

<%；+*x

2X{X22再13<%；+%；，2X2X3<xf+%3，2X2X4<%2+42X3X4<%：+%；

2再%4<%；+%：，

所以①<][3（x；+x；+x；+靖+6（x；+%；+x；+靖]=（x；+x；+x；+靖,

所以力信）>。值）,

故選:A.

5.答案：C

1io一1io

解析：根據(jù)題意，計算％=—，工=32,y=—=240,g=5；

1°z=l1°i=l

a==240-5x32=80,

y=5%+80，

當(dāng)x=25時，可得丁=5義25+80=205,

所以估計其月銷售量約為205.

故選:C.

6.答案：C

解析：由分布列的性質(zhì)，得加+5+5/-2〃+K=],即（2p_i）（3p+l）=0,解得°」或

6662

當(dāng)p=—1時,e<0,不符合分布列的性質(zhì)，所以p=L

362

故選：C.

7.答案：C

110_110

解析：根據(jù)題意，計算x=—力，=32,y=—=240齒=5；

10i=iioI=i

/.a==240-5x32=809

y=5x+80，

當(dāng)x=25時，可得y=5x25+80=205，

所以估計其月銷售量約為205.

故選:C.

8.答案：D

解析：依題意X滿足二項分布，且￡>（2X）=2E（X）,

即4D（X）=2磯X）,2D（X）=E（X）,

即2在（1一7?）=秋，解得/?=；,（夕=0舍去）.

故選：D

9.答案：ABD

解析：隨機(jī)變量X~N（0,22）,Y~N（0,3?）,由正態(tài)分布的性質(zhì)得：

對于A,B,尸（X<0）=0.5,P（X<-2）=P（X>2）,A,B正確；

對于C,D,P（-2<X<2）=P（-3<7<3），則P（X<-2）=P（Y>3）<P（Y>2）,C錯誤,D正

確.

故選：ABD.

10.答案：AD

解析：因為經(jīng)驗回歸直線y=經(jīng)過點（10,加）,

所以根=IQb+a，5機(jī)=11+1。+機(jī)+6+5,

因為相對于點（11,5）的殘差為0.2,

所以5-(1仿+。)=0.2,

所以加=8%=.3.2，。=40A正確,B錯誤,C錯誤,

所以y=—3.2x+4O，

當(dāng)x=9時,y=—3,2x9+40=11.2'

當(dāng)無=9.5時,y=-3,2x9.5+40=9.6，

當(dāng)x=10時'y=-3.2x10+40=8，

當(dāng)x=10.5時，y=-3.2x10.5+40=6.4，

當(dāng)尤=11時，y=—3,2x11+40=4.8，

所以殘差和為11_11.2+10_9.6+8_8+6—6.4+5—4.8=0，D正確.

故選：AD.

11.答案：ABD

Qo02,0211

解析：玳4)=|人對,尸(8)=1清+不浸=方8對.

3C；

—x——

P（AB）5C5=j_,C錯.

P(B|A|)=

P（A）310

5

2Cl

一X-T

p（4⑶=3=WL2,D對.

"P（B）1111

50

12.答案：A

16

解析：某人參加考試,4道題目中，答對的題目數(shù)X滿足二項分布X~8，,；

所以P（X>3）=尸（X=3）+尸（X=4）=嗯）+,）=《

故答案為:工

16

13.答案：13或14

解析：由題意得（）（）20-m

ym-C?xl-g,0<zn<20，且7〃eN，則

/(?0-

X

X

20!220!1

x—2-------；------X-

m!(20-m)!3(m-l)!(21-m)!3

故＜

20!x—1>_____2_0_!____x2

m!(20-m)!3-(m+l)!(19-m)!3

又和eN，所以加=13或加=14,故當(dāng)/九=13或7〃=14時,/（加）取得最大直

14.答案：0.14

解析：由題可得尸(X>2)=0.5,因此尸(X>2.5)=P(X>2)—尸(2<XV2.5)

=0.5-0.36=0.14.

15.答案：（1）亍=22尤—1040

（2）原材料投入為100萬元時，預(yù)計該產(chǎn)品的利潤為1160萬元.

解析：（1）設(shè)利潤y（萬元）關(guān)于原材料投入x（萬元）的線性回歸方程為

y=bx+a

由已知元=((82+84+85+86+88)=85

j=1(770+800+830+850+900)=830，

i=\

一\2

%一%)=9+1+0+1+9=20,

i=l

Q=y-標(biāo)=830-22x85=-1040，

所以利潤y（萬元）關(guān)于原材料投入%（萬元）的線性回歸方程為$=22x-1040；

（2）由（1）當(dāng)％=100時，9=22x100—1040=1160,

所以當(dāng)原材料投入為100萬元時，預(yù)計該產(chǎn)品的利潤為H60萬元.

16.答案：（1）1

解析：⑴設(shè)每一輪罰球中，甲隊球員罰進(jìn)點球的事件為A,未罰進(jìn)點球的事件為限乙

隊球員罰進(jìn)點球的事件為5未罰進(jìn)點球的事件為萬.

設(shè)每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的事件為C,由題意，得在每一輪罰球中兩隊

打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點球，或甲、乙均罰進(jìn)點球，

則P（C）=P（可xP回+P（A）xP㈤[1一；x]l.|+；xg=：+g=；,

故每一輪罰球中，甲、乙兩隊打成平局的概率為

2

⑵因為甲隊第5個球員需出場罰球，則前四輪罰球甲、乙兩隊分差不能超過1分，即

四輪罰球結(jié)束時比分可能為2:1或2:2或3:2.

①比分為2:1的概率為

P（孫P（B>P（孫P（耳+P（孫P（耳?P（孫P（B）

11

------1------

18189

②比分為2:2的概率為P（入）（入）——=

③比分為3:2的概率為尸（A）.尸⑻.尸（孫P（5）+尸（孫P（5）.P（A）.P⑻

122

二1-x—2x（1——11X—2xc2=—2

23239

綜上，甲隊第5個球員需出場罰球的概率為，+工+2=±

9999

17.答案：(1)94.4%；

⑵16.69

解析：(1)設(shè)A,B,C分別表示購買的排球來自甲廠、乙廠、丙廠，。表示購買的排球

是合格品,則尸(4)=40%,P(B)=P(C)=30%,P(D|A)=95%,P(D|B)=92%,

P(D|C)=96%

所以P(D)=P(A)-P(D\A)+P(B)-P(D|B)+P(C)-P(D|C).

=40%x95%+30%x92%+30%x96%=94.4%.

(2)設(shè)小李到該市場批發(fā)2個排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤為X元，

依題意可得X的可能取值為10+8,10-6,—5+8,-5-6,即18,4,3,-11.

p(X=18)=0.95x0.96=0.912,

p(X=4)=0.95x(1-0.96)=0.038,

p(X=3)=(1-0.95)x0.96=0.048,

P(X=-ll)=(l-0.95)X(1-0.96)=0.002.

所以￡(X)=18x0.912+4*0.038+3*0.048+(—11)x0.002=16.69,

故小李到該市場批發(fā)2個排球進(jìn)行銷售獲得的純利潤的數(shù)學(xué)期望為16.69元.

18.答案：(1)9=-6