2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（原卷版）

專題30平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】數(shù)量積的計(jì)算......................................................4

【考點(diǎn)2】數(shù)量積的應(yīng)用......................................................5

【考點(diǎn)3］平面向量的綜合應(yīng)用.................................................6

【分層檢測】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.

2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的長度的關(guān)系.

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.

6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題.

■,知識梳理

L平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和"。是平面上的任意一點(diǎn)，作為=a,OB=b,則N

AO3=e(0WeW7i)叫做向量a與力的夾角.

(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與"它們的夾角為仇我們把數(shù)量lalOlcos。叫做向

量a與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a也即a0=|。|由|cos_規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積

為0,即0a=0.

(3)投影向量

一一M

如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作ON=b,過點(diǎn)M作直線ON的垂線，

垂足為Mi,則她就是向量a在向量8上的投影向量.06―

設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為仇則而i與e,a,6之間的關(guān)系為血i=|a|cos

0e.

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(xi,yi),b=(x2,yi),。為向量a,〃的夾角.

(1)數(shù)量積:a-b=\a\\b\cos0=x\xi-\-y\yi.

⑵模：|?|=\[a^a=^/X?+VT.

,~abxiX2-\~yiy2

⑶夾角：cos央=麗=：君+完日

(4)兩非零向量a_LZ>的充要條件：a?方=0=xix2+yi>2=0.

(5)|a0|W|a||6|(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時(shí)等號成立)Q|xix2+"y2|W人+y幺

3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)a0=萬。(交換律).

(2)%力=43萬)=”立方)(結(jié)合律).

(3)(a+b>c=a-c+"c(分配律).

4.平面幾何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

⑵通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

2

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

|常用結(jié)論

1.兩個(gè)向量a,8的夾角為銳角0a仍>0且a,8不共線；兩個(gè)向量a,8的夾角為鈍角Qa?方<0

且a,b不共線.

2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+Z>)(a—Z>)=a2—Z>2；

(2)(a+&)2=a2+2?-6+ft2.

(3)(a—Z>)2=a2—2a-Z>+&2.

3.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，ab=ac(a^,不能得出8=c,兩邊不能約去同一

個(gè)向量.

真題自測

一、單選題

L(2023?全國?高考真題)已知向量滿足同=忖=1,同=及，且a+b+c=0,PBJCOS〈Q-C,Z?-C〉=()

4224

A.——B.——C.一D.-

5555

2.(2023?全國,高考真題)已知。的半徑為1,直線以與CO相切于點(diǎn)4直線PB與，。交于2,C兩點(diǎn),

。為8C的中點(diǎn)，若|PO|=Q,則P4PD的最大值為()

A,電01+2點(diǎn)

D.-------

22

C.1+72D.2+0

3.(2023?全國，IWJ考真題)已知向量a=(1,1),6=(1,-1),若(a+_L(a+〃6),則

A.2+//=1B.X+4=—1

C.AjU=lD.%//=-1

4.(2022?全國?IWJ考真題)已知向量a=(3,4),〃=(l,0),c=Q+仍，若<a,c>=<b,c>,貝()

A.-6B.C.5D.6

5.(2022,全國，身考真題)已知向量。涉滿足|。|=1,|切二百,|?！?勿=3,則〃心=()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空題

6.(2023,全國考真題)已知向量〃，B滿足卜_司=百，卜+.二|23一目,則忖二

3

7.（2022?全國?高考真題）設(shè)向量〃，6的夾角的余弦值為:，且忖=1,忖=3,則（2〃+?！?

8.（2021?全國可考真題）已知向量〃+Z?+c=0,忖=1,忖=卜|=2,a-b+b-c+c-a=?

9.（2021?全國?高考真題）已知向量a=（l,3）,b=（3,4）,若（〃一48）_LZ?,貝！JX=.

10.（2021?全國?高考真題）已知向量a=（3,l）,Z?=（l,0）,c=a+kb.若〃_Lc，則左=.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】數(shù)量積的計(jì)算

一、單選題

1.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）已知向量4,6滿足同=1,忖=豆，且。與》的夾角為去則忤-*（）

A.三B.y/13C.1D.13

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測）直線y=Ax與圓（尤-l）2+（y-l）2=l交于十、N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則訴而=

（）

二、多選題

3.（2024?廣東廣州?二模）在梯形ABC。中，AB//CD,AB=1,CD=3,cosADAC=—,cosZACD=-,則（）

44

A.AD=^~B.cosZBAD---C.BAAD=--D.AC1BD

244

4.（2024,全國?模擬預(yù)測）已知q,e；是兩個(gè)單位向量，若AR=e]+ne；,〃=1,2,3,則（）

A.片,打出三點(diǎn)共線B.閭

C.-e1<AP2-ex<APi-exD.APX-e2<AF\-e2<AP5-e2

三、填空題

i4

5.（2024,河南?模擬預(yù)測）已知向量a=6=（1,2）,若a.b=l，則獲+"的取值范圍為.

L

6.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知向量&+8+c=0,|a|=1,也1=?=2,a-b+b-c+c-a^_

反思提升：

平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法

（1）基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量

積的有關(guān)計(jì)算問題；

（2）坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.

4

【考點(diǎn)2】數(shù)量積的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?四川眉山?三模）已知向量°eC滿足同=忖=1,同=—，且a+b+c=0,則cos（a-c,b—c）=（）

13?3石「3出13

A.—D.----------D.

14141414

2.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知向量a/的夾角為名且忖=2忖=2,若(ka—b),L(a+b)f則)二()

23

A.-B.gC.ID.

二、多選題

3.（2022?全國?模擬預(yù)測）在邊長為2正六邊形ABCD跖中，G是線段A3上一點(diǎn)，AG=AAB,則下列說法

正確的有（）

A.若幾=!，貝=—2AF

22

B.若向量CD在向量上的投影向量是〃A8,則〃=g

C.若P為正六邊形ABCDE/內(nèi)一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則APA8的取值范圍是［-2,6］

D.若CGCE=1，則4的值為:

4.（2023?河北唐山?二模）已知向量a=（cosa,cos4）,b=（sina,sinfc=（l,l）,下列命題成立的是（）

A.若；〃％,則a=#+E（左wZ）

B.若〃.。=1，貝!Ja+/=2E+'（左￡Z）

C.若（a+b）_L（〃一〃），貝lja+/?=%兀+］（左￡Z）

D.設(shè)a.c=根，c=n，當(dāng)療+/取得最大值時(shí)，a=/3-\-2kn（kGZ）

三、填空題

5.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知平面向量a*滿足同=2忖=6,卜+同=3夜,°力=9,則實(shí)數(shù)k的值為.

6.（2024?四川?模擬預(yù)測）平面向量a,人滿足。=（-3,2）,a-b=（l,k）,且則上的值為.

反思提升：

（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a,為非零向量，則cos。=曲條（夾角公式），a_LZ>=a0=

0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.

（2）計(jì)算向量的模：①當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；②利用|a|=/^及

（a±bf=\a\2±2a-b+\b\2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；③幾何法，利用向量的幾何意

義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

5

【考點(diǎn)3】平面向量的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知,ABC是邊長為4石的正三角形，點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且

滿足網(wǎng)+BP+C4=3,貝”叫的最小值是（）

8

A.1B.2C.3D.-

3

2.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）在中，角A、B、。的對邊分別為〃、b、若c=3,b=2,ZBAC

的平分線相＞的長為逑，則BC邊上的中線A"的長等于（）

5

V17R4A/2r717n

2343

二、多選題

2

3.（2024?廣東廣州?二模）已知雙曲線C:/-匕=1的左右焦點(diǎn)分別為用，鳥，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是C的右

3

支上一點(diǎn)，則（）

A.歸耳「_歸入『的最小值為8

B.若直線P乙與C交于另一點(diǎn)。，則|P"的最小值為6

C.|尸耳卜|尸閭一|。尸（為定值

D.若/為△必打的內(nèi)心，則|聞T詞為定值

4.（2024?山西?三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平

整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個(gè)相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂

蜜，如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口AB8EP,它的邊長為1,點(diǎn)P是SDE尸內(nèi)部（包括邊界）的動點(diǎn)，則

（）

A.DE^AF--AD

2

3

B.ACBD=—

4

C.若尸為環(huán)的中點(diǎn)，則。尸在EC上的投影向量為-石EC

6

D.莊+叮的最大值為近

三、填空題

5.（2024,全國?模擬預(yù)測）已知等邊.ABC的外接圓。的面積為36萬，動點(diǎn)M在圓。上，若

MAMB+MBMC<A^則實(shí)數(shù)％的取值范圍為.

22

6.（2024?河北秦皇島?二模）已知雙曲線C：=-3=1（。>0,6>0）的左焦點(diǎn)為凡過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與

ab~

C交于A,B兩點(diǎn)，且|硒=2但目，F(xiàn)AFB=3a2,則C的離心率為.

反思提升：

向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想

（1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能

進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

（2）基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量

的方程來進(jìn)行求解.

（3）利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和

方法，以向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?湖南長沙?二模）已知向量a、b、C中，。是單位向量，網(wǎng)=3，a與b的夾角為c=b-a

則。?〃=（）

11

A.2B.—C.----D.-1

22

2.（2024?浙江?三模）己知單位向量滿足a/=0，則cos（3a+4b,a+?=（）

A.0B.C.—D.1

1010

3.（2023?山東青島?二模）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)Z]=l+i,z?=2-i,Z3=1+力近（meR）分別表示向量Q4,

OB,OC，若A8J_OC，則"卜（）

A.72B.&C.@D.五

22

4.（2024?湖北武漢?二模）已知xeR,向量a=伍2）力=（2,-1）,且°，6,則°+B在a上的投影向量為（）

A.也B.5C.（1,2）D.（2,-1）

二、多選題

7

5.（23-24高三下?山東荷澤?開學(xué)考試）已知單位向量〃，b的夾角為。，則下列結(jié)論正確的有（）

A.(a+b)-L(a-b)

B.。在。方向上的投影向量為

C.若|a+Z?|=l,則。=60

D.若(〃+/?)?〃=(〃一/?)?〃，則?！?/p>

6.（2023?山東?二模）下列說法正確的是（）

A.\a+b]-c=a-c+b-c

B.非零向量°和儲滿足卜卜口且0和b同向，貝必＜）

C.非零向量0和6滿足卜+目=卜-@,則°_16

D.已知a=（2,括），6=（1,右），則a在方的投影向量的坐標(biāo)為

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量。=（-1,2）,。=（羽2）,若a/6,則下列說法正確的是（）

A.x=4B.a-(a+b)=5

1216

a-b_La+b在”+上的投影向量為

C.D.6by'y

三、填空題

已知平面內(nèi)非零向量4在向量6上的投影向量為-;6,且同=3忖，則a與人夾

8.（2024?江西?模擬預(yù)測）

角的余弦值為

9.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量a=（l,l）,b=（力,一1）,若a_L（&-6）,則忖=.

10.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知向量a=（左,2）,6=（2,1）,若a，b，則實(shí)數(shù)小.

四、解答題

11.（23-24高三上?北京?階段練習(xí)）在ASC中，sinfA+^jsinfB+UcosAcosB.

⑴求C；

（2偌AB=母,求C/LCB的最小值.

12.（2024?黑龍江?二模）已知向量根=（氐嗚,sin'+cos；n=[2cos^,sin-1--cos^j,且函數(shù)

/'（%）="-2-。在工€11上的最大值為2-6.

⑴求常數(shù)。的值;

8

（2）求函數(shù)〃x）的單調(diào)遞減區(qū)間.

【能力篇】

一、單選題

1.（23-24高一下,福建泉州,期中）已知向量2同=忖=26,。/=2,貝！|cos（a-b,a）=（）

A.叵B.qC.-D.姮

33331111

二、多選題

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知向量a=（cosasin6）,b=（-3,4）,則下列命題為真命題的是（）

4

A.右〃///?,則tan6=