2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：常用邏輯用語(yǔ)（原卷版）

專題02常用邏輯用語(yǔ)（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】充分、必要條件的判定..............................................4

【考點(diǎn)2】充分、必要條件的應(yīng)用..............................................5

【考點(diǎn)3］全稱量詞與存在量詞.................................................6

【分層檢測(cè)】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

L理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.

2.理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.

3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.

融知識(shí)梳理

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若pnq,則〃是q的充分條件,q是P的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q分p

p是q的必要不充分條件p分q且q=p

〃是。的充要條件pQq

?是q的既不充分也不必要條件p令q且q分p

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“Y”表

示.

(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“3”

表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)x,有p(x)成立存在/中的元素x,p(x)成立

簡(jiǎn)記\/xRM,p(x)GM,p(x)

否定

|常用結(jié)論

1.區(qū)別A是3的充分不必要條件且B#A),與A的充分不必要條件是B(BnA且A分B)

兩者的不同.

2.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)4={動(dòng)?。)},B={xlq(x)},

(1)若AC3,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

(2)若A是3真子集，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.

(3)若A=3,則p是q的充要條件.

3.2是q的充分不必要條件，等價(jià)于rq是F?的充分不必要條件.

4.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

5.對(duì)省略了全稱量詞的命題否定時(shí)，要對(duì)原命題先加上全稱量詞再對(duì)其否定.

6.命題p和的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可判斷此命題的否定的真假.

2

.真題自測(cè)

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)甲：sin2a+sin2/?=1,乙：sina+cos/?=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2.（2023?全國(guó)?高考真題）記S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙：｛2｝為等差數(shù)列，則

n

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

yX

3.（2023?北京?高考真題）若孫力0,貝「x+y=O"是"」+—=-2”的（）

尤y

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023?天津?高考真題）已知a/eR,"高=真〃是“/+廿=2仍”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

5.（2022?浙江?高考真題）設(shè)xeR,則“sinx=l"是"cosx=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2022?北京?高考真題）設(shè)｛q｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，貝V｛凡｝為遞增數(shù)列"是"存在正整數(shù)N。,

當(dāng)〃〉乂時(shí)，%>0"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2021?全國(guó)?高考真題）等比數(shù)列｛?！埃墓葹榉智啊?xiàng)和為S“，設(shè)甲：q>0,乙：將“｝是遞增數(shù)列,

貝I（）

3

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.（2021?浙江?高考真題）已知非零向量a,瓦c,則"a.c=B.c"是=萬(wàn)"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

9.（2021?北京?高考真題）已知人幻是定義在上［0』］的函數(shù)，那么”函數(shù)了⑺在［0,1］上單調(diào)遞增”是"函數(shù)&）

在上的最大值為了⑴"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2021?天津?高考真題）已知aeR,則"a>6"是"">36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

.考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］充分、必要條件的判定

一、單選題

1.（2024?北京海淀?一模）設(shè)a,夕是兩個(gè)不同的平面，/,根是兩條直線，且/ua,/_La.則"是"加//夕”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知z=（2<7-l）+（<7+l）i（aeR）,貝曠|z|=是"a=［”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

3.（23-24高三上?廣東廣州,階段練習(xí)）已知AABC中角A,5的對(duì)邊分別為。，b,則可作為"。>人的充要

條件的是（）

A.sinA>sinBB.cosA<cosB

C.tanA>tanBD.sin2A>sin2B

4.（2023?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)〃x）=N+sin2x,設(shè)占爛R,則〃為）>成立的一個(gè)充分

4

條件是（）

2

A.㈤>尤2B.+x2>0C.X1>xfD.|%j|>|x,|

三、填空題

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）"函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于（飛,0）中心對(duì)稱"是"sin2x0=0"的—條件.

6.（2021?陜西渭南?二模）下列四個(gè)命題是真命題的序號(hào)為.

①命題"VxeRcosxW1”的否定是"HxeR,cos>l”.

②曲線y=V在尤=0處的切線方程是y=0.

fa"一1x1

③函數(shù)〃尤）=c為增函數(shù)的充要條件是0<a<5.

\2x+3,x>l

④根據(jù)最小二乘法，由一組樣本點(diǎn)（4%）（其中i=L2,...,300）求得的線性回歸方程是§=隊(duì)+機(jī)則至少有一

個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線與=%+￡上.

反思提升：

充分條件、必要條件的兩種判定方法：

（1）定義法：根據(jù)進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.

（2）集合法：根據(jù)p,q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的

推斷問(wèn)題.

【考點(diǎn)2】充分、必要條件的應(yīng)用

一、單選題

1.（23-24高三上?浙江寧波?期末）命題"*目-2,1],爐—x—0>o"為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.aW—B.a?0C.6D.

4

2.（22-23高二下?湖南?階段練習(xí)）已知集合4=卜|f—X-12W0},B={x|x2-3mr+2m2+m-l<0},若

"xeA"是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.b3,2]B.[—1,3]C.—1,—D.2,—

二、多選題

3.（2021?福建寧德?模擬預(yù)測(cè)）已知命題P：關(guān)于x的不等式爐一2辦-”>0的解集為R,那么命題。的一個(gè)

必要不充分條件是（）

,12八

A.-l<a<——B.——<a<0

23

C.-l<a<0D.a>-l

5

4.(2023?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"x)=ei+lnx,則過(guò)點(diǎn)(。㈤(“>。)恰能作曲線y=的兩條切線

的充分條件可以是()

A.b=2a-l<lB.b=2a-l>\

C./(?)<2a—l<lD.2a—1>f(ci)>1

三、填空題

5.(2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))設(shè)命題°：0<ln(x-2)41n3,命題(尤-2〃-3)40.若“是p的必

要不充分條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

6.(2024?上海普陀?二模)設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q(〃？L〃eN),貝廣12a2,%,2q成等差數(shù)歹!J"的一個(gè)

充分非必要條件是.

反思提升：

充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出

關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

【考點(diǎn)3】全稱量詞與存在量詞

一、單選題

1.(2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))下列命題中，真命題是()

A.是"必>1"的必要條件

B.Vx>0,er>2X

C.Xfx>0,2x>x2

D.a+b=0的充要條件是f=-l

b

2.(23-24高一下?湖南郴州?階段練習(xí))已知a>0,f(x)=^ax2-bx,則與是方程冰=6的解的充要條件是

()

A.3xeR,f(x)>/(x0)B.3xeR,/(x)</(x0)

C.VxeR,/(x)>/(x0)D.VXGR,/(J;)</(^0)

二、多選題

2

3.(2023?海南?模擬預(yù)測(cè))已知命題。:"王€氏犬-2》+。+6=0",q."\yxER,x+mx+l>0",則下列正確

的是()

A.。的否定是“VxeR,尤2-2x+a+6w0”

B.4的否定是“IveR,尤2+g+1>?！?/p>

6

C.若p為假命題，則。的取值范圍是。<-5

D.若4為真命題，則加的取值范圍是-2<根<2

4.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)）下列結(jié)論正確的是（）

A./（尤）=￡*+/.是偶函數(shù)

B.若命題"HxeR,尤2+2ax+l<0"是假命題，貝!J—IVaWl

C.設(shè)尤，yeR,貝且yNl"是"無(wú)2+,222"的必要不充分條件

D.Bab>0,---=---

abb-a

三、填空題

4

5.（2024?陜西寶雞?一模）命題"任意xe（l,3）,+—"為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

x

6.（2024?遼寧,模擬預(yù)測(cè)）命題〃：存在相使得函數(shù)〃%）=/-2〃覬在區(qū)間［4,收）內(nèi)單調(diào)，若。的

否定為真命題，則a的取值范圍是.

反思提升：

（1）含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結(jié)論.

（2）判定全稱量詞命題“VxGM,p（x）”是真命題，需栗對(duì)集合〃中的每一個(gè)元素羽證明?（x）

成立；要判定存在量詞命題'FXGM,p（x）”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)X,使2。）

成立即可.

（3）由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是

利用等價(jià)命題，即"與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成的真假求參數(shù)的范圍.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

x-y+c=0,則屋=變"是"圓C上恰存在三個(gè)

1.（2024?四川成都?三模）已知圓C：x2+y2=l,直線/：

2

點(diǎn)到直線/的距離等于的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

2.（2023,四川瀘州,一■模）已知命題x2H-->1,命題q:It。eR,In%=-2,則下列命題是真

命題的為（）

A.（「p）八qB.p^qC.PADD.（「p）△（—>4）

7

3.（2024?全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知向量力=（1,2）,5=（2,x）,貝廣（商+5）_L,-B）"是"x=l"的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，貝廣｛q｝為遞減數(shù)列"是"存

在正整數(shù)小，當(dāng)〃>%時(shí)，S“<0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

5.（2021?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知命題。:1VoeR,ox；-4x0-4=0,若〃為真命題，貝〃的值可以為（)

A.-2B.-1C.0D.3

6.（2021?江蘇?一模）下列選項(xiàng)中,關(guān)于*的不等式◎2+（°一1"一2>0有實(shí)數(shù)解的充分不必要條件的有（）

A.a=0B.a>-3+2A/2C.a>0D.a<-3-2y/2

7.（23-24高三上?遼寧葫蘆島?期末）下列選項(xiàng)中，與互為充要條件的是（）

X

2

A.x<lB.log05x>log05x

C.3^<3XD.|x（x-l）|=x（l-x）

三、填空題

8.（22-23高二上,陜西咸陽(yáng),階段練習(xí)）若命題汩a<0,是假命題，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為.

a

9.（2024?遼寧大連?一模）"函數(shù)〃力=加-sinx是奇函數(shù)"的充要條件是實(shí)數(shù)。=.

10.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知"a-3<尤是"f_5尤+6<0"成立的必要不充分條件，請(qǐng)寫出符合條

件的整數(shù)。的一個(gè)值_________.

四、解答題

11.（2023?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)/實(shí)數(shù)x滿足/_4辦+3/<0,q,實(shí)數(shù)尤滿足f-6x+840.

⑴若。=1,且p和q均為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

（2）若a>0且力是F的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

12.（2023?重慶酉陽(yáng)?一模）命題P：任意xeR,x1-2mx-3m>0命題4：存在xeR,x2+4mx+l<0

成立.

⑴若命題q為假命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

⑵若命題〃和4有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【能力篇】

8

一、單選題

2

1.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知命題“V無(wú)?1,4]?-[-〃此0"為真命題，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.（^o,e—2]B.<?,e4——C.[e—2,+co）D.e4—,+o0^

二、多選題

2.（2024?廣東梅州?一模）已知直線加，”和平面a,/3,且〃ua,則下列條件中，戶是4的充分不必要

條件的是（）

A.p'.m//a,q:m//nB.p:mVa,q:m±n

C.p:a//P,q\n//（3D.p'.nLf3,q:ct±J3

三、填空題

3.（23-24高一上?云南昭通?期末）下列命題中：

①若集合4=｛尤收+2x+l=0｝中只有一個(gè)元素，貝蛛=1；

②已知命題。上eR,ax2+2x-l>0,如果命題p