2025高考數(shù)學一輪知識清單：均值不等式及不等式綜合（原卷版）

專題03均值不等式及不等式綜合

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目錄

題型一：公式直接用..............................................................................1

題型二：公式成立條件............................................................................2

題型三：對勾型湊配..............................................................................3

題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型.................................................................4

題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型...........................................................4

題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型...........................................................5

題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無條件型............................................................5

題型八：分母構(gòu)造型：分離型型....................................................................6

題型九：分母構(gòu)造型：一個分母構(gòu)造型..............................................................7

題型十：分母構(gòu)造型：兩個分母構(gòu)造型..............................................................7

題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型........................................................................8

題型十二：換元構(gòu)造型...........................................................................9

題型十三：分母拆解湊配型........................................................................9

題型十四：萬能“K”型..........................................................................10

題型十五：均值不等式應用比大小.................................................................11

題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型.........................................................11

題型十七：因式分解型...........................................................................12

題型十八：三元型不等式.........................................................................13

空突圍?錯睚蝗分

題型一：公式直接用

;指I點I迷I津

I

基本不等式：；

：(1)基本不等式成立的條件：。＞0,6基;

：(2)(2)等號成立的條件：當且僅當a=b.

\(3)基本不等式的變形：

；①常用于求和的最小值；

：②滴W(審常用于求積的最大值；

I

A.5B.a1+b2C.aD.2ab

2.(22-23高三?全國?課后作業(yè))若a>0力>0,則下列不等式中不成立的是()

A.a2+b2>2abB.a+b>2y[ab

°°1°111

C.ci+bN—(a+b)D.—i—<----(awb)

2aba-b

3.（22-23高一下?黑龍江佳木斯?開學考試）設X>0,丁>0,且孫=9,則工+丁的最小值為（）

A.18B.9C.6D.3

4.（23-24高一下?河南?開學考試）設〃>l,b<0,則（）

a2+b2__,,

AA.---------..2B.a+b>ab

ab

C.ab<—lD.b<ab

5.（2024?重慶?模擬預測）設元,y>0且x+2y=l,則logz^+log22y的最大值為

題型二：公式成立條件

指I點I迷I津

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）"三相等"是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

1.（23-24高三?遼寧本溪?開學考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

2XX

A.y=x-\B.y—^2.|_2

1C兀）x2+3

C.y=smx+-------0<x<—D.y=t------=

sin%（2）JX2+2

2.（23-24高三?安徽六安?開學考試）設。>0,"0,貝『審26”是“疑26”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（23-24高三?西藏林芝?期中）下列命題中正確的是（）

A.若a>0,b>。，且〃+/?=16,則

4I4

B.若則〃+—22j“?一二4

a\a

C.若a,6eR,則42絲土比

2

D.對任意/+〃N2ga+b22或^均成立.

4.（多選）（23-24高三?四川眉山?期中）下列結(jié)論正確的是（）

r2+2

A.若x<0,貝iJxH—4—2B.若九ER,則j2]"?

x

D.若a>l,則（1+〃）—46

C.若XER且xwO,則x

x

5.（多選）（23-24高三?重慶南岸?期中）下列說法正確的是（）

4B.函數(shù)丁=與駕的最小值是2

A.函數(shù)>=%+-（％<0）的最大值是T

x+9

C-函數(shù)，…提（…2）的最小值是6D.若i4,則小產(chǎn)的最小值是&

6.（多選）（23-24高三?貴州貴陽?階段練習）下列命題中正確的是（）

A.當時，ab<-+b

2

B.若x>0,則函數(shù)〃無）=/+：的最小值等于4?

c.若2，+2y=1,貝|x+y的取值范圍是（F,—2]

D.J（3-Q）（Q+6）（-6WaW3）的最大值是—

題型三：對勾型湊配

指I點I迷I津

1b

1.對勾型結(jié)構(gòu)：t+-,at+-

tt

容易出問題的地方，在于能否“取等”，如sin。+二一,其中。銳角，&+5+-^^=

sin。VX2+5

2.對勾添加常數(shù)型

1\C

對于形如cx+d+——則把cx+d轉(zhuǎn)化為分母的線性關(guān)系：~（ajc+b）+——+d——可消去。不必記憶，直接

ax+baax+ba

根據(jù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化

2

1.（2023?湖南岳陽?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=3-尤-一，則當x<0時，”尤）有（）

X

A.最大值3+2后B.最小值3+2行

C.最大值3-26’D.最小值3-2夜

2.（23-24高三?陜西西安?階段練習）函數(shù)y=三>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

3.（21-22高二上?陜西咸陽?期中）己知函數(shù)〃力=4工-2+疝匕的定義域為，鞏胃，則外力的最大值

為（）

A.5B.-5C.1D.-1

2

4.（23-24高三?吉林?階段練習）已知％>3,則>=—^+2元的最小值是（）

x-3

A.6B.8C.10D.12

5.（23-24高三?廣東佛山?模擬）函數(shù)=-----,的最小值為（）

X—1

A.1B.2C.3D.5

題型四：“1”的代換：基礎(chǔ)代換型

指I點I迷I津

“1”的代換

.利用常數(shù)工X7〃=l代換法。多稱之為“1”的代換

m

1.（2022高三上?全國?專題練習）若〃，Z?GR,ab>0S.a+b=2,則的最小值為（）

ab

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24高三?貴州黔南?階段練習）已知乂y>0且％+4y=l,則’的最小值為（）

%y

A.4&B.8C.9D.10

3.（23-24高三?河南南陽?階段練習）若。>0力>0,。+36=1,則的［最小值是（）

a3b

A.2B.4C.3D.8

21

4.（22-23高一下?湖南邵陽?階段練習）設。>0,b>0,若2a+。=2,則一+7的最小值為（）

ab

9

A.372B.4C.9D.-

2

21

5.（22-23高三?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）已知x,y為正實數(shù)，且一+—=2,則x+2y的最小值是（）

%y

A.2B.4C.8D.16

題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型

指I點I迷I津

有和有積無常數(shù)

形如4a+〃i>=tab,可以通過同除ab,化為石X+/LI=t構(gòu)造“1”的代換求解

1.（23-24高三上?江蘇連云港?階段練習）若。>0,b>0,s.a+b=ab,則2a+6的最小值為（）

A.3+2&B.2+2夜C.6D.3-20

2.（23-24高二上?陜西西安?期中）已知々>0,〃>0且2"=a+2b,則〃+8b的最小值為（）

27

A.4^2B.10C.9D.

3.（2022?四川樂山?一模）已知1>0,y>0,且4%+2y-孫=0,則2x+y的最小值為（）

A.16B.8+40C.12D.6+48

4.（21-22高三?山西太原?階段練習）已知〃>0,Z?>0,3a+b=2ab,則a+b的最小值為（）

A.2B.3c.2+V2D.2+6

5.(23-24高一下?廣西?開學考試)已知〃>0,,且a+b=貝!J2必-々+7。的最小值是(

A.6B.9C.16D.19

題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型

指I點I迷I津

有和有積有常數(shù)

形如(〃W+利)+。孫=/求如+改型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應的“和”

的系數(shù)系數(shù)，如下：

/、/、p/、/、，/、p/(^^)+(〃y)\2

t=(mx+ny)+pxy=(mx+ny)d-----{iwc)(ny)<{nix+ny)d------(------------:-)

mnmn2

1.(23-24高三產(chǎn)茜灌段)巨如合+加=〃6+4,則Q+Z?就最美宿()

A.2B.4C.8D.2A/2

2.(23-24高三?甘肅?模擬)若正數(shù)a,b滿足“6="+6+3,則ab的取值范圍是()

A.(-<?,6]B.[6,9]

C.[9,+e)D.[9,12]

3.(23-24高三?江蘇?模擬)已知正實數(shù)。，6滿足a6+a+b=8,則a+b的最小值是()

A.8B.6C.4D.2

4.(23-24高三?安徽阜陽?模擬)已知正實數(shù)8>滿足2x+y+6=孫，記孫的最小值為。；若根〃>0且

1Q

滿足初+〃=1,記一+一的最小值為6.則a+b的值為()

mn

A.30B.32C.34D.36

5.(23-24高三?福建莆田?模擬)已知x>2,>>1,xy=x+2y+2f貝y+y的最小值是()

A.1B.4C.7D.3+#7

題型七：分母構(gòu)造型：分母和定無條件型

指I點I迷I津

無條件分母和定型

---二r+-FT型，滿足mf(x)+ng(x)=t(定值)，則可以構(gòu)造

〃+/(%)b-g(x)

-----+(X)+(X)],------------+_

a+b-g(x)tL」\_a+f(x)b-g(x)_|

u———————————————————————————————————————————————————————————————————————

91

1.(2020高三?全國?專題練習)一丁+一「的最小值為()

smacosa

A.2B.16C.8D.12

14

2.（21-22高三?福建莆田?期末）當Ovxvl時，—+——的最小值為（）

X1-x

A.0B.9C.6D.10

1?

3.（2024?山西臨汾?三模）若OvxvL則上+谷的最小值是（）

x1-x

A.1B.4C.2+20D.3+2也

19

4.（22-23高三?江蘇南通?模擬）函數(shù)/（九）=--（-l<x<—）的最小值是（）

x+15—2%2

7896

A.-B.-C.一D.

678

1皿32

5.（23-24高三?四川成都?期中）若。<%<彳，則）=丁+三的最小值為（）

32x1-3%

25

A.12B.6+4-73C.9+新D.——

2

題型八：分母構(gòu)造型：分離型型

"旨I點I迷I津1

對勾分離常數(shù)型（換元型）

長+fer+c型,可以通過換元/=,以+〃分離降暴，轉(zhuǎn)化為對勾型

mx+n

?______________________________________________________________________________________________________!

1.（21-22高三?遼寧沈陽?模擬）若不等式在士里〉“在區(qū)間[0』上有解，則實數(shù)。的取值范圍是（）

2x+l

A.ci<A/2—B.avlC.ci<—D.ci<2v5—

232

2.（23-24高三?海南?？?階段練習）若函數(shù)/（x）=3"土￡在》以0,+8）是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍

X+1

是（）

A.（F,2]B.[0,1]

C.（-oo,l]D.[L2]

3.（2020高三?河北石家莊?階段練習）已知x<3,則y=廠一版+4的最大值是（）

x-3

A.-1B.-2C.2D.7

4.（20-21高三?遼寧大連?模擬）"。24"是"關(guān)于彳的不等式讓土史=。（%>1）有解，的（）

X—1

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

則y=L2￡+2有（）

5.（20-21高三?浙江紹興?期中）若.

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

題型九：分母構(gòu)造型：一個分母構(gòu)造型

指I點I迷I津

單分母

形如a+b=f,求—^+工型，則可以湊配（a+M+（b）=.+m,再利用“1”的代換來求解。

a+mb

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。

則,+—一的最小值為（）

1.（23-24高三?浙江溫州?模擬）已知非負實數(shù)x，y滿足x+y=i,

%1+y

794

A.-B.2C.—D.-

353

…，2?-3=。，則擊+：的最小值為（）

2.（23-24高一下?福建南平?期中）已知。>0,

33

A.2B.1C.一D.-

24

71

3.（23-24高三下?江蘇揚州?開學考試）已知實數(shù)。>1,b>Q,滿足。+人=3,則W+1的最小值為(

a—\h

A3+2。3+2&.3+4加D.2

RL.------

4224

4

4.（23-24高三?浙江?模擬）已知a>l,b>0且〃+二=2,則+b的最小值為（）

ba-\

A.4B.6C.8D.9

44

5.（23-24高三?廣東肇慶?模擬）已知a>0,Z?>1,ci-\------=h則一+b的最小值為（）

b-1a

A.15B.16C.17D.18

題型十：分母構(gòu)造型：兩個分母構(gòu)造型

指I點I迷I津

雙分母

形如a+b=f,求型，則可以湊配（°+加）+3+冷=/+加+〃，再利用“1”的代換來求解。

a+b+n

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。

L（2。24.全國.模擬預測）設正實數(shù)會滿足…=2,則占+力的最小值為（）

2.（23-24高三?浙江?期中）已知。>1,6>工，且2。+匕=3,則二一+-71—的最小值為（）

2A-126-1

9

A.1B.-C.9D.y

2

41

3.（23-24高三?江蘇徐州?階段練習）已知正實數(shù)。/滿足一-+—=1,不等式mKa+3恒成立，則實

a+bb+1

數(shù)機的取值范圍是（）

A.m<6B.m<5C.m<9D.m<8

4.（23-24高三上?江蘇南京?階段練習）已知非負實數(shù)x,y滿足J—+二二=1,則x+y的最小值為（）

、3x+y2y+2、

11cD

A.-B.--1-t

64

5.（23-24高三?湖北?階段練習）若x>0,y>0,且一二+一4=1,則3x+y的最小值為（）

x+1x+2y

C.；+君D.4+275

A.3B.2A/5

題型十一：分離常數(shù)構(gòu)造型

指I點I迷I津

對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化

為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解

f\-gf

j—（cx+d]+b——b——

分離常數(shù)技巧：竺心-----------^=-+—J

cx+dcx+dccx+d

43^-7

1.（23-24高三?廣東佛山?階段練習）已知正數(shù)％,>滿足x+y=2,則--+-~~的最小值是（）

x+23y+4

1113527

A.—B.—C.-D.—

1616816

2.（23-24高三上?廣東東莞?期中）己知a,b為正實數(shù)，且a+26=l,則且±駕也±1的最小值為（）

ab

A.1+2A/2B.2+20C.3+2后D.4+2&

r2+4v2+1

3.（23-24高三?全國?期末）已知%>0,y>0,且x+y=4,則-----+—的最小值為（）

xy

725

A.4B.-C.-D.5

44

22

4.（23-24高三?湖北武漢?模擬）已知x>0,y>0且無+y=l,則\+二z的最小值為（）

x+1y+2

111

A.—B.-C.1D.一

423

5.⑵-23高一下?云南?階段練習）已知心-2,6>。，0+"3'則最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

題型十二：換元構(gòu)造型

指I點I迷I津

若已知=f（定值），一^+一^型，則可通過線性換元，令1°=於'?，反解出x,y

g（x,y）h[x.y）\b=h^x,y）

代入條件等式，（%/）=/中，換元為簡單的條件不等式

u________________________________________________________________________________________________________________________

1.（23-24高三上?四川巴中?開學考試）已知x>y>0且4%+3y=1,則+—^的最小值為（）

2x-yx+2y

A.10B.9C.8D.7

21

2.（23-24高三上?山東?階段練習）已知實數(shù)x,y滿足x>y>。，且%-y=2,則——+——的最小值為

x+yx-y

（）

A.3B.4C.5D.6

38

3.（21-22高三?河南洛陽?階段練習）已知正數(shù)x,'滿足"+2田.+（3x+2y）x=之，則孫的最小值是（）

5547

A.-B.-C.—D.一

8434

381

4.（22-23高三上?江西南昌?階段練習）已知正數(shù)x,，滿足（x+2y）y+（3,+2y）x=1，則沖的最小值是（）

5845

A.-B.一C.1D.一

4332

5.（2022?安徽合肥?模擬預測）已知正數(shù)X,y滿足&+=1,則x+y的最小值（）

x+3y3x+y

B3+及D3+&

八3+2近r3+20

44?88

題型十三：分母拆解湊配型

指I點I迷I津

湊配拆解型

形如a+A=t,求I+I型,則可以湊配（方+相）+（法+〃）=/（0+6）,再利用“I”的代換來求解。

ax+mbx+n

其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來進行變換湊配

1.（22-23高三上?河北保定?階段練習）不等式無2一4元+機,0的解集為國磁kb},其中0＜根＜4,則

777，=+Ji的最小值為（）

lQa+2b4b-4a

1111

A.-B.—C.一D.-

2468

549

2.（22-23高三?河北承德?期末）已知正實數(shù)。力滿足〃+匕=；,則--+-一的最小值為（）

3a+2b2a+b

A.6B.5C.12D.10

3.（19-20高三上?陜西榆林?階段練習）已知y=log2（J-2x+17）的值域為［乙+⑹，當正數(shù)〃力滿足

21

-----+---千=加時，則7。+劭的最小值為（）

3a+ba+2b

A95+2&門c

44

4.（202牛四川成都模擬預測）若。,6是正實數(shù)，且；7^+二工7=1「則4+6的最小值為（）

3a+b2a+4b

42

A.-B.-C.1D.2

53

5.（23-24高三下?河北?開學考試）已知。，匕均為正實數(shù)，且滿足上1+-3=2,則^一?7十小3二的最小值為

ab2a-12b—3

（）

A.2B.2A/2C.273D.276

題型十四：萬能“K”型

指I點I迷I津

一般情況下的“萬能K法”

設K法的三個步驟：

回、問誰設誰：求誰，誰就是K；

回、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；

團、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），20確定最值。

求誰設誰，構(gòu)造方程用均值

1.（22-23高三上?江蘇南京?模擬）已知正實數(shù)x,＞滿足x+'+4y+,=10,貝!Jx+4y的最大值為（）

尤y

1

A.-B.1C.2D.9

9

19

2.（2022?全國,IWJ—'課時練習）已知為正頭數(shù)，且Q+0=6HF—則〃+〃的最小值為（）

ab,

A.6B.8C.9D.12

14

3.（2022秋?四川成都?高一成都外國語學校?？计谥校┮阎龜?shù)〃/滿足。+》+—+：=16,貝！!的最大值

ab

是.

14

4.（21-22高三上?湖北襄陽?期中）若正數(shù)冗，>滿足2x+2y+—+—=9,則％+丁的最小值是（）

%y

153.

A.-B.—C.—D.2

242

題型十五：均值不等式應用比大小

;指I點I迷I津

:幾個重要不等式

（1）a1+b2>_2ab（6Z,Z?GR）；

:（2）—1—?nyfab（。,8￡R）；

?（3）y+—>2（a,Z?同號）；

ba

\（4）1等