2025年高考數(shù)學一輪復習講義：函數(shù)模型及其應用（原卷版）

專題14函數(shù)模型及其應用（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1】利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程................................4

【考點2】已知函數(shù)模型解決實際問題..........................................7

【考點3】構造函數(shù)模型解決實際問題..........................................9

【分層檢測】...............................................................11

【基礎篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培優(yōu)篇】.................................................................16

考試要求：

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直

線上升”等術語的含義.

2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際等數(shù)學模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題

的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應用.

.知識梳理

L指數(shù)、對數(shù)'幕函數(shù)模型性質比較

函數(shù)y=axy=logaXy=xn

性（Q>1）（Q>1）（H>0）

在(0,+8)

單調遞增單調遞增單調遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨〃值

圖象隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表

變化而

的變化現(xiàn)為與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行

各有不同

值的比較存在一個無0,當X>X0時，有

2.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型j{x}=ax+b（a,人為常數(shù)，aWO）

二次函數(shù)模型/（x）=^x2+Z?x+c（tz,b,c為常數(shù)，〃W0）

與指數(shù)函數(shù)相關的模型fix）=bax+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWO）

與對數(shù)函數(shù)相關的模型fix）—Mogax+c（a,b,c為常數(shù)，〃>0且aWLb豐0）

與募函數(shù)相關的模型f（x）—axn+b（a,b,〃為常數(shù)，oWO）

|常用結論

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，

常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵.

3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學結果對實際

問題的合理性.

.真題自測

一、單選題

2

1.（2020?全國?高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200份訂單

的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市

某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50

份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

2.（2020?山東?高考真題）基本再生數(shù)R。與世代間隔7■是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個

感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指

數(shù)模型：/⑺=e”描述累計感染病例數(shù)/⑴隨時間t（單位:天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,7■近似滿足Ro

=l+r7".有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍

需要的時間約為（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

二、多選題

3.（2023?全國,高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級

C.p3=100p0D.Pi<100/?2

4.（2019?北京?高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次

購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

3

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則尤的最大值為.

四、解答題

5.（2019?江蘇?高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側有一條直線型公路/,湖上有橋

AB（A8是圓。的直徑）.規(guī)劃在公路/上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路尸8、QA.規(guī)劃要求:線段

PB、QA上的所有點到點0的距離均不小于同O的半徑.己知點A、B到直線I的距離分別為AC和BDC

。為垂足），測得AB=10,AC=6,BD=12（單位:百米）.

DQ1

（1）若道路與橋垂直，求道路PB的長；

（2）在規(guī)劃要求下，P和。中能否有一個點選在。處？并說明理由；

（3）對規(guī)劃要求下，若道路尸8和QA的長度均為1（單位：百米）.求當［最小時，P、。兩點間的距離.

考點突破

【考點1］利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程

一、單選題

1.（2024?內蒙古赤峰?一模）在下列四個圖形中，點尸從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一

周，。、P兩點連線的距離y與點尸走過的路程尤的函數(shù)關系如圖，那么點尸所走的圖形是（)

2.（2022?甘肅酒泉?模擬預測）如圖，在矩形A3CD中，AB=2,BC=1,。是A8的中點，點尸沿著邊8C、

4

8與ZM運動，記=將ABR的面積表示為關于x的函數(shù)〃x),則〃x)=()

人23幾

B.當xl*,彳、時'/(x)=-tanx

C.當xe'時，/(x)=-tanx

一3乃、

D.當無e—，^I0t,/(x)=tanx

二、多選題

3.(2021?福建廈門?一模)某醫(yī)藥研究機構開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥

物，注射后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間f(小時)之間的關系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進

一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則()

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物5小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

31

D.注射一次治療該病的有效時間長度為5瓦時

4.(22-23高一上?新疆烏魯木齊?期末)設/(x)=_r2,g(x)=2*，Mx)=log2尤，當xe(4,+oo)時,對這三個函

數(shù)的增長速度進行比較，下列結論中，錯誤的是()

A.的增長速度最快,h{x}的增長速度最慢

B.身(無)的增長速度最快,〃(力的增長速度最慢

C.g(x)的增長速度最快,的增長速度最慢

5

D.外”的增長速度最快，g（x）的增長速度最慢

三、填空題

5.（21-22高二下,江蘇南通,期中）根據(jù)疫情防控要求，學校教室內每日需要進行噴灑藥物消毒.若從噴灑

'0.1f,O10

藥物開始，教室內空氣中的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間f（分鐘）的關系為：y=舊/1丫」1，小,。八，

根據(jù)相關部門規(guī)定該藥物濃度達到不超過0.25毫克/立方米時，學生可以進入教室，則從開始消毒至少—分

鐘后，學生可進教室正常學習；研究表明當空氣中該藥物濃度超過0.5毫克/立方米持續(xù)8分鐘以上時，才能

起到消毒效果，則本次消毒效果（填：有或沒有）.

6.（2020?江西南昌?三模）如圖，有一塊半徑為R的半圓形廣場，M為AB的中點.現(xiàn)要在該廣場內以為

中軸線劃出一塊扇形區(qū)域OPQ,并在扇形區(qū)域內建兩個圓形花圃（圓N和圓S）,使得圓N內切于扇形OPQ,

圓S與扇形。PQ的兩條半徑相切，且與圓N外切.記=則圓S的半徑）可表示成6的

函數(shù)式為,圓S的半徑y(tǒng)的最大值為.

反思提升：

判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

⑴構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象.

⑵驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，

從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

【考點2］已知函數(shù)模型解決實際問題

一、單選題

L（2024?北京通州?二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間/（單位:

月）的關系式為5=儲.（。＞0,且。片1）,圖象如圖所示.則下列結論正確的個數(shù)為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是4,t2,t3,貝篙+4=丁

6

B.1C.2D.3

2.（2022?黑龍江哈爾濱?三模）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼

比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的P點處接球，此時tanZAP8=5,假設甲沿著平行邊線的方向向

前帶球，并準備在點。處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為

c.10V2D.10A/3

二、多選題

3.（2023?河南?模擬預測）若物體原來的溫度為為（單位:0C）,環(huán)境溫度為4（單位:（）,物體的溫度冷卻

到e（e>a，單位:"C）與需用時間”單位:分鐘）滿足t=/S）=Jin%，,上為正常數(shù).現(xiàn)有一杯開水（100?

KCz

放在室溫為20°C的房間里，根據(jù)函數(shù)關系研究這杯開水冷卻的情況（e。2.7,In2ao.7）,則（）

A.當％=g時，經(jīng)過10分鐘，這杯水的溫度大約為40°C

B.當左=看時，這杯開水冷卻到60℃大約需要14分鐘

C.若『（60）=10,則/（40）=20

D.這杯水從lOCfC冷卻到80°C所需時間比從80°C冷卻到60°C所需時間短

4.（2024?重慶?模擬預測）放射性物質在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關注，已知放射性物質數(shù)量

7

隨時間/的衰變公式N（t）=Noe二，N°表示物質的初始數(shù)量，「是一個具有時間量綱的數(shù)，研究放射性物質

常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物質數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時間，已知ln2=0.7,右表

給出了鈾的三種同位素T的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為?；，心，心，則（）

物質T的量綱單位T的值

鈾234萬年35.58

鈾235億年10.2

鈾238億年64.75

A.T=rlnO.5B.T與T成正比例關系

C.工>工D.T3>100007；

三、填空題

5.（2023?上海長寧?一模）在有聲世界，聲強級是表示聲強度相對大小的指標.其值》（單位：dB）定義為

y=101g；其中/為聲場中某點的聲強度，其單位為亞而,/。=1072亞/1112為基準值.若/=10亞/1112,則其相

應的聲強級為dB.

6.（2007?湖北?高考真題）為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中，室

內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間f（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與f的函數(shù)關系式為

為常數(shù)）.根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問題:

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間f（小時）之間的函數(shù)關系式為

（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開始,

至少需要經(jīng)過小時后，學生才能回到教室.

反思提升：

1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關注點.

⑴認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).

8

2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

【考點3】構造函數(shù)模型解決實際問題

一、單選題

2

L（202牛北京朝陽?二模）假設某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^PCSv,其中。是

空氣密度，S是該飛行器的迎風面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P=當O，S不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使P不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

2.（23-24高三上?江蘇南通?期末）某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的工藝品.要求將一個邊

長分別為10cm和20cm的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值

為（）

A.200cmB.30V5cmC.40A/5cmD.605/2cm

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài),

經(jīng)搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃

度為32Ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度》（單位：ppm）與排氣時間，（單位：分鐘）之間滿足函

數(shù)關系》=然&（。,尺為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）.若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全

進入車庫了，則下列說法正確的是（）

A.a—128

B.RJn2

4

C.排氣12分鐘后濃度為16Ppm

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

4.（2023?全國?模擬預測）第31屆世界大學生夏季運動會在四川成都舉行，大運會吉祥物"蓉寶"備受人們歡

迎.某大型超市舉行抽獎活動,推出"單次消費滿1000元可參加抽獎”的活動，獎品為若干個大運會吉祥物"蓉

寶".抽獎結果分為五個等級，等級X與獲得“蓉寶"的個數(shù)的關系式為〃x）=p+*+：已知三等獎比

四等獎獲得的"蓉寶”多2個，比五等獎獲得的"蓉寶”多3個，且三等獎獲得的"蓉寶”數(shù)是五等獎的2倍，則

（）

A.k=-ln2B.b=51n2

9

C.P=3D.二等獎獲得的"蓉寶”數(shù)為10

三、填空題

5.（2024?河南洛陽?模擬預測）在高度為3.6m的豎直墻壁面上有一電子眼A,已知A到天花板的距離為2.1m,

電子眼A的最大可視半徑為0.5m.某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個長度為0.2m的木棒

（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過的時間為S.（注意：位移與時間的函

數(shù)關系為s=gg/，重力加速度g取10m/s?）

6.（2024?上海長寧?二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運營的相關數(shù)據(jù)如下表:

甲乙丙

接單量f（單）783182258338

油費S（元）107150110264110376

平均每單里程％（公里）151515

平均每公里油費。（元）0.70.70.7

出租車空駛率,出嘉二:篙KIT『程；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型

u=f{s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、2L68%、x%,貝口=（精確到0.01）

反思提升：

（1）在應用函數(shù)解決實際問題時需注意以下四個步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇函數(shù)模型.

②建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應

的函數(shù)模型.

③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學結論.

④還原：將數(shù)學結論還原為實際意義的問題.

（2）通過對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識和方法構建函數(shù)模型解

決問題，提升數(shù)學建模核心素養(yǎng).

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2023?云南?二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

10

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

2.（2024高三下?全國?專題練習）小微企業(yè)是推進創(chuàng)業(yè)富民、恢復市場活力、引領科技創(chuàng)新的主力軍，一直

以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實際還款比例產(chǎn)

-0.968+Ax

與小微企業(yè)的年收入X（單位：萬元）的關系為八相曲^（丘R）.己知小微企業(yè)的年收入為80萬元時，

其實際還款比例為50%,若銀行希望實際還款比例為40%,則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：

In3?1.0986,In2?0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

3.（2024?北京昌平?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經(jīng)驗表明，某種

綠茶用90團的水泡制，再等到茶水溫度降至60回時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20團室溫下，茶水溫度從90國

開始，經(jīng)過tmin后的溫度為可選擇函數(shù)y=60x09+20（/20）來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)

律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2x0.30,lg3x0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

4.（22-23高三下?云南?階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到600xl08m3激增到2021年

的3726xl（）8m3,從2000年開始統(tǒng)計，記上表示從2000年開始的第幾年，OVA,keN.經(jīng)計算機擬合后發(fā)

現(xiàn)，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合匕=%（1+弓）3其中匕是從2000年后第左年天然氣消費量，

%是2000年的天然氣消費量，匕是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為900xl（/m3,

2018年的天然氣消費量為2880xH）8m3,根據(jù)擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（）

222

（參考數(shù)據(jù)：2.88仁2.02，3.2??2.17,45~2.52

A.5817.6x10sm3B.6249.6xl08m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xl08m3

二、多選題

5.（23-24高三上?廣東湛江?階段練習）已知大氣壓強p（Pa）隨高度/z（m）的變化滿足關系式1叩。-1叩=kh,p0

是海平面大氣壓強，左=10。我國陸地地勢可劃分為三級階梯，其平均海拔如下表：

平均海拔/m

第一級階梯>4000

11

第二級階梯1000?2000

第三級階梯200?1000

若用平均海拔的范圍直接代表各級階梯海拔的范圍，設在第一、二、三級階梯某處的壓強分別為P”P2，P3,

貝I（）

A.Pi^-^7B.p0<p3

e

0M

C.P24P3D.p3<ep2

6.（22-23高一上?河南新鄉(xiāng)?期末）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復合袋.在我們的日常生活中，各類

大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來，而且可以達到防潮、防蟲咬、清潔保存的效果.其中抽氣式壓縮袋

是通過外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來進行排氣的.現(xiàn)選用某種抽氣泵對裝有棉被的壓縮袋進行排氣，

已知該型號的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內氣體的40%,則（）（參考數(shù)據(jù)：取坨2=0.301,lg3=0.477）

A.要使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的10%,至少要抽5次

B.要使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的10%,至少要抽9次

C.抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內氣體的8.64%

D.抽3次可以使壓縮袋內剩余的氣體少于原來的25%

7.（2022?江蘇鹽城?模擬預測）泊松分布適合于描述單位時間（或空間）內隨機事件發(fā)生的次數(shù).如某一服

務設施在一定時間內到達的人數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內的細菌分布數(shù)等等.其概率函數(shù)為馬（X=A）=.eT,

k\

參數(shù)2是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發(fā)生次數(shù).現(xiàn)采用某種紫外線照射大腸桿菌，大腸桿菌

的基因組平均產(chǎn)生3個喀咤二體.設大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嚏咤二體個數(shù)為匕尸（F=心表示經(jīng)該種紫外

線照射后產(chǎn)生上個嚏咤二體的概率.已知y服從泊松分布，記為y?尸。雙為，當產(chǎn)生的嚓咤二體個數(shù)不小

于1時，大腸桿菌就會死亡，下列說法正確的有（）（參考數(shù)據(jù)：e-3=0.049--,恒等式e'=￡!）

A.大腸桿菌。經(jīng)該種紫外線照射后，存活的概率約為5%

B.設/（/=/&=1）,^0FN,f（k+1）-f（k）>O,（keN）

C.如果X?0。雙團，那么E（X!）=/tx,X的標準差b=2

D.大腸桿菌。經(jīng)該種紫外線照射后，其基因組產(chǎn)生的嚏咤二體個數(shù)的數(shù)學期望為3

三、填空題

8.（2023?全國?模擬預測）對某種藥劑進行稀釋，初始時藥劑有60g,濃度為100%,加入40g水后，藥劑濃

度被稀釋為60%,若每次稀釋都向上一次所得稀釋液中加入40g水，則要使稀釋液中藥劑濃度低于初始濃度

的10%,則要加水次.

12

9.（22-23高二上?廣東深圳?期末）我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條

長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段

分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過〃次這樣的操作后，去掉的

所有線段的長度總和大于荒，貝沙的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：lg2。0.301,Ig3。0.477）

第1次操作

————第2次操作

——----—第3次操作

????????????

10.（2024?全國?模擬預測）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時間.在特定劑量范圍內，

f（單位，h）內藥物在血液中濃度由Pi（單位，〃g/mL）降低到P2（單位,〃g/mL）,則藥物的半衰期

T0.6931

7=1叩7叩.已知某時刻測得藥物甲、乙在血液中濃度分別為36〃g/mL和54〃g/mL,經(jīng)過一段時間后

再次測得兩種藥物在血液中濃度都為24〃g/mL,設藥物甲、乙的半衰期分別為?；，T2,則今=.

四、解答題

11.（2024?全國?模擬預測）某種漢堡是某西餐店火爆的快餐品種之一，該店該種漢堡的成本為每個10元,

售價為每個15元，若當天沒有售出，則全部銷毀.

⑴若該西餐店某天制作該種漢堡優(yōu)（meN*）個，求該西餐店當天該種漢堡的利潤》（單位：元）關于當

天需求量無（單位：個，xeN）的函數(shù)解析式；

（2）該西餐店某月（按30天算）每天制作該種漢堡90個，并對該月該種漢堡的日需求量（單位：個）進行

統(tǒng)計，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析制成條形圖如圖所示，求該西餐店該月這種漢堡的平均日利潤.

12.（2000?廣東?高考真題）某蔬菜基地種黃瓜，從歷年市場行情可知，從二月一日起的300天內，黃瓜市場

售價尸（單位：元/千克）與上市時間（第f天）的關系可用如圖所示的一條折線表示，黃瓜的種植成本。（單

位：元/千克）與上市時間的關系可用如圖所示的拋物線表示.

13

⑴寫出圖表示的市場售價與上市時間的函數(shù)關系式尸=/(/)及圖表示的種植成本與上市時間的函數(shù)關系式

Q=g(t)；

(2)若認定市場售價減去種植成本為純收益，則何時上市能使黃瓜純收益最大?

【能力篇】

一、單選題

1.(23-24高三上?福建泉州?期末)函數(shù)/(X)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如()

X-2-101235

“X)2.31.10.71.12.35.949.1

A./(x)=^a^+b

B.f^x)=kx^-\-b

C./(x)=^|x|+Z?

D./(x)=^(x-l)2+Z?

二、多選題

2.(2024?遼寧?二模)半導體的摩爾定律認為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用了⑺表示

從=0開始，晶體管數(shù)量隨時間/變化的函數(shù)，若/(0)=1000,則下面選項中，符合摩爾定律公式的是()

貝廳⑺=1。。。+博0/

A.若，是以月為單位,

B.若t是以年為單位，貝4/⑺=1000x(點)'

C.若f是以月為單位，則1g/⑺=3+娶f

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D.若/是以年為單位，則|〃、QIg/'+l]

ig/a)=3+^^-乙

三、填空題

3.(2022?河南安陽?二模)某景區(qū)套票原價300元/人，如果多名游客組團購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方

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案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10,則票價打9折；若人數(shù)不低于50,則票價打8折；若人數(shù)不低于100,

則票價打7折.不重復打折.方案二：按原價計算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個旅游團有47名游

客，若可以兩種方案搭配使用，則這個旅游團購票總費用的最小值為________元.

四、解答題

4.（2024?四川南充?二模）已知某科技公司的某型號芯片的各項指標經(jīng)過全面檢測后，分為團級和團級，兩種

品級芯片的某項指標的頻率分布直方圖如圖所示:

頻率

若只利用該指標制定一個標準，需要確定臨界值K,按規(guī)定須將該指標大于K的產(chǎn)品應用于A型手機，小

于或等于K的產(chǎn)品應用于B型手機.若將團級品中該指標小于或等于臨界值K的芯片錯誤應用于A型手機會

導致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元；若將團級品中該指標大于臨界值K的芯片錯誤應用于B型手機會導致

芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元；假設數(shù)據(jù)在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.

⑴設臨界值K=70時，將2個不作該指標檢測的團級品芯片直接應用于A型手機，求芯片生產(chǎn)商的損失4（單

位：元）的分布列及期望;

⑵設K=x且xe[50,55],現(xiàn)有足夠多的芯片團級品、團級品，分別應用于A