2025年初中數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)突破：相似三角形中的常見(jiàn)五種基本模型（含答案及解析）

大招相似」角形的

常見(jiàn)五種模型

模型探究

相似三角形考查范圍廣，綜合性強(qiáng)，其模型種類(lèi)多，其中有關(guān)一線(xiàn)三垂直模型在前面的專(zhuān)題

已經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在重復(fù).

模型一'A字型相似模型

A字型（平行）反A字型（不平行）

模型二'8字型與反8字型相似模型

模型三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）

模型四、共邊角相似模型（子母型）

4(C)

模型五、手拉手相似模型

ajai例題精講

考點(diǎn)一、A字相似模型

【例1].如圖，在△ABC中，NA=78°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線(xiàn)剪開(kāi),

剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

【變式1T】.如圖，在△ABC中，DE//BC,AWLBC于點(diǎn)X,與DE交于點(diǎn)G.若幽用

GH2

則理=

BC----

A

【變式1-2].如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE^^AB,連接EM

4

并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于。，則理■=.

【變式1-3].如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，AD=9,BD=1.AC=12.ZXABC的

角平分線(xiàn)AE交C。于點(diǎn)尺

(1)求證：△ACDS^ABC；

(2)若AF=8,求AE的長(zhǎng)度.

BE

考點(diǎn)二、8字與反8字相似模型

【例2】.如圖，AG//BD,AF-.FB=1：2,BC：CD=2：1,求絲的值

ED

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，AB//CD,AE//FD,AE、ED分別交于點(diǎn)G、H,則下列結(jié)論中錯(cuò)

FHBHFDCBCECGAGFA

【變式2-2].如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊A。的中點(diǎn)，連接AC,BE交于點(diǎn)F.若

△AEP的面積為2,則△ABC的面積為（）

【變式2-3].如圖，銳角三角形ABC中，ZA=60°,BELACE,CD_LA8于。，則。E：

BC=______

考點(diǎn)三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）

【例3].如圖，在△ABC中，點(diǎn)。和E分別是邊A8和AC的中點(diǎn)，連接。E,DC與BE交

于點(diǎn)。，若△OOE的面積為1,則AABC的面積為（）

A.6B.9C.12D.13.5

A變式訓(xùn)練

【變式37].如圖，是△ABC的中位線(xiàn)，尸為。E中點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,

若SAEFG=1,貝ijSAABC=.

【變式3-2].如圖：AD//EG//BC,EG交DB于點(diǎn)、F,已知AO=6,BC=8,AE=6,EF

=2.

（1）求班的長(zhǎng)；（2）求尸G的長(zhǎng).

【變式3-3].如圖，已知A8〃CZ）,AC與8。相交于點(diǎn)E,點(diǎn)歹在線(xiàn)段BC上，坐」，史」

CD2CF2

(1)求證：AB//EF；

(2)求SAEBC:SAECD.

ID

模型四、子母型相似模型

【例4】.如圖，點(diǎn)C,。在線(xiàn)段AB上，是等邊三角形，且/APB=120°,求證:

(1)△ACPS^PDB,

(2)CD1=AC'BD.

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABPs/wcB,添加一個(gè)條件，不

正確的是()

A.B./APB=/ABCAP_ABAB_AC

AB"ACAP-CB

【變式4-2].如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在A(yíng)C邊上，連接8D,若NABC+ZBOCn180°,

AD=2,CD=4,則AB的長(zhǎng)為()

A,

BC

A.3B.4C.MD.2A/3

【變式4-3].如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O,P為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，貝|加以+尸8

的最小值為

模型五、手拉手相似模型

【例5】.如圖,△ABC與△￡>￡/均為等邊三角形，O為BC、E尸的中點(diǎn)，則AD：8E的值

為

C

7

A變式訓(xùn)練

【變式57].如圖，在△ABC與△AOE中，ZBAC=ZDAE,ZABC=ZADE.

求證：(1)ABACSADAE；(2)ABADsACAE.

【變式5-2].如圖，點(diǎn)。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NBOC=90°,AB=2,AC=A/3，ZBAD=

NCBD=30°,AD=.

【變式5-3].如圖，在四邊形ABC。中，AE1.BC,垂足為E,ZBAE=ZADC,BE=CE=

2,CD=5,AD=kAB（左為常數(shù)），則的長(zhǎng)為.（用含左的式子表示）

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，已知。E〃BC,EF//AB,則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）

BF=ADAD二型CE_CAAD二CF

BC而DE=FCCF"CBAB=CB

2.如圖，梯形ABC。中，AD//BC,ZB=ZACD=90a,AB=2,DC=3,則△&8(?與4

C.4：9D.V2：V3

3.如圖，菱形ABC。中，E點(diǎn)在BC上，尸點(diǎn)在C￡＞上，G點(diǎn)、X點(diǎn)在A(yíng)。上，S.AE//HC

//GF.若A8=8,HG=5,G￡?=4,則下列選項(xiàng)中的線(xiàn)段，何者長(zhǎng)度最長(zhǎng)？（）

C.BED.EC

4.如圖，在△ABC中，BC=6,E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在射線(xiàn)所上，BP

交CE于點(diǎn)D,ZCBP的平分線(xiàn)交CE于點(diǎn)Q,當(dāng)。。=工?！陼r(shí)，EP+BP的值為（

3

A

9C.12D.18

5.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZABC=90°,AB=25,AD=2,將△ABC繞

點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△4'B'C,當(dāng)A'B'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，AB'CD為等腰三

)

C.V13D.1

6.如圖，已知，ZkABC中邊48上一點(diǎn)P,且AC=4,AP=2,則BP

7.如圖，在13ABe。中，AC、BO相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是04的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交AO

于點(diǎn)R如果△AEF的面積是4,那么△BCE的面積是

8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作OE〃AC分別交邊48、8c于點(diǎn)。、

E,過(guò)點(diǎn)。作。/〃BC交AC于點(diǎn)足如果。尸=4,那么BE的長(zhǎng)為.

A

9.如圖，已知Rt^ABC中，兩條直角邊AB=3,BC=4,將RtZXABC繞直角頂點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)一

定的角度得到RtADBE,并且點(diǎn)A落在DE邊上，則sinZABE=.

10.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,4。平分NA4C,交邊

8C于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)D作C4的平行線(xiàn)，交邊A2于點(diǎn)E.

(1)求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；

(2)取線(xiàn)段A。的中點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)BM,交線(xiàn)段。E于點(diǎn)R延長(zhǎng)線(xiàn)段交邊AC于點(diǎn)G,

求空的值.

DF

11.如圖，在菱形ABC。中，NADE、NC。尸分別交BC、AB于點(diǎn)、E、F,。尸交對(duì)角線(xiàn)AC

于點(diǎn)M,且NAO￡=/CZ)F.

(1)求證：CE=AF；

(2)連接ME,若奧=型，AP=2,求ME的長(zhǎng).

BECE

12.［問(wèn)題背景］(1)如圖①，已知△ABCs△&￡>￡,求證：AABDsAACE.

［嘗試應(yīng)用］(2)如圖②，在△ABC和△?!￡)￡■中，ZBAC=ZDAE=90°

ZABC=ZADE=30°,AC與?！晗嘟挥邳c(diǎn)孔點(diǎn)。在8c邊上，包■=?,

BD

①填空：地=；

BD

②求更的值.

CF

13.如圖，在正方形A8C。中，AB=4,E、/分別是BC、C。上的點(diǎn)，且/EAE=45

AE、AF分別交80于點(diǎn)M、N,連接EMEF.

(1)求證：4ABNsAMBE；

（2）求證：BM2+ND2=MN2；

（3）①求的周長(zhǎng)；

②若點(diǎn)G、尸分別是ERC。的中點(diǎn)，連接NG,則NG的長(zhǎng)為

AD

BE

14.問(wèn)題背景如圖（1）,已知求證：AABDsAACE；

嘗試應(yīng)用如圖（2）,在△ABC和△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°，ZABC=ZADE=

30°,AC與。E相交于點(diǎn)E點(diǎn)。在8C邊上，媽=、/5，求更的值；

BDCF

拓展創(chuàng)新如圖（3）,D是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZBAD=ZCBD=3Q°,ZBDC=90°,AB

=4,AC=2?,直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng).

15.如圖1,四邊形ABC。是正方形，G是C￡＞邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、。不重合），

以CG為一邊在正方形A8C。外作正方形CEFG,連接8G,DE.我們探究下列圖中線(xiàn)

段BG、線(xiàn)段。E的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線(xiàn)的位置關(guān)系：

（1）①猜想如圖1中線(xiàn)段3G、線(xiàn)段。E的數(shù)量關(guān)系BG=DE及所在直線(xiàn)的位置關(guān)

系BGLDE；

②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到

如圖2,如圖3情形.請(qǐng)你通過(guò)觀(guān)察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并

選取圖2證明你的判斷;

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4-6）,且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb（a

Wb,左＞0）,則線(xiàn)段BG、線(xiàn)段。E的數(shù)量關(guān)系幽=上及所在直線(xiàn)的位置關(guān)系BG

—ED—a—

±DE；

（3）在第（2）題圖5中，連接。G、BE,且a=4,b=3,笈=」，直接寫(xiě)出

2

的值為工型.

—4―

E

圖1圖2圖3

大招相似」角形的

常見(jiàn)五種模型

模型探究

相似三角形考查范圍廣，綜合性強(qiáng)，其模型種類(lèi)多，其中有關(guān)一線(xiàn)三垂直模型在前面的專(zhuān)題

已經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在重復(fù).

模型一'A字型相似模型

A字型（平行）反A字型（不平行）

模型二'8字型與反8字型相似模型

模型三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）

模型四、共邊角相似模型（子母型）

4(C)

模型五、手拉手相似模型

ajai例題精講

考點(diǎn)一、A字相似模型

【例1].如圖，在△ABC中，NA=78°,AB=4,AC=6,將△ABC沿圖示中的虛線(xiàn)剪開(kāi),

剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

A

解：4陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

8、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確.

。、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：C.

A變式訓(xùn)練

【變式1T】.如圖，在△A8C中，DE//BC,于點(diǎn)H,與DE交于點(diǎn)G.若

則里.=旦

BC-5一

?.?-A--G-=--3-,

AH5

'：DE//BC,

：.^ADE^AABC,

?DEAG3故答案為s.

,?而而而5

【變式1-2].如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是A8上一點(diǎn)，AE=^-AB,連接EM

4

并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于。，則史=.

CD

'.'PC//AE,：.^AEM^^CPM,，&=軍

AEAM

是AC的中點(diǎn)，：.AM=CM,：,PC=AE,

\'AE=—AB,：.CP=—AB,：.CP=—BE,

443

'：CP//BE,：.ZXOCPs/\DBE,

.CPCD2

==：.BD=3CD,

"BEBD"3

；.BC=2CD,即此=2.

CD

【變式1-3].如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，AD=9,BD=I.AC=12.ZVIBC的

角平分線(xiàn)AE交CD于點(diǎn)、F.

(1)求證：△ACDS/XABC；

(2)若AF=8,求AE的長(zhǎng)度.

解：（1）\'AD=9,BD=7,AC=12,

：.AB^AD+BD^16,

..旭=至=9AC=_12

'AC"123'ADT3'

.AB=AC

"ACAD，

'：ZBAC=ZCAD,

：.△AC￡）s-

（2）由（1）可知，△ACDS/XABC,

NABE=ZACF,

平分/BAC,

：.ZBAE=ZCAF,

：.△ABEs/XACR

.AB_AE即16_AE

AC-AF；'l2--8-，

.4F8X1632

考點(diǎn)二、8字與反8字相似模型

【例2】.如圖，AG//BD,AF；FB=1：2,BC：CD=2：1,求￡1的值

解：'：AG//BD,

：.XAFGs叢BFD,.AG_AF,1

"BD"BF2

?.,匹=2，：.CD=^BD,.?.迪W

CD3CD2

■:AG//BD,

.?.△AEGsACED,GE_=AG_^3_.

EDCD2

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，AB//CD,AE//FD,NE、即分別交3c于點(diǎn)G、H,則下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是（）

DHCH口GECGAF=HGFH_BF

AA.-----=------JJ.----------二---

FHBHFDCBCE-CGAG"FA

解：A、'JAB//CD,

.?.也=空.，故本選項(xiàng)不符合題目要求;

FHBH

B、"：AE//DF,

\/\CEG^/\CDH,

.GE=CG?EG=DH

,DHCH"CGCH

：AB//CD,

.CH=DH.DH=DF

"CBDF"CHCB，

?GE=DF.?.亞=”，故本選項(xiàng)不符合題目要求;

'CGCBFDCB

JAB//CD,AE//DF,

,.四邊形AED尸是平行四邊形，尸=DE,

：AE//DF,

.DEHG.AF=HG故本選項(xiàng)不符合題目要求;

，，CE'CG，"CECG

￡＞、'."AE//DF,

：./\BFH^/\BAG,故本選項(xiàng)符合題目要求；故選：D.

AGBA

【變式2-2].如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC,BE交于點(diǎn)、F.若

△AEF的面積為2,則△ABC的面積為（）

D

C

A.8B.10C.12D.14

解：如圖，???四邊形ABC。是平行四邊形，

\'EA//BC,

：.AAEFsACBF,

'：AE=DE=^-AD,CB=AD,

2

?AF=EF=AE=AE=_1

"CFBFCBAD2"

：.AF=—AC,EF=—BF,

32

.*?SMBF=—S/SABC,

3

5AAEF=—S^ABF=—X—SAABC=—SAABC,

2236

"：SAAEF=2,

S^ABC=6SAAEF=6X2=12,故選：C.

【變式2-3].如圖，銳角三角形48c中，/A=60°,BELAC^-E,CD_L48于。，則DE：

解：如圖，：在△ADC中，ZA=60°,CD_LAB于點(diǎn)。,

AZACD=30°,

.AD=1

"AC2"

又：在△4BE中，ZA=60°,BELACE,

：.ZABE=30°,

?.A?一E_-1-.,

AB2

.AD=AE

"ACAB'

又：ZA=ZA,

AADE^AACB,

：.DE：BC=AD：AC=1：2.故答案是：1：2.

考點(diǎn)三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）

【例3].如圖，在A(yíng)ABC中，點(diǎn)。和E分別是邊和AC的中點(diǎn)，連接DE,DC與BE交

于點(diǎn)。，若△OOE的面積為1,則△ABC的面積為（）

解：?..點(diǎn)。和E分別是邊A8和AC的中點(diǎn),

二。點(diǎn)為AABC的重心，

：?0B=20E,

S^BOD=2S/^DOE=2X1=2,

??S/\BDE=3f

'：AD=BDf

??S/\ABE—2S/\BDE=6,

*：AE=CE,

S/\ABC=2SMBE=2X6=12.故選C.

A變式訓(xùn)練

【變式37].如圖，DE是△ABC的中位線(xiàn)，廠(chǎng)為OE中點(diǎn)，連接A尸并延長(zhǎng)交3C于點(diǎn)G,

若SAEFG=1,貝I]S^ABC=24.

B

解：方法一：是AABC的中位線(xiàn)，

...￡>、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，

如圖過(guò)Z)作DA/〃BC交AG于點(diǎn)M,

,:DM〃BC,

：.ZDMF=ZEGF,

:點(diǎn)尸為。E的中點(diǎn)，

:.DF=EF,

在和△EGF中，

，ZDMF=ZEGF

，ZDFM=ZGFE>

DF=EF

:.ADMFm叢EGF(A4S),

SADMF=SAEGF=1,GF=FM,DM=GE,

:點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，且。M〃BC,

：.AM=MG,

：.FM=^AM,

2

?.S/\ADM=2s&DMF=2,

■:DM為AABG的中位線(xiàn)，

?.?-D-M_-1,

BG2

S^ABG=4SAADM=4義2=8,

??S梯形DMGB~S/\ABG~S/\ADM=8-2=6，

??S/\BDE=S梯形DMGB=6,

TOE是△ABC的中位線(xiàn)，

:.S/\ABC=^S^BDE=4X6=24,

方法二：連接AE

D,

'：DE是ZXABC的中位線(xiàn)，

：.DE//AC,DE=—AC,

2

?.?p是DE的中點(diǎn)，

?.E?-F-_--1,

AC4

...52kEFG=EF21,

SAACGAC216

■:S/\EFG=L

??SAACG=16,

^EF//AC,

?GE=EF=2

，eGCACT

.SAAEGGE1

,△KGGC4

S/\AEG—--SZ\ACG=4>

4

.".S/^ACE—SMCG-SMEG=12,

SAABC=2SAACE=24,故答案為：24.

【變式3-2].如圖：AD//EG//BC,EG交DB于點(diǎn)、F,已知A￡)=6,BC=8,AE=6,EF

=2.

(1)求E8的長(zhǎng)；(2)求FG的長(zhǎng).

D

:.ABADsABEF,

.BE=EF即BE—2

,*BAAD'BE+6?

：.EB=3.

(2)"：EG////BC,

△AEGs/XABC,

?EG_AEgj]EG_6

??而一咫，~8~―6^3

.?.EG=N

3

：.FG=EG-EF=—.

3

【變式3-3].如圖，已知AB〃CO,AC與8。相交于點(diǎn)E,點(diǎn)/在線(xiàn)段8C上，坐」，史」

CD2CF2

(1)求證：AB//EF；

(1)證明：\'AB//CD,

.AB=BE=2

*CDED5，

.?.-B-F-=--1，

CF2

?BE=BF

,,EDFC

：.EF//CD,

：.AB//EF.

(2)解：設(shè)△ABE的面積為八

'JAB//CD,

，AABE^ACDE,

S

?AABE=/ABA2=1

??瓦嬴CDT

S^CDE=4m,

..AE=AB=1

*CECD_2，

S/\BEC=2m,

:.SAABE：SAEBC：S^ECD=m：2m：4m=l：2：4.

模型四、子母型相似模型

【例4】.如圖，點(diǎn)C,。在線(xiàn)段A8上，是等邊三角形，且乙4尸8=120°,求證:

(1)AACPSAPDB,

(2)CD2=AC'BD.

證明：(1)?.?△PCD是等邊三角形，

/PCD=NPDC=ZCPD^60°,

AZACP=ZPDB=120°,

；NAP"120°,

AZAPC+ZBPD=60°,

,?ZCAP+ZAPC=60°

：.ZBPD=ZCAP,：.XACPsXPDB；

(2)由(1)得△ACPs/\p￡)8,

?.?-A-C-二PC一，

PDBD

?..△PCD是等邊三角形,

:.PC=PD=CD,

?.?-A-C-—CD,

CDBD

:.CD2=AC-BD.

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABPS/XACB,添加一個(gè)條件，不

正確的是（）

解：在△ABP和△ACB中，ZBAP=ZCAB,

...當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷SAC故正確；

/A8P=NC△ABP2\B,A

當(dāng)/APB=NABC時(shí)，滿(mǎn)足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷△4BPsA4C8,故8正確；

當(dāng)空望■時(shí)，滿(mǎn)足兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，可判斷SAC故正確;

△A8PZ\B,C

ABAC

當(dāng)他至?xí)r，其夾角不相等，則不能判斷△ABPS/VICB,故。不正確；

APBC

故選：D.

【變式4-2].如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在A(yíng)C邊上，連接BD,若NA8C+/2OC=180°,

AD=2,C￡）=4,則AB的長(zhǎng)為（）

C.V3D.273

解：VZABC+ZJBDC=180°,ZADB+ZBDC^18Q0,

NADB=NABC,

ZA=ZA,

.ABAD

,?而記

"：AD=2,CD=4,

.AB二2

"2^4"AB'

：.AB2=12,

；.4B=2次或-2相（不合題意，舍去），故選：D.

【變式4-3].如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓。，尸為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，貝|6%+尸8

的最小值為_(kāi)JA/5_.

D._______________1cD.-------n-------.C

A

解：設(shè)O。半徑為r,

OP=r=^BC=2,08=&r=2我,

取。3的中點(diǎn)/,連接P/,

：.OI=IB=近,

變正用,

OP2v

???O-P二OB"，

01OP

NO是公共角，

:.△BOPSAPOI,

.PI01V2

??--=二,

PBOP2

近

：.PI=2L±-PB,

2

:.AP+^-PB=AP+P/,

2

???當(dāng)A、P、/在一條直線(xiàn)上時(shí)，AP+亞PB最小，

2

作IELAB于E,

VZABO=45°,

Jo

：.IE=BE=-^±-BI=l,

2

：.AE=AB-BE=3,

；?AI=N32+]2，

:.AP+鳥(niǎo)PB最小值,

"：y/2PA+PB=42（PA+與PB）,

...加刑+PB的最小值是xJI5=2遙.

故答案是2庭.

模型五、手拉手相似模型

[例5],如圖，△ABC與△。所均為等邊三角形，0為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值

；△ABC與均為等邊三角形，O為BC、E尸的中點(diǎn),

：.AO±BC,DOLEF,NEDO=30°,ZBAO=3Q°,

J.OD-.OE=OA-.OB=y/3：1,

ZDOE+ZEOA=ZBOA+ZEOA即/DOA=ZEOB,

：.△DOAsAEOB,

：.0D：OE=OA：OB=AD：BE=6：1=73，故答案為：聲.

A變式訓(xùn)練

【變式5T】.如圖，在△ABC與△AOE中，/BAC=NDAE,/ABC=NADE.

求證：(1)ABACSADAE；(2)ABAD^ACAE.

證明：(1)"：ZBAC^ZDAE,ZABC^ZADE.

：./\BAC^/\DAE；

(2):△BACsADAE,

?.A?-B二AC,

ADAE

???A-B---A-D,

ACAE

；NBAC=NDAE,

：.ZBAD=ZCAE,

：./\BAD^ACAE.

【變式5-2].如圖，點(diǎn)。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且NBZ)C=90°,AB=2,AC=J§,ZBAD=

ZCBZ)=30°,AD=恒.

—2―

D

B

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)。作AO的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)交于點(diǎn)連接3M,

VZBAD=30°,

AZDAM=60°,

：.ZAMZ)=30°,

???ZAMD=/DBG

又??,NA￡>M=N3OC=9(T,

，叢BDCs叢MDA,

?BDDC

??二-,

MDDA

又/BDC=NMDA,

：.ZBDC+ZCDM=ZADM+ZCDM,

即/BOM=NCZM,

:.叢BDMs叢CDA,

,:AC=M，

22=22

在RtZVLBM中，AMVBM-ABVS-2=Vs>:.AD=1AM=^-

【變式5-3].如圖，在四邊形ABC。中，AE1.BC,垂足為E,ZBAE=ZADC,BE=CE

2,CD=5,AO=O18（左為常數(shù)），則BD的長(zhǎng)為_(kāi)五6k2+25一?（用含左的式子表示）

D

BEC

解：如圖中，9：AE±BC,BE=EC,

：.AB=AC,

將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG,連接。G.則80=CG,

G,

,：ZBAD=ZCAG,

：.ZBAC=ZDAG,

VAB=AC,AD=AG,

???ZABC=ZACB=ZADG=ZAGD,

：.AABC^AADG,

'：AD=kAB,

:?DG=kBC=4k,

VZBAE+ZABC=90°,/BAE=NADC,

：.ZADG+ZADC=90°,

：.ZGDC=90°,

=22

CGVDG-K；D=V16k2+25-

BD=CG=416k'+25'

故答案為：yli6k2+25-

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，已知。E〃BC,EF//AB,則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）

BFAD口A(yíng)DEF「CECAADCF

A.=n

BCABDEFCCFCBABCB

解:A、,JEF//AB,

.BF=AE

"BC而'

'SDE//BC,

.AE=AD

"AC而'

:.竺1=坦，故A正確,

BCAB

B、易知△ADES/XE尸c,

.AD=DE

"EFCF'

AD=EF；故B正確.

DEFC

C、VACEF^ACAB,

.CE=CF

"CACB,

,故C正確.

CFCB

￡＞、'：DE//BC,

.AD=DE

1,ABBC;

顯然。E#CE故D錯(cuò)誤.故選：D.

2.如圖，梯形ABC。中，AD//BC,/B=NAC￡)=90°,AB=2,DC=3,則△42。與4

DCA的面積比為（)

A.2：3B.2：5C.4：9D.&：73

解：'.,AD//BC,

：.ZACB=ZDAC

又：NB=NACZ）=90°,

.?.△CBA^AACD

BC=AC=AB=2

ACADDCS''

S

AABC（Z）2=_4

SADCA39

.?.△ABC與△OCA的面積比為4：9.故選：C.

3.如圖，菱形ABC。中，E點(diǎn)在8C上，尸點(diǎn)在CD上，G點(diǎn)、”點(diǎn)在上，且AE〃HC

//GF.若A”=8,HG=5,GO=4,則下列選項(xiàng)中的線(xiàn)段，何者長(zhǎng)度最長(zhǎng)？（）

解：VAH=8,HG=5,GO=4,

40=8+5+4=17,

?.?四邊形ABC。為菱形，

：.BC=CD=AD=ll,

'：AE//HC,AD//BC,

四邊形AECH為平行四邊形，

：.CE=AH=S,

:.BE=BC-CE=17-8=9,

,JHC//GF,

.DF=DG_即DF_4

??而GH'17-DF5

解得：。尸=毀，

9

.??rT(?_rz—\in/_-6-8-_--8-5,

99

?.?生>9>8>絲，

99

長(zhǎng)度最長(zhǎng)，故選：A.

4.如圖，在△ABC中，BC=6,E,尸分別是AB,AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在射線(xiàn)所上，BP

交CE于點(diǎn)D,ZCBP的平分線(xiàn)交CE于點(diǎn)。，當(dāng)CQ=^CE時(shí)，EP+BP的值為（）

3

A.6B.9C.12D.18

解：如圖，延長(zhǎng)2。交射線(xiàn)E尸于

?；E、B分別是A3、AC的中點(diǎn)，

J.EF//BC,

：.ZM=ZCBM,

???8。是/C8P的平分線(xiàn)，

：.ZPBM=ZCBM,

：.ZM=ZPBM,

：.BP=PM,

：.EP+BP=EP+PM=EM,

VCQ=^-CE,

：.EQ=2CQ,

由EF〃BC得，LMEQS^BCQ,

.EMEQ_°

??-----—―'乙，

BCCQ

：.EM=2BC=2X6=n,

即EP+BP=12.故選：C.

5.如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZABC=90°,AB=2我,AD=2,將△ABC繞

點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得B'C,當(dāng)A'B'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，△夕C。為等腰三

A.VHB.273c.V13D.714

解：過(guò)。作DELLBC于E,

設(shè)2'C=BC=x,

則DC=42X,

：.DC2=DE1+EC2,即2/=28+（X-2）2,

解得：x=4（負(fù)值舍去），

-"-BC=4,AC=^AB2+BC2=,

:將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△4'B'C,

：.ZDB'C=NABC=90°,B'C=BC,A'C=AC,ZA'CA=NB'CB,

.A'C=AC

C'BC

.'.△A'CA^/\B'CB,

.A'A二AC叩A(chǔ)，A二MT1

■'B7T=BC，2=4

.*.AA,=VT1>故選：A.

6.如圖，已知，△ABC中邊AB上一點(diǎn)P,且/ACP=NB,AC=4,AP=2,貝l]BP=6

解：VZA=ZA,ZACP=ZB,

：.AACP^AABC,

：.AC2=AP'AB,即AB=AC24-AP=164-2=8,

：.BP=AB-AP=6.

7.如圖，在回48a（中，AC,2。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是。A的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD

于點(diǎn)R如果△AEB的面積是4,那么△1CE的面積是36.

B

解：?.?在團(tuán)4BC。中，AO=—AC,

2

:點(diǎn)E是。4的中點(diǎn)，

：.AE=^-CE,

3

'：AD//BC,

△AFEs^CBE,

?AF=AE=1

"BCCET

-：SMEF=4,,△虹F=（AF）2=工

8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作。E〃AC分別交邊AB、8C于點(diǎn)。、

E,過(guò)點(diǎn)。作。e〃BC交AC于點(diǎn)R如果。P=4,那么BE的長(zhǎng)為8

解：連接8G并延長(zhǎng)交AC于H,

：G為ABC的重心，

???B—G_c乙,

HG

9：DE//AC,DF//BC,

???四邊形0ECT是平行四邊形，

：.CE=DF=4,

，：GE〃CH,

:?叢BEGs^CBH,

?BEBGry

CEGH

:.BE=8,故答案為：8.

9.如圖，已知RtaABC中，兩條直角邊AB=3,BC=4,將Rt^ABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一

定的角度得到RtZV)BE,并且點(diǎn)A落在。E邊上，則sin/A8E=工.

-25一

解：?..將RtAABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到RtADBE,

：.BD=AB,BC=BE,/ABD=NCBE,ZDEB=ZACB,

：.ZD=ZBAC=ZBAD=^-(180°-AABD},

2

.,.ZB￡C=A(180°-NCBE),

2

/D=ABEC,

VZABC=ZDBE^90°,

/.ZDEB+ZBEC=90°,

：.ZA￡C=90°,

'：NAGB=NEGC,

：.ZACE=ZABE,

?.,在RtZ\ABC中，AB=3,BC=4,

：.AC=DE=5,

過(guò)8作BHLDE于H,

貝UDH=AH,BD1=DH'DE,

：.AD=^-,

5

：.AE^DE-AD=—,

5

7_

sinZABE=sinZACE==1-=,故答案為：—.

AC52525

10.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,A。平分NA4C,交邊

BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作。1的平行線(xiàn)，交邊AB于點(diǎn)E.

(1)求線(xiàn)段。E的長(zhǎng)；

(2)取線(xiàn)段AD的中點(diǎn)聯(lián)結(jié)交線(xiàn)段DE于點(diǎn)R延長(zhǎng)線(xiàn)段交邊AC于點(diǎn)G,

求變的值.

DF

A

解：(1)平分N2AC,ZBAC=60°,

4c=30°,

在RtZxACO中，ZACD=90°,ND4c=30°,AC=6,

:.CD=2小

在RtaACB中，ZACB=90°,ZBAC=60°,AC=6,

：.BC=6y[3<

：.BD=BC-CD=，a，

'：DE//CA,

?.D?~EB—D—2，

CABC3

.?.D￡=4；

(2)如圖，

:點(diǎn)M是線(xiàn)段AO的中點(diǎn),

：.DM=AM,

'JDE//CA,

.DFDM

"AG'AM"

：.DF^AG,

'JDE//CA,

.EF_BFBF_BD

"AG=BG"BG"BC,

.EFBD

??—=一，

AGBC

:BD=AM，BC=SM，DF^AG,

?.?-E-F=—2.

DF3

11.如圖，在菱形ABCQ中，/ADE、NCOP分別交8C、AB于點(diǎn)E、F,。/交對(duì)角線(xiàn)AC

于點(diǎn)M,S.ZADE=ZCDF.

(1)求證：CE=AF；

(2)連接ME,若奧=型，AF=2,求ME的長(zhǎng).

BECE

解：（1）?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AD^CD,ZDAF=ZDCE,

又,:ZADE^ZCDF,

：.AADE-ZEDF=ZCDF-ZEDF,

：.NADF=NCDE,

在△AZ）/和△（?￡>￡：中,

,ZADF=ZCDF

-AD=CD，

ZDAF=ZDCE

/\ADF^/\CDE,

：.CE=AF.

(2):四邊形ABC。是菱形,

：.AB=BC,

由（1）得：CE=AF=2,

:.BE=BF,

設(shè)BE=BF=x,

..CECD

=AF=2,

,BECE

.,.Z=x+2,解得

x2

：.BE=BF=4s

CECD

=,MCE=AF,

BECE

.CE=CD=CD

"BECEAF'

--ZCMD=ZAMF,NDCM=ZAMF,

\AAMF^ACMD,

.,mCDw_CM

CD=?CM=CE；^,ZACB^ZACB

AFAMBE

AABCsAMEC

\ZCAB=ZCME=ZACB

,.ME=CE=2

12.［問(wèn)題背景］(1)如圖①，己知△ABCS/XADE,求證：△ABDs/XACE.

［嘗試應(yīng)用］(2)如圖②，在△A8C和△AOE中，ZBAC=ZDAE=90°

NABC=/ADE=30°,AC與OE相交于點(diǎn)凡