2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（新定義高觀點(diǎn)選填壓軸題含新定義解答題）（學(xué)生版+解析）

專題03函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

(新定義，高觀點(diǎn)，選填壓軸題)

目錄

一、函數(shù)及其表示.........................................1

二、函數(shù)的基本性質(zhì).......................................2

三、分段函數(shù).............................................3

四、函數(shù)的圖象...........................................4

五、二次函數(shù).............................................5

六、指對幕函數(shù)...........................................6

七、函數(shù)與方程...........................................7

八、新定義、新文化題(選填題)...........................8

九、新定義題(解答題)..................................10

一、函數(shù)及其表示

1.(2024,安徽?二模)已知函數(shù)，"(x)(x4)滿足〃孫)=〃x)+〃y)-1,當(dāng)X>1時,

則()

A.尤)為奇函數(shù)B.若〃2x+l)>l,則—l<x<0

C.若/(2)=；,則/'(1024)=7D.若/[m=2,則(比)=1°

2.(2024?四川瀘州?二模)已知"力，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對任意x,y滿足

〃x-y)=〃x)g(y)-g(“(y),>/(-2)=/(1)^0,則下列說法正確的是()

2024

A.g(0)=0B.若〃1)=2024,則X〃w)=2024

C.函數(shù)”2x-l）的圖象關(guān)于直線x=g對稱D.g（l）+g（-l）=-l

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為R,滿足了（x+2）=；〃x）,且當(dāng)

xe（0,2］時，〃x）=x（x-2）,若對任意Xe|m,+oo）,都有〃則小的取值范圍是

（）

A.［5,+ao）B.

「21）

C［，+8JD.

4.（23-24高三上,四川成都?期末）已知尸5,y）為函數(shù)>=產(chǎn)"+2/一曲圖象上一動點(diǎn)，則

-y+y+3

J（x-1）2+（3+4）2的最大值為（）

e+5e+5

A—D——C.1D.V2（e+5）

?Ve2+8e+17*V2e2+16e+34

5.（23-24高三上?重慶?期末）已知函數(shù)/⑺滿足/（x+y）=/（x）+/（y）-2,S⑴=4且

當(dāng)％>0時，/（力>2,若存在X目1,2］,使得/（加-4*+〃2力=1,則。的取值范圍是（）

￡552J_2

B.C.D.

2588?32,3

二、函數(shù)的基本性質(zhì)

X2

1.（2024?浙江麗水?二模）已知正實數(shù)石,工2，工3滿足石2+2%+1=石2*,X1+3X2+1=X23,

%；十4%+1=，則工1，工2，工3的大小關(guān)系是（）

A.x3<x2<B.x1<x2<x3

C.%〈尤3〈尤2D.x2<xx<x3

2.（2024?安徽蕪湖?二模）已知函數(shù)八力的定義域為R,且/（x+2）-2為奇函數(shù)，/（3x+l）

2024

為偶函數(shù)，"1）=0,則Z/伏）=（）

k=l

A.4036B.4040C.4044D.4048

3.（2024?福建漳州一模）已知可導(dǎo)函數(shù)/（x）的定義域為R,/］為奇函數(shù)，設(shè)g（x）

11()

是/(無)的導(dǎo)函數(shù)，若g(2x+l)為奇函數(shù)，且g(O)=一則￡依(2左)=()

2k=i

13131111

A.—B.——C.—D.--

2222

4.(2024,湖南?二模)已知/'(x)=,+x—司,xe[a,a+2],/(x)01ax=g(m),若

W|g(m)Z13}=R,則實數(shù)。的取值范圍是,

5.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知團(tuán)表示不超過x的最大整數(shù)，{%}=》-國，設(shè)“eN*,且

仁]+]卜仁}=1'貝"的最小值為；當(dāng)1<〃<2024時，滿足條件的所有〃值的和

S=.

三、分段函數(shù)

-xex+i,x<Q

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=<

Inx--，%>0,

4

從無)=[『(x)>2叭x)+4(aeR)，若函數(shù)〃(x)恰有6個零點(diǎn)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.11',+00]B.gw]C.(1,+co)D.(0,+oo)

elnx/、

、---(x>0)

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃zx)=x'，,若關(guān)于x的方程

卜+l](*W0)

[〃x)T-4(x)+l-a=0有8個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(1,272-1)B.(72-1,1)

C.(272-2,1)D.(1,20+2)

24?、4

X—CIXH--〃+—

3.(2024,天津?一模)若函數(shù)〃x)=,./恰有兩個不同的零點(diǎn)以“，且“<〃，

2414

X+CLX---〃+一

33

則”的取值范圍為.

4.(23-24高三上?湖南常德?階段練習(xí))已知函數(shù)Ax)和g(x)的定義域分別為2和2,若

對任意的不€，都恰有"個不同的實數(shù)看,毛,%，使得g(xJ=〃Xo)(其中

z=1,2,3,..",〃eN+),則稱g(x)為了⑺的重覆蓋函數(shù)”.(1)若函數(shù)g(x)=cosx(0<x<42

2X-1

是/(x)=-----,(0<x<4?)的〃〃重覆蓋函數(shù)〃，貝lj〃=；(2)若

2X+1

g(x)=卜+Q"丁"+1""1為/⑸=叫]]的〃2重覆蓋函數(shù)〃，記實數(shù)〃的最大值為

2+1

[log2X,X>\2

M,貝Usin[(M+1)?]=.

四、函數(shù)的圖象

1.(2024?福建莆田?二模)對于函數(shù)y=/(x)和y=g(x),及區(qū)間D,若存在實數(shù)人,使

得辰+6Ng(x)對任意恒成立,則稱y=〃x)在區(qū)間。上"優(yōu)于"y=g(x).有

以下四個結(jié)論：

①"X)=COSX在區(qū)間R上"優(yōu)于"g(x)=l-1%2;

②=tanr在區(qū)間上"優(yōu)于"g(x)=sinx；

③/(x)=e*—1在區(qū)間(-1,-+<o)上"優(yōu)于"g(%)=In(尤+1)；

④若J(x)=ox(xT)在區(qū)間(0,+8)上"優(yōu)于"8(*)=3,則a=l.

其中正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

OsinTCXI0<xW2

2.(2024?陜西渭南?一模)已知/(%)=1；一一，若存在實數(shù)七(7=1,2,3,4,5),

e，x<o

5

當(dāng)X,<%+1(z=1,2,3,4)時，滿足/(%)=/(/)=/(電)=/(%4)=/(毛)，則的取

1=1

值范圍為()

C.(-00,4]D.-p-,4

3.(2023,湖南長沙?模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為[0,+動，且

2'-l,xe[0,l）

/（%）=<log2（3-x）,xe[l,2）,函數(shù)g（尤）=〃尤）_2掾在區(qū)間[°川內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為16,

2/（x-2）,xe[2,+<?）

則實數(shù)。的取值范圍是.

[1x1XJTI

4.（23-24高一上?吉林白山?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=?]，，若存在實數(shù)

[%-2mx+4m,x>m

b,使得關(guān)于工的方程〃力=人有三個不同的根，則加的取值范圍是.

五、二次函數(shù)

1.(23-24高一上?浙江嘉興?期末)已知函數(shù)/⑺=e"+x,g(x)=lnx+x,若〃xj=g(%2)=%,

則西+々+2-r的最大值為（）

92e-l3e-l

A.-B.2C.-------D

42-丁

2.（2023?河南新鄉(xiāng)?三模）設(shè)函數(shù)/（九）的定義域為R,滿足了（%-2）=2〃%）,且當(dāng)工￡（0,2]

3

時，/（尤）=x（2-x）.若對任意xe[a,+oo）,都有成立，則”的取值范圍是（）

O

75

A.—,+coB.—,+00

22

35

C.—00,-------D.—00.-------

22

3.（多選）（2024?浙江?模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=+法+。（〃，4c是常數(shù)，且〃。0）

的自變量X與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:

X012

ym22n

3

且當(dāng)x=5時，對應(yīng)的函數(shù)值><。.下列說法不正確的有（）

A.aboQ

100

B.mn>----

9

C.關(guān)于X的方程ax2+6x+c=0一定有一正、一負(fù)兩個實數(shù)根，且負(fù)實數(shù)根在-;和0之

間

D.q。+2,%）和￡”一2,%）在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實數(shù)X；時，%>上

4.（2024?湖北一模）記置把虱〃x）}分別表示函數(shù)“力在可上的最大值

和最小值.則般3］{max{,+〃一2時“=.

5.（2024?廣東惠州?一模）已知P（x,y）為函數(shù)，=/+：圖象上一動點(diǎn)，則儼+：的最大

4y/x+y

值為.

六、指對塞函數(shù)

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測）設(shè)。=log2（）242023,=log20232022,c=log020240.2023,Ijl!］（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

2.（2024,云南昆明,模擬預(yù)測）已知4是函數(shù)〃x）=xlnx-2024的一個零點(diǎn)，為是函數(shù)

g（x）=xe。2024的一個零點(diǎn)，則占的值為（）

A.1012B.2024C.4048D.8096

3.（2024?甘肅蘭州?一模）已知y=〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對于任意x均有

〃x+l）+〃x—1）=0,當(dāng)0<xVl時，〃x）=2'-l,若川n（eo）］>f（lna）（e是自然對數(shù)的

底），則實數(shù)。的取值范圍是（）

31

A4-1+2左,廠/1+2^/1n-1"&一2■卜2k

A.e<a<e（keZ）B.e2<^<e（kGZ）

,,31

「Q-1+4左,廠/-l+4^/1rx-b4&-?2*n4&

C.e<a<e（keZ）D.e2<^<e（A:eZ）

x

4.（2024,全國?模擬預(yù)測）已知16喻16-12>"=y,則一=.

y

5.（2024?北京豐臺?一模）目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運(yùn)載工具.其做法是在

前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速

到一定的速度時將人造天體送入預(yù)定軌道.現(xiàn)有材料科技條件下，對于一個〃級火箭，在第

〃級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近似表示為v=31n行~—7,

（9+%）（9+%）（9+0,）

,n

mp+Xj

其中ai=-----13-----?=1,2,,n）.

%+X嗎一班

J=i

注：7%表示人造天體質(zhì)量，嗎表示第J（）=1,2,,“）級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量.

給出下列三個結(jié)論：

①。田24<1；

②當(dāng)〃=1時，v<31nlO；

③當(dāng)〃=2時，若v=121n2,則標(biāo)?26.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

6.（23-24高三上?山東青島?期末）已知動點(diǎn)P,。分別在圓加：0-皿"）2+口-巾）2=；和

曲線y=lnx上，則|P9的最小值為.

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間[-e,T]U[l,e]上的最大值與最小值

13

之和為。+6（。>0力>0）,則一+7的最小值為____.

ab

七、函數(shù)與方程

1.（2024?甘肅武威?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=ln;l]-辦+2。有3個零點(diǎn)，則實數(shù)。的

取值范圍是（）

A.（l,+oo）B.（2,+oo）C.(-oo,-l)D.(-oo,-2)

2.（2024?四川遂寧?二模）已知a,b,c均為正數(shù)，且工=2a-log,（a+l）2,6=（^-

a

,五’貝乩C的大小關(guān)系為（）

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

3.(2024?陜西西安?一模)己知函數(shù)/。)=4*+111彳-2的零點(diǎn)為3，g(x)存在零點(diǎn)巧，使

|占一％l<g，則才(幻不能是()?

A.g(x)=3x3-2x2-3x+2B.g(x)=4^1-2^1

5兀

C.g(x)=cos(x+二)D.g(x)=lg(5x+l)

4.（2024?湖北?二模）已知函數(shù)/（x）=ln[辦+Jf+g有零點(diǎn)，當(dāng)〃2十。2取最小值時，

2的值為.

a

5.（23-24高一上?山東濟(jì)南?期末）己知函數(shù)"x）=J1,g^x）=-x+a,若

—x?—x+4,x40

函數(shù)/（X）=-g（X）有三個零點(diǎn)玉,無2，%,則占?馬?三的取值范圍是.

6.（23-24高三上?湖南常德?階段練習(xí)）己知函數(shù)Ax）和g（x）的定義域分別為2和。2,若

對任意的不€2都恰有"個不同的實數(shù)占,馬,尤3，，七,€。2,使得ga）=/?）（其中

i=1,2,3,..weN+）,則稱g（X）為/（X）的“〃重覆蓋函數(shù)J（1）若函數(shù)g（X）=cosx（0<x<4兀）

2X-1

是“x）=----,（0<x<4"）的"〃重覆蓋函數(shù)"，貝股?=；（2）若

2*+1

g（x）=f'+為/（x）=k>g]1r■=的"2重覆蓋函數(shù)"，記實數(shù)。的最大值為

[log?x,尤>152,+1

M,貝！|sin[（M+1）乃]=.

八、新定義、新文化題（選填題）

1.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科

研成果有"華氏定理""華氏不等式""華氏算子""華一王方法”等，其斐然成績早為世人所推

崇.他曾說："數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微"，告知我們把"數(shù)"與"形"，"式"與"圖"結(jié)

合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的

性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征.已知函數(shù)y=〃x）的圖象如圖所示，則

的解析式可能是（）

--------o---------5

zNsinxz[\cosx

A./。）=3協(xié)B./。）=30°"C.=1D.〃尤）=、

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）如何計算一個橢圓的面積？這個問題早已在約2000年前被偉大

的數(shù)學(xué)、物理學(xué)先驅(qū)阿基米德思考過.他采用“逼近法”，得出結(jié)論：一個橢圓的面積除以圓

周率等于其長半軸長與短半軸長的乘積.即$=叫6.那如何計算它的周長呢？這個問題也

在約400年前被我國清代數(shù)學(xué)家項名達(dá)思考過.一個橢圓的周長等于其短半軸長為半徑的圓

周長加上四倍的該橢圓長半軸長與短半軸長的差.即C=2而+4（°-。）.若一個橢圓的面積

為8兀，那么其周長的取值范圍為（）

A.[16jn_2,+oo）B.（164-2,+8）

C.（4夜兀,+>?）D.[4在無,+>?）

3.（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，

幾何中項以及調(diào)和中項，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，

其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同.若2。+23=1，則（4"+1）（4"+1）的最小值

為（）

259925

A.—B.—C.-D.—

416416

4.（2024?貴州貴陽?一模）純電動汽車是以車載電源為動力，用電機(jī)驅(qū)動車輪行駛，符合道

路交通、安全法規(guī)各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動.因其對環(huán)境影響較小，

逐漸成為當(dāng)今世界的乘用車的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，

1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間r和放電電流I之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：

C=I。,其中幾為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)）,在電池容量不變的條件

下，當(dāng)放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當(dāng)放電電流為25A時，放電時間為15h,則該

蓄電池的Peukert常數(shù)彳約為（參考數(shù)據(jù)：1g2^0.301,1g3?0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

5.（22-23高二下?遼寧本溪?階段練習(xí)）2023年1月31日，據(jù)“合肥發(fā)布"公眾號報道，我

國最新量子計算機(jī)"悟空"即將面世，預(yù)計到2025年量子計算機(jī)可以操控的超導(dǎo)量子比特達(dá)

到1024個.已知1個超導(dǎo)量子比特共有2種疊加態(tài)，2個超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3

個超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，L,每增加1個超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加

一倍.若N=axl0上（14a<l（UeN）,則稱N為1+1位數(shù),已知1024個超導(dǎo)量子比特的疊

加態(tài)的種數(shù)是一個機(jī)位的數(shù)，則機(jī)=（）（參考數(shù)據(jù)：坨2。0.301）

A.308B.309C.1023D.1024

6.（多選）（2024?重慶?一模）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的

1,XGQ

函數(shù)/(x)=<被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則以下關(guān)

0,xe、Q

于狄利克雷函數(shù)/（x）的結(jié)論中，正確的是（）

九、新定義題(解答題)

1.(2024高三?上海?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)在［L+8)上有定義，實數(shù)。，b滿足14a<6.若

在區(qū)間(。,可上不存在最小值，則稱/(戈)在區(qū)間(a,可上具有性質(zhì)P.

⑴若函數(shù)〃力=/+次，且/⑺在區(qū)間(1,2］上具有性質(zhì)。時，求常數(shù)。的取值范圍；

(2)己知/(尤+l)=f(x)+l(無21),且當(dāng)14x<2時，f{x}=\-x,判別/(x)在區(qū)間(2,3］上是

否具有性質(zhì)。，并說明理由；

⑶若對于14a<6的任意實數(shù)“和b；函數(shù)/(x)在區(qū)間句上具有性質(zhì)P,且對于任意〃eN*,

當(dāng)xe(",〃+l)時，有："(〃)-/(x)l+"(x)-/(〃+l)H/(〃)-/(〃+l)l,證明：當(dāng)時，

/(2x)>f(x).

2.(23-24高一下?遼寧遼陽?階段練習(xí))定義：若函數(shù)“X)的值域是定義域的子集，則稱“X)

是緊縮函數(shù).

⑴試問函數(shù)g(x)=lg(10-x)是否為緊縮函數(shù)？說明你的理由.

⑵若函數(shù)刈》)=2「代二+。是緊縮函數(shù)，求。的取值范圍.

⑶己知常數(shù)左>0,函數(shù)/(x)=f,左叩〃,機(jī)+2］。［“7+3,777+5］是緊縮函數(shù)，求比的取值集

合.

3.(23-24高一下?遼寧大連?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=cosx,將函數(shù),⑺的圖象上的點(diǎn)縱

坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向右平移!兀個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.

[6

⑴寫出函數(shù)g(x)的解析式；

(2)試判斷a=/(2sing),&=/(3sin1),c=/(3cosg)的大小

⑶如果函數(shù)尸(無)的定義域為。，若對于任意。也ce。，F(xiàn)(?),F(b),P(C)分別為某個三

IT

角形的邊長，則稱P(x)為"三角形函數(shù)".記人(x)=mg(x)+〃z+l,當(dāng)定義域為[0m時，版尤)為

"三角形函數(shù)"，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

4.(23-24高二下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))我們知道，函數(shù)y=優(yōu)與＞=1。8〃真。＞0,。*1)互為

反函數(shù).一般地，設(shè)4B分別為函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，如果由函數(shù)y=/(x)可解

得唯一x=9(y)也是一個函數(shù)(即對任意一個yeB,都有唯一的xwA與之對應(yīng))，那么

就稱函數(shù)x=e(y)是函數(shù)y=〃x)的反函數(shù)，記作x=L(y).在x=L(y)中,y是自變量，

X是y的函數(shù).習(xí)慣上改寫成y=/T(x)(xe8,yeA)的形式.反函數(shù)具有多種性質(zhì)，如：①如

果y=/T(x)是y=〃x)的反函數(shù)，那么y=y(x)也是,=尸(力的反函數(shù)；②互為反函數(shù)

的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；③一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是

一致的.

(1)已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,3)處的切線傾斜角為60。，求其反函數(shù)y=廠1(力的圖象

在x=3時的切線方程；

⑵若函數(shù)g(x)=log。(J?三+q(。＞0,”1),試求其反函數(shù)y=為(x)并判斷單調(diào)性；

⑶在(2)的條件下，證明：當(dāng)aWe時，Vxe[0,+co),h(x)＞x.

5.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)z=/(x,y)在

約束條件g(x，V)的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)

L(x,y,A)=f{x,y)+2g(x,y),其中4為拉格朗日系數(shù).分別對L{x,%㈤中的元,部分求導(dǎo)，

并使之為0,得到三個方程組，如下：

Z,(x,y")=fx(x,y)+Agx(x,y)=0

Ly(x,y,2)=fy(x,j)+Agv(x,y)=0,解此方程組，得出解(x,y),就是二元函數(shù)z=/(x,y)在

LA(X,y,A)=g(x,y)=0

約束條件g(x,y)的可能極值點(diǎn).x，y的值代入到了(尤,y)中即為極值.

補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)〃x,y)=V+w+y2關(guān)于變量X的導(dǎo)數(shù).即：將變量y當(dāng)做常數(shù)，

即：￡Q,y)=2x+y,下標(biāo)加上x,代表對自變量x進(jìn)行求導(dǎo).即拉格朗日乘數(shù)法方程組之

中的4，4，LA表示分別對尤,2進(jìn)行求導(dǎo).

(1)求函數(shù)Ax,y)=x2y2+2孫+xy2關(guān)于變量V的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)x=1處的導(dǎo)數(shù)值.

⑵利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)滿足g(x,y)=4/+y2+孫一「0,求/(x,y)=2x+y

的最大值.

222

⑶①若x,y,z為實數(shù)，且x+y+z=l,證明：x+y+z>1.

②設(shè)a〉b>c>0,求2/+—+—--—~10ac+25c2的最小值.

aba^a—b)

專題03函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

（新定義，高觀點(diǎn)，選填壓軸題）

目錄

一、函數(shù)及其表示........................................13

二、函數(shù)的基本性質(zhì)......................................19

三、分段函數(shù)............................................24

四、函數(shù)的圖象..........................................29

五、二次函數(shù)............................................34

六、指對幕函數(shù)..........................................39

七、函數(shù)與方程..........................................45

八、新定義、新文化題（選填題）..........................52

九、新定義題（解答題）..................................59

一、函數(shù)及其表示

1.（2024,安徽?二模）已知函數(shù)>丈）（"0）滿足〃孫）=〃x）+〃y）-l,當(dāng)X>1時，

則（）

A./（元）為奇函數(shù)B.若/（2x+l）>l,則—l<x<0

C.若〃2）二,則〃1024）=TD.若=則焉］=10

【答案】c

【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)賦值法可得了⑴=1,進(jìn)而可得〃T）=f（x）,即可判斷A,

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷y=〃x）（xwo）在（0,+8）上為減函數(shù)，即可求解B,代值逐步

求解即可判斷CD.

【詳解】令x=i,y=T,/(-1)=/(1)+/(-1)-1,所以〃1)=1；

令尸一1,y=—l,〃1)=〃—1)+〃-1)一1則/(一1)=1.

令y=-i,得〃-x)=〃x),故y="x)(?o)為偶函數(shù).A錯誤，

任取X[,x,e(0,+co),無1</，則匕>1，

x\

(、

則〃/)=/(%)+1/三-1<八%),故y=〃x)(xxO)在(0,+8)上為減函數(shù).

1FJ

由己知〃2x+l)>l,可得川2x+l|)>〃l),故|2x+l|<l,解得-!<x<0,且B

錯誤，

若"2)=；,貝IJ〃1024)=/(*)=/(29)+〃2)-1=10〃2)-9=-4,C正確，

若電，2,則/必爭出-1，4'力3-1=5,

了小Id撲/:卜=6,所以(信]=2/值>=11,故D錯誤，

故選：C.

2.(2024,四川瀘州?二模)已知〃x),g(尤)都是定義在R上的函數(shù)，對任意x,y滿足

〃x-y)=〃x)g(y)-g(x)〃y),且〃—2)=/⑴10,則下列說法正確的是()

2024

A.g(0)=0B.若〃1)=2024,則2/5)=2024

〃=1

C.函數(shù)/'(2X—1)的圖象關(guān)于直線x=g對稱D.g⑴+g(—l)=-l

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷A、D,取

27r27T

〃x)=sin彳x,g(x)=cosyx可判斷C,對于B,通過觀察選項可以推斷〃尤)很可能是周

期函數(shù)，結(jié)合〃x)g(y)，g(x)F(y)的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論,想到令y=-l和"1時

可構(gòu)建出兩個式子，兩式相加即可得出〃x+l)+〃x-l)=-〃x),進(jìn)一步得出/(X)是周期

2024

函數(shù)，從而可求￡〃〃)的值.

〃=1

【詳解】對于A,令無=y=0,可得/得"0)=0,

令"0,x=l,代入已知等式得/⑴=〃l)g(O)-g⑴〃0),

/(1)[1-g(O)]=-g(1)/(0)=0,結(jié)合/⑴/0得l-g(O)=O,

所以g(o)=l,故A錯誤；

對于D,因為g(O)=l,令尤=0,代入已知等式得八—y)=/(0)g(y)—g(0)/(y),

將〃0)=0,g(o)=l代入上式，得〃—(y),所以函數(shù)為奇函數(shù).

令X=l,y=-l,代入已知等式，得〃2)=〃l)g(—l)—g⑴1),

因為〃T)7⑴,所以〃2)=〃l)[g(-l)+g(l)],

又因為〃2)=-所以-〃l)=〃l)[g(-l)+g⑴],

因為所以g(l)+g(-l)=-1,故D正確；

對于B,分別令>=-1和y=l,代入已知等式，得以下兩個等式：

/(x+l)=〃x)g(T)—g(x)〃T)，/(xT)=/(x)g。)一g(x)〃l)，

兩式相加易得〃x+l)+〃尤-1)=一/(無)，所以有〃x+2)+〃x)=-〃尤+1),

即〃x)=-〃x+l)-〃x+2),

有_/(x)+/(x)"(x+l)+〃xT)_/(x+l)―/(x+2)=0,

即〃％-1)=〃％+2),所以/'(x)為周期函數(shù)，且周期為3,

因為)0)=2024,所以/(—2)=2024,所以"2)=-〃—2)=—2024,/(3)?/(0)=0,

所以了(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以￡〃〃)="1)+〃2)+"3)++/(2024)

〃=1

=/(2023)+/(2024)=/(1)+/(2)=0,故B錯誤；

27rQjr

對于C?(/(x)=sin—x,^(x)=cos—x,滿足“工->)=/(九)g(y)-g(%)/(y)及

所以“2尤-l)=sin爭21),又〃0)=sin0=0,

所以函數(shù)/'(2x-l)的圖像不關(guān)于直線x=g對稱，故C錯誤；

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于含有的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利

用的點(diǎn)，以及利用證明了的條件或者選項;抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，

特別是有％〉雙變量，需要雙賦值，可以得到一個或多個關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系，此

過程中的難點(diǎn)是賦予哪些合適的值，這就需要觀察題設(shè)條件以及選項來決定.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)“X)的定義域為R,滿足〃x+2)=g〃x),且當(dāng)

xe(0,2］時，/(x)=x(x-2),若對任意xw［私+oo),都有-立，則機(jī)的取值范圍是

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】

由題設(shè)條件畫出函數(shù)〃尤)的簡圖，由圖象分析得出機(jī)的取值范圍.

【詳解】當(dāng)xe(O,2］時，龍+2e(2,4］,

則/'(尤+2)=〈/(無)=3元(%_2)=5(%+2_2)(%+2_4)且_1,0］,

即當(dāng)xe(2,4］時，f(x)=1(x-2)(x-4)e-1,0

同理當(dāng)xw(4,6］時，〃x)=；(x-4)(尤-6)e-1,0；

當(dāng)無?6,8］時,f(x)=^(x-6)(x-8)G~,0.

O|_o

以此類推，當(dāng)尤＞6時，都有/(力＞-弓.

16

函數(shù)“X)和函數(shù)尸-、在(0,8］上的圖象如下圖所示:

1311

由圖可知，f(m)=-(m-4)(m-6)=~—,me(5,6),解得m=「,

即對任意xe［；+oo］,都有"x"二，即機(jī)的取值范圍是［2,+/.

故選：D.

4.(23-24高三上?四川成都?期末)已知尸(x,y)為函數(shù)y=eZ+2f-4x圖象上一動點(diǎn)，則

-y+y+3

J(x-1)2+(y+4)2的最大值為(

e+5e+5

A.八;B.；,=C.1D.jr2(e+5)

Ve2+8e+17V2e2+16e+34''

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】先觀察出函數(shù)關(guān)于X=1對稱，在根據(jù)所求的式子可以判斷X>1時比X<1的

值要大，所以只需研究X>1的情況即可，把所求的式子經(jīng)過換元，適當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為復(fù)合

函數(shù)問題，其中一個內(nèi)層函數(shù)又是兩點(diǎn)斜率問題，借助數(shù)形結(jié)合思想和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可

求出最值.

x+y+3

【詳解】由函數(shù)解析式可知函數(shù)丁關(guān)于x=i對稱，設(shè)2="])2力+4『，不妨設(shè)

x=n(n<l)

_幾+y+3-〃+y+5〃+y+3

則J(〃一](；(y+4)2，當(dāng)x_2n(n<l),^(1-ra)2+(J+4)25/(ra-1)2+(j+4)2)

即當(dāng)x>l時z的值要大于x<l時z的值，所以只需研究x>l的情況即可，

b

當(dāng)x>l時，y=e%-1+2x2-4x,設(shè)％—l=a,y+4=Z?,t=—

a

22

2a+lab+b22

則/+戶=[+q7=+二I,

abt

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：re(0,1)時，z?遞增，當(dāng)，e(l,”)，Z?遞減.

f=?=三，所以/的幾何意義是函數(shù)y=e，T+2/-4x上一點(diǎn)與點(diǎn)(1,T)的斜率，

設(shè)過點(diǎn)(l,f的切線與函數(shù)j=e'-'+2x2-4x的交點(diǎn)坐標(biāo)(即切點(diǎn))為(M,e"T+2療一4m)

(m>1),y=e^'+4.r-4,

所以切線的斜率Z=e"T+4加-4,切線方程為y-(e"i+2加-4時=(e"T+4帆-4)(x-加)，

把點(diǎn)(LT)代入切線方程整理得：

(em-1+2時(加一2)=0,所以〃?=2或e"T+2加=0,設(shè)〃祖)=尸+2m,f(m)=尸+2>0,

所以/(㈤在(1,+8)單調(diào)遞增，所以yW)>〃i)=3,

即e*i+2m=0不合題意，所以%=2,此時切線的斜率上=e"T+4"z-4=e+4,

如圖:

yt

IXx)=er-'+2x2-4x

B(2,e)

°ijx

口1,-4)

根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可知f的范圍為[e+4,+e),所以當(dāng)/=e+4時，z?最大,

2_e+5

此時z=e+4+_-_，e~+8e+17'

e+4

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：式子較為復(fù)雜的最值問題需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃吻蠼?，求函?shù)的最值或值

域常用方法有：

(1)換元法；

(2)函數(shù)單調(diào)性法；

(3)復(fù)合函數(shù)法；

(4)數(shù)形結(jié)合；

(5)導(dǎo)數(shù)法；

(6)基本不等式.

5.(23-24高三上?重慶?期末)已知函數(shù)〃無)滿足〃尤+y)=〃x)+〃y)—2,"1)=4且

當(dāng)%＞0時，”力＞2,若存在了＜1,2],使得/(加―4x)+〃2x)=l,則〃的取值范圍是()

21]F15]「52]F12~

I2」\_28J|_83j|_23J

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】

根據(jù)給定條件，探討函數(shù)“X)的單調(diào)性，再結(jié)合賦值法求出了(-卞=-1,并由單調(diào)性脫去

法則，轉(zhuǎn)化為二次方程在[1,2]上有解即得.

【詳解】任取和馬,且占＜%，則馬-玉＞。，而當(dāng)x＞。時，/(%)＞2,于是/。2-再)＞2,

又/(x+y)=/(x)+/(y)—2,因止匕)=/[X]+(龍2—占)]=/(尤1)+/(%—大)一2＞/(圖),

則函數(shù)/(x)是增函數(shù)，而了(62-4x)+/(2x)=f[(ax2-4x)+2x]+2=/(ax2-2x)+2=1,

于是了("2-2X)=-1,令尤=y=0,得〃0)=2,令x=l,產(chǎn)一1,得/(T)=0,

令x=Ty=-l,得/(-2)=-2,^x=-2,y=-l,得f(-3)=-4,

3333

令無=>=一3，得/（_萬）=_1,即有/（62_2彳）=/（_/）,因此加一2%=-萬，

4r-311

原問題即2a在[L2]有解,令"—￡[1],

xx2

241412

貝！J2q=—3產(chǎn)+4]=—3（，_§）2+§在/w[,,1]時有角軋從而2QG[1,§],G