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文檔簡介

專題11導數(shù)中的極值偏移問題(全題型壓軸題)

目錄

一、對稱化構(gòu)造法.........................................1

二、比值代換法...........................................2

三、對數(shù)均值不等式法.....................................4

一、對稱化構(gòu)造法

1.(2024?江西?模擬預測)已知函數(shù)/(X)=X+F.

e

⑴討論/*)的單調(diào)性;

(2)若改工9,且"占卜了6”?,證明:0<m<e,且再+X2<2.

2.(23-24高三上?河南?階段練習)已知函數(shù)〃%)=(》-2乂6"*-辦)(aeR).

(1)若°=2,討論了⑴的單調(diào)性.

(2)已知關(guān)于x的方程〃x)=(x-3)e,+2分恰有2個不同的正實數(shù)根

(i)求。的取值范圍;

(ii)求證:%+%>4.

3.(2024?貴州畢節(jié)?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(2x+a)lnx-3(x-a),a>0.

(1)當x21時,/(%)>0,求〃的取值范圍.

⑵若函數(shù)”X)有兩個極值點士,弓,證明:占+%>2”.

4.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃尤)=(尤-e—l)e-;e無2+e2x.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若/(3)=/(三)=/(工3)(不<%<三),求證:當工<e-l.

二、比值代換法

1.(2023?湖南長沙?一模)已知a=(6-0.1)°”',b-es>c=(e+0.1廣則a,b,c的大

小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<a<cD.a<c<b

4.(2023?江西南昌?二模)已知函數(shù)/(x)=x(lnx-a),g^=l^l+a-ax.

⑴當x21時,/(x)》-lnx—2恒成立,求。的取值范圍.

2

(2)若g(x)的兩個相異零點為占,巧,求證:xTx2>e.

x

5.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=-n-p-+lnx-x(aeR).

(1)討論函數(shù)的極值點的個數(shù);

(2)若函數(shù)"X)恰有三個極值點不、演、七(百<々<七),且W-為4I,求為+尤?+W的最大

值.

三、對數(shù)均值不等式法

1.(2023?北京通州?三模)已知函數(shù)/(%)=以一'一111](〃>。)

⑴已知了(%)在點(1,/(1))處的切線方程為y=%-1,求實數(shù)〃的值;

(2)已知/(九)在定義域上是增函數(shù),求實數(shù)〃的取值范圍.

⑶已知g(%)=F(%)+@有兩個零點七,巧,求實數(shù)〃的取值范圍并證明卒2>?2.

X

2.(23-24高二下?貴州六盤水?期末)已知函數(shù)/(x)=3+lnx(aeR).

X

(1)討論"X)的單調(diào)性;

(2)若/(X)有兩個不相同的零點%,馬,設(shè),(X)的導函數(shù)為了'(X).證明:

,,

xif(xl)+x2f(x2)>2]na+2.

3.(2023,天津?二模)設(shè)函數(shù)/(x)=(x—l)lnx-無2+(加一1)為加€氏8(尤)為了(尤)的導函數(shù).

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)討論g(x)零點的個數(shù);

⑶若了(無)有兩個極值點尤且X<%,證明:x,+x2>2.

專題11導數(shù)中的極值偏移問題(全題型壓軸題)

目錄

一、對稱化構(gòu)造法.........................................1

二、比值代換法...........................................2

三、對數(shù)均值不等式法.....................................4

一、對稱化構(gòu)造法

1.(2024?江西?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=x+一.

e

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若占H%,且“占卜了6”?,證明:0<m<e,且再+Xz<2.

【答案】①答案見解析

⑵證明見解析

【優(yōu)尖升-分析】(工)求定義域,求導,分加VO和機>0兩種情況,得到函數(shù)的單調(diào)性;

(2)變形為公馬是方程〃?=e,(2-無)的兩個實數(shù)根,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'(2-x),得到其單調(diào)

性和極值最值情況,結(jié)合圖象得到。<加<e,再構(gòu)造差函數(shù),證明出國+%<2.

【詳解】(1)/(x)的定義域為R,

由題意,得八尤)=1一%xeR,

exe%

當機<0時,r(x)〉0恒成立,〃龍)在R上單調(diào)遞增;

當相>0,且當X£(—oo,lnM)時,<0,/(九)單調(diào)遞減;

當xe(lnm,+8)時,ff(x)>0,/(尤)單調(diào)遞增.

綜上,當〃出0時,在R上單調(diào)遞增;

當機>0時,/(無)在區(qū)間(-8,ln〃z)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln〃z,+oo)上單調(diào)遞增.

(2)證明:由〃占)=〃9)=2,得看,X,是方程》+?=2的兩個實數(shù)根,

即不,Z是方程%=e*(2-尤)的兩個實數(shù)根.

令g(x)=e*(2-尤),則g'(x)=e%l-尤),

所以當時,g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增;

當xe(l,+8)時,g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(*ax=g⑴=e-

因為當X--8時,g(x)->0;當xf+8時,g(x)f-co,g(2)=0,所以0<m<e.

不妨設(shè)無i<%,因為毛,巧是方程〃7=e,(2-x)的兩個實數(shù)根,則玉<1(尤z<2.

要證玉+/<2,只需證玉<2-%.

因為<1,2-%2<1,

所以只需證g(%)<g(2-匹).

因為g(占)=g(9),

所以只需證g(苞)<8(2-%).

令"(x)=g(x)-g(2-璇Fl<x<2,

則"。)=g'(x)+g'(2—尤)=e"(1-尤)+e2-v(x-l)=(l-x)(ex-e2T)

=(l-x)---上<0在(1,2)恒成立.

ex

所以蛇)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,

所以〃(X)<,⑴=0,

即當1<%<2時,g(x)<g(2-x).

所以8(彳2)<8(2-七),

即%+%2<2成立.

【點睛】極值點偏移問題,通常會構(gòu)造差函數(shù)來進行求解,若等式中含有參數(shù),則先消去參

數(shù).

2.(23-24高三上?河南?階段練習)已知函數(shù)〃x)=(尤-2乂1-閑(“eR).

⑴若a=2,討論的單調(diào)性.

⑵己知關(guān)于x的方程〃切=(彳-3戶+26恰有2個不同的正實數(shù)根&%.

(i)求。的取值范圍;

(ii)求證:>4.

【答案】⑴f(x)在(21n2,y)上單調(diào)遞增,在(l,21n2)上單調(diào)遞減

2

re、

⑵(i),+°°;(ii)證明見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)求導后,根據(jù)廣(%)的正負可確定外力的單調(diào)性;

(2)(i)將問題轉(zhuǎn)化為y與g(x)=^(x>o)有兩個不同交點的問題,利用導數(shù)可求得

g(x)的單調(diào)性和最值,從而得到g(元)的圖象,采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定。的范圍;

(ii)設(shè)三>k>0,根據(jù):d=辦;,e*,采用取對數(shù)、兩式作差整理的方式可得工^=2

%

21五-1、x

通過分析法可知只需證如土<1%)即可,令"工?0,1),構(gòu)造函數(shù)

々工+1尤2

x2

/z(r)=lnz-^^(o<f<l),利用導數(shù)可求得單調(diào)性,從而得到如)<41)=0,由此

可證得結(jié)論.

【詳解】(1)當a=2時,/(x)=(x-2)(eY-2x),貝|

/,(x)=er-2x+(x-2)(e,:-2)=(x-l)(ex-4);

令/'(%)二°,解得:%=1或x=ln4=21n2,

當無£(ro』)U(21n2,+oo)時,風4>0;當無£(l,21n2)時,

\/(九)在(-8」),(21n2,+o))上單調(diào)遞增,在(l,21n2)上單調(diào)遞減.

(2)(i)由/(%)=(尤―3)e"+2ax得:ex—ax2=0,

?."(x)=(x-3度+2依恰有2個正實數(shù)根外,%2,.??=o?恰有2個正實數(shù)根小馬,

令g(x)=?x>0),則'與g⑺有兩個不同交點,

?..go。:?,,,;.當尤?0,2)時,g'(無)<0;當X?2,M)時,g'(無)>0;

2

.?.g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+8)上單調(diào)遞增,又g(2)=,,

當x從。的右側(cè)無限趨近于。時,g(x)趨近于+8;當x無限趨近于+8時,e*的增速遠大于

尤2的增速,則g(x)趨近于+%

則g(x)圖象如下圖所示,

y

2

.??當時,y=a與g(x)有兩個不同交點,

實數(shù)。的取值范圍為;

x,%2

(ii)由(i)知:e=axf,e=ax1,>0,x2>0)

.,.玉=Ina+21n玉,x2=]na+21nx2,

%=21nxi-21nx2=2In土,

不妨設(shè)%>占>。,則lnA,

%

2(%]-尤2)

要證%+%>4,只需證二+無2>,出,

尤2

2^-1

?」n土<0,則只需證In+<2(4-%)1尤2.

?/x2>^>0,0<—<1,

X2%Xl+X2五+1

尤2

令"*£(°,1),則只需證當?。?/)時,3<甘。恒成立,

令力⑺=ln/_2(":)(()</<]),

?〃⑺=L2)+1)-2(1)=?+[)--力=(1)~

>0,

(f+l)2(+1)2z(/+l)2

.-./1(0在(0,1)上單調(diào)遞增,二//(0<//(!)=0,

.?.當fe(O,l)時,Inf〈生二D恒成立,,原不等式占+馬>4得證.

t+1

【點睛】思路點睛:本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、方程根的個數(shù)問題和極值點偏移問

題的求解;本題求解極值點偏移的基本思路是通過引入第三變量,=土,將問題轉(zhuǎn)化為單變

x2

量問題,進而通過構(gòu)造函數(shù)的方式證明關(guān)于r的不等式恒成立.

3.(2024?貴州畢節(jié)?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(2x+a)liu—3(x—a),a>0.

(1)當時,/W>0,求。的取值范圍.

⑵若函數(shù)“X)有兩個極值點玉,弓,證明:%+%>2e工

【答案】⑴[L+8)

(2)證明見解析

【優(yōu)尖升-分析1(1)參變分離可得a之\yx在%21恒成立,令g(x)=3/1。,x?[1,+8),

3+mx3+lnx

利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值,即可得解;

(2)求出函數(shù)的導函數(shù),依題意可得函數(shù)丫=。與函數(shù)以x)=x-2xlnx,xe(0,E)的圖象有

/、11

兩個交點,利用導數(shù)說明M*)的單調(diào)性,不妨設(shè)。<玉<笈<9,要證看+%>2屋5,即證

%>3-占,令尸⑴?⑺-彳戈7;xe0,卡,利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,即可得證.

【詳解】(1)當*21時,/(x)之0o=3:-<nx在.21恒成立,

3+lnx

3x-2xh\x

令g(%)=%£口,+8),

3+lnx

—(3+21nx)lnx

則g'(x)=<0

(3+lnx)2

???函數(shù)g(x)在[1,+8)上單調(diào)遞減,

?'?g(x)Vg⑴=1,

61的取值范圍是[1,+8).

(2)函數(shù)/(%)=(2%+。)111%-3(%-。),a>0.

rn.iz.,/、ci2x+a—aia+2x]nx-x

貝(J/(x)=21n%+---------3=21nx+——1=-----------------

xxx

?函數(shù)/(X)有兩個極值點X1,巧,

.?./'(同=0有兩個正實數(shù)解0方程。=3-21111%有兩個正實數(shù)解今函數(shù)'=。與函數(shù)

h(x)=x-2x\nx,xe(0,4<o)的圖象有兩個交點.

/!,(x)=l-2-21nx=-21n%-l,令〃(x)=0,解得尤=^=,

當0<x<2時“(”〉0,則M%)單調(diào)遞增,當時〃(力<0,則M%)單調(diào)遞減,

函數(shù)/X)的極大值即最大值1為=2.

又0<%<十時/(力=%(1-21n%)>0,且當x-0時,-又M⑹=0,

2

0<a<p-.

不妨設(shè)。<玉<%7<%2,

要證明玉+%>

令F(x)=h(^x)~h

—2=0,

當且僅當即A%時取等號,

函數(shù)尸(%)在工£

即%(%)<h

因此X]+x?>2e2成立.

【點睛】方法點睛:導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法:一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單

調(diào)性,常化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用;二是函數(shù)的零點、

不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

4.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=(尤-e-l)e*-ge無2+e-.

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若/(當)=/(%)=/(%)(々<三),求證:*/<e_].

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為(3,1)和(e,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(Le);極大值為-ge,極小

1,

值為-e,+—e

⑵證明見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)利用導數(shù)可求得了(無)的單調(diào)區(qū)間,并確定極值點,由此可進一步求

得極值;

(2)根據(jù)單調(diào)性和極值可確定々,尤2,三的范圍,利用極值點偏移的證明方法,構(gòu)造函

數(shù)b(x)="x)—/(2—x),m(x)=f(x)-f(2e-x),可證得占+%>2,x2+x3<2e,結(jié)合

不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論.

【詳解】(1)'."(X)定義域為R,尸(尤)=(%-6孵一款+3=(尤-6乂1-6),

令((x)=0,解得:x=e或》=1,

...當xw(e』)U(e,+oo)時,制x)>0;當xw(Le)時,(無)<0;

\/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—,1)和(e,+s),單調(diào)遞減區(qū)間為(l,e);

的極大值為"1)=-1e,極小值為〃e)=Y+1e3.

(2)由(1)知:玉<1,1<%<e,x3>e.

令b(x)=〃x)-"2—x),l<x<e,

則F,(x)=/,(x)-[/(2-x)J=(x-e)(ex-e)+(2-x-e)(e2-x-e)

=^^[(x-e)e*T+x+e-21;

令G(x)=(x-e)ei+x+e-2,貝!]G,(x)=(x-e+l)eA-1+l;

令H(x)=G(x),則〃(x)=(x-e+2)產(chǎn),

W(x)>0在(l,e)上恒成立,.?.”(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,

.-.H(x)>H(l)=3-e>0,

,G(x)>0在(l,e)上恒成立,,G(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,,G(x)>G(l)=0,

.?1'(力>0在(l,e)上恒成立,.?.*%)在(l,e)上單調(diào)遞增,.■I(x)>/l)=0,

對任意xe(l,e)恒成立.

:.f(x^>f(2-xi),又/4)=/(%),二/1)>/(2-蒼),

,.?/(x)在(-00,1)上單調(diào)遞增,^,2-Xje(^?,l),:.xl>2-x2,即X]+%>2;

令=/(%)-f(2e-x),l<x<e,

則m'(尤)=f(x)+[/(2e-x)]=(x-e)(e*-e)+(2e-x—e)(e“T-e)=(x—e)(e''—e";

x2ee

y=e*-e-T在(l,e)上單調(diào)遞增,e-e^<e-e=0,

/.mr(x)>。在(l,e)上恒成立,m(x)在(l,e)上單調(diào)遞增,

m(x)<m(e)=O,f[x)<對任意xG(1,e)恒成立.

.?"(九2)v/(2e—%).又/(々六/伍),???/(f)</(2e—九2),

,?"(x)在(e,+oo)上單調(diào)遞增,且毛,2e—九2e(e,-Hx)),:.x3<2e-x2,:,x2+x3<2e;

由西+々>2^^:一%一入2<—2,x2—5=(%2+毛)+(_Xy_々,〈Ze_2,/.—--<e—1.

【點睛】思路點睛:本題第(1)問用到導數(shù)零點九字訣:有沒有,在不在,比大小.第(2)

問用到第(1)問的兩個極值點1和e,然后兩次利用極值點偏移法,得出兩個不等式玉+%>2

和%+^<2e,再利用這兩個不等式巧妙得出所要證明的不等式.

二、比值代換法

1.(2023?湖南長沙?一模)已知4=仁一0.11+。,,b=e,,c=(e+O.l)c-01,則〃,b,c的大

小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<a<cD.a<c<b

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】轉(zhuǎn)化為比較比較必)一°,),1—Jn(e+01)的大小,構(gòu)造函數(shù)

e-0.1e2-0.01e+0.1

/(x)=—,先證明。,b,c中b最大,設(shè)

X

苔=e-0.1,x=e+0.1,/(玉)=f(x)=m,m<-,x^x,先證明x>2e-x,再證明

23el3l3

/(X2)>/(X3)=/(%1),即得解.

【詳解】要比較。,b,。等價于比較Ina,Inb,Inc的大小,

In〃InZ?Inc

等價于比較

(e+0.l)(e-0.1)?(e+0.l)(e-0.1)?(e+0.l)(e-0.1)

即比較鵬生卡

構(gòu)造函數(shù)/(力=皿,廣(尤)=上及,

XX

令_f(x)>0,得0<x<e,令:(x)<0,得x>e,

所以/(X)在(o,e)單調(diào)遞增,(e,+s)單調(diào)遞減.

所以/⑴m"=〃e)=:,

因為=〃一0.1),^^*+,

e

所以2cc,最大,即.,b,C中b最大,

e-O.O1

設(shè)玉=e-0.1,x=e+0.1,/(%)=jf(x)=m,m<—,Xjy:x,

2一e33

結(jié)合了(%)的單調(diào)性得,<e<x3,

先證明]3一:<正[玉,其中。<%<e<w,

Inxl-Inx32

2(區(qū)-l)

即證In2<2(再一三)=-

尤3玉+^A+1

x3

令廣臺(。,1),岫=1/瞽’其中。<y,

i4*If

>0,

則“⑺丁"7f(/+l)2

所以,函數(shù)的)在(0,1)上為增函數(shù),當0</<1時,h(t)<h(I)=O,

產(chǎn)+%3

所以,當退>%>0時,

In玉-Inx32

則有2-「丁<占+鼻,

Inxx—Inx3

由/(%)=/(三)=機可知—■=?■=根,

cx,-X,x,-x,2

所以-----L=2-----1=—<x1+x3,

Inxx-Inx3機(玉一工3)m

因為根〈工,所以玉+%3>2e,即玉>2e-x3,

e

因為3<e,/(x)在(O,e)單調(diào)遞增,

所以〃不)>〃2e-x,),即/a)>〃2e—&),

因為尤1+々=2e,所以占=26-%2,所以〃26-々)>/(26-%,),

即2e-x2>2e-x3,.\x2<x3,

因為e<%<X3,/(x)在(e,+oo)單調(diào)遞減.

所以/(%)>/(%)=/(再),

即山仁+0.1)>111仁-0.1),即c>",

e+0.1e-0.1

卜.,a<c<b,

故選:D

【點睛】關(guān)鍵點睛:應用對數(shù)平均不等式%一:2<%手(需證明)證明極值點

In玉-lnx22

偏移:①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù);②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到?"'一:;③利

用對數(shù)平均不等式來證明相應的問題.

2.(2022?全國?模擬預測)設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-ox(aeR).

⑴若a=3,求函數(shù)“X)的最值;

(2)若函數(shù)g(x)=W(x)-x+a有兩個不同的極值點,記作占,三,且占</,求證:

1叫+21nx2>3.

【答案】(1)無最小值,最大值為-ln3-l

(2)證明見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)對函數(shù)〃x)=lnx-3x求導后得尸(x)=L^,x>0,分別求出了'(x)>0

X

和r(x)<o的解集,從而可求解.

(2)由g(x)=4(x)-X+。有兩個極值點不,%ol時=2叫」噸=2秩,從而要證

]“衛(wèi)人_尤2>]

,

+21nx9>3<=>2ax{+4arn>3<=>a>-----------o----->——-——‘x,'構(gòu)建函

2再+4%2%一可玉+2%

數(shù)〃⑺=1皿-合?,然后利用導數(shù)求解的最值,從而可求解證明.

【詳解】(1)由題意得〃x)=lnx—3x,貝廳,(司=三?,》>0.

令廣(力>0,解得0<x<;;令r(x)<0,解得x>g,

在[。,,上單調(diào)遞增,在、,上單調(diào)遞減,

=/g[=ln[3x;=』3一1,

.?"(X)無最小值,最大值為Tn3-1.

1

(2),:g{<x)—xf(<x)-x+a=jAwc-ax-x+a,貝!]g,(龍)=lnx-2依,

又g(x)有兩個不同的極值點王,無2,,1叫=23,1匹=2”,

欲證1叫+21RX2>3,即證2ax{+4or2>3,

3

???0<%</,,原式等價于證明a>0:①.

2%+4X2—

X,In三

由1叫=23,1*=23,得111二=2。(%2一七),貝|]=%]②.

再“一^^

]n強

由①②可知原問題等價于求證〉3

x2一%再+2X2

強一1

即證In強〉

%%+2%]+生

令"三,則,>1,上式等價于求證lnt>正D

占1+2r

令〃(/)=1皿一臺J,則〃。)=13(l+2r)-6(r-l)_(r-l)(4z-l)

7(1+2/7f(l+2r)2

*:t>1,.,.花3>。恒成立,h{t)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

.?.當,>1時,7/(。>//(1)=0,即

?二原不等式成立,即1叫+21哇>3.

【點睛】方法點睛:①對于極值點偏移問題,首先找到兩極值點的相應關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)

/、

或加數(shù)關(guān)系t——,/■=X,+X];

I玉)

②通過要證明的不等式,將兩極值點變形后構(gòu)造相應的函數(shù),

③利用導數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值,從而證明不等式或等式成立.

3.(2023?湖北武漢?三模)已知函數(shù)〃尤)=?x+(o-l)ln尤+—,aeR.

⑴討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性;

⑵若關(guān)于X的方程=北-In尤+工有兩個不相等的實數(shù)根4、巧,

X

(i)求實數(shù)。的取值范圍;

(||)求證:---1----->-------

x2%XxX2

【答案】⑴答案見解析

(2)(i)(e,+8);(ii)證明見解析

【優(yōu)尖升-分析】

(1)求出//)=。+1甘一1),分。40、。>0兩種情況討論,分析導出的符號變化,即

可得出函數(shù)/(元)的增區(qū)間和減區(qū)間;

(2)⑴將方程變形為e>1n“=a(x+lnx),令r(x)=x+lnx,令g?)=W,可知直線尸。

與函數(shù)g⑺=:的圖象有兩個交點,利用導數(shù)分析函數(shù)g⑺的單調(diào)性與極值,數(shù)形結(jié)合可

得出實數(shù)。的取值范圍;

(ii)將所證不等式等價變形為4+弓>2,由e'=H變形可得出/=lna+ln/,推導出

2+1

&-4=ln?,即證^—>二].令p=只需證構(gòu)造函數(shù)

f

八k_linkiP+1

4G

“p)=lnp-幺V,其中利用導數(shù)法即可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)解:因為/(x)=ax+(a-l)lnx+1,

所以尸(x)=a+佇!」=竺出…^=3厘,其中x>0.

①當aWO時,r(x)<0,所以函數(shù)/(X)的減區(qū)間為(0,+8),無增區(qū)間;

②當a>0時,由/'(x)>0得x>L由/(x)<0可得0cx<L

aa

所以函數(shù)〃X)的增區(qū)間為1,+J,減區(qū)間為[。,J.

綜上:當.40時,函數(shù)“X)的減區(qū)間為(0,+8),無增區(qū)間;

當a>0時,函數(shù)“X)的增區(qū)間為,,+1,減區(qū)間為/J.

(2)解:⑴方程〃尤)=xe'Tnx+:可化為xe'=G+aln無,BPex+lnr=a(x+lnx).

令t(x)=x+lnx,因為函數(shù)[無)在(0,+(?)上單調(diào)遞增,

易知函數(shù)f(x)=x+lnx的值域為R,

結(jié)合題意,關(guān)于/的方程e'=m(*)有兩個不等的實根.

又因為/=0不是方程(*)的實根,所以方程(*)可化為其=〃.

t

令g⑺=:,其中辦0,貝隈,3=當」.

由g'(r)<0可得/<0或0<r<l,由g'(r)>0可得/>1,

所以,函數(shù)g”)在(-*0)和(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以,函數(shù)g(。的極小值為g(l)=e,

P'p'

且當/<0時,g(f)=,<0;當1>0時,貝4g?)=亍>0.

作出函數(shù)g⑺和y=a的圖象如下圖所示:

由圖可知,當a>e時,函數(shù)y=a與g?)的圖象有兩個交點,

所以,實數(shù)。的取值范圍是(e,+8).

(ii)要證---1--->----,只需證+々e巧>2。,即證3+*>2〃.

因為e'二必,所以只需證%+t2>2.

由(i)知,不妨設(shè)0<。

FA=lna+\nt,,t、

因為e'=R,所以?=ln〃+ln,,即{1,作差可得,2Ti=1n:.

=Intz+InZ2%

tr,+Z,2—+1

------->------t.2

所以只需證G—iIn邑,即只需證^〉——?

L豆—1In以

0%

令P=9(f>l),只需證Inp>2^?.

令Mp)=]np_2%;)其中g(shù),則,(力i廠4逅廠(z?—小1)^。,

所以MP)在(1,+8)上單調(diào)遞增,故MP)>/I⑴=0,即MP)>。在(I,e)上恒成立.

所以原不等式得證.

【點睛】方法點睛:利用導數(shù)證明不等式問題,方法如下:

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式〃X)>g(X)(或/'(X)<g(X))轉(zhuǎn)化為證明〃X)-g(X)>0

(或f(x)-g(x)<0),進而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=f(x)-g(x);

(2)適當放縮構(gòu)造法:一是根據(jù)已知條件適當放縮;二是利用常見放縮結(jié)論;

(3)構(gòu)造"形似"函數(shù),稍作變形再構(gòu)造,對原不等式同解變形,根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函

數(shù).

4.(2023?江西南昌?二模)己知函數(shù)/(x)=x(1nx-。),g(x)=/區(qū)+.

(1)當時,F(xiàn)(x)N-lnx-2恒成立,求。的取值范圍.

2

(2)若g(x)的兩個相異零點為4,演,求證:XjX2>e.

【答案】⑴*2]

(2)證明見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)運用導數(shù)研究/x)=(x+l)lnx-依+2的最小值不小于0即可.

⑵消去參數(shù)。及比值代換法后得In(占%)=gin乙運用導數(shù)研究碰)=二Inf在(1,+8)

上最小值大于0即可.

【詳解】(1)當時,]nx—2恒成立,

即當時,(x+l)lnx-ar+2N0恒成立,

設(shè)F(x)=(x+l)lnx-ax+2,

所以尸(1)=2—即a42,

=ln.x+—+1—i?,

設(shè)r(x)=lnx+1+l-a,

則/(x)=---^=土^,

xxx

所以,當時,/(x)>0,即《x)在[1,+s)上單調(diào)遞增,

所以r(x)>r(l)=2-a^0,

所以當時,F(xiàn)(^)=r(x)>0,即/(無)在[1,+8)上單調(diào)遞增,

所以尸(x)N尸(1)=2—a,

若尸(x)20恒成立,貝I|a42.

所以時,-Inx-2恒成立,a的取值范圍為(―,2].

(2)由題意知,g(x)=\nx-ax,

1口(再%2)=〃(石+x)

Inx=ax.2

不妨設(shè)由得

?In-=tz(Xj-x),

[mx2=ax22

A+1

In(x^)_xl+x2_x2

In五玉一%2主

x2x2

則gm)

Z+1nn,/\t+1

,即:In(xrx2)=Int.

\ntt-\-----------------t-1

要證當不2〉匕2,

只需證山(為々)>2,

只需證*>2,

即證In"型二

f+117

即證hn-亞』>0(z>i),

t+1

令根(7)=ln£----(方>1),

'7Z+1

u>。,

因為加(,)=

(+1)2

所以根(。在(1,+8)上單調(diào)遞增,

當fw(l,+oo)時,相⑺>〃7⑴=0,

所以Inf-2"T)>0成立,

f+1

2

故xYx2>e.

【點睛】方法點睛:極值點偏移問題的解法

⑴(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù):對結(jié)論不+%>(<)2%型,構(gòu)造函數(shù)/⑴=/(x)-/(2%0-%);

對結(jié)論占/>(〈濡型,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-/(反),通過研究凡X)的單調(diào)性獲得不等式.

(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換f=土化為單變量的函數(shù)不等

X2

式,利用函數(shù)單調(diào)性證明.

X

5.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=竺-+ln冗-R).

⑴討論函數(shù)“元)的極值點的個數(shù);

⑵若函數(shù)/(九)恰有三個極值點/、巧、%3(石<%2<X3),且%3-%41,求玉+X2+X3的最大

值.

【答案】⑴答案見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)求出函數(shù)/(元)的定義域與導數(shù),對實數(shù)〃的取值進行分類討論,利用

導數(shù)分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性,可得出函數(shù)/(尤)在實數(shù)。取不同知值時的極值點個數(shù);

(2)由已知可得出=占,兩式相除得到e-f=巴,令r=三,則r>1,則尤3=%,/一必=t,

[ae%,=與占占

得%1=~t~\,£=,分析可得1<大(e,則%+%+w="+1),+1.

令+i,其中i<t4e,利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值,即為所求.

【詳解】(1)解:函數(shù)/(x)=?+lnx7(aeR)的定義域為(。,+8),

且/'(X)=--—\~——1=--------?

①當aM。時,aex一X<0,由r(x)<0,可得x>l;由制x)>0,可得0<x<l.

所以“尤)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,

因此〃尤)在x=l處取得極大值,故當aWO時,〃尤)有一個極值點;

②當a靈時,令g(x)=],其中x>0,則g[x)=/^,

由g'(x)<0可得x>l,由g'(x)>0可得0<x<l,

因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+s)上單調(diào)遞減,

11V

所以g(x)max=g6=J所以故ae,-xNO,

由r(x)<0可得0<x<l,由方㈤>0可得X>1,

所以〃元)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(L+8)上單調(diào)遞增,

因此“X)在x=l處取得極小值,故當心:時,“X)有一個極值點;

X

③當0<aJ時,-11a---

(x-l)(ae*-x)ex

ef(x)

x2

令/'(尤)=0得%=1或〃=三,令人(%)=”「,由②知/?(%).=M1)=Q_:VO,

而/z(0)=a>0,h[in—j=a+2/ina=〃(1+2〃Ina),

令(p(a)=2〃山"+1]()<q<,),則”(a)=2(l+lna)vO,

所以9(a)在(0,:)上單調(diào)遞減,因此9(°)>1-/>0,故小n£|>0,

所以函數(shù)Mx)在(0,1)和1,ln5)上各存在唯一的零點,分別為機、”,

所以函數(shù)在(0,m)上單調(diào)遞減,在(加1)上單調(diào)遞增,在(L")上單調(diào)遞減,在(〃,+?)上

單調(diào)遞增,

故函數(shù)/(冗)在%=機和工=〃處取得極小值,在光=1處取得極大值,

所以當0<0<!時,〃尤)有三個極值點.

綜上所述,當aWO或az,時,/(X)有一個極值點;當0<a<!時,""有三個極值點.

ee

(2)解:因為函數(shù)/(x)恰有三個極值點/、巧、<x2<Xj),

所以由(1)知占=根,無2=1,尤3=〃,

由=*,兩式相除得到e夕國=.

ae均=x3玉

令,則%>1,則退二比1,/一必=£,得石=g,七=強白

因此為一占=lndl,所以l<「We,則占+尤2+三=用?+1.

(1+1)111/t----2In/

令左⑺J十…十],其中l(wèi)v^we,貝限,①=」_____,

,TI)”1)2

令0(。=/一;一21nf,則°,⑺=1+:一,=(;1)>0,

所以0⑺在(l,e]上單調(diào)遞增,則當l<t〈e時,(y(r)><y(l)=O,

即/⑺>0,故在(l,e]上單調(diào)遞增,

所以當l<tWe時,M')V%(e)=-故的最大值為一--

【點睛】易錯點點睛:本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的極值點個數(shù),要注意"極值點"與"零點"

的區(qū)別,在轉(zhuǎn)化為導函數(shù)的零點問題時,還應注意函數(shù)在極值點附近的單調(diào)性的變化,緊扣

"極值點”的定義來解題.

三、對數(shù)均值不等式法

1.(2023?北京通州?三模)已知函數(shù)/(x)=ox—S—lnM?!?。)

⑴已知了(%)在點(1,/(1))處的切線方程為y=%-1,求實數(shù)〃的值;

(2)已知/(九)在定義域上是增函數(shù),求實數(shù)〃的取值范圍.

⑶已知g(%)="%)+@有兩個零點七,巧,求實數(shù)〃的取值范圍并證明卒2>e?.

X

【答案】(1)。=1

(2).《

(3)0<a<-,證明見解析

e

【優(yōu)尖升-分析】(1)切線方程的斜率為1,所以有/0)=1,解方程即得實數(shù)4的值;

(2)依題意廣(九"。在(0,+8)上恒成立.,分參求解即可;

(3)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理即可求實數(shù)〃的取值范圍;通過分析法

2五-1

,構(gòu)造函數(shù)H(f)=ln"%?即可證得

要證明玉/>?2,只需證ln±<

%區(qū)+1

x2

【詳解】(1)因為〃司=依一,hr,所以尸(無)=°+十.

所以/'⑴=2°-1,又/(x)在點(1,/(I))處的切線方程為y=x-l,

所以/''(l)=2a_l=l,解得a=L.

(2)/(x)的定義域為(0,+8),因為/(x)在定義域上為增函數(shù),

所以「(%)=。+彳-!20在(0,+8)上恒成立.

XX

2

即。「"20恒成立.。(尤2+1)2尤,即。、合丁

x-/\1-d(l+x)(l-%)

令gX)=",所以g(x)=「T~N=/21\2,

'/x2+1(x+1)(X+1J

xw(0,l)時g[x)>0,%£(1,+00)時/(%)<0,

所以g(尤)在(o,D上單調(diào)遞增,在(1,y)上單調(diào)遞減,

11

所以

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