2025屆高三年級上冊月考（二）數學試卷（含答案）

2024-2025學年湖南省長沙市長郡中學大聯考高三（上）月考數學試卷（二）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個部選項中，只有一項是符合

題目要求的。）

1.（5分）已知集合4={尤|用42},B={?42'48（怎Z）},則AAB=（）

A.[-1,3]B.{0,1}C.[0,2]D.{0,1,2}

2.（5分）已知復數z滿足|z-i|=l,則|z|的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2）D.[0,2]

3.（5分）已知p：f（x）=ln（-Z-+a）是奇函數，4：”=-l，則P是4成立的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

4.（5分）若銳角a滿足sina-cosa二^"，貝1[！1（2&4-^~）=（）

A.3B.一3C.-3或3D.—或色

555555

5.（5分）某大學在校學生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關于該大學在校學生的結論中，

一定成立的是（）

A.理科男生多于文科女生

B.文科女生多于文科男生

C.理科女生多于文科男生

D.理科女生多于理科男生

6.（5分）如圖，某車間生產一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4aw,上底面的直徑為8cm,高為4cm,

已知點尸是上底面圓周上不與直徑AB端點重合的一點，且AP=8P,O為上底面圓的圓心，則OP與

平面ABC所成的角的正切值為（）

.2B.AC.FD.正

25

7.（5分）在平面直角坐標系xOy中，已知直線1：y=kx,與圓C：7+/=1交于A,8兩點，則△A08

的面積的最大值為（）

A.1B.—C.醫(yī)D.亞

224

8.（5分）設函數/（x）=（f+Qx+Z?）Inx,若/（x）20,則〃的最小值為（）

A.-2B.-1C.2D.1

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。）

（多選）9.（6分）已知〃>2,且〃EN*,下列關于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有（）

A.若X?B（n,則E（2X+l）jn+l

oo

B-若X~B（n,春），則D（2X+l）-1r

oy

C.若X?B（n,—則尸（X=l）=PCX=n-1）

3

D.當樣本總數遠大于抽取數目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

（多選）10.（6分）已知函數/（x）=sin3x+acoso）x（xER,（D>0）的最大值為2,其部分圖象如圖所示,

B.函數f（X*）為偶函數

C.滿足條件的正實數3存在且唯一

D./（%）是周期函數，且最小正周期為IT

（多選）11.（6分）已知拋物線C：/=2/（p>0）的焦點為尸，準線交x軸于點D,直線/經過尸且與

C交于A,B兩點，其中點A在第一象限，線段AF的中點M在y軸上的射影為點N.若|MW=|NE|,

則（）

A./的斜率為

.△ABD是銳角三角形

C.四邊形MNOF的面積是近p2

D.|明?照|>|即2

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分。)

12.(5分)在中，AD是邊BC上的高，若Q=(l,3),BC=(6,3)1則1元?

13.(5分)已知定義在R上的函數/(x)滿足4⑴=/(-x)+3ex,則曲線y=/(x)在點(0,/(0))

處的切線方程為.

14.(5分)小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子A,3中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲

一個質地均勻的骰子，如果結果小于3她就將8中的1顆糖放入A中，否則將A中的1顆糖放入8中，

直到無法繼續(xù)游戲.那么游戲結束時8中沒有糖的概率是.

四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

15.(13分)已知數列｛斯｝中，ai=l,且即WO,S為數列｛跖力的前"項和，郎-+怖一~=

ar-

(1)求數列｛斯｝的通項公式;

(2)若c=1)%,求數列｛5｝的前〃項和.

nanan+l

16.(15分)如圖，在以A,B,C,D,E,b為頂點的五面體中，四邊形A8C0與四邊形CDE尸均為等腰

梯形，AB//CD,EF//CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=而，AE=2%.

(1)證明：平面4BCD_L平面CDEE；

(2)若M為線段CD上一點，且CM=1,求二面角A-EM-3的余弦值.

17.（15分）已知函數/（X）=e2x-2ax,aER.

(1)求函數/(x)的單調區(qū)間；

(2)若對于任意的x>0,都有/(x)恒成立，求a的取值范圍.

.(17分)已知雙曲線E：4與=l(a>o,b>0)的左、右焦點分別為Q,Fz,5的一條漸近線

方程為過乃且與x軸垂直的直線與E交于尸，。兩點，且△PQB的周長為16.

(1)求￡的方程；

(2)A,B為雙曲線E右支上兩個不同的點，線段AB的中垂線過點C(0,4),求/ACB的取值范圍.

19.(17分)對于集合A,B,定義運算符“A"：A^B={x\xeA,底2兩式恰有一式成立},|A|表示集合A

中元素的個數.

(1)設A=[-l,1],B=[Q,2],求AAB；

(2)對于有限集A,B,C,證明|AAB|+|BAC12|AAC|,并求出固定A,C后使該式取等號的B的數量;

(用含A,C的式子表示)

(3)若有限集A,B,C滿足|AAB|+|8AC|=|AAC|,則稱有序三元組(A,B,C)為“聯合對”，定義

1={1,2,n},“6N*,u={(A,B,C)|A,B,CQI].

①設機日，求滿足|AAC|=m的“聯合對”(A,B,C)J/的數量；(用含〃?的式子表示)

②根據(2)及(3)①的結果，求"中“聯合對”的數量.

2024-2025學年湖南省長沙市長郡中學大聯考高三（上）月考數學試卷（二）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個部選項中，只有一項是符合

題目要求的。）

1.（5分）已知集合,A={x||尤|<2},B={f|l42'48（/GZ）},則（）

A.[-1,3]B.{0,1}C.[0,2]D.{0,1,2）

【分析】解絕對值不等式與指數不等式可化簡集合A,B,再利用交集的定義求解即可.

【解答】解：B="|1W2'W8（rez）}={0,1,2,3},4={x||x|W2}={x|-2WxW2},

所以AC8={x|-2WxW2}C{0,1,2,3}={0,1,2）.

故選：D.

【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題.

2.（5分）已知復數z滿足|z-i|=l,則|z|的取值范圍是（）

A.[0,1JB.[0,1）C.[0,2）D.[0,2]

【分析】利用|z-i|=l表示以（0,1）為圓心，1為半徑的圓，|z|表示圓上的點到原點的距離可得答案.

【解答】解：因為在復平面內，

\z-z'|=1表示到點（0,1）距離為1的所有復數對應的點，

即|z-q=i表示以（0,1）為圓心，1為半徑的圓，

|z|表示圓上的點到原點的距離，所以最短距離為0,

最長距禺為1+1=2,

則目的取值范圍是[0,2].

故選：D.

【點評】本題主要考查復數的模長，屬于基礎題.

3.（5分）已知p：f（x）=ln（'，一+a）（T<x<1）是奇函數，4：-1，則p是q成立的（）

1-x

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【分析】當p成立，判斷“是否成立，再由q成立時，判斷p是否成立，即可知p是q成立何種條件.

【解答】解：根據題意，由了（尤）是奇函數，且其定義域為（-1,1）,

則/（0）=0,即/〃（2+〃）=0,解得〃=-L

所以p=>q,p是q的充分條件.

當。=-1時，f（x）=in（-r^—1）=1】二+2-iVxVl,

1-x1-x

一］

,*?f（-x）=ln~_X=ln（4-^-）=Tn］士工=_f（x>所以/（%）是奇函數

i+x1-xi-x

所以puq,〃是q的必要條件.

綜合可得：p是q的充要條件.

故選：A.

【點評】本題考查函數奇偶性的性質和應用，涉及充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

4.(5分)若銳角a滿足sinCl-cosa3^，則sin(2aV")=()

【分析】首先根據利用輔助角公式得到sin（a1-）「華，再利用角的變換sin（2a吟）=

JT

sin［2（a號）+兀］，結合誘導公式，以及二倍角公式，即可求解?

【解答】解：已知sina-cosasin（a-：），

45

貝usin（aE）

14）10

中斗，一兀、7T.7T兀、

因為a￡（0,—）>a-（z―^->丁），

則（a三）紀亞■，

cos7J10

IT

則sin（2CL干）=

jfJT71兀

sin[2(a—)+K]=-sin[2(a—)]=-2sin(d-)cos(a-)

故選：B.

【點評】本題考查了輔助角公式，重點考查了誘導公式及二倍角公式，屬中檔題.

5.（5分）某大學在校學生中，理科生多于文科生，女生多于男生，則下述關于該大學在校學生的結論中,

一定成立的是（）

A.理科男生多于文科女生

B.文科女生多于文科男生

.理科女生多于文科男生

D.理科女生多于理科男生

【分析】將問題轉化為不等式問題，利用不等式性質求解.

【解答】解：根據已知條件設理科女生有XI人，理科男生有X2人，

文科女生有yi人，文科男生有”人，

根據題意可知xi+尤2>yi+y2,x2+y2<xi+yi,

根據異向不等式可減的性質有（xi+犯）-（X2+V2）>（yi+y2）-（xi+yi）,

.".xi>y2,

二理科女生多于文科男生，C正確；

其他選項沒有足夠證據論證.

故選：C.

【點評】本題考查簡單的合情推理、根據問題的特征將其轉化等價的排列問題等基礎知識，考查運算求

解能力，是中檔題.

6.（5分）如圖，某車間生產一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4"i,上底面的直徑為8e",高為4c7小

已知點尸是上底面圓周上不與直徑AB端點重合的一點，且4尸=8尸，0為上底面圓的圓心，則。尸與

平面ABC所成的角的正切值為（）

C.75?！鲻?/p>

【分析】作出直線。尸與平面ABC所成的角，通過直角三角形來求得直線。尸與平面ABC所成的角的

正切值.

【解答】解：設為下底面圓的圓心，連接，C。'和CO,

A

因為所以AB，。尸，

又因為AB_LOO',OPdOO'=O,OP、OO'u平面OO'P,

所以A3_L平面00'P,

因為尸C是該圓臺的一條母線，所以O,O',C,尸四點共面，且O'C//OP,

又ABu平面ABC,所以平面A2C_L平面POC,

又因為平面ABCC平面POC=OC,

所以點P在平面ABC的射影在直線0C上，

則OP與平面ABC所成的角，即為/POC=/OCO',

過點C作CD_LOP于點D因為0P=4c〃z,O'C=2cm,

所以tan/POC=tanNOCO'3snnL，

故選：A.

【點評】本題考查異面直線所成的角的正切值的求法，屬于中檔題.

7.（5分）在平面直角坐標系口中，已知直線L尸kx6與圓。/+/=】交于4B兩點，則

的面積的最大值為（）

A.1B.-1C.返D.亞

224

【分析】求得直線過定點以及圓心到直線的距離的取值范圍，得出△A08的面積的表達式利用三角函

數單調性即可得出結論.

【解答】解：已知線1：y=kx」，

2

令x—0,

即y=-i,

即直線/恒過點E（0,y）.

又02+夠）2<1，

則該點在圓？+，=1內，

圓C：/+y2=l的圓心為c(0,0),半徑廠=1,

作CO_L/于點。，如圖所示：

所以cos/DCB=

ICDIN

jr

又NDCBt（0，77）'

可得/DCBE囁，著）；

因此可得/ACB=2/DCBE［與，兀），

所以△A02的面積為SZOB.ICAI|CB|sinZACB<yXlXlXsii

乙乙』O,T：

故選：D.

【點評】本題考查了圓的性質，重點考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題.

8.(5分)設函數/(無)=(/+ar+b)Inx,若/(x)》0,則a的最小值為()

-2B.-1C.2D.1

【分析】根據題意，分析出二次方程根的區(qū)間，進而求出。的最值.

【解答】解：f(x)—(/+ox+Z?)Inx,f(x)20,

由對數函數性質，xG(0,1),lnx<0,xE(1,+8),lnx>0,

則xE(0,1),f+ax+bVO,xE(1,+°°),/+以+。>0,

/+〃冗+。=0的一個根小于等于0,一個根為1,

[b4O,所以。的最小值為-1.

Il+a+b=O

故選：B.

【點評】本題考查對函數函數的值域，一元二次方程根的分布，屬于中檔題.

二、選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。)

(多選)9.(6分)已知〃>2,且“6N*,下列關于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有()

A.若X?B(n,y)>則E(2X+l)Wn+l

B.若X?B(n,[)，則D(2X-+1)=4T

ay

C.若x?B(n,—))則P(X=1)=P(x=n-1)

3

D.當樣本總數遠大于抽取數目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

【分析】利用二項分布的期望、方差公式及期望、方差的性質計算判斷A&利用二項分布的概率公式

計算判斷C；利用二項分布與超幾何分布的關系判斷D

【解答】解：對于A,由X?B(n,/)，得E(X)1r，

所以E(2X+l)=|"n+l，故A正確；

對于3,由X?B(n,、■)，得D(X)[

oooy

所以D(2X+1)=4D(X)=4「故2錯誤；

y

對于C由X?B(n,/),得P(X=1)=C：X,X號產,P(X=n-l)=C『x|"X?嚴

故尸(X=l)WP(X=”-l),故C錯誤；

對于。，當樣本總數遠大于抽取數目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布，故。正確.

故選：BC.

【點評】本題主要考查了二項分布的期望公式和方差公式，屬于基礎題.

(多選)10.(6分)已知函數/(x)=sino)x+〃cos3x(xER,a)>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示,

貝U()

B.函數f(x《)為偶函數

C.滿足條件的正實數3存在且唯一

D./(X)是周期函數，且最小正周期為TT

【分析】根據題意，求得函數f(x)=2sin(2x。)，結合三角函數的圖象與性質，逐項判定，即可

求解.

【角牛答】解：由函數f(x)=sin3x+acos3sin(3x+Q)，且tan(p=a，

因為函數/(x)的最大值為2,可得苗1+&2=2,解得a=±E，

又因為/(0)=a>0,所以a=近，所以A正確；

f(x)=sinWx+V3cosWx=2sin(3x4^-)

因為f(工)=2sin(W-3」L)=]，且函數/(x)在匹的附近單調遞減，

4434

所以「_至兀+2kTT,kt2，所以3=2+8左，kez,

4R6

又因為工>工，可得T〉工，所以史-〉?工，解得。<3<4,所以3=2,

24232

TT

此時f(x)=2sin(2*七-)，其最小正周期為T=m所以C、。正確；

、)tJIJI

設F(x)=f(x^-)=2sin[2(x-^-)■>^-]=2sin2x,

尸(-x)=2sin[2(-x)]=-2sin2x=-F(x),所以F(x)為奇函數，

即函數f(X《)為奇函數，所以2不正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查三角函數的解析式的求法，兩角和與差的三角函數的應用，是中檔題.

（多選）11.（6分）已知拋物線C：y1=2px（p>0）的焦點為尸，準線交x軸于點。，直線/經過產且與

C交于A,8兩點，其中點A在第一象限，線段AF的中點M在y軸上的射影為點N.若|加川=|詆|,

則（）

A./的斜率為

B.△鈿￡>是銳角三角形

C.四邊形的面積是Cp2

D.|BF|.|M|>|F￡>|2

【分析】根據題意分析可知△MNF為等邊三角形，即可得直線/的傾斜角和斜率，進而判斷A;可知直

線/的方程，聯立方程求點A,B的坐標，求相應長度，結合長度判斷BD；根據面積關系判斷C

【解答】解：由題意可知：拋物線的焦點為F悖，0），準線為x=-1，即D（貴，0），

設A（xi，yi）,B（冗2，”），yi>0，"VO,

則，），N（0,a），所以|MN|=1X［鄧

因為|MF|V|AF|V（X［玲）,

所以=^\MN\=\NF\=\MF\,

可知△跖VF為等邊三角形，即/NMP=60°,

且MN〃x軸，可知直線/的傾斜角為60°,斜率為k=tan60°=J§，故A正確;

則直線liy=V3（x號），

（r°（衛(wèi)

y=V3（x3）*6

聯立方程2,解制*2或，

2。v=V3p

y=2DX

即A（華,p）-BC1"，"^"P>則H（P，V3p），N（0,*~p>

可得|DF|=P，|AD|=V7P.|BD|=^-P.|FA|=2p,|FB|=4P.|AB|=4p-

Ooo

在△ABO中，\BD\<\AD\<\AB\,M|BD|2+|AD|2-|AB|2<0,

可知/ADB為最大角，且為銳角，所以△AB。是銳角三角形，故B正確；

四邊形MNDF的面積為2HHM=SABDF+SA]W卷XpX亨p卷X亨pXp=^"p"故C錯誤;

2

因為|FB|?|FAIqp2,|FD|=p,所以防?儂|〉|印2,故D正確?

故選：ABD.

【點評】本題考查了直線與拋物線的綜合，考查了方程思想及轉化思想，屬于中檔題.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分。)

12.(5分)在△ABC中，是邊BC上的高，若同=(1,3),正=(6,3)-則I標1=_而_.

【分析】設BD=mBC=(6m,31nA表達出AD=(6m+l,3m+3)，根據垂直關系得到方程，求出m=T，

*-J

進而得到答案.

【解答】解：設BD=mBC=(6m,3m>

則AD=AB+BD=(1,3)+(6mt3m)=(6m+l,3m+3),

由而-BC=G得元?前=6(6m+l)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=(，

解得m=-4,所以而=(1-2,3-l)=(-l,2>

所以IADI=VGO^+P-VB-

故答案為：Jg.

【點評】本題考查平面向量數量積的坐標運算，屬于基礎題.

13.(5分)已知定義在R上的函數/(無)滿足=/(-%)+3/,則曲線y=/(尤)在點(0,/(0))

處的切線方程為y=x+3.

【分析】利用方程組法求出函數解析式，然后利用導數求切線斜率，由點斜式可得切線方程.

【解答】解：因為2f(x)=/(-%)+3",所以2/(-%)=/(x)+3e~x,

聯立可解得/(x)=/旺2",所以/(0)=3,

所以，(x)=-ex+2e^,f(0)=1.

所以曲線>=/(無)在點(0,/(0))處的切線方程為y-3=x,

故所求的切線方程為y=x+3.

故答案為：y=x+3.

【點評】本題考查導數的運用：求切線方程，考查轉化思想和方程思想、運算能力，屬于中檔題.

14.（5分）小澄玩一個游戲：一開始她在2個盒子A,2中分別放入3顆糖，然后在游戲的每一輪她投擲

一個質地均勻的骰子,如果結果小于3她就將8中的1顆糖放入A中，否則將4中的1顆糖放入8中，

直到無法繼續(xù)游戲.那么游戲結束時2中沒有糖的概率是—.

~17~

【分析】設最初在A中有人顆糖，B中有6-k顆糖時，游戲結束時B中沒有糖的概率為延（左=0,1,

6）,歸納找出遞推關系，利用方程得出“o,再由遞推關系求的.

【解答】解：設A中有發(fā)顆糖，B中有6-上顆糖，游戲結束時B中沒有糖的概率為微（左=0,1,6）.

顯然ao^a]，a6=|a5+y,2卜卷2卜+][@卜1（l〈k（5），

可得延+i-延=2（ak-ak-i）,則%-@5=2,（a「ao）=26aj

所以a6=a5+26ao=a4+25a（j+26ao=ai+22a（）+…+26殘0

=326

?o+2a0+-+2a0

2+6

=ao+2ao+2a0+2a0

=lX（l-27）,°

1-2

=（27-1）ao,

同理a5=ai+22a（,+…+25ao=（26-l）a/

所以（9^-1）af.=~~（2^-1）a+~,解得acn1n1，

ana

a030303X85255

所以a3=（24-l）ao=15X康

故答案為：

17

【點評】本題主要考查數列遞推式，考查運算求解能力，屬于中檔題.

四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

15.（13分）已知數列｛斯｝中，田=1,且即WO,Sa為數列｛為｝的前九項和，J晨+4一-=a.

（1）求數列｛小｝的通項公式；

（2）若0=1）%,求數列｛5｝的前〃項和.

口anan+l

【分析】(1)求出~二］,可求出通項公式，即可求得｛斯｝的通項公式；

(2)求出ci!)”再討論〃為奇、偶數，利用裂項相消法即可求數列｛c"的前〃

%J4k2n-l2n+l7

項和.

【解答】解：⑴國+瓦？

當〃三2時，Sn一S〃-l=Cln，

兩式相除可得卮-再;1,n>2-

可得強｝是以何=1為首項，1為公差的等差數列，

則^^=l+nT=r所以Sn=n'，

an=Sn-Sn-i=2n-1,n>2,當〃=1時。i=l也滿足該式，

所以an=2n-1.

(2)由(1)結論可知斯=2〃-1,

所以C=（＞）%（-1）、二（-l）n1「1

aa

nnn+i（2n-l）（2n+l）42n-l2n+l

設｛Cn｝的前〃項和為〃，當〃為偶數時,

T/"（1號）+母*-i+（2nHl）]=i[-1W]=-篇

當”為奇數時，T"=〃.1+Cn=nTnn+1

4n-2（2n-l）（2n+l）4n+2

n

n為偶數

~4n+2

所以■=

_n+1

n為奇數

~4n+2

【點評】本題考查數列的遞推式和等差數列的通項公式、數列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能

力，屬于中檔題.

16.(15分)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ABC。與四邊形CD所均為等腰

梯形，AB//CD,EF//CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=遙，AE=2&.

(1)證明：平面ABCZ5_L平面CD￡F；

(2)若M為線段C。上一點，且CM=1,求二面角A-EM-B的余弦值.

【分析】(1)根據線面垂直判定定理得出線面垂直，再結合面面垂直的判定定理得出面面垂直;

(2)應用空間向量法計算二面角余弦即可.

【解答】解：(1)證明：在平面CDEF內，過E作E。垂直于CD交于點0,

由CD=2EE=4,得。0=1,且。所以OE=2,

連接A。，由△^。。^△即。，可知A0_LCD且40=2,

所以在三角形0AE中，AE2=OE2+OA2,從而0E_L0A,

又0E_LCD,OAHCD^O,0A,ABCD,所以0E_L平面A3CZ),

OEu平面CDEF,所以平面ABCD_L平面CDEF-,

(2)由(1)知，平面ABC。，平面CDEP,以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,0,2),E(2,0,0),M(0,2,0),B(0,2,2),

AE=(2,0,-2),H=(-2,2,0),NB=(O,0,2)，

設平面AEM的法向量為(x,y,z)，

則日電?！?x-2z=0

取Z=l,則會=(1,1,1?

n-EI=0I-2x+2v=0

設平面BEM的法向量為m=(xi，y1，zP，

*0,即12z",取y=l,則益=(1,1,0)，

則4

-2x+2y=0mu，L,“

m?EM=0

所以|cos<u，

3

由圖可以看出二面角A-EM-B為銳角，故二面角A-EM-B的余弦值為也.

【點評】本題考查面面垂直的判定定理以及二面角的求法，屬于中檔題.

17.(15分)已知函數/(x)=*-2ax,aeR.

(1)求函數/(x)的單調區(qū)間;

(2)若對于任意的x>0,都有/(x)恒成立，求°的取值范圍.

【分析】(1)對/(x)=e"-2辦求導，可得/(%)=2戶-2a,再分類討論。的取值，得出導數的

正負即可得出單調區(qū)間；

(2)對。進行分類討論，根據導數的正負求得了(x)的最小值，判斷是否滿足了(x)21,即可求解.

【解答】解：(1)對/(x)=e2x-2ar求導，可得/(x)=2elx-2a,

令/(x)=0,即2e2x-2a=0,即e2x=a,

當aWO時，/(x)>0恒成立，/(x)在R上單調遞增；

當a>0時,g^x-a>2x=lna>x=^_lna,

當x<^Ina時，f⑴<3/(X)在(-8,/ma)上單調遞減；

當X〉/Ina時，f'J)>0,于(x)在小na,g)上單調遞增；

綜上，當aWO時，/(%)的單調遞增區(qū)間為風

當。>0時，/(x)的單調遞減區(qū)間為(-8,-Llna),單調遞增區(qū)間為更加，XQ).

(2)因為對于任意的x>0,都有/(x)恒成立，

對/(%)=理-2以求導，可得/(x)=2e2x-2a,

令f(x)=0,即2e2x-2a—0,即e2x=a,

①當〃W0時，f'(x)>0,則/(%)在(0,+°°)單調遞增，f(x)>f(0)=1,符合題意；

②當OV〃W1時，0=a,貝Uxh^"]na<0，

則/(x)>0,f(x)在(0,+8)單調遞增，y(x)>/(o)=1,符合題意；

③當〃>1時，，%=〃，貝！Jx="^lna〉C，

當x€(0,/lna)時，，(無)<°，則/(無)在(O,^Ina)單調遞減，

當x￡Rina,+co)時，/(%)>0,則/⑴在Rina,Q)單調遞增，

所以f(x)>f(~lna)=elna-2a,'^-lna=a-alna,

令g(a)—a-alna,a>l,貝!Jg'(a)=Tna<0,

所以g(〃)在(1,+°°)上單調遞減，所以g(〃)Vg(1)=1,不合題意；

綜上所述，aE(-8,1].

【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

18.(17分)已知雙曲線E：4-4=i(a>o>b〉0)的左、右焦點分別為Q，F2,5的一條漸近線

方程為y=6x,過乃且與x軸垂直的直線與E交于尸，。兩點，且△尸。乃的周長為16.

(1)求E的方程;

(2)A,B為雙曲線E右支上兩個不同的點，線段AB的中垂線過點C(0,4),求/ACB的取值范圍.

,2,2

【分析】⑴將尤=-c代入曲線￡得丫=±2，故得|PF|=|QFJ="，從而結合雙曲線定義以

a11a

a

及題意得，2，解出a，b即可得解.

&-+4a=16

a

(2)設AB：y=kx+m,聯立雙曲線方程求得中點坐標，再結合弦長公式求得NACM的正切值，進而得

/ACM范圍，從而由/ACB=2NACM即可得解.

【解答】解：(1)先將尤=-c代入雙曲線方程E：4A=l(a>0,b>0)>%=±—>

a2b2a

22

因此|PF/=|QF1|=旦-，因此〔PF21=lQF21="+2a，

11a乙乙a

因此根據題意可得a,

&-+4a=16

a

整理方程組可得[an

Ib=V3

因此雙曲線￡■的方程為Eiv2--=1.

3

(2)由題意可知直線AB斜率存在且斜率kW±J5,

令AB：y=kx+m,B(股，")，A(xi，yi),令A3的中點為M.

y=kx'+ni

根據49消去y并整理得(3-F)x2-2kmx-m2-3—0,3-FWO,

3x-y=3

所以△=Q2km)2+4(3-Q)(m2+3)=12(3+m2-^2)>0,所以加2>廬-3,

3+m2

2kmy[+y2=k(x[+x2)+2m=k?*'+%=

X.+x=------3,X,X2=-------26',

23-k23-k23—k3-k

3m,

—4c

yM-yc3-k23m-12+4k2

因此3（景帝/

XMkmkm

x-k2

2

根據中垂線知如CMAB=-1，因此3m-12+4k.-1,解得：m=3-

kmk

因此根據A,B在雙曲線的右支上可得:

22

S22

x1x2=-^y=-^->0=>m=3-k<0=>k>3>

123-k2m

并且Xi+x2=上1=2k>0nk〉C，

1'3-kJ

并且A=4（3"，-3^+9）>0,

整理得（3-必）2+（3-^2）=（3-后）（4-必）>0,

所以嚴<3或M>4,

又因為戶>3,

所以后>4,

綜上所述，戶>4,所以左>2,

又因為|CM|J2-4）=板1+產，

V3-k23-k'3-k"

2

AH-^/（x1+x2）-4x1x2-Vb?

因此tan/ACM戈計i--------禮2---------