2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)題型點(diǎn)撥訓(xùn)練之排列與組合

2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)題型點(diǎn)撥訓(xùn)練

排列與組合

【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)(押題型)

【題型二】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空

【題型三】人坐座位模型2：染色(平面、空間)

【題型四】分配問題：球不同，盒不同

【題型五】分配問題：球同，盒不同

【題型六】書架插書模型

【題型七】代替元法：最短路徑

【題型八】代替元法：空車位停車等

【題型九】環(huán)排問題：直排策略

【題型十】數(shù)列思想：上樓梯等

排列組合和二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來(lái)考察，所以需要考生對(duì)

于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握題型的基礎(chǔ)

上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。

根據(jù)高考回歸課本的趨勢(shì)，排列數(shù)與組合數(shù)的運(yùn)算以及術(shù)與式的歸納理解要求要相繼變高，而這塊內(nèi)

容也是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的固定題型容易被學(xué)生忽略的知識(shí)點(diǎn)，需要重視起來(lái)。

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

完成一件事的策略完成這件事共有的方法

分類加法有兩類不同方案?,在第1類方案中有m種不同

N=m+n種不同的方法

計(jì)數(shù)原理的方法，在第2類方案中有w種不同的方法

分步乘法需要兩個(gè)步驟?,做第1步有機(jī)種不同的方法，

N=mxn種不同的方法

計(jì)數(shù)原理做第2步有〃種不同的方法

?(1)每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就

可完成這件事.

(2)各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.

?(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這

件事.

(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.

易錯(cuò)提醒：1.完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨(dú)立，在第1類方案中有ml種不同的方

法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有

N=ml+m2+…+mn種不同的方法.

2.完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有ml種不同的方法，做第2步有m2種不同的

方法……做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N=mlxm2x...xmn種不同的方法.

例設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2,3,3,4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意

一面下山，則下列結(jié)論正確的是()

A.從東面上山有20種走法B.從西面上山有27種走法

C.從南面上山有30種走法D.從北面上山有32種走法

破解：若從東面上山，則上山走法有2種，下山走法有10種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有20種走法；

若從西面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；

若從南面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；

若從北面上山，則上山走法有4種，下山走法有8種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有32種走法；

故選：ABD

變式1：近年來(lái)，重慶以獨(dú)特的地形地貌、城市景觀和豐富的美食吸引著各地游客，成為“網(wǎng)紅城市”.遠(yuǎn)道

而來(lái)的小明計(jì)劃用2天的時(shí)間游覽以下五個(gè)景點(diǎn)：解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、“輕軌穿樓”打卡點(diǎn)、磁器

口，另外還要安排一次自由購(gòu)物，因此共計(jì)6項(xiàng)內(nèi)容.現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個(gè)時(shí)間段，每個(gè)

時(shí)段完成1項(xiàng)內(nèi)容，其中大劇院與洪崖洞的時(shí)段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在晚上，“輕軌

穿樓”必須安排在白天，其余項(xiàng)目沒有限制，那么共有種方案.

變式2：從0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字，試問：

(1)有多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的排列？

(2)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)(押題型)

1.排列、組合的定義

排列的按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元

從n個(gè)不同元

定義素的一個(gè)排列

素中取出

組合的

皿形9)個(gè)兀素合成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的一個(gè)組合

定義

2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出

定從n個(gè)不同元素中取出m(m<n,m,〃￡N*)

m(m<n,m,〃￡N*)個(gè)元素的

義個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)

所有不同排列的個(gè)數(shù)

Am

A：=n(n—l)(n一2)...(n一m

公〃Am

n\

式+1)=-----------_〃(網(wǎng)一1)(〃一母)？n—m+

(n-m)!

ml

性

z~?0_[「m_「m.z^m-1_「tn

A：="!，0!=1,'Jfi—'Ln—

質(zhì)

正確理解組合數(shù)的性質(zhì)

(1)c；=C'；；'n：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的方法數(shù)等于取出剩余n-m個(gè)元素的方法數(shù).

(2)C；+C：-1=CL：從"+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素A有C：種

方法；②含特殊元素A有種方法.

I—I

典例精講

【例1】組合數(shù)C?(n>r..l,〃、reZ)恒等于()

A.二B.(n+lXr+DC；：；C.nrC^D.-C；：；

【例2】規(guī)定=—(i+1),其中xeR,機(jī)是正整數(shù)，且C"l,這是組合數(shù)C；(〃，機(jī)是正整

ml

數(shù)，且加W〃)的一種推廣.

(1)求C1的值.

⑵組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①C：=C7"；②C：+C：T=C3是否都能推廣到C：(xeR,根是正整數(shù))的情形？

若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由；

(3)已知組合數(shù)C：是正整數(shù)，證明：當(dāng)xeZ,相是正整數(shù)時(shí)，C：eZ.

【例3】(1)求7C：?4C；的值；

(2)設(shè)m,neN*,n>m,求證：

(m+1)C：+(m+2)CC+i+(m+3)C：+2++nC：_1+(n+1)C：=(m+1)C鬻.

I—I

名校模擬

【變式1](2024遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))(多選)若優(yōu)，”為正整數(shù)且〃>旭>1,貝I()

f-yrn/^i/n+1

A.C,+C++C：=2"B-C“=C,+1-C“

1

c.mCXn-DC：；D.A：+,＜：-'=A：+1

【變式2］（2024山東濟(jì)南.一模）（多選）下列等式中正確的是（）

88

A.ECs=28B,fc：=C；

k=lk=2

8、

2?）一=或

【變式3X2024?安徽合肥?一模）“4-數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)q是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意“wN*,

定義'"數(shù)"（嘰=1+4++/T利用“好數(shù)”可定義“4-階乘”⑺!產(chǎn)（力（2%（磯，且（。/=1.和“”組合

二（磯

數(shù)”，即對(duì)任意左WN,〃EN*,ZM〃,q

k

）q（左兒（九一左兒

⑴計(jì)算:

（2）證明：對(duì)于任意左,〃EN*,左+1?〃

n+m+l\(n\g(n+i\

（3）證明：對(duì)于任意左，機(jī)wN,〃wN*,左+1W〃，

【題型二】人坐座位模型1:相鄰捆綁與不相鄰插空

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來(lái)坐，來(lái)的是誰(shuí)；5、必要時(shí)，座位拆遷，剩

余座位隨人排列。

主要典型題：1.捆綁法2插空法；3.染色。

出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)踐重疊，必要時(shí)候，可以使用容斥原理來(lái)等價(jià)處理：

=n（A）+n（B）-n（AnB）

容斥原理

?—?

典例精講

【例1】高二年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若

采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2

位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：（）

A.—B.—C.—D.-----

102040120

【例2】某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、

乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有

A.504種B.960種C.1008種D.1108種

【例3】在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著

出場(chǎng)，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

?—?

名校模擬

【變式1］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1,1,2,

3,5,8,…，這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，小李以前6項(xiàng)數(shù)字的某種排列作為他的

銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（）

A.144B.120C.108D.96

【變式2】現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為A3,CD,瓦尸,G）排成一排拍照，若其中A瓦C三人互不相鄰，D,E

兩人也不相鄰，而尸,G兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【變式3】“迎冬奧，跨新年，向未來(lái)”，水球中學(xué)將開展自由式滑雪接力賽.自由式滑雪接力賽設(shè)有空中

技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目.現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)

參賽，若要求相鄰出場(chǎng)選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目均有所展示，

則共有一種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案.（用數(shù)字作答）

【題型三】人坐座位模型2：染色（平面、空間）

染色問題：

1.用了幾種顏色

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。

空間幾何體，可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形

?—I

典例精講

【例1】如圖，圖案共分9個(gè)區(qū)域，有6中不同顏色的涂料可供涂色，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其

中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有

A.360種B.720種C.780種D.840種

【例2】某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面所涂

顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

EF

A.1080種B.720種C.660種D.600種

【例3】如圖，用5種不同的顏色給圖中的A、B、C、D、E、尸6個(gè)不同的點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂1種

顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有種.

名校模擬

【變式1】如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條

線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用

C.240種D.168種

【變式2】如圖，一圓形信號(hào)燈分成A尻C,。四塊燈帶區(qū)域,現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每

塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色,則不同的信號(hào)總數(shù)為（)

A.18B.24C.30D.42

【變式3】如圖，圓被其內(nèi)接三角形分為4塊，現(xiàn)有5種顏色準(zhǔn)備用來(lái)涂這4塊，要求每塊涂一種顏色，且

相鄰兩塊的顏色不同，則不同的涂色方法有

A.360種B.320種C.108種D.96種

【題型四】分配問題：球不同，盒不同

球不同，盒不同(主要的)

方法技巧：盒子可空，指數(shù)幕形式，盒的球次幕，盒子不可空"先分組再排列”分類討論

注意平均分組時(shí)需要除以組數(shù)的全排列。

典例精講

【例1】(2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí))8張不同的郵票，按下列要求各有多少種不同的分法？(用式子表示)

(1)平均分成四份;

(2)平均分給甲、乙、丙、丁四人;

(3)分成三份，一份4張,一份2張，一份2張;

(4)分給甲、乙、丙三人,甲4張，乙2張，丙2張;

(5)分給三人，一人4張,一人2張,一人2張;

(6)分成三份，一份1張,一份2張,一份5張;

(7)分給甲、乙、丙三人,甲得1張,乙得2張，丙得5張;

(8)分給甲、乙、丙三人,一人1張,一人2張，一人5張.

【例2】如圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器.接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否

則就不能接收到信號(hào).若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均

分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是()

信號(hào)源

8

D.

15

【例3】(23-24高三上.云南昆明.開學(xué)考試)現(xiàn)將6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本,

已知書籍A分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

I—I

名校模擬

【變式1］（2024?山東煙臺(tái)?三模）教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)部分大學(xué)培養(yǎng)教育專業(yè)公費(fèi)師范生，

畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教,

則（）

A.甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為士

25

B.甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為二

42

C.每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為g

D.乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為:

【變式2］某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2

名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（）

A.48B.54C.60D.72

【變式3］已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝

有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11,則不同的放球方法種數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

【題型五】分配問題：球同，盒不同

球相同，盒子不同

方法技巧：盒子不可空用擋板法，盒子可空用接球法。

?—I

典例精講

【例1】1.10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，有種方法；若10塊相同的巧克力，每天

至少吃一塊，直到吃完為止又有種方法.（用數(shù)字作答）

【例2】（2024高三下?江蘇?專題練習(xí)）某校將8個(gè)足球賽志愿者名額分配到高一年級(jí)的四個(gè)班級(jí)，每班至

少一個(gè)名額，則不同的分配方法共有種（用數(shù)字作答）.

【例3】按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？

（1）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子；

（2）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；

（3）5個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；

（4）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒.

I—1

名校模擬

【變式1］（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝

2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

【變式2］（23-24高二上.遼寧沈陽(yáng)?期末）將20個(gè)無(wú)任何區(qū)別的小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，要

求每個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法有（）

A.90種B.120種C.160種D.190種

【變式3】（2024高三上?全國(guó)?專題練習(xí)）（要求每個(gè)盒子可空）將8個(gè)相同的小球分別放入4個(gè)不同的盒子

中，每個(gè)盒子可空，有多少種不同的放法？

【題型六】書架插書模型

（1）書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；

（2）定序問題可使用倍縮法。

I—I

典例精講

【例1】有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其

他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【例2】書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來(lái)5本書的順序不變，則不

同的插法種數(shù)為（）.

A.60B.120C.336D.504

【例3】（21-22高二下?重慶渝中?階段練習(xí)）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A,B,C三個(gè)新節(jié)

目，如果保持原來(lái)8個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，節(jié)目2要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有—

種不同的插入方法.（用數(shù)字作答）

I—I

名校模擬

【變式1］（2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測(cè)）2022年10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利閉幕.某

班舉行了以“禮贊二十大、奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晚會(huì)，原定的5個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又臨

時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為（）

A.42B.30C.20D.12

【變式2】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目

插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

A.6B.12C.15D.30

【變式3］（2024春?江蘇鹽城?高二?？茧A段練習(xí)）書架上已有《詩(shī)經(jīng)》、《西游記》、《菜根譚》、《吶喊》、《文

化苦旅》五本書，現(xiàn)欲將《圍城》、《駱駝祥子》、《四世同堂》三本書放回到書架上，要求不打亂原有五本

書的順序，且《駱駝祥子》和《四世同堂》必須相鄰，則不同的放法共有（）

A.40種B.42種C.60種D.84種

【題型七】代替元法：最短路徑

左右上下移動(dòng)的最短距離，可以把移動(dòng)方向看做字母，比如，向右是字母A,向上是字母B,則移動(dòng)幾步就

是幾個(gè)A,與B相同元素排列

代替元法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”

I—I

典例精講

［例1］格點(diǎn)是指平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).一格點(diǎn)沿坐標(biāo)線到原點(diǎn)的最短路程為該點(diǎn)到原

點(diǎn)的“格點(diǎn)距離”（如：尸（-2,1）,則點(diǎn)尸到原點(diǎn)的格點(diǎn)距離為2+1=3）.格點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡稱為“格

點(diǎn)圓”，該定值稱為格點(diǎn)圓的半徑，而每一條最短路程稱為一條半徑.當(dāng)格點(diǎn)半徑為6時(shí)，格點(diǎn)圓的半徑有—

條（用數(shù)字作答）.

（多選）【例2】（2024?江蘇?高二專題練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志

愿者活動(dòng).小明在如圖的街道￡處，小華在如圖的街道P處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說(shuō)法正確

的是（）

———————TG

F

E*-----------------------

A.小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條

B.小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條

1O

C.小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為方

D.小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件4小明經(jīng)過a

事件2：從廠到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則尸（引力=百

【例3】如圖所示是某個(gè)區(qū)域的街道示意圖（每個(gè)小矩形的邊表示街道），那么從A到8的最短線路有（）

條

A.100B.400C.200D.250

?—?

名校模擬

【變式1】有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點(diǎn)出發(fā)不經(jīng)過C、D點(diǎn)到達(dá)2點(diǎn)的最短路徑有

種.

【變式2】某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)（圖中黑線表示道路）,

則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有條.

北

A

【變式3】由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示，若不

考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉

“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（）

C.6條D.4條

【題型八】代替元法：空車位停車等

這類題大多可以用字母元來(lái)代替轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題從而解決問題。

典例精講

【例11某單位有8個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好

有3個(gè)連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

【例2】馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有

種

【例3】現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車

位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

I—1

名校模擬

【變式1］（2020?浙江?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求

每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

【變式2］（2024?江西新余?二模）據(jù)中國(guó)汽車工業(yè)協(xié)會(huì)統(tǒng)計(jì)顯示，2022年我國(guó)新能源汽車持續(xù)爆發(fā)式增長(zhǎng)，

購(gòu)買電動(dòng)汽車的家庭越來(lái)越多.某學(xué)校為方便駕駛電動(dòng)汽車的教職工提供充電便利，在停車場(chǎng)開展充電樁安

裝試點(diǎn).如下圖，試點(diǎn)區(qū)域共有十個(gè)車位，安裝了三個(gè)充電樁，每個(gè)充電樁只能給其南北兩側(cè)車位中的一輛

電動(dòng)汽車充電.現(xiàn)有3輛燃油車和2輛電動(dòng)汽車同時(shí)隨機(jī)停入試點(diǎn)區(qū)域（停車前所有車位都空置），請(qǐng)問2輛

電動(dòng)汽車能同時(shí)充上電的概率為（）

A1A3B1B3B5北

n期

A2A4B2B4B6

【變式3】甲、乙、丙、丁、戊五位媽媽相約各帶一個(gè)小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動(dòng)車出行，每輛

電動(dòng)車只能載兩人，其中孩子們表示都不坐自己媽媽的車，甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，則她們坐車不

同的搭配方式有

A.12種B.11種C.10種D.9種

【題型九】環(huán)排問題：直排策略

環(huán)排問題即為手拉手圍一圈的模型，此類問題以一人為中心考慮，比如三人手拉手圍一圈，以其中一人為

中心將其一分為二，即變成中間兩人全排列問題，再合起來(lái)即為一圈。

I—I

典例精講

【例1】己知甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，其中一個(gè)排列“甲乙丙”與該排列旋轉(zhuǎn)一個(gè)或幾個(gè)位置后得

到的排列“乙丙甲''或"丙甲乙''是同一個(gè)排列.現(xiàn)有加位同學(xué)，若站成一排，且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共

有60種，那么這加位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，不同的站法總數(shù)為（）

A.24B.48C.60D.120

【例2】（23-24高三下?山東荷澤?開學(xué)考試）一對(duì)夫妻帶著3