2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（原卷版）

專(zhuān)題37空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（新高考專(zhuān)用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................4

【考點(diǎn)突破】................................................................6

【考點(diǎn)1］基本事實(shí)的應(yīng)用....................................................6

【考點(diǎn)2】空間位置關(guān)系的判斷................................................8

【考點(diǎn)3】異面直線所成的角..................................................9

【分層檢測(cè)】...............................................................11

【基礎(chǔ)篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培優(yōu)篇】.................................................................15

考試要求：

1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點(diǎn)、直線、平

面的位置關(guān)系的定義.

2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.

知識(shí)梳理

L與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論

(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)

基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)

A,B,。三點(diǎn)不共

基本過(guò)不在一條直線上的三

線=存在唯一的a

事實(shí)1個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面/J'/

使A,B,C^a

如果一條直線上的西仝

基本AC/,5?/,且Ada,

點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這

事實(shí)2/BGan/ua

條直線在這個(gè)平面內(nèi)

如果兩個(gè)不重合的平面

基本有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們P^a,且尸?夕今a

事實(shí)3有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的nj3=i,且pc/

公共直線

(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論

推論內(nèi)容圖形作用

經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外

推論1

一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只確定平面的

推論2

有一個(gè)平面依據(jù)

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只

推論3

有一個(gè)平面/7/

2.空間點(diǎn)、直線'平面之間的位置關(guān)系

2

圖形

7

相交語(yǔ)言Xy

關(guān)系符號(hào)

aAa=AaC0=l

語(yǔ)言

圖形

7^7

獨(dú)有語(yǔ)言

關(guān)系符號(hào)a,b是

〃ua

語(yǔ)言異面直線

3.基本事實(shí)4和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

4.異面直線所成的角

⑴定義：已知a,》是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)。作直線"〃a,b'//b,把優(yōu)與加所

成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：fo,?.

|常用結(jié)論

1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異

面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.

；■真題自測(cè)

一、單選題

1.（2024?全國(guó),高考真題）設(shè)辦￡為兩個(gè)平面，5、〃為兩條直線，且a6=根.下述四個(gè)命題:

①若則"http://?；?〃分②若則“_1_<7或"，力

③若〃〃a且〃///,貝|加/“④若”與心,△所成的角相等，則利，〃

其中所有真命題的編號(hào)是（）

3

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024?天津,高考真題）若私〃為兩條不同的直線，a為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若mlla,nila,貝B.若貝!J加〃〃

C.若，7〃/a,〃_La,則D.若加〃a,〃_La,則機(jī)與〃相交

3.（2022?浙江?高考真題）如圖，己知正三棱柱ABC-A百G，AC=明，E,尸分別是棱3C,AG上的點(diǎn).記

防與Ad所成的角為a,E尸與平面ABC所成的角為夕，二面角歹-3C-A的平面角為/,貝U（）

A.a<P<yB.(3<a<yC.P<y<aD.a<y</3

4.（2021?全國(guó)?高考真題）在正方體ABCD-ABCQ中，P為8a的中點(diǎn)，則直線尸8與A，所成的角為（）

二、多選題

5.（2022?全國(guó)?高考真題）已知正方體ABCD-AgG。，貝U（）

A.直線BG與D4,所成的角為90。B.直線8。與C4所成的角為90。

C.直線BG與平面班離。所成的角為45。D.直線Bq與平面ABC。所成的角為45。

6.（2021?全國(guó)?高考真題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂

點(diǎn).則滿足的是（）

4

「1

三、解答題

7.（2021?北京?高考真題）如圖：在正方體ABCD-ABCI。1中,E為42中點(diǎn)，BC與平面CDE交于點(diǎn)尸.

H

（1）求證：尸為4G的中點(diǎn);

（2）點(diǎn)加是棱的上一點(diǎn)，且二面角小心E的余弦值為f求吃的值.

8.（2021?浙江?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是平行四邊形,

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PDLDC,PMLMD.

(1)證明：ABLPM-,

（2）求直線AN與平面尸DM所成角的正弦值.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)11基本事實(shí)的應(yīng)用

一、單選題

1.（2002?全國(guó)?高考真題）已知"為異面直線，機(jī)u平面a,“u平面夕，&「'￡=/,則/（）

A.與優(yōu)，〃都相交B.與機(jī)，”中至少一條相交

C.與機(jī)，〃都不相交D.至多與小，〃中的一條相交

5

2.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體4BCD-ABG。中，M是棱A4上一點(diǎn)，平面與

棱CG交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（）

①四邊形"5AQ是平行四邊形；②四邊形MBNA可能是正方形；③存在平面與直線Bq垂直;

④任意平面MBNA都與平面ACBI垂直.

A.①②B.③④C.①④D.①②④

二、多選題

3.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體A8CO-A耳G"的棱長(zhǎng)為1,O為底面A8CZ）的中心，AQ交

平面ABO于點(diǎn)E,點(diǎn)P為棱C。的中點(diǎn)，則（）

A.4，瓦。三點(diǎn)共線B.異面直線8。與所成的角為60°

c點(diǎn)G到平面48。的距離為與9

D.過(guò)點(diǎn)AI，產(chǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為5

O

4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體ABCD-EFHG中，M,N分別為FH,EE的中點(diǎn)，則（）

6

A.AN,BF,CM三條直線不可能交于一點(diǎn)，平面ACW_L平面加G尸

B.AN,BF,CM三條直線一定交于一點(diǎn)，平面ACM?V_L平面BDG尸

C.直線AE與直線CM異面，平面AEHC_L平面A3CD

D.直線AE與直線CM相交，平面ACMV_L平面ABCD

三、填空題

5.（2024?山東濟(jì)南?三模）在正四棱柱A8CD-446A中，AB=4,e=6,M,N分別是AB,AD的中

點(diǎn)，則平面MNG截該四棱柱所得截面的周長(zhǎng)為.

6.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC-4與C中，AAi=AB=BC=2,D,E分別為84，AG

分如中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A,D,E的截面與三棱柱的側(cè)面BCG片的交線的長(zhǎng)為

反思提升：

共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

（1）證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi).

（2）證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.

（3）證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

【考點(diǎn)21空間位置關(guān)系的判斷

一、單選題

1.（2023?浙江嘉興?二模）已知正方體ABC。-4耳GR的棱長(zhǎng)為2,P為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足AP工平面48。,

過(guò)4B作與"平行的平面，與4G交于點(diǎn)Q,則CQ=（）

A.1B.yf2C.5/3D.y/5

2.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知〃，/是三條不同的直線，a,用是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論一定

正確的是（）

A.若"ua,Iua,m±n,mil,則

B.若根/〃，IIIa,則；"http://a

C.若〃z_L〃，n±Z,I'0,則

D.若mJ/a,nL/3,a11/3,則〃2〃

7

二、多選題

TT

3.（2024?浙江,三模）已知平面a,/3,直線a,b,若C分，ac￡=a,匕與a所成的角為;，則下列結(jié)

6

論中正確的有（）

A.a內(nèi)垂直a的直線必垂直于用

B.a內(nèi)的任意直線必垂直于夕內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

C.6與4所成的角為g

D.6與。內(nèi)的任意一條直線所成的角大于等于9

4.（23-24高二上?湖北恩施?期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AACIA中，E,E分別為AB,BC的中

點(diǎn)，則（）

A.異面直線。2與3/所成角的余弦值為W

B.點(diǎn)尸為正方形44G2內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)。尸〃平面與E/時(shí)，DP的最大值為當(dāng)

C.過(guò)點(diǎn)2，E,產(chǎn)的平面截正方體ABCD-AgCR所得的截面周長(zhǎng)為2回+后

D.當(dāng)三棱錐耳-BE尸的所有頂點(diǎn)都在球。的表面上時(shí)，球。的表面積為6兀

三、填空題

5.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知外月是兩個(gè)不同的平面，以”是平面以月外兩條不同的直線，給出四個(gè)條件：

?m±n；②a〃￡；③n邛;@mla,以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填寫(xiě)正確推理與

證明的序號(hào)）

（1）已知②③④，則①成立

（2）已知①③④，則②成立

（3）已知①②④，則③成立

（4）已知①②③，則④成立

6.（2022?北京平谷?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體AB。-，E是AD中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是棱A3、

GA上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①存在EN〃MQ；

②存在ACV_L平面ECQ；

③存在無(wú)數(shù)個(gè)等腰三角形EMN;

~24~

④三棱錐C-肱VE的體積的取值范圍是-,J.

則所有結(jié)論正確的序號(hào)是.

8

反思提升：

空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接

法或反證法；平行直線的判定可利用三角形（梯形）中位線的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線面平行與面

面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.

【考點(diǎn)3】異面直線所成的角

一、單選題

1.（2024?江西南昌?二模）在三棱錐A-BCZ）中，AB1平面BCD,AB=6，BC=BD=CD=2,E,F

分別為AC,CO的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AF,BE是異面直線，AF.LBEB.AF,BE是相交直線，AF.LBE

C.AF,BE是異面直線，AF與BE不垂直D.AF,BE是相交直線，"與物不垂直

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在該正方體中，下列命題正確的是（）

A.AB//HGB.CGLBHC.CGLDHD.AC//DG

二、多選題

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱錐A-P3C和正三棱錐。-P3C的側(cè)棱長(zhǎng)均為0,BC=2.若

將正三棱錐A-P3C繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)4尸分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A',P處，且A',8,C,。四點(diǎn)共面，點(diǎn)4,0分別位

于3C兩側(cè)，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.多面體ABDPC存在外接球B.PP'LBC

C.PP7/平面A%）CD.點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的最短軌跡長(zhǎng)大于叵

3

4.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2a的正方體ABC。-A與GA中，點(diǎn)尸在線段BG上運(yùn)動(dòng),

則（）

9

G

A.平面尸平面AC，

B.三棱錐2-APC的體積為定值

C.異面直線4尸與A2所成角的取值范圍是錯(cuò)

D.當(dāng)尸為BG的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐瓦-ACR的外接球的表面積為24兀

三、填空題

5.（2024?上海崇明?二模）已知底面半徑為1的圓柱，。是其上底面圓心，A、B是下底面圓周上兩個(gè)不同

的點(diǎn)，8C是母線.若直線Q4與BC所成角的大小為三，則3C=.

6.（2022?重慶沙坪壩,模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知“，6是相互垂直的兩條異面直線，直線A8與6均相互垂

直，且48=26,動(dòng)點(diǎn)。。分別位于直線。，b上，若直線PQ與所成的角夕=已三棱錐A-BPQ的

6

體積的最大值為.

反思提升：

1.綜合法求異面直線所成角的步驟：

（1）作：通過(guò)作平行線得到相交直線.

（2）證：證明所作角為異面直線所成的角（或其補(bǔ)角）.

（3）求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是栗求的角；如果求

出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是栗求的角.

2.向量法：利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?安徽蕪湖?三模）下列說(shuō)法正確的是（）

10

A.正方體各面所在平面將空間分成27個(gè)部分

B.過(guò)平面外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與這個(gè)平面平行

c.若空間中四條不同的直線4,4,44滿足4A。，。，則

D.若犯〃為異面直線，機(jī)，平面a,平面夕，且a與夕相交，若直線/滿足/，〃?,/，〃，貝心必平行于

?和夕的交線

2.（2024?上海?三模）如圖，點(diǎn)N為正方形ABC。的中心，，ECD為正三角形，平面ECZM平面ABC。，M

是線段E8的中點(diǎn)，則（）

A.DM*EN,且直線QM、EN是異面直線

B.DM=EN,且直線DM、EN是異面直線

C.DMHEN,且直線DW、EN是相交直線

D.DM=EN,且直線DM、EN是相交直線

3.（2020?四川眉山?二模）給出以下四個(gè)命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2024?山東日照?一模）已知/，根是兩條不同的直線，a為平面，mua,下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若/與a不平行，則/與機(jī)一定是異面直線

B.若/〃a,貝心與根可能垂直

C.若/Ia=A,且4e加，則/與可能平行

D.若/Ie=A,且/與a不垂直，貝!]/與機(jī)一定不垂直

二、多選題

5.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中（）

11

A.AF//CNB.BMIDE

C.CN與成60。角D.AE與是異面直線

6.（2024?山西運(yùn)城?一模）設(shè)人6是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有（）

A.若a〃a,b〃a,則a〃bB.若。_La,6_La,貝!|a//Z）

C.a//b,b//a,a（za,則a〃aD.若a//a,a//6,a<z尸，則a〃6

7.（2024?廣東深圳?二模）已知優(yōu)，〃是異面直線，mua,nu/3,那么（）

A.當(dāng)機(jī)_L〃，或〃_L&時(shí)，a1/3

B.當(dāng);"http://〃，且“〃a時(shí)，a!I{3

C.當(dāng)a-L/?時(shí)，mVP,或〃_La

D.當(dāng)a,用不平行時(shí)，機(jī)與夕不平行，且〃與a不平行

三、填空題

8.（20-21高二上?山西太原?階段練習(xí)）下列命題中正確的命題為.

①若，ABC在平面a外，它的三條邊所在的直線分別交a于P、。、R,則產(chǎn)、。、R三點(diǎn)共線；

②若三條直線a、b、c互相平行且分別交直線/于AB、C三點(diǎn)，則這四條直線共面；

③若直線a、6異面，b、c異面，則。、。異面；

④若a_Lc,6_Lc,貝!|a〃4

9.（2024?江蘇南通?二模）己知二面角夕-/一月為直二面角，A&a,Be/,A^l,B隹I,則AB與a,夕

所成的角分別為A3與/所成的角為_(kāi)________.

64

10.（2005?山東?高考真題）已知機(jī)、”是不同的直線，a、乃是不重合的平面，給出下列命題：

①若allp,mua,nu0,則mlln；

②若m,nc:a,m//P，n///3,則all/3；

③若〃?」/〃，#,m//〃，則a〃尸；

④是兩條異面直線，若mUa,m//0,n//a,nll/3,則a//￡.

上面的命題中，真命題的序號(hào)是.（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

四、解答題

11.（2022?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四面體中，點(diǎn)￡,F分別是A3,8C的中點(diǎn)，點(diǎn)G,H

12

⑴求證：直線EH,FG必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線8。上；

（2）若AB=2,求點(diǎn)B到平面EFG8的距離.

12.（2023?廣東汕頭?二模）如圖,正方體ABCD-^QD,中，直線/u平面,I=E,A.E=3EQ.

（1）設(shè)人Bg=P,lcCR=Q,試在所給圖中作出直線/,使得UCE,并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)A與（1）中所作直線/確定平面a.

①求平面a與平面ABCD的夾角的余弦值；

②請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中作出平面。截正方體ABCD-AAGR所得的截面，并寫(xiě)出作法.

【能力篇】

一、單選題

1.（2023?天津和平?三模）已知正方體ABC。-A4GA的棱長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,尸分別在棱44，AC上，且

“D.ED.F1_,

旃足==￡，點(diǎn)。為底面.CD的中心，過(guò)點(diǎn)E,F,。作平面EFO,則平面￡FO截正方體

ABCO-AACA所得的截面面積為（）

A.8后B.6722C.4722D.2722

二、多選題

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知利〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則（）

A.若m〃a,m1/3,則B.若mua,wu0,則加與“為異面直線

C.若則〃2〃￡D.若加_La,"〃a,則

13

三、填空題

3.（2006?四川?高考真題）加，“是空間兩條不同的直線，尸是空間兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題:

①加J_a,B，all。工n；

（2）m±n,alip,mLa