2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)（切線放縮）講義

高三數(shù)學(xué)專題篇：導(dǎo)數(shù)6

切線放縮1

題目：.

xx

已知，（冤）=e—xef設(shè)，（冤1）=f（冤2）=3冤1/冤2,證明:

冤1+%2,^21--------1*

這次我們來(lái)學(xué)習(xí)切線放縮

何為切線放縮呢？是利用函數(shù)的凹凸性得出的恒成立不等式

我們用常用的蠟與Inx來(lái)舉例

如圖：像y=e》這類下凹的函數(shù)，我們?nèi)我庾饕粭l切線，該切線都會(huì)在該函數(shù)下

方；

像y=仇為這類上凸的函數(shù)，我們?nèi)我庾饕粭l切線，該切線都會(huì)在該函數(shù)上方.

函數(shù)丫=靖過(guò)（0,1）的切線可算得y=x+1,因此可得：ex>x+1（當(dāng)x=0時(shí)取等）

函數(shù)過(guò)（1,0）的切線可算得y=x-1,因此可得：m％W為一1（當(dāng)x=1時(shí)取等）

函數(shù)y=e久過(guò)原點(diǎn)的切線可算得丫=6*,因此可得：>ex（當(dāng)x=1時(shí)取等）

函數(shù)y=bix過(guò)原點(diǎn)的切線可算得因此可得：仇久￡三（當(dāng)x=e時(shí)取等）

ee

函數(shù)的切線有無(wú)數(shù)條，因此產(chǎn)生的恒成立的不等式也有無(wú)數(shù)個(gè)，至于用哪一個(gè)取

決于題目的需求了。但并不是所有的問(wèn)題都可以用切線放縮解決，因?yàn)椴⒉皇撬?/p>

有的切線我們都能解得出來(lái)。

凹凸性在答題過(guò)程中是不能寫的，我們還是要將需要用到的不等式進(jìn)行證明

例題一：（1）證明：e*之％+1恒成立

證明：設(shè)/(%)=ex—x—1

：.ff(%)=ex-l單調(diào)遞增

當(dāng)x=0時(shí)/，(%)=0

=/(0)=1—0—1=0

.*./(%)>0

.\ex>x+1

(2)證明：恒成立

證明：由(1)得：ex>x+1

.\ex-1>x

/.%—1>Inx

(3)證明：e冗之e元恒成立

證明：由(2)得：ex~r>x

Ae?ex-1>ex

.\ex>ex

(4)證明：Inx<三恒成立

e

證明：設(shè)f(汽)=:—Inx

.?./，(%)=工—工單調(diào)遞增

ex

當(dāng)x=e時(shí)/，(%)=0

/./(x)min=/(e)=1—1=0

.*./(%)>0

Inx<-e

（該丕等式繼續(xù)可:證;.國(guó)此可作比太小題;兀N￡e）

例題二：e久之尤+a恒成立，求a的取值范圍.

解析：該題是比較簡(jiǎn)單的，分參求極值點(diǎn)就能做，我們用這簡(jiǎn)單的題來(lái)理解

切線放縮的幾何含義及其用法：

我們將不等式兩側(cè)分別看成兩個(gè)函數(shù)：

要使e^ZK+a恒成立，就是y=ex恒在y=%+a上方。

臨界狀態(tài)為y=x+a與y=e》相切時(shí)，因此我們可在曲線上找到與該直線斜率

相同時(shí)的切線，只栗滿足該切線在該直線上方或重合即可。

y=e*斜率為1時(shí)的切線為y=X+1

.,.x+1>x+a即可

.".a<1

大題還是用原來(lái)方法寫過(guò)程

例題三：e*22%+a恒成立，求a的取值范圍.

/

解析：此時(shí)直線變成了y=2%+a

方法一：在曲線上找到斜率為2的切線

xx

設(shè)/(%)=e9f"(%)=e

當(dāng)廣(%)=2時(shí)，x=ln2

切點(diǎn)為(In2,2),所以該切線為：y=2(x-ln2)+2

2(x-ln2)+2^2x+a

2x-2ln2+2^2x+a

，aW2-2ln2

方法二：令斜率相同

Vex>2%+a

QXa

：.->x+-

22

.\ex~ln2>x+

（當(dāng)時(shí)取等）

-：ex-in2>x_Zn2+1x=ln2

/?x—ITLZ+12％+萬(wàn)

/?—ITI2+1>—

，aW2-2ln2

例題四：e%之a(chǎn)x恒成立,求a的取值范圍.

方法一

當(dāng)aVO時(shí)，y=e”與y二ax有交點(diǎn)，不成立，舍去

當(dāng)a=0時(shí)，不等式恒成立

當(dāng)a>0時(shí)，我們要在曲線上找到斜率為a的切線

設(shè)/(%)=ex,f(%)=ex

當(dāng)f，(%)=Q時(shí)，x=lna

切點(diǎn)為(Ina,a),所以該切線為：y=a(x-lna)+a

.*.a(x-lna)+a^ax

.*.ax-alna+a^ax

/.a^alna

/.l^lna

?'?aWe

Aa的取值范圍為[O,e]

方法二：

Vex>ax(a，0)

a>x(a>0時(shí))

?X—ITLCL>%

..ex-lna>x—lna+1

—lna+1>%

/.Ina<1

：.a<e

.,.OWaWe

例題五：e無(wú)+a之九—a恒成立，求a的取值范圍.

解析：根據(jù)嘮>x+l,我們可以很快得到靖+a斜率為1時(shí)的切線：y=x+a+l

即e^+a>x+a+1

.*.x+a+l^x-a

..a》——

2

對(duì)該不等式繼續(xù)推廣：ekx+a>kx+a+1

ekx+lnx之九尢+[nx+1

xekx>kx+Inx+1我們上次講到的朗博同構(gòu)

運(yùn)些東西也丕用理追，最原給的兩個(gè)切線放縮房隹就可以，—后續(xù)接煦需果的

斜率求切線或者進(jìn)行同構(gòu)即可。

一定要觀察，制數(shù)部分，整式部分，對(duì)數(shù)部分,x前面的系數(shù)根丕桐同，.桐

同是可以直接用切線放縮的，若不相同需要找到斜率相同的切線或要通過(guò)同構(gòu)將

其化成斜望相同的形式。_

但并不是所有切線都能求出來(lái)（斜率為參數(shù)且該參數(shù)滿足的方程為超越方程）,

求丕出來(lái)的時(shí)俅還起回到最愿蛤的方法做。

切線放縮的注意事項(xiàng)送基本丕等式的一樣:

對(duì)一個(gè)不等式最好K.用一次基本不等式得出定值，.若用兩次基本不等式，.我

們要注意職等條件是杳一致。一一

所以對(duì)一個(gè)不等式我們也最好只用一次切線放縮得出定值2若用兩次切線放

縮，我們要注意兩次的取等條件可否一致

舉個(gè)例子：

例題六：

（1）ex+1>ln（x+a）+1,求a的取值范圍。

ex+l>x+1+1（當(dāng)x+l=o時(shí)取等）

ln（x+a）+l<x+a-l+l（當(dāng)x+a=l時(shí)取等）

.'.x+2>x+a

：.a<2（當(dāng)a取等時(shí)與x取等條件一致）

（2）ex+1>ln（x+a）,求a的取值范圍。

ex+l>x+1+1（當(dāng)X+1=O時(shí)取等）

Zn（x+a）<x+a—1（當(dāng)x+a=l時(shí)取等）

.*.%+2>%+a—1

.,.a<3（當(dāng)a取等時(shí)與x取等條件不一■致）

對(duì)比我們發(fā)現(xiàn)（1）是可以的，（2）是不行的，所以不能盲目使用。如果對(duì)

（2）只用一次切線放縮，就變成％+2之伍（％+a）并不能直接解出a,取等

情況變得更復(fù)雜，當(dāng)然此題也是解不出精確值的。

如上圖，①，切線②，④W切線②，所以①>④（無(wú)取等情況）

所以指數(shù)2對(duì)數(shù)情況應(yīng)是①③的相切狀態(tài)。第（1）題中，兩曲線與切線切

點(diǎn)剛好重合。因此當(dāng)指對(duì)同時(shí)出現(xiàn)時(shí)一定要檢查。

例題七：已知不等式/一力1-2ax>b對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則

2的最大值為

a------------

1

解析：..?/一￡+1—2。%之b

1

：.ex~a+1>2ax+b(a<0不成立，.\a>0)

除以2a:

/一%、.b

---2-a---->---x---+2a—

?X---Fl-Z7l2(l、“1b

..ea>x—

2a

x-a+1~ln2a>_1+1_l2a+1(當(dāng)x=2n2a+L—1時(shí)取

e%ana

等)

之比

???x—In2a---a--F2H--2--a