2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（原卷版）

專題15導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算........................................................4

【考點(diǎn)2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義....................................................5

【考點(diǎn)3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.................................................6

【分層檢測(cè)】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.通過(guò)實(shí)例分析，了解平均變化率、瞬時(shí)變化率，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.

2.通過(guò)函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.能求簡(jiǎn)單的復(fù)

合函數(shù)（形如的導(dǎo)數(shù).

?知識(shí)梳理

1.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴如果當(dāng)心一0時(shí)，平均變化率》無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即總有極限，則稱y=Ax）在X

=xo處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y=/（x）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)（也稱瞬時(shí)變化率）,記作尸（xo）或

I.f+AJC）-f（JC）

lim—hm------------------O-

v'\x=x0,即/（X0）=ALO&r=4-0.

（2）當(dāng)x=xo時(shí)，/（xo）是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，y=/（x）就是x的函數(shù)，我們稱它為y

=/（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)），記為了（》）（或y）,即/（x）=y=

f（x+Ax）—f（x）

lim7".

Ax—>0

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=Ax）在》=次處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=/U）在點(diǎn)P（xo,函o））處的切線的斜率,相

應(yīng)的切線方程為y—Kxo）=xo）.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

1x）=c（c為常數(shù)）r（x）=o

,/(x)=xa(aGQ,aW0)f(x)=axai

fix)—sinx/(x)=cosX

fix)=cosXf(x)="sinx

Hx)=a”(a>0且aWl)f(x)=axlna

危尸e*

y(x)=logaX(tz>0且aWl)f(x)~xlna

/x)=lnx

2

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若了⑴,g（x）存在，則有:

2

[/(x)土g(x)]，=[(x)±g(x)；

[AX)g(x)y=i(x)g(x)+Ax)g，(x)；

f(x)~|f(x)g(x)—f(x)g'(x)

MH』收六2(g2;

[或切'=①.

5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=/(M)和M=g(x),如果通過(guò)中間變量a,y可以表示成X的函數(shù)，那

么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=/(M)與z/=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=fig(x)Y

(2)復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為Vx'=yu'-Ux,即y對(duì)x

的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)M的導(dǎo)數(shù)與M對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

|常用結(jié)論

1/(X0)代表函數(shù)次X)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值；(/(xo))/是函數(shù)值兀TO)的導(dǎo)數(shù)，則(Axo)y=O.

「1]f(X)

3.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn).

4.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)人x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大

小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.

,真題自測(cè)

一、單選題

1.(2023?全國(guó)?高考真題)曲線>=￡-在點(diǎn)[1,；]處的切線方程為()

x+1I2)

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

h

2.(2022?全國(guó)?高考真題)當(dāng)犬=1時(shí)，函數(shù)/(X)=alnx+—取得最大值-2,則八2)=()

x

11

A.—1B.C.-D.1

22

3.(2021?全國(guó)?高考真題)若過(guò)點(diǎn)(。,為可以作曲線y=e，的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

二、多選題

4.(2022?全國(guó),高考真題)已知函數(shù)/(x)=d-x+1,則()

A.7(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./(無(wú))有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線＞=/(元)的切線

3

三、填空題

5.（2022?全國(guó),高考真題）曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

6.（2022?全國(guó)?高考真題）若曲線y=（x+a）e*有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是

-1

7.（2021?全國(guó)?高考真題）曲線y=3一在點(diǎn)（-1,-3）處的切線方程為.

8.（2021?全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/■。）=卜-1|,王<0,尤2>。，函數(shù)A'）的圖象在點(diǎn)4（石,/（芭））和點(diǎn)

3（%,/（七））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則微^取值范圍是.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

一、單選題

111

1.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知〃z>0,n>0,直線y=-x+m+l與曲線y=lnx—〃+2相切,則一+一的最

emn

小值是（）

A.16B.12C.8D.4

2.（23-24高二上,江蘇鹽城,期末）若點(diǎn)尸是曲線y=x2-hrv+l上任意一點(diǎn)，貝。點(diǎn)尸至U直線y=》-2的最小

距離為（）

A.1B.—C.72D.

22

二、多選題

3.（2024.湖南?二模）已知函數(shù)〃尤）及其導(dǎo)函數(shù)尸（x）的定義域均為R,記g（x）=/'（x）.若滿足

〃2+3x）=/（-3x）,g（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且g（0）=l,則（）

A.g（x）是偶函數(shù)B.g（x）=g（x+4）

C.〃x）+〃-x）=0D.-=0

k=l

4.（2024?甘肅隴南?一模）已知函數(shù)〃力=/+/+方-4有3個(gè)不同的零點(diǎn)%,%,三,且個(gè)2=[,則（）

A.a=TB.〃x）<0的解集為（-1,2）

C.>=尤-7是曲線y=的切線D.點(diǎn)（TO）是曲線y=/（"的對(duì)稱中心

三、填空題

5.（23-24高三上?上海普陀?期末）函數(shù)〃x）=餐，如果尸（x）為奇函數(shù)，貝吐的取值范圍為

sinx

6.（23-24高二下?河南?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=x3-⑴-41nx+2,貝廳⑵=.

4

反思提升：

1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)票準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).

2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

【考點(diǎn)2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

一、單選題

2+Ar323

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）lim（）-=（）

內(nèi)一。Ax

A.72B.12C.8D.4

2.（2024?江蘇南通?二模）已知曲線G：Y+y2-4x+2y=。與曲線C2：/（x）=f在第一象限交于點(diǎn)A,在A

處兩條曲線的切線傾斜角分別為尸，則（）

c兀1c［兀

A.a+/3=3B.口一例二,

c71Icl兀

C.cc+/3=—D.=—

二、多選題

3.（2024?河南洛陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)（3底4）向拋物線V=8y作兩條切線，切點(diǎn)分別為A&,yJ、B（x2,y2）,F

為拋物線的焦點(diǎn)，則（）

A.=―6A/5B.=32

C.|AF|-|BF|=49D.|AF|+|BF|=18

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）=（x-。丫+6.若過(guò)原點(diǎn)可作函數(shù)的三條切線，則（）

A./（%）恰有2個(gè)異號(hào)極值點(diǎn)B.若a>0,貝2e（0,

C./（無(wú)）恰有2個(gè)異號(hào)零點(diǎn)D.若a<0,則6e（/,o）

三、填空題

X2+2x丫v0

5.（2024山東泰安三模）己知函數(shù)〃同="11（1_,0℃若曲線y=與直線產(chǎn)依恰有2個(gè)公共點(diǎn)，

則a的取值范圍是.

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸的直線/與C交于A,8兩點(diǎn).過(guò)A作C

的切線機(jī)及平行于x軸的直線加，過(guò)歹作平行于相的直線交加于過(guò)3作C的切線”及平行于無(wú)軸的直

Q

線”，過(guò)尸作平行于"的直線交〃'于N.若|AM|TBN|=§,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

反思提升：

5

1.求曲線在點(diǎn)P（xo,yo）處的切線，則表明P點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)在尸處的導(dǎo)數(shù)，然后利用

點(diǎn)斜式寫出切線方程，若在該點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x=xo.

2.求曲線的切線方程要分清“在點(diǎn)處”與“過(guò)點(diǎn)處”的切線方程的不同.過(guò)點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)不

知道，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等建立方程（組）求解，求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?遼寧大連?一模）斜率為1的直線/與曲線y=ln（x+a）和圓V+y=；都相切，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.0或2B.-2或0C.—1或0D.0或1

2.（2024?河北邢臺(tái)二模）已知函數(shù)/（"=/+2111了的圖像在4（占,/&））,可％,〃％））兩個(gè)不同點(diǎn)處的切

線相互平行，則下面等式可能成立的是（）

C10c10

A.x,+x2=2B.xi+x2=—C.xtx2=2D.xtx2--

二、多選題

3.（2023?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：

設(shè)「是函數(shù)了="X）的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取與作為「的初始近似值，過(guò)點(diǎn)（%/（1））作曲線y=f（x）的切線乙，

設(shè)乙與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,并稱4為，?的1次近似值；過(guò)點(diǎn)（&/■?））作曲線y=的切線4,設(shè)4與X

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，稱々為/?的2次近似值.一般地,過(guò)點(diǎn)（七〃%））（〃cN*）作曲線y=的切線/向，

記好與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斗…并稱X用為/的〃+1次近似值對(duì)于方程_?一天+1=0,記方程的根為r,取

初始近似值為毛=-1,下列說(shuō)法正確的是（）

A.re（-2,-1）B.切線323元一4y+31=0

4.（2024?江西?二模）設(shè)函數(shù)〃x）=ln（l-詞（。*0）在（-1,〃-功處的切線與直線女+2y—3=0平行,

則（）

A.a=l

B.函數(shù)/'（X）存在極大值，不存在極小值

C.當(dāng)xe（—oo,0）時(shí)，f>——X2—x

D.函數(shù)g（無(wú)）=|/（x）|+g（x-l）有三個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

6

5.（2024?河南?二模）若兩個(gè)函數(shù)〃x）=lnx+a和g（x）=6eX（a,beR）存在過(guò)點(diǎn)（2,；］的公切線，設(shè)切點(diǎn)坐

標(biāo)分別為（占"（占）），（無(wú)2,g（々）），則（％+2々）（西）+2g（x2）］=.

6.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=a（x+l）e%aeR）,若曲線y=〃尤）在x=0處的切線與直線

x+2y=0垂直，則實(shí)數(shù)。=；若不等式/（力-》＜。有且僅有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

反思提升：

1.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常利用曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程（組）并

解出參數(shù)：（1）切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；（2）切點(diǎn)在切線上，故滿足切線方程；（3）切點(diǎn)在曲

線上，故滿足曲線方程.

2.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)問(wèn)題時(shí)，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.

■分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（23-24高三下?江西撫州?階段練習(xí)）如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm3/s

的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間f（單位：s）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2

所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)/=兀時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）

A.迥cm/sB.cm/s

C.-------cm/sD.-------cm/s

6兀5713兀2兀

2.（2024?黑龍江二模）函數(shù)〃x）=|T+i在尸_［處的切線方程為（）

A.y=4x+6B.y=-2x+6

C.y=-3x-3D.y=-3x-l

3.（2024?山東?二模）已知為定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)尸（x）為〃尤）的導(dǎo)函數(shù)，若

〃x)=〃2—x)+4x—4,則廣(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

7

4.（2024?全國(guó)，模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃H=『一""+1為奇函數(shù),則/⑴=（）

x—a

A.0B.gC.1D.2

二、多選題

5.（23-24高三上?浙江紹興?期末）已知函數(shù)〃x）=sinx+sin（l-x）,/'（x）為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.〃-x）=/（l+x）B./（x）+/（兀+x）=0

udmD.廣（力=小+鼻

6.（22-23高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）為了評(píng)估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體

血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量.已知該藥物在人體血管中藥物濃度。隨時(shí)間f的變化而變化，甲、乙兩人服用

該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間才變化的關(guān)系如圖所示.則下列結(jié)論正確的是（）

A.在。時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同

B.在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同

C.在，小］這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同

D.在［山］和總名］兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同

7.（2023?廣東?二模）已知函數(shù)〃力=丁—3f+l的圖象在點(diǎn)（％,〃加））處的切線為。，則（）

A.。的斜率的最小值為-2B.。的斜率的最小值為-3

C.的方程為y=lD.3的方程為y=9尤+6

三、填空題

8.（2024?上海靜安?二模）已知物體的位移d（單位：m）與時(shí)間f（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系d=2sim,則

在時(shí)間段正（2,6）內(nèi)，物體的瞬時(shí)速度為lm/s的時(shí)刻f=（單位：s）.

9.（2024?廣西賀州?一模）已知直線＞-2%=0與曲線/（x）=x+lnx的某條切線平行，則該切線方程為

10.（2024?山西呂梁?二模）若曲線/（x）=lnx在點(diǎn)尸伍,幾）處的切線過(guò)原點(diǎn)0（0,0）,貝.

四、解答題

8

2

11.（2024?江蘇南京?二模）已知函數(shù)/（x）=x一一板,其中qeR.

ex

⑴當(dāng)〃=0時(shí)，求曲線y=f（x）在（1］⑴）處的切線方程；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，若Ax）在區(qū)間［0,。］上的最小值為工，求。的值.

e

12.（2024?四川成都?一模）設(shè)函數(shù)/。）=［/一石12尤2+2%一/（1）,

34

⑴求掰-1）、/⑴的值；

⑵求了⑺在［0,2］上的最值.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?河北邢臺(tái)?一模）如果方程歹（無(wú),y）=0能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù).隱

函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程P（x,y）=。中，把y看成x的函數(shù)y=y（x）,則方程可看成關(guān)于x的恒等式

F（x,y（x））=0,在等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，然后解出y'（x）即可.例如，求由方程/+9=1所確定的隱函

數(shù)的導(dǎo)數(shù)y',將方程V+y2=l的兩邊同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，則2x+2y-y'=0（y=y（尤）是中間變量，需要用復(fù)合

Y

函數(shù)的求導(dǎo)法則），得丫=-］。*。）.那么曲線W+lny=2在點(diǎn)（2,1）處的切線方程為（）

A.%—3y+1=0B.x+3y—5=0

C.3x—y—5=0D.2%+3y—7=0

二、多選題

2.（2024?湖北?二模）已知拋物線f=4y,過(guò)y軸正半軸上任意一點(diǎn)P（0,⑴的直線交拋物線于3）,

3（尤2，%），拋物線在A,8處的切線晨4交于點(diǎn)。