2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸小題專項(xiàng)練習(xí)：數(shù)列綜合問(wèn)題（附答案）

2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸小題專項(xiàng)（數(shù)列綜合問(wèn)題）好題練習(xí)

一、單選題

1.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為S",q=l,若對(duì)任意正整數(shù)"，S,“=-3a用+%+3,

S,,+%>（T）"a,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.11,jB.卜,目C.,2,目D.（-2,3）

2.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足%+2出+…+2"”"=〃-2",記數(shù)列｛為-例｝的

前〃項(xiàng)和為J,若"<小對(duì)任意的〃cN*恒成立，則實(shí)數(shù)（的取值范圍是（）

~12111f12111「1110]（H10、

Lil10J111iojL109JUo9）

3.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為外在%,出之間插入1個(gè)數(shù)，

使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記公差為4,在。2通之間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為《，…，

在%,之間插入〃個(gè)數(shù)，使這”+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為力，貝U（）

A.當(dāng)0<?<1時(shí)，數(shù)列｛4,｝單調(diào)遞減B.當(dāng)4>1時(shí)，數(shù)列｛力｝單調(diào)遞增

c.當(dāng)4>《時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減D.當(dāng)4<%時(shí)，數(shù)列｛",｝單調(diào)遞增

4.（2023秋?江蘇無(wú)錫?高三統(tǒng)考期末）已知一個(gè)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和、前2〃項(xiàng)和、前3〃項(xiàng)和分別為尸、。、尺,

則下列等式正確的是（）

A.P+Q=RB.Q2=PR

C.｛P+Q）-R=Q1D.尸2+Q2=P（Q+R）

5.（2023?江蘇揚(yáng)州?校考二模）已知S"是數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和，且6=%=1，%=2a,i+3%_2（"23）,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛%-%+J為等比數(shù)列B,數(shù)列｛。"+1+2%｝為等比數(shù)列

CS40=&J）D.J+「廣

二、多選題

6.（2023?江蘇南通?三模）1979年，李政道博士給中國(guó)科技大學(xué)少年班出過(guò)一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,

怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺(jué)，準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來(lái),先吃掉1個(gè)桃子，然后將其

分成5等份，藏起自己的一份就去睡覺(jué)了;第2只猴子又爬起來(lái)，吃掉1個(gè)桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自

己的一份睡覺(jué)去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問(wèn)最初至少有多少個(gè)桃子?最后至少剩下多少個(gè)桃子?”.

下列說(shuō)法正確的是（）

A.若第”只猴子分得6“個(gè)桃子（不含吃的），則5,=4加-1（〃=2,3,4,5）

B.若第〃只猴子連吃帶分共得到％個(gè)桃子，則｛a?｝（n=1,2,3,4,5）為等比數(shù)列

C.若最初有3121個(gè)桃子，則第5只猴子分得256個(gè)桃子（不含吃的）

D.若最初有左個(gè)桃子，則上+4必有5,的倍數(shù)

7.（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長(zhǎng)的整數(shù)數(shù)列.隨著項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大，其后一項(xiàng)與

前一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比.白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有

關(guān)系.記佩爾數(shù)列為｛%｝,且。i=0,a2=l,an+2=2an+1+an.則（）

A.旬,=985B.數(shù)列用-%｝是等比數(shù)列

c.="［（行+1）1_（_拒+1）"-1D.白銀比為亞+1

8.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）在□/“紇Q（“=1,2,3,…）中，內(nèi)角4,4C,的對(duì)邊分別為%也,C,,UAnBnCn

的面積為若?！?5,4=4,%=3,且加2=人；2c「,.JW：,則（）

A.口4AG一定是直角三角形B.｛s.｝為遞增數(shù)列

c.｛s“｝有最大值D.也｝有最小值

9.（2023?江蘇南通?江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí),

發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,....該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)

起,每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛”,｝稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將｛見(jiàn)｝中

的各項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來(lái)的順序構(gòu)成的數(shù)列記為｛4｝,數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為￡,數(shù)列｛￡｝的前n

項(xiàng)和為北，下列說(shuō)法正確的是（）

A.^2022=1348B.511000=fl1002—

C.若*=2022,則“=3033D.a；+④+a；H—+a；。。=a500a501

10.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，羽“是圓o：/+/=/

上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，々是的中點(diǎn)，且滿足西;.啊+2函2=o（〃eN*）.設(shè)％,N”到直線

/：6x+y+”2+〃=0的距離之和的最大值為巴,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.向量加“與向量函"所成角為120。

D-若〃=黑，則數(shù)列7J]，-J的前〃項(xiàng)和為「‘

11.（2022秋?江蘇泰州?高三江蘇省泰興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列｛4｝中，已知。是首項(xiàng)為1,

公差為1的等差數(shù)列，％?！埃??！?1--，/。（用）是公差為詭'的等差數(shù)歹!],其中〃€^4*,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)d=l時(shí)，a2Q=20B.若%0=70,則d=2

C.若%+%+L+。20=320,則1=3D.當(dāng)0<d<l時(shí)，a10（n+1）<

12.（2022秋?江蘇鹽城?高三鹽城市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5,

%=。，。,+1=ln（e""+2）-%,（〃eN*）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

a?_]<eN*,

A.2a2nB.存在〃使得%=ln2

C.邑叱<22°22D.｛%,/是單調(diào)遞增數(shù)列，｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)列

13.（2022秋?江蘇南京?高三期末）對(duì)于伯努利數(shù)B，GeN）,有定義：穌=1,紇=￡c㈤（九.2）.則（）

左=0

A.與=—B.a=

26430

C.D.%+3=0

14.（2022春?江蘇蘇州?高三江蘇省蘇州第十中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛與｝首項(xiàng)q>1,公比為g,

前〃項(xiàng)和為S",前"項(xiàng)積為。,函數(shù)/（x）=x（x+%）（x+%）…（尤+。7），若/'（。）=1，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.｛1g%｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

B.0<^<1

c.1s“一言，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列

D.使得雹>1成立的〃的最大值為6

15.(2023?江蘇鹽城?鹽城中學(xué)一模)十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托

三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0,1]均分為三段，

去掉中間的區(qū)間段&,|)記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間0,；,1,1分別均分為三段，并各自

去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：L；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均

分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若

第〃次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度記為。(〃)，則()

A.=1~B.ln[^(n)]+l<0

(p(n)2

C.9(")+9(3")>2。(2〃)D.n2(p(n)<64^(8)

16.(2023-江蘇蘇州?校聯(lián)考三模)若數(shù)列｛aj滿足：對(duì)任意的〃eN*(?23),總存在z.eN*,使

a,1=ai+aJ(i^j,i<n,j<n),則稱｛?！埃恰霸聰?shù)列”.則下列數(shù)列是“尸數(shù)列”的有()

2

A.an=277B.an=n

17.(2023秋?江蘇南京?高三南京市第十三中學(xué)?？计谀?已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為"，

a1

且邑=才+丁，則()

2

A.代｝是等差數(shù)列B.S?+Sn+2<2Sn+l

c1,

c.a〃+i>Q〃D.Sn~—>\nn

18.(2023?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))設(shè)〃N2,weN*.若qe｛0』。=1,2,…，則稱序列(q,R,…,c.)是長(zhǎng)度為

〃的0—1序列.若%=6+c?+…+c“，bn=+a2c2+-■■+ancn,貝l]()

A.長(zhǎng)度為"的0—1序列共有2"個(gè)B.若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則"=/

C.若數(shù)列也,｝是等差數(shù)列，則%=0D.數(shù)列｛2｝可能是等比數(shù)列

19.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列｛%｝中，當(dāng)且僅當(dāng)〃=7時(shí)，S,,僅得最大值.記數(shù)列

n

的前左項(xiàng)和為q,（）

A.若S6=\,則當(dāng)且僅當(dāng)上=13時(shí)，4取得最大值

B.若凡<s，則當(dāng)且僅當(dāng)先=14時(shí)，7；取得最大值

C.若英>》,則當(dāng)且僅當(dāng)左=15時(shí)，取得最大值

D.若立?eN*,S“=0,則當(dāng)上=13或14時(shí)，7取得最大值

20.（2023春?江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知｛為｝是等比數(shù)列，公比為心若存在無(wú)窮多

個(gè)不同的"，滿足%+2=\4。用,則下列選項(xiàng)之中，可熊或文的有（）

A.q>。B.夕<0

C.H>1D.H<1

21.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這

樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長(zhǎng)將數(shù)列1、2進(jìn)行“美好成長(zhǎng)”，第一次得到數(shù)列1、2、2；第二次

得到數(shù)列1、2、2、4、2；L；設(shè)第〃次“美好成長(zhǎng)”后得到的數(shù)列為1、X］、X?、L、x無(wú)、2,并記

%=log2（lxX］XX2X…x/x2）,貝I］（）

A.電=5B.k=2"+\

C.??+1=3??-1D.數(shù)列［工］的前〃項(xiàng)和為:-與J

Vanan+\J25+1

22.（2022秋?江蘇連云港?高三江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛a?｝滿足q=1,。角=甘=,

1+a”

記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，貝I（）

A.｛版:｝是等差數(shù)列B.任意的〃eN*,an>an+l

439

C.----不</oo<---------D.3<Sloo<一

101210051x1011002

23.（2023春?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,且S.+a“=l對(duì)

于恒成立，若定義S「=S",S,⑻=久曠”（心2）,則以下說(shuō)法正確的是（）

?=1

A.｛%｝是等差數(shù)列

D,存在”使得E,（血）=4為

"(1+1)!

三、填空題

24.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考期中）記S"為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知對(duì)任意的〃eN*,q,+an+l=2n+l,

且存在此N*,&=52=210,則為的取值集合為（用列舉法表示）

25.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用g（"）表示自然數(shù)”的所有因數(shù)中較大的那個(gè)奇數(shù),

例如9的因數(shù)有1,3,9,則g（9）=9；10的因數(shù)有1,2,5,10,則如10）=5,那么

g⑴+g（2）+g⑶+-+g（22018-l）=.

26.（2023春?江蘇南通?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）“0,1數(shù)列”是每一項(xiàng)均為?；?的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣

泛.設(shè)A是一個(gè)“0,1數(shù)列”，定義數(shù)列/（/）：數(shù)列A中每個(gè)0都變?yōu)椤?,0,1”，A中每個(gè)1都變?yōu)椤?,1,

0”,所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列A：1,0,則數(shù)列〃⑷：0,1,0,1,0,1.已知數(shù)列4：1，0,1,0,1,

記數(shù)列4+1=/（4）,k=i,2,3,則數(shù)列4的所有項(xiàng)之和為.

四、雙空題

27.（2022秋?江蘇鹽城?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛a“｝滿足％=出=|,%+2=%+2x3"（〃eN*）,且

“=%,+*（"6*）.則數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為.若=則數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)

28.（2023春?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州市新華中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如

圖是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形四條邊的

三等分點(diǎn)上.設(shè)外圍第一個(gè)正方形4月的邊長(zhǎng)為1,往里第二個(gè)正方形為482c2。2,…，往里第”個(gè)正

方形為4462.那么第7個(gè)正方形的周長(zhǎng)是,至少需要前個(gè)正方形的面積之和超過(guò)

2.（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477）.

4A2B、

29.（2023春?江蘇南京?高三校聯(lián)考期末）最早的數(shù)列從何而來(lái)，也許結(jié)繩記事便是人類最早跟數(shù)列打交道

的樸素方式，人類所認(rèn)識(shí)并應(yīng)用于生活、生產(chǎn)的第一個(gè)數(shù)列便是自然數(shù)列現(xiàn)有數(shù)列｛風(fēng)｝滿足：第一項(xiàng)是2°，

接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°，2J再接下來(lái)的三項(xiàng)是2°，2、于，依此類推，記A為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.則S45=,

當(dāng)”>200時(shí)，若存在“7€N*）,使得s“=2”+l,則加+”的最小值為.

n=2k-1

30.（2023秋?江蘇?高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%｝、｛，｝滿足〃=其中左eN*,{2}是公比

n=2k

a,,

為詢等比數(shù)列，則￡=——（用麻示）；若…=24,則夕——

參考答案

一、單選題

1.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，%=1,若對(duì)任意正整數(shù)"，Sn+1=-3a?+1+a?+3,

S“+%>(-l)"a,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.B.‘I,l")C.12,*|)D.(-2,3)

【答案】C

【詳細(xì)分析】根據(jù)?！芭cS”的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的概念可得進(jìn)而可得q,=*,然后結(jié)合條

件可得y+?！?3-然后分類討論即得.

【過(guò)程詳解】因?yàn)镾〃+I=-3%+%+3,%=1

,,3

當(dāng)拉=1時(shí)，S2=-3a2+q+3,解得％=1，

當(dāng)〃22時(shí)，Sn=-3an+an_x+3(/22),則an+i=-3an+l+4%-an_x,

2aa

即n+\~n=g(2%一?！?1)，又2a2一%=；，

所以｛20m-%｝是首項(xiàng)為g,公比為g的等比數(shù)列，

所以則2"(川-2%=1,又2%=2，

所以｛2"%｝為首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，

n+1

則2〃%=〃+1,則氏=-^,

所以S〃+i+"〃+i=-2-^^+^^-+3=3-^,又S]+%=2=3一擊，

則S.+?！?3—3￡N*),又S,+為〉(-1)”〃，

所以3-J>(T)〃〃，

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，3->-a,而3-白■1,則2>-。，解得。>一2；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，3-擊〉〃，而3-擊之|,則。弓；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

故選：C

【名師點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)名師點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后通過(guò)討論結(jié)

合數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題即得.

2.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛5｝滿足%+2&+…+2"%"=〃-2”,記數(shù)列｛g-例｝的

前〃項(xiàng)和為S,，若$“《百。對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

「12111f12111「1110](1110、

Lilioj111iojL109JU09)

【答案】A

【詳細(xì)分析】利用退一作差法求得?！埃蟮肧”的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得f的取值范圍.

【過(guò)程詳解】由4+2?+…+2"T%=〃?2",

當(dāng)〃=1時(shí)，%=2,

1

當(dāng)”22時(shí)，由％+2a2H----F2"'%,2"得%+2a2H-----F2"-an_}=(〃-1)?2",

兩式相減并化簡(jiǎn)得a?=M+l(w>2),

也符合上式，所以％=〃+1,

令a=an-tn=n+\-tn=(\-t^n+\,

*「2=(17)("+1)+1-[(1-。"+1]=1一為常數(shù),

所以數(shù)列也｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)4=27,

f-r-.,.2-(+(1-7)”+1\-t23-t

所以Sc.=---------------------xn=-----n+-----

〃222

3T

對(duì)稱軸為F3-t,

n=-------=---------

1-t2-2/

由于S“Wdo對(duì)任意的〃￡N*恒成立，

所以2,解得?"老,

9.54-口〈10.51110

I2-2/

"12H-

所以才的取值范圍是.

故選：A

｛S],n=l

【名師點(diǎn)評(píng)】與前〃項(xiàng)和有關(guān)的求通項(xiàng)的問(wèn)題，可考慮利用“退一作差法”來(lái)進(jìn)行求解，和%二°c

類似.求解等差數(shù)列前〃項(xiàng)和最值有關(guān)的問(wèn)題，可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解.

3.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）己知數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,在可，電之間插入1個(gè)數(shù)，

使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記公差為4,在生之間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為

在角之間插入"個(gè)數(shù)，使這"+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為4,則（）

A.當(dāng)0<q<l時(shí)，數(shù)列｛"“｝單調(diào)遞減B.當(dāng)“1時(shí)，數(shù)列｛"“｝單調(diào)遞增

C.當(dāng)《時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減D.當(dāng)4時(shí)，數(shù)列｛"“｝單調(diào)遞增

【答案】D

【詳細(xì)分析】根據(jù)數(shù)列｛4,｝的定義，求出通項(xiàng)，由通項(xiàng)討論數(shù)列的單調(diào)性.

【過(guò)程詳解】數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為4>0,

由題意見(jiàn)+1=%+（?+1）4，得dn=巴旦二%=,

n+\n+1

0<"l時(shí)，…,有-^二與一<1,dn+l>dn9數(shù)列⑷單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ann+2

g>l時(shí)，4>0,餐=幽坐，若數(shù)歹|J｛Z｝單調(diào)遞增，則幽土D>i,即,由〃eN*,需要

故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

《時(shí)，%（"-1）>“闖（4-1）,解得i<<3,

~232

4>1時(shí)，力>0,由編=虱萼，若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，則迎力<1，即［<安=1+工，而1<?<|

不能滿足<7<1+&（〃€?4*）恒成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

時(shí)，%（,）<%"（,）,解得0<4<1或"|,由AB選項(xiàng)的解析可知，數(shù)列｛幺｝單調(diào)遞增，D

選項(xiàng)正確.

故選：D

【名師點(diǎn)評(píng)】思路名師點(diǎn)評(píng)：此題的入手點(diǎn)在于求數(shù)列｛",｝的通項(xiàng)，根據(jù)《的定義求得通項(xiàng)，再討論單調(diào)

性.

4.（2023秋?江蘇無(wú)錫?高三統(tǒng)考期末）已知一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和、前3n項(xiàng)和分別為P、Q、R，

則下列等式正確的是（）

A.P+Q=RB.Q2=PR

C.(P+Q)-R=Q2D.P2+Q2=P(Q+R)

【答案】D

【詳細(xì)分析】主要考察等比數(shù)列的性質(zhì)，字母為主，對(duì)學(xué)生的抽象和邏輯思維能力要求比較高。

2n

a}(\-q

【過(guò)程詳解】當(dāng)gwi時(shí)，P=,Q=,R=

i-qi-ql-q

當(dāng)q=1時(shí)，P=na、,Q=2nax,R=3〃/

Ina(2-q"-q2"-/〃

%(1一夕ax(1一0}ax

對(duì)于A,當(dāng)#1時(shí),P+Q=w―=R

l-qi-q

故A錯(cuò),

對(duì)于B,當(dāng)q=l時(shí),Q2=4n2afc3n2a^=PR,故B錯(cuò),

對(duì)于C,當(dāng)q=l時(shí),(P+Q)-R=+2"%-3"0]=0w4〃,；=Q2,故C錯(cuò),

22

對(duì)于D,當(dāng)4片1時(shí),?""=矢口3+5小*3T-M+2),

P(0+R)=?！?蘆,/“)+"尸-2g"+2),

\-q1-q\-qQ-q)

當(dāng)g=1時(shí)，P2+Q2="1；+4/a；=P(Q+R)

則尸2+。=尸(0+/),故選項(xiàng)D正確,

故選：D

5.(2023?江蘇揚(yáng)州??？级?已知S”是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，且％=%=1,%=2al+3?！耙?(/?>3),則

下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛?！?。,向｝為等比數(shù)列B.數(shù)列｛。川+2%｝為等比數(shù)列

C.邑。=*2T3”一+(-1廣

D-an

2

【答案】D

【詳細(xì)分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出q-&=0,故｛%-%+J不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤;

774

B選項(xiàng)，計(jì)算出｛。角+2%｝的前三項(xiàng)，得到;中三，B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，由題干條件得到%+*=3（%+《_2），故｛4用+%｝為等比數(shù)列，得到%+%=2x3"T,故

*—1

。2+=2,%+。3=2X32,。40+。39=2x3”，相加即可求出邑0=--—,C錯(cuò)誤;

最后求出?勺匚

D選項(xiàng)，在%+1+%=2x31的基礎(chǔ)上，分奇偶項(xiàng)，分別得到通項(xiàng)公式,

【過(guò)程詳解】由題意得:牝=2%+3q=5,&=2g+32=10+3=13,

由于％-電=。，故數(shù)歹％討｝不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；

貝。a2+2q=1+2=3,a3+2tz2=5+2=7,a4+2a3=13+10=23,

7

由于1W三，故數(shù)列｛。向+2。"｝不為等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；

“23時(shí)，=2%+3%_2，即?！?%=3（?！?1+%），

又4+%=1+1=2,

故｛%+1+?！ǎ秊榈缺葦?shù)列，首項(xiàng)為2,公比為3,

故%+I+%=2X3〃T,

2

故。2+4=2,a4+a3=2x3,...,。40+。39=2x3,

1_&40o40_1

2438

以上20個(gè)式子相加得：S40=2X(1+3+3+---+3)=2X-——=----C---錯(cuò)誤;

因?yàn)?。?1+%=2x3"-,所以氏+2+%+1=2x3",兩式相減得:

%+2_%=2X3"_2X3"T=4x3".,

2A5

當(dāng)"=2上時(shí)，出丘-。2*-2=4*3”T,a2t2-a2k_4=4x3-,........,%-%=4x3,

a[2左一i[2左一i1

以上式子相力口得：出上一W=4x（3+下+…+32k-3）=4x；\.

224-1_&&2左-1_1&2左-1_1

故電左=二萬(wàn)二+電=三二，而〃2=1也符和該式，故七二，

令2』得：a二士1丁+",

"22

aaa=4x321,

當(dāng)〃=2k_1時(shí),2k-l~2k-3=4x3，a2k-3~2k-5ax=4x3°,

以上式子相加得：&I-%=4x(3?J+32*-6+…+3。)=4x=*二!■,

故01=^———-而%=1也符號(hào)該式，故每1=^—--

Z/t11Z./V1

令2左-1=〃得：a“J'+；T)",

綜上：0=3"-'+(-1)”',口正確.

"2

故選：D

【名師點(diǎn)評(píng)】當(dāng)遇到4=〃")時(shí)，數(shù)列往往要分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別求出通項(xiàng)公式，最后再檢驗(yàn)?zāi)?/p>

不能合并為一個(gè)，這類題目的處理思路可分別令〃=2k-1和〃=2左，用累加法進(jìn)行求解.

二、多選題

6.(2023?江蘇南通?三模)1979年，李政道博士給中國(guó)科技大學(xué)少年班出過(guò)一道智趣題:“5只猴子分一堆桃子,

怎么也不能分成5等份,只好先去睡覺(jué)，準(zhǔn)備第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起來(lái),先吃掉1個(gè)桃子，然后將其

分成5等份，藏起自己的一份就去睡覺(jué)了;第2只猴子又爬起來(lái)，吃掉1個(gè)桃子后,也將桃子分成5等份,藏起自

己的一份睡覺(jué)去了;以后的3只猴子都先后照此辦理.問(wèn)最初至少有多少個(gè)桃子?最后至少剩下多少個(gè)桃子?”.

下列說(shuō)法正確的是()

A.若第n只猴子分得“個(gè)桃子(不含吃的)，則5b,=4%-1(〃=2,3,4,5)

B.若第〃只猴子連吃帶分共得到a?個(gè)桃子，則｛g｝(〃=1,2,3,4,5)為等比數(shù)列

C.若最初有3121個(gè)桃子，則第5只猴子分得256個(gè)桃子(不含吃的)

D.若最初有左個(gè)桃子，則左+4必有5$的倍數(shù)

【答案】ABD

【詳細(xì)分析】設(shè)最初有G個(gè)桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為。2，。3-5，。6,則

14

C“=c?-1-l--(c?.1-l)=22),若第〃只猴子分得4個(gè)桃子(不含吃的)，則

6向=5。"-1),/>?=1(c?.1-l)(?>2),根據(jù)?！芭c關(guān)系即可判斷A的正誤;由A構(gòu)造等比數(shù)列即可判斷B的

正誤;根據(jù)B求出數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式，將G=3121代入求解即可判斷C;根據(jù)題意，

%+%+生+4+。5+44=左,又｛g｝(〃=1,2,3,4,5)為等比數(shù)列,判斷。的正誤.

【過(guò)程詳解】設(shè)最初有q個(gè)桃子，猴子每次分剩下的桃子依次為C2，，。4，。5，，則

14

C.=*-1-不(*T)=](*-1),(〃22),

若第n只猴子分得“個(gè)桃子(不含吃的)，則

%=]T)也T*T)("22),

所以%=》7)=如「=y("卬

即53=46,T-1(〃=2,3,4,5)，故A正確；

由A,5〃=4%-1("=2,3,4,5),

則5(4+1)=4(如+1),

即{4+1}(”=1,2,3,4,5)是等比數(shù)列，

若第n只猴子連吃帶分共得到冊(cè)個(gè)桃子，則a?=也,+1,

所以{%}(〃=1,2,3,4,5)是以g為公比的等比數(shù)歹！J,故B正確.

由B知,也+1}(〃=1,2,3,4,5)是等比數(shù)列，

所以3.($聯(lián)

若最初有3121個(gè)桃子，即q=3121,

所以么=「2；+4＞圖-1=255,故C錯(cuò)誤；

木艮%+2+。3+。4+。5+4b5=4+2+。3+。4+。5+4(牝一］)=左,

因?yàn)閧%}(〃=1,2,3,4,5)以I為公比的等比數(shù)列，

、41-?5-

所以％+。2+。3+。4+。5+43-1)=-----7+4a5-4=左，

一1--

4

化簡(jiǎn)得后+4=詈55,

因?yàn)椋デ遥檎麛?shù),

所以爭(zhēng)EN*,

即4+4必有55的倍數(shù)，故D正確.

故選:ABD.

7.（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長(zhǎng)的整數(shù)數(shù)列.隨著項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大，其后一項(xiàng)與

前一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比.白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有

關(guān)系.記佩爾數(shù)列為｛4｝,且q=0,a2=l,an+1=2an+l+an.則（）

A.?10=985B.數(shù)列｛。用-q,｝是等比數(shù)列

,,-1

C.an=^[（V2+l）-（-V2+1）"-']D.白銀比為亞+1

【答案】ACD

【詳細(xì)分析】由遞推公式得出生。，即可判斷A；計(jì)算出-%,a3-a2,a4-a3,由等比數(shù)列的定義即可判

斷B；設(shè)數(shù)列｛。,用+ZJ是公比為q是等比數(shù)列，求出q和左的值，得出％,即可判斷C：由通項(xiàng)公式得出

—,化簡(jiǎn)后根據(jù)白銀比的定義，求出白銀比即可判斷D.

%+i

【過(guò)程詳解】對(duì)于A：因?yàn)椤?=2,%=5,a5=12,a6=29,a7=70,as=169,a9=408,ai0=985,

故A正確;

對(duì)于B：因?yàn)閛3-a2=1,a4-a3=3a3-a2,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：設(shè)數(shù)列｛。用+總｝是公比為9是等比數(shù)列，則%+2+總+1=9（%+1+做），

q—k=2

所以%+2=（9一后）%+i+2〃，所以

qk-1

k=-\+41k=-1-y/2

所以或?

q=1+V2q=1—V2

%=-1+叵

當(dāng)時(shí)，+(—1+=1x(1+V2)/z1,

g=1+V2

k=—1—V2r—r—

*1

當(dāng)「時(shí)，^+1+(-i-V2x=ix(i-V2r,

q=1-J2

n-1

解得an=^[(V2+l)-(-V2+1)"—],故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)橥?(亞+1嚴(yán)-(-及+1嚴(yán)

(V2+iy-(-V2+iy,

??+i

(V2+1)(|^y-(-V2+1)x(z1±ir

V2+1

V2+1

夜+1-(-拒+l)>(-3+2揚(yáng)”

1-(-3+2物"

]_(_3+2行產(chǎn)

1-(-3+2揚(yáng)"

因?yàn)?3+28e(-l,0),

所以當(dāng)時(shí)，（-3+2后）"-0,—^V2+l,故D正確，

an+\

故選：ACD.

8.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）在口4AG（〃=1,2,3,…）中，內(nèi)角4,，紇,C”的對(duì)邊分別為見(jiàn)也,4,0^5?C?

的面積為S,,若?！?5,4=4,q=3,且%：=a『；2c/，c向'?！付　愔ǎ?/p>

A.口4紇G一定是直角三角形B.｛凡｝為遞增數(shù)列

C.｛s“｝有最大值D.也｝有最小值

【答案】ABD

【解析】先結(jié)合已知條件得到%2+C--25=；（42+C“2-25）,進(jìn)而得到6“2+的2=25=%2,得A正確，再利

用面積公式得到遞推關(guān)系4S"/=T+S.2,通過(guò)作差法判定數(shù)列單調(diào)性和最值即可.

64

【過(guò)程詳解】由加\匕叱，C「=色二絲:得，&：+的/=41等+空笠=3?！?（佃2+屋）

=^+3（a2+c〃2）,故+c〃+；-25=；也；+%2-25）,

又b；+C]2_25=0,."J+cJ—25=0,.?.勿2+的2=25=42,故口白紇Q一定是直角三角形,A正確;

%2+2C/Q/+2”2_44+2（1+°〃2）%2+物2婚

□4紇C,的面積為S“=：6,c“，而%方用2

4*4—16

a2222

n+2（b：+c：）an+4bncn_1875+16S?_1875?2

故4S2=%22

-'〃+101+10”+1=—f6—F+S'

故%—/=%+葭-/噌-笠，

"+i"644"644

又S-b“c”JJ+c:二竺（當(dāng)且僅當(dāng)6迪時(shí)等號(hào)成立）

n2nn44nn?

，S“+；-S"2=等-軍20,又由4=4,6=3知￡人“不是恒成立，即故S向＞S“，故｛s"｝為

644

遞增數(shù)列，｛sj有最小值H=6,無(wú)最大值，故BD正確，C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【名師點(diǎn)評(píng)】本題解題關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系得到25=gM+c“2-25）,進(jìn)而得到bj+cj=25=%2,

再逐步突破.數(shù)列單調(diào)性常用作差法判定，也可以借助于函數(shù)單調(diào)性判斷.

9.（2023?江蘇南通?江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí),

發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)

起,每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛%｝稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將｛%｝中

的各項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來(lái)的順序構(gòu)成的數(shù)列記為｛"｝,數(shù)列包,｝的前n項(xiàng)和為S"，數(shù)列上｝的前"

項(xiàng)和為[，下列說(shuō)法正確的是（）

A.品22=1348B.S]0O0=々002—1

C.若北=2022,則〃=3033D.〃；+a；+a；+…+吮='=501

【答案】ABD

【詳細(xì)分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征得出數(shù)列也｝為1,1,0,1,1,0,L,再利用數(shù)列｛a｝的周期性

可得出選項(xiàng)A和C的正誤，利用波那契數(shù)列的特征，可判斷出選項(xiàng)B和D的正誤.

【過(guò)程詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征可以看出，數(shù)列｛4｝為依次連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，

所以數(shù)列也｝為1,1,0,1,1,0,L,則數(shù)列也｝為周期數(shù)列，且周期為3,

選項(xiàng)項(xiàng)A,因?yàn)椋?22=（1+1+0）x674=1348,故選項(xiàng)A正確;

選項(xiàng)B,因?yàn)镾1000=%+。2+…+。999+々000=。3一。2+。4一+.??+。1001一1000+。1002一^1001=^1002一。2="1002一，

故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,因?yàn)?022=（1+1+0）x1011,1011x3=3033,且既3i=l，既32=1，既33=。，

所以"=3033或"=3032,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

-

選項(xiàng)D,因a；+a；+a]+L+a；0g=%與+a；+-\------F<7500

/\2222

=〃2（Q]++,,?+。500=出生++','+。500

=…=a499a500+。500=。500。501，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

10.（2022秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，"是圓O：/+/="2

上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，只是的中點(diǎn)，且滿足。加jON“+2O7f=0（〃eN*）.設(shè)此,乂到直線

/：6工+>+"2+"=0的距離之和的最大值為°",則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.向量萬(wàn)萬(wàn)”與向量方▽”所成角為120。

B.礫卜〃

2

C.an=n+2n

D-若"=2，則數(shù)列｛（2J]-f｝的前"項(xiàng)和為1一,

【答案】ACD

【詳細(xì)分析】對(duì)于A,用西;與西;表示函，結(jié)合給定向量等式計(jì)算判斷；對(duì)于B,求出|可|的值即可

判斷；對(duì)于C,

轉(zhuǎn)化為點(diǎn)勺到直線/距離最大值并計(jì)算判斷；對(duì)于D,求出數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)，代入并利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算判

斷作答.

【過(guò)程詳解】依題意，|西H西1=〃，而點(diǎn)只是弦的中點(diǎn)，則函=；（即+西），

2

OP?=-（OM?+2OMn-ONn+ONn）=-n+-OMn-ONn,^OMnONn+2OPn=0,

______1,-------——.OM-ON1_________

于是得。監(jiān)?ON"=「"2,ces9M”,ON“>=；-=即〈。陷10M〉=120。，A正確；

2\OMn\-\ON,,|2

——?-----?1

顯然口。此乂是頂角/%。乂=120。的等腰三角形，則L|=|OMJCOS600=5〃，B不正確;

依題意，點(diǎn)M到直線/：+y+"2+〃=0的距離之和等于點(diǎn)P?到直線/距離的2倍，

由知，點(diǎn)匕在以原點(diǎn)。為圓心，3"為半徑的圓上，則點(diǎn)匕到直線/距離的最大值是點(diǎn)。到直線/

的距離加上半徑;〃，

.\n2+n\n2+nM

而點(diǎn)。到直線/距離d=