2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：拓展拔高-指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

拓展拔高2-指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算?專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

基礎(chǔ)鞏固練

/8+3

1.[2024?瓊海模擬](5)=().

A.9B.-C.3D.—

99

2.[2024?綿陽模擬]設(shè)a=log94,則3a的值是().

A.1B.2C.4D.9

3.[2024?河南模擬]已知函數(shù)f(%)=膘泮:：<L則/(/⑴)=().

A.-4B.-2C.2D.4

4.[2024?天津模擬]已知2a=5,log83=b,則3b=(

5

2弓D-

A.25B.5C.-3

9

b貝n.

5.[2024?陜西模擬]若a>0且aW1,log3a=61og4a=c,J

dlog23=().

1

D-

A.2B.-C.33

2

6.已知實(shí)數(shù)Q,m,九滿足3a=m,(2A/3)=n,a=|log2(27n+n),則2=().

A.2B.-C.3D.-

23

7.[2024?大連模擬]若實(shí)數(shù)a,b滿足4a+log3a=8匕+31og27b,貝!J().

A.a<——B.a>——C.a>b3D.a<b3

22

8.[2024?河南聯(lián)考]若函數(shù)/(%)=ln("G—￡)為奇函數(shù)，則/(0)+/⑴=

().

A.0B.ln(V2-1)C.ln(V2+1)D.In2

綜合提升練

9.(多選題)已知正數(shù)％,y,z滿足3*=獷=12Z,則().

Ill

A.~~=~B.6z<3%<4yC,xy<4z2oD.x+y>4z

10.(多選題)下列結(jié)論正確的是().

A.e3+e5>e3-e5B.1g3+1g5>3-1g5

1T7T

C.2"+6>3"?5D.log310+log510>log310-log510

ln

11.e3_8U+log^+i"=

12.已知實(shí)數(shù)a,b滿足4。+2a=3,log2V3b+1+b=|,則a+|b=

應(yīng)用情境練

13.[2024?鄭州模擬]地震釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間

的關(guān)系式為lgE=4.8+1.5M.若2地發(fā)生7.8級地震,它所釋放出來的能量為Er

B地發(fā)生4.6級地震，它所釋放出來的能量為多,則當(dāng)是%的倍.

14.[2024?文昌預(yù)測]熒光定量PCR是一種通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)

增進(jìn)程中呈指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測的方法.在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，

當(dāng)熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，DNA的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)律滿足lgX^nlg(1+

p)+lgX0,其中X。為DNA的初始數(shù)量，p為擴(kuò)增效率.已知某被測標(biāo)本DNA擴(kuò)增6

1

次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，則擴(kuò)增效率p約為參考數(shù)據(jù)：10E?

1

2.154,101x1,778)

創(chuàng)新拓展練

15.[2024-宜賓模擬]音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音l(do)的音階頻率為

f,則簡譜中七個(gè)音l(do),2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(si)組成的音

階頻率分別是/,",%打,",爭,粵/,其中后一個(gè)音階頻率與前一

8643216128

個(gè)音階頻率的比值是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階.上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值，

記為a，隊(duì)a>B),a稱為全音，0稱為半音，則lga5+1g-lg2=

16.(2024.九省適應(yīng)性測試)離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素?cái)?shù)，集合

若M,vGX,/nCN,記為uv除以p的余數(shù)，產(chǎn)③為除以"的余

數(shù);設(shè)aGX,l,a,a2,0,...,aP2?兩兩不同，若4念=帥￡{0,1,…,p-2}),則稱n是以a為

底b的離散對數(shù)，記為n=log(p)?Z?.

(1)若p=ll,a=2,求成-1，取

(2)對mi,m2G{0,l,...p2},記mi十m2為nzi+儂除以p-1的余數(shù)(當(dāng)mi+mi能被p-1

整除時(shí),"21十機(jī)2=0).證明：log(p)a(Z?0C)=log(/?)aZ??log(p)aC,^中b,CGX.

(3)已知〃=log(/7)a。.對x￡X,kG{12...,-2},令〉1=淤@,〉2=》(8)/軟證

明:X="豺產(chǎn)2)⑨

注:一般地，設(shè)n為正整數(shù),a和b為整數(shù)，如果。和6被〃除后余數(shù)相同，那么稱a

和6模〃同余，記作am(mod〃).例如,12與-6被9除后余數(shù)均為3,所以12=-6(mod

9).

拓展拔高2-指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

基礎(chǔ)鞏固練

/8+3

1.［2024?瓊海模擬］(篇)=(B).

A.9B.-C.3D.二

99

［解析］償廣3=給。+3=g"-3嚴(yán)3=3(夕-3)(g+3)=3-2=、故選艮

2.［2024-綿陽模擬］設(shè)a=log9%則3a的值是(B).

A.1B.2C.4D.9

［解析］由a=logg%得9。=4,即32Q=4,所以3。=2.故選B.

3.［2024?河南模擬］已知函數(shù)/(%)=憎j<1'則/(/⑴)=(B).

A.—4B.—2C.2D.4

［解析］:/⑴=4-2=%.?.f(/⑴)=fG)=10g25=-2.故選B.

4.［2024?天津模擬］已知2a=5,log83=b,則3b=(C).

2S5

A.25B.5C.-D.-

93

［解析］因?yàn)?a=5,b=log83=^log23,即23b=3,所以4a-3b=葛==

34V2)

與=空.故選c.

329

5.［2024?陜西模擬］若a>0且a工l,log3a=b,log4a=。，且6=cd,則

dlog23=(A).

-1i

A.2B.-C.3D.-

23

［解析］由題意得d--=譬之=警畤=log34,所以dlog23=log34xlog23=

clog4alog。？

皿=士=2.故選A.

log32log32

6.已知實(shí)數(shù)a,nt,九滿足3a=TH,(2百)0=n,a=：log2(27n+ri),則:=(A).

ii

A.2B.-C.3D.-

23

［解析］由題意得3a=m,12a=n2,

由a=|log2(2m+n),得2a=log2(2m+n),化簡得2?。=2m+n,即4a=

2m+n.

因?yàn)?ax4。=12。，所以7n(27H+n)=n2,即(2zn—n)?(m+n)=0.

由指數(shù)函數(shù)的值域可得m>0,n>0,所以幾=2m,即巴=2.故選A.

m

7.［2024?大連模擬］若實(shí)數(shù)Q乃滿足4Q+log3Q=8b+31og27b,貝lj(A).

A.a<—B.a>—C.a>b3D.a<b3

22

［解析］由題意知，a>0,b>0.

a2ab3b

?.?4=2,8=29310g27b=log3b,:.22a+log3a=23b+jOg3/)>

3b3b

???22a_|_iOg3(I+iog32=2+log3b+log32,即22a_|_jOg32a=2+log32b.

???y=log3%在(0,+8)上單調(diào)遞增，???log32b<log33b,

???22a_|_jOg32a<23b+log33b.

X

設(shè)f(%)=2+log3x,則f(2a)<f(3b).

?.?y=2%與y=log?久在(0,+8)上單調(diào)遞增，f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，??.

2a<3b,即a<F?故選A-

8.［2024?河南聯(lián)考］若函數(shù)/(%)=皿值不^一%)為奇函數(shù)，則/(0)+/⑴=

(B).

A.0B.ln(V2-1)C.ln(V2+1)D.In2

［解析］/(—%)=In(J(-+a+%)=ln(V%2+a+%),

因?yàn)?(%)為奇函數(shù)，所以/(%)+/(—％)=0,?pln(Vx2+a—%)+

ln(Vx2+a+%)=In［(V%2+a—%)?(V%2+a+%)］=In［(x2+a)—x2］—

Ina=0,解得a=1,經(jīng)檢驗(yàn)，a=1滿足題意，

所以/(%)=ln(V%2+1—%),所以f(0)+/(I)=ln(V2—1).故選B.

綜合提升練

9.[2024?湖北聯(lián)考]（多選題）已知正數(shù)％,y,z滿足3久=4、=12Z,則（ABD）.

A.1,11B.6z<3%<4yC,xy<4z2D.x+y>4z

xyz

［解析］設(shè)3%=4y=12Z=3t>1,則％=log33y=log4t,z=log12t,

所以§+?=金+總=log*+10gt4=logt12=j,A正確；

因?yàn)镮f=斗翳=常=1嗚29<1，所以6z<3%,

因?yàn)樗?310g3t=310gt4log「64

=log8164<1,所以3久<4y,

4y410g4t41ogt3logt81

所以6z<3%<4y,B正確;

114

因?yàn)椋?y—4z=log3t+log4t—41og12t=+

logf3logt4logt12

log3+log44(log3-log4)2

tttt>0,所以％+y>4z,D正確;

logt31ogt4logt3+logt4logt31ogt4(logt3+logt4)

因?yàn)槿?工="2則把=%+y>4z,所以xy>4z2,C錯(cuò)誤.

zxyxyz

故選ABD.

10.［2024?陜西模擬］(多選題)下列結(jié)論正確的是(BD).

A.e3+e5>e3-e5B.1g3+1g5>3-1g5

nnnK

C.2+6>3-5D.log310+log510>log310.log510

［解析］因?yàn)?2<*工=1,所以e3+<e3,e§,A錯(cuò)誤；

因?yàn)?<均3<1,0<lg5<l,所以1g3」g5<5<均3+lg5,B正

確；

因?yàn)?口-5K=(3x5)1T>(2x6尸，23=1?1<］

(2X6)112a671'

所以311-5K>(2x6嚴(yán)>2K+6n,C錯(cuò)誤;

因?yàn)槠?警U=1_+__=5+3=15〉1,所以log310+

log3101og510log510log31088

log510>log310-log510,D正確.故選BD.

3

11.［2024?四川適應(yīng)性考試］e】n-81i+logV3+1^i=^l.

［解析］*3-8H+log遮+i券=3-34X^+log^+i(8+1)T=3-3-1=

-1.

12.已知實(shí)數(shù)a,b滿足4。+2a=3,log2VsF+l+b=|,則a+|b=j_.

［解析］因?yàn)閘og2遮』+1+匕=|,化簡得log2(3b+l)+(3b+1)=3,所以

log2(3b+1)+21°g2(3b+i)=3,

又4a+2a=22a+2a=3,所以構(gòu)造函數(shù)/(無)=2久+%,

因?yàn)楹瘮?shù)y=2*,y-%在(—8,+8)上均單調(diào)遞增，所以/(%)在(—8,4-00)_E

單調(diào)遞增，因?yàn)?(1)=3,所以2a=log2(3b+1)=1,解得a=5b=：,所

3

以Q

+-2b=1.

應(yīng)用情境練

13.[2024?鄭州模擬]地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間

的關(guān)系式為lgE=4.8+1.5M.若2地發(fā)生7.8級地震,它所釋放出來的能量為E1,

B地發(fā)生4.6級地震，它所釋放出來的能量為多,則當(dāng)是王2的迎倍.

［解析］由題意知1gEi=4.8+1.5x7.8=16.5,lgE2=4.8+1.5x4.6=11.7,

1651174848

所以Ei=IO,E2=IO,故含=蓋1=IO,則Ei=10-E2.

14.［2024?文昌預(yù)測］熒光定量PCR是一種通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)

增進(jìn)程中呈指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測的方法.在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，

當(dāng)熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí)，DNA的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)n滿足lgX=7ilg(1+

p)+lgX0,其中X。為DNA的初始數(shù)量，p為擴(kuò)增效率.已知某被測標(biāo)本DNA擴(kuò)增6

1

次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，則擴(kuò)增效率p約為115.4%.(參考數(shù)據(jù):105~

1

2.154,10Sx1.778)

［解析］由題意得lg(100X0)=61g(1+p)+lgX°,即2+lgXo=61g(1+p)+

1

lgXo，可得1+p=10i~2.154,解得px1.154=115.4%.

創(chuàng)新拓展練

15.［2024-宜賓模擬］音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音l(do)的音階頻率為

f,則簡譜中七個(gè)音l(do),2(re),3(mi),4(fa),5(so),6(la),7(si)組成的音

階頻率分別是/,",if,If,爭,粵/,其中后一個(gè)音階頻率與前一

8643216128

個(gè)音階頻率的比值是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階.上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值，

記為a,隊(duì)a>0),a稱為全音，0稱為半音，則lga5+1g-lg2=0.

［解析］因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)音的頻率比值分別為

88243888

52

由題意知a=￡6=翳，所以1g/+恒優(yōu)_坨2=炮［(J+

2］=lg1=0.

16.(2024.九省適應(yīng)性測試)離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素?cái)?shù)，集合

X二{1,2,…,p-1},若以v￡X,冽￡N，記M③丫為uv除以p的余數(shù)，嚴(yán)③為，除以p的余

數(shù);設(shè)Q￡X,1,Q,〃2,線…,〃夕2二兩兩不同，若。〃忿=b(ne{0,1,...,p-2}),則稱n是以a為

底b的離散對數(shù)，記為n=log(p)ab.

(1)若1=11,4=2,求臚1，軟

(2)對記刎十加2為如+儂除以p-1的余數(shù)(當(dāng)mi+m2能被p-1

整除時(shí)，如十加2=0).證明：log(p)a(b0c)=log(p)ab^log(p)ac,^