2025年高考數(shù)學一輪復習講義：用樣本估計總體（原卷版）

專題56用樣本估計總體（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................5

【考點1】百分位數(shù)的估計....................................................5

【考點2】總體集中趨勢的估計.................................................7

【考點3］總體離散程度的估計................................................9

【分層檢測】...............................................................11

【基礎篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................15

考試要求：

1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求〃個數(shù)據的第p百分位數(shù).

2.會用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.

.知識梳理

L總體百分位數(shù)的估計

(1)第P百分位數(shù)的定義

一般地，一組數(shù)據的第2百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據中至少有睡的數(shù)據小于或

等于這個值，且至少有(100—p)%的數(shù)據大于或等于這個值.

(2)計算一組n個數(shù)據的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據.

第2步,計算，=.Xp%.

第3步，若，不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為/,則第p百分位數(shù)為第2項數(shù)據；若，?是整數(shù)，

則第p百分位數(shù)為第i項與第(計1)項數(shù)據的平均數(shù).

2.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據,叫做這組數(shù)據的眾數(shù).

(2)中位數(shù)：把〃個數(shù)據按大小順序排列，處于最空間位置的一個數(shù)據(或最中間兩個數(shù)據的平

均數(shù))叫做這組數(shù)據的中位數(shù).

⑶平均數(shù)：把'…+劭稱為0,。2,…，詼這〃個數(shù)的平均數(shù).

(4)標準差與方差：設一組數(shù)據XI,X2,X3,…，X”的平均數(shù)為"則這組數(shù)據的標準差和方差

分別是s=

[%(XI—X)2+(X2—X)2H------H(X"一關)2],

1一一-

2-2

s=~[(X1-x)2+(X2-x)2H----1-(xnX)].

|常用結論

1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關系

⑴最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

⑶平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小

長方形底邊中點的橫坐標之和.

2.平均數(shù)、方差的公式推廣

(1)若數(shù)據xi,xi,…，我的平均數(shù)為x,那么"ixi+a,mx2-\-a,mx3~\-a,…，如:的平均數(shù)

2

是mx-\-a.

（2）若數(shù)據％1,X2,,,,,小的方差為心,那么

①數(shù)據％I+Q,xi+a,…，而+。的方差也為V；

②數(shù)據0X1,aX2,…，〃元〃的方差為。2s2.

*真題自測

一、單選題

1.（2024?全國?高考真題）某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產量（單位：kg）并整理如下表

畝產量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)61218302410

根據表中數(shù)據，下列結論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間

2.（2022.全國?高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽

取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和

講座后問卷答題的正確率如下圖：

100%

95%....................................................................■0

90%-------?-------------------------------------------米----------------------

樹85%

每80%*講座前

田75%-----------------------------------------------------------------------------------*-----------------------------------------------------?講座后

70%..............................*'

65%------*....................

60%t-.............*..........................................................

0--------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1—

U12345678910

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

3

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

二、多選題

3.（2023?全國?高考真題）有一組樣本數(shù)據玉,程…，％，其中七是最小值，%是最大值，貝U（）

A.々，七，4內的平均數(shù)等于和尤2，1*6的平均數(shù)

B.尤2，尤3，*4，尤5的中位數(shù)等于尤1，尤2「“，%的中位數(shù)

C.%2，%3，為4，%的標準差不小于為，工2，”，，工6的標準差

D.%,無3,尤4，尤5的極差不大于石，無2,…，毛的極差

三、解答題

4.（2024?上海?高考真題）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱.

（1）隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；

（2）進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單

果質量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預估果園中單果的質量.

5.（2022?全國?高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

4

考點突破

【考點1】百分位數(shù)的估計

一、單選題

1.（2025?黑龍江大慶?一模）法國當?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉

行開幕式."奧林匹克之父”顧拜旦曾經說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不

是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學校組織高一年級學生進行奧運專題的答題活動.為了調查男生和女

生對奧運會的關注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到

高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據：

男生82858687889090929496

女生82848587878788889092

則下列說法錯誤的是（）

A.男生樣本數(shù)據的25%分位數(shù)是86

B.男生樣本數(shù)據的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據的眾數(shù)

C.女生樣本數(shù)據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據的平均數(shù)不變

D.女生樣本數(shù)據中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據的方差不變

2.（2024?河南鄭州?模擬預測）已知某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72,78,

80,81,83,86,88,90,則這組數(shù)據的第75百分位數(shù)是（）

A.86B.87C.88D.90

二、多選題

3.（2023?江蘇連云港?模擬預測）某學校共有2000名男生，為了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查

了100名男生體重情況.根據所得數(shù)據繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

A.樣本的眾數(shù)為67.5B.樣本的80%分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為66D.該校男生中體重低于604的學生大約為150人

4.（2024?廣東佛山?模擬預測）某企業(yè)是一所大學的社會實踐基地，實踐結束后學校對學生進行考核評分,

其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學校規(guī)定，把成績位于后25%的學生劃定為不及格，把成績位于前

5

25%的學生劃定為優(yōu)秀，則下列結論正確的是（）

A.本次測試及格分數(shù)線的估計值為60分B.本次測試優(yōu)秀分數(shù)線的估計值為75分

C.本次測試分數(shù)中位數(shù)的估計值為70分D.本次測試分數(shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)

、填空題

5.（2024?上海?模擬預測）某同學高三以來成績依次為110,93,92,93,88,86,則這組數(shù)據的第40百分

位數(shù)為.

6.（2024?云南曲靖二模）抽樣統(tǒng)計得到某班8名女生的身高分別為160,155,157,155.5,154,158,155,162,則

這8名女生身高的第75百分位數(shù)是.

反思提升：

計算一組數(shù)據的第p百分位數(shù)的步驟

遍三按從小到大排列原始數(shù)據]

計算i=nxp%]

若，不是整數(shù)，而大于泊勺比鄰

「整數(shù)為/,則第p百分位數(shù)為第

-------------------

若，?是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第

i項與第（i+1）項數(shù)據的平均數(shù)

【考點2】總體集中趨勢的估計

一、單選題

1.（2024?廣東惠州?模擬預測）為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知

識測試，得分如圖所示，假設得分值的中位數(shù)為。，眾數(shù)為6,平均值為。，則（）

頻數(shù)

0

8

6

4

2

O

B.b<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

2.（2024?四川綿陽?模擬預測）某教育機構為調查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每

天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據此直方圖得出了

6

A.估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天

B.估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3

C.估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時

D.估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時

二、多選題

3.（2025?廣東?一模）現(xiàn)有十個點的坐標為（%,0）,（孫0"..,（/,0）,它們分別與（乂,10）,（%,10）,…,（如,10）

關于點（3,5）對稱.已知王,無2,…,稅的平均數(shù)為。，中位數(shù)為b,方差為c,極差為d,貝1|加這組

數(shù)滿足（）

A.平均數(shù)為6-aB.中位數(shù)為6-b

C.方差為cD.極差為d

4.（23-24高一下?全國，期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱

形態(tài)，圖（2）形成"右拖尾"形態(tài)，圖（3）形成"左拖尾"形態(tài)，根據所給圖作出以下判斷，正確的是（）

B.圖（2）的平均數(shù)（眾數(shù)（中位數(shù)

C.圖（2）的眾數(shù)〈中位數(shù)（平均數(shù)

D.圖（3）的平均數(shù)〈中位數(shù)〈眾數(shù)

三、填空題

5.（2022?北京?模擬預測）某班在一次考試后分析學生在語文、數(shù)學、英語三個學科的表現(xiàn)，繪制了各科年級

排名的散點圖（如下圖所示）.

7

語文和英語年級排名散點圖語文和數(shù)學年級排名散點圖

30o30o

25o25o

20o20o

15o15o

10O10O

5050

0°0

05010015020025030035050100150200250300350

語文排名語文排名

關于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結論：

①三科中，數(shù)學年級排名的平均數(shù)及方差均最小；

②語文、數(shù)學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人；

③本次考試該班語文第一名、數(shù)學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；

④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200,則其英語和數(shù)學排名均在150以內的概率為g.

其中所有正確結論的序號是.

6.（2014高三?全國?專題練習）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)

進行了"家庭每月日常消費額”的調查.他們將調查所得的數(shù)據分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、

乙、丙所調查數(shù)據的標準差分別為名，$2，鼻，則它們的大小關系為.（用連接）

頻率

反思提升：

（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應用要點

中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據的平均水

平，我們需根據實際需栗選擇使用.

8

（2）頻率分布直方圖的數(shù)字特征

①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據的頻率分布

直方圖中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標；

②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；

③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和.

【考點3］總體離散程度的估計

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知有4個數(shù)據的平均值為5,方差為4,現(xiàn)加入數(shù)據6和10,則這6

個數(shù)據的新方差為（）

713

A.-B.—C.6D.10

33

2.（2024?陜西西安?模擬預測）已知一組樣本數(shù)據如々,…,毛的方差為10,且%+%=%+%,則樣本數(shù)據

?X1Tx2+1,退-1,匕+1,%的方差為（）

A.9.2B.10.8C.9.75D.10.25

二、多選題

3.（2024?山東泰安?模擬預測）下列結論正確的是（）

A.回歸直線y=bx+a至少經過其樣本數(shù)據（人,%）,（々，%），一（%，%）中的一個點

B.已知命題p：Vx,ye（0,l）,x+y<2,則命題p的否定為業(yè)ye（0,1）,x+y22

c.若x為取有限個值的離散型隨機變量，則［E（X）TNE（X2）

D.若一組樣本數(shù)據耳、々、L、%的平均數(shù)為10,另一組樣本數(shù)據2%+4、2%+4、L、2招+4的

方差為8,則兩組樣本數(shù)據合并為一組樣本數(shù)據后的平均數(shù)和方差分別為17和54

4.（2024?福建福州?模擬預測）下列說法中，正確的是（）

A.數(shù)據40,27,32,30,38,54,31,50的第50百分位數(shù)為32

B.已知隨機變量J服從正態(tài)分布尸《<4）=0.84；則P（2<J<4）=0.34

C.己知兩個變量具有線性相關關系，其回歸直線方程為》=0+晟；若5=2,x=i,y=3,則&=1

D.若樣本數(shù)據為,尤2,…，占0的方差為2,則數(shù)據2%-1,2々-1,…,2為0-1的方差為4

三、填空題

5.（2023?吉林?一模）吉林市一中學有男生900人，女生600人.在“書香校園”活動中，為了解全校學生的

讀書時間，按性別比例分層隨機抽樣的方法抽取100名學生，其中男生、女生每天讀書時間的平均值分別

為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15.結合上述數(shù)據估計該校學生每天讀書時間的平均值為分

鐘，方差為.

9

6.（2022?北京?模擬預測）某班在一次考試后分析學生在語文、數(shù)學、英語三個學科的表現(xiàn)，繪制了各科年級

排名的散點圖（如下圖所示）.

語文和英語年級排名散點圖語文和數(shù)學年級排名散點圖

300300

250250

r0o2

00

翳5o5o

10OOO

5()5()

0050100150200250300350°050100150200250300350

語文排名

關于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結論：

①三科中，數(shù)學年級排名的平均數(shù)及方差均最?。?/p>

②語文、數(shù)學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人；

③本次考試該班語文第一名、數(shù)學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；

④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200,則其英語和數(shù)學排名均在150以內的概率為

其中所有正確結論的序號是.

反思提升：

標準差（方差）反映了數(shù)據的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標準差（方差）較大，數(shù)據的離散程

度越大；標準差（方差）較小，數(shù)據的離散程度越小.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?模擬預測）某高校為宣揚中華文化，舉辦了〃論語吟唱〃的比賽，在比賽中，由A,B兩

個評委小組（各9人）給參賽選手打分.根據兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則

10

A.2組打分的方差小于A組打分的方差

B.2組打分的中位數(shù)為75

C.A組的意見相對一致

D.A組打分的眾數(shù)為50

2.（2024?四川?一模）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量（單位：kg）,

將全部數(shù)據按區(qū)間［50,60）,［60,70）,…，［90,100］分成5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖：

根據圖中信息判斷，下列說法中不恰當?shù)囊豁検牵ǎ?/p>

A.圖中。的值為0.005

B.這200天中有140天的日銷售量不低于80kg

C.這200天銷售量的中位數(shù)的估計值為85kg

D.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧

客的需求），則每天的蘋果進貨量應為91kg

3.（2024?廣東珠海?模擬預測）下列說法正確的是（）

A.一組數(shù)據的標準差為0,則這組數(shù)據中的數(shù)均相等

B.兩組數(shù)據的標準差相等，則這兩組數(shù)據的平均數(shù)相等

C.若兩個變量的相關系數(shù)越接近于0,則這兩個變量的相關性越強

D.已知變量X;，由它們的樣本數(shù)據計算得到片的觀測值上25.527,長的部分臨界值如下表：

2

P（K>k0）0.10.050.0250.01

k。2.7063.8415.0246.635

則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為變量x,y沒有關系

4.（2024?四川資陽?二模）某產品的標準質量是50克/袋，抽取8袋該產品，稱出各袋的質量（單位：克）

如下：48,49,50,50,50,50,51,52.這8袋產品中，質量在以平均數(shù)為中心，1倍標準差范圍內的有

（）

A.4袋B.6袋C.7袋D.8袋

二、多選題

11

5.（2024?浙江嘉興?模擬預測）下列說法正確的是（）

A.樣本數(shù)據20,19,17,16,22,24,26的下四分位數(shù)是17

B.在比例分配的分層隨機抽樣中，若第一層的樣本量為10,平均值為9,第二層的樣本量為20,平均

值為12,則所抽樣本的平均值為11

C.若隨機變量X~8（5,￡|,則P（X=2）=去

D.若隨機變量X~N（4,b2）（b>。）,若尸（妹2）=0.8,則尸（x>6）=0.2

6.（2024?湖北?模擬預測）某公司為保證產品生產質量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產品生產線的次品件數(shù)，得

到關于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據：3,4,3,1,5,3,2,5,1,3,則關于這組數(shù)據的結論

正確的是（）

A.極差是4B.眾數(shù)小于平均數(shù)

C.方差是1.8D.數(shù)據的80%分位數(shù)為4

7.（24-25高三上?內蒙古赤峰?階段練習）某地農研所為研究新的大豆品種，在面積相等的80塊豆田上種植

一種新型的大豆，得到各塊豆田的畝產量（單位：kg）,將所得數(shù)據按[150,160）,[160,170）,[170,180）,

[180,190）,[190,200）,[200,210]分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖:

則下列結論正確的是（）

A.這80塊豆田的畝產量的中位數(shù)低于180kg

B.這80塊豆田的畝產量的極差不高于60kg

C.在這80塊豆田中，畝產量不低于190kg的豆田所占比例為20%

D.這80塊豆田的畝產量的第75百分位數(shù)高于180kg

三、填空題

8.（2024?廣東珠海?一模）甲、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成

績?yōu)?2分，方差為90分2；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分2.那么甲、乙兩班全部90名學生的平

均成績是分，方差是分2.

12

9.（2024?上海?模擬預測）已知樣本號,孫'，尤2024的平均數(shù)為2,方差為2023,則片,尺,……，芯）24的平均數(shù)

為.

10.（2024?江西?模擬預測）某新能源汽車4s店五月份的前8天汽車銷量（單位:輛）分別為：3,7,11,5,8,15,21,9,

則這組數(shù)據的75%分位數(shù)為.

四、解答題

11.（2024?四川綿陽?模擬預測）2024年，全國政協(xié)十四屆二次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，

3月10日上午閉幕；十四屆全國人大二次會議于3月5日上午開幕，11日上午閉幕.為調查居民對兩會相關

知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100

分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.

⑴根據頻率分布直方圖，估計全體居民得分的方差（各組以區(qū)間中點值作代表）；

⑵為鼓勵小區(qū)居民學習兩會精神，移動公司計劃為參與本次活動的居民進行獎勵，獎勵分為以下兩種方案：

方案一：參與兩會知識問答的所有居民每人獎勵20元話費充值卡；

方案二：問答活動得分低于平均分的居民獎勵15元話費充值卡，得分不低于平均分的居民獎勵25元話費

充值卡.

你認為哪種方案，小區(qū)居民所得的獎勵更多，請說明理由.

12.（2024?四川成都?模擬預測）某機構為了解2023年當?shù)鼐用窬W購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023

年全年網購消費金額（單位：千元）進行了統(tǒng)計，所統(tǒng)計的金額均在區(qū)間［0,30］內，并按［0,5）,［5,10）,

…,［25,30］分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

⑴求圖中〃的值，并估計居民網購消費金額的中位數(shù);

13

（2）若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數(shù)據，補全2x2列聯(lián)表，并判斷是否有

99%的把握認為樣本數(shù)據中網購迷與性別有關系？說明理由.

男女合計

網購迷20

非網購迷47

合計

下面的臨界值表僅供參考:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001