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文檔簡介

2024-2025學年高三數(shù)學開學摸底考試卷(新高考專用)

(考試時間:120分鐘;滿分:150分)

注意事項:

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用

橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要

求的。

1.(5分)(2024?遼寧葫蘆島?二模)已知集合4={x|—3<xW2},B=Wx<3},則4CB=()

A.[1,2]B.(1,2]C.(-3,3)D.[2,3)

【解題思路】直接根據(jù)交集的定義得到答案.

【解答過程】根據(jù)集合交集的定義立得力CB=(x|l<x<2}.

故選:A.

2.(5分)(2024?河南?模擬預測)若為3=1—?i,則|z|=()

A.1B.V6C.V7D.3

【解題思路】由復數(shù)的四則運算以及模的計算公式即可得解.

【解答過程】依題意,z=1益1=、兩=-J=遙+i,則怙|=e.

1—I—1

故選:B.

3.(5分)(2024?陜西渭南?三模)已知向量訪=(2,Q,n=(2-A,-4),若記與元共線且反向,則實數(shù)4

的值為()

A.4B.2C.-2D.-2或4

【解題思路】利用向量共線的坐標表示求出入再結(jié)合反向共線即可得解.

【解答過程】由向量沅=(2,2),元=(2—兒一4)共線,得2(2-2)=—8,解得4=—2或2=4,

當2=-2時,(2,-2),n=(4,-4),而與元同向,不符合題意,

當4=4時,m=(2,4),n=(-2,-4),而與元反向,符合題意,

所以實數(shù)a的值為4.

故選:A.

4.(5分)(2024?江蘇南通?模擬預測)已知0V£VaV*sin(cr一位二tana—tan£=2,貝!Jsinasin£=

()

A-IB-Ic-ID-T

【解題思路】首先求出cos(a-再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式求出cosacos/7,最

后由兩角差的余弦公式計算可得.

【解答過程】因為0<£<a<*所以O(shè)<a—0<5

因為sin(a-/?)=p所以cos(a一£)=y/1-sin2(a-j?)=|,

sinasingsinacos^?—sin^cosasin(a-0)

因為2=tana-tan。D=--------=-------------=------,

cosacos口cosacos^cosacosp

2

所以cosacos^=

因為cos(a-°)=coscrcos^+sinasin/?=|+sinasin/?=|,

-i

貝ijsinasin/?=

故選:B.

5.(5分)(2024?山西臨汾?三模)宋代是中國瓷器的黃金時代,涌現(xiàn)出了五大名窯:汝窯、官窯、哥窯、

鈞窯、定窯.其中汝窯被認為是五大名窯之首.如圖1,這是汝窯雙耳罐,該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個

圓臺拼接而成,其直觀圖如圖2所示.已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米,中間圓的直徑是20

厘米,上底面圓的直徑是8厘米,高是14厘米,且上、下兩圓臺的高之比是3:4,則該汝窯雙耳罐的體積

是()

2304H2504U

C.D.

-3-3

【解題思路】求出上下圓臺的高,利用臺體體積公式求出答案.

【解答過程】上、下兩圓臺的高之比是3:4,故上圓臺的高為14XR=6厘米,

下圓臺的高為14x擊=8厘米,

故上圓臺的體積為匕=6x汗怦+d;呵亞=312n立方厘米,

下圓臺的體積為%=8xn&+i°2j6xioD=等幾立方厘米,

故該汝窯雙耳罐的體積為3+匕=312TT+等7T=竽立方厘米.

故選:D.

6.(5分)(2024?湖北武漢?模擬預測)函數(shù)/(久)=111(修+1)-5()

A.是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增B.是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞狼

C.是奇函數(shù),且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增D.既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

【解題思路】借助函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)奇偶性,借助導數(shù)即可得函數(shù)單調(diào)性.

【解答過程】<f(x)的定義域為R,/(-%)=ln(e-x+1)+1=ln(ex+1)-尤+]=ln(e*+1)-]=/(x),

f(x)為偶函數(shù);

當X>0時,/(X)=尋Y=2:e三)>0)"f(%)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.

故選:A.

7.(5分)(2024?四川?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=sin(3K-9)(3>0,0<S<])的部分圖象如圖所示,

則下列結(jié)論正確的是()

A.當無e償Ji)時,f(x)的最小值為—手

B./(X)在區(qū)間KT上單調(diào)遞增

C./(久)的最小正周期為2TT

D./(x)的圖象關(guān)于直線尤=方對稱

【解題思路】先由函數(shù)圖象得到函數(shù)解析式,A選項,整體法求解函數(shù)的值域;B選項,整體法求解函數(shù)單

調(diào)性;C選項,利用當=TT得到C正確;D選項,代入得到f仔)=1,D正確.

【解答過程】由圖可知,/(0)=sin(,)=-1,

coX(—-—-=2/CTC-TC,kZ

又因為所以0=/所以

所以3=2,即/(久)=sin(2x—

對于A:當%E管,n),2%—]E令E[—1,—g),A錯誤;

Ti5IT'

對于B:xe[=.=].2x-^e

6,3'T.

由于y=sinz在zE

所以/(%)在日身上先增后減,B錯誤;

對于C:f(x)的最小正周期為*=mC錯誤;

對于D:當x時,2%一]=今故=

所以/(久)的圖象關(guān)于直線x=方對稱,D正確,

故選:D.

8.(5分)(2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(%)、g(%)的定義域均為R,函數(shù)f(2%-1)+1的圖象關(guān)于原

點對稱,函數(shù)g(%+1)的圖象關(guān)于歹軸對稱,/(%+2)+g(x+1)=-1,/(-4)=0,則f(2030)-g(2017)=

()

A.-4B.-3C.3D.4

【解題思路】利用題設(shè)得到f(x)+/(—2—x)=—2①和g(—%+1)=g(x+1)②,又由f(%+2)+g(x+1)=

一1,結(jié)合①式,推得g(%)的周期為12,利用/(一4)=0求得八2)=-2和g(l)=l,最后利用g(%)的周期

性即可求得.

【解答過程】由函數(shù)/(2%—1)+1的圖象關(guān)于原點對稱,/(—2%—1)+1=—f(2x—1)—1,

即/(一%—1)——2—f{x—1),即/(x)+f(—2—x)——2①,

由函數(shù)g(%+1)的圖象關(guān)于y軸對稱,可得g(-%+1)=g(%+1)②,

由/(汽+2)+g(x+1)=-1可得f(%)+g[x—1)=-1,又得f(—2—%)+g(—x—3)=-1,

兩式相加,/(%)+/(—2—%)+g(x—1)+g(-%—3)=—2,將①式代入,得g(%—1)+g(—x—3)=0,

則得g(%—5)+g(—x+1)=0,將②式代入得,g[x+1)=—g(x—5),則g(%+6)=—g(%).

于是gO+12)=-g(x+6)=g(x),即g(x)的周期為12.

又/(—4)=0,由①可得f(2)+f(-4)=—2,得f(2)=-2,

又由+2)+g(x+1)=-1可得f(2)+g(l)=-1,即得g(l)=1.

07(2030)+5(2029)=-1,可得,/(2030)=-1-^(2029),

于是,/(2030)-g(2017)=-1-g(2029)-g(2017)=-1-g(l)-g(l)=-1-2g⑴=-3.

故選:B.

二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目的

要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。

9.(6分)(2024?廣東汕頭?二模)某校高三年級選考生物科的學生共1000名,現(xiàn)將他們該科的一次考試

分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級分,已知等級分X的分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30,100],若等級分X?N(80,25),則()

參考數(shù)據(jù):一。<XM〃+。)=0.6827;-2。<XW〃+2。)=0.9545;P(〃-3。<XW〃+3。)=

0.9973.

A.這次考試等級分的標準差為25

B.這次考試等級分超過80分的約有450人

C.這次考試等級分在[65,95]內(nèi)的人數(shù)約為997

D.P(70<X<75)=0.1359

【解題思路】由X?N(80,25),則〃=80,。=5,根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),結(jié)合題中給出的概率公式,對每一

選項進行分析,可得答案.

【解答過程】對于A,由題設(shè),均值〃=80,方差十=25,所以標準差為5,故A錯誤;

對于B,P(X>80)=0.5,所以1000x0.5=500人,故B錯誤;

對于C,P(65<XW95)=P(〃—3cr<XW4+3。)=0.9973,

貝!]1000x0.9973q997人,故C正確;

對于D,P(70<XW75)=網(wǎng)"-20<xv"+2?一0=0135g

故D正確.

故選:CD.

10.(6分)(2024?江西?二模)設(shè)函數(shù)/'(%)=ln(l-ax)(a豐0)在(-1,7■(一1))處的切線與直線ax+2y-3=0

平行,貝■]()

A.a=1

B.函數(shù)/'(x)存在極大值,不存在極小值

C.當xe(-8,0)時,y(x)>-|x2—%

D.函數(shù)g(x)=|f(x)|+*x-1)有三個零點

【解題思路】利用導數(shù)的幾何意義可判定A,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值可判定B,構(gòu)造差函數(shù)利用

導數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可判定C,作出y=|/(x)|,y=-|(x-1)的圖象結(jié)合條件可判定D.

【解答過程】對于A,f'(x)=m,故/(―1)=產(chǎn)=一多解得a=l,故A正確;

i—axi+a2

對于B.因為/(%)=ln(l—%),f(x)=--=—-<0,

1—XX—1

所以函數(shù)/(X)在xe(-8,1)上單調(diào)遞減,不存在極值,故B錯誤;

22

對于C,令F(x)=/(x)+]+x=ln(l—x)+5+x(x<0),

則尸'(久)=±+x+1=三,由x<0,故F'(x)<0,

故尸(久)在(—8,0)上單調(diào)遞減,所以F(x)>F(0)=0.

即當xG(~°°,0)時,/(%)>―—X,故C正確;

對于D,因為/(x)=ln(l—%),當x<。時,/(x)>0;當0Wx<l時,f(x)<0,

又/''(-I)=一3,在同一坐標系中作出y==-如一1)的圖象,

如圖所示,所以函數(shù)g(x)=|/(x)|+*x—1)有且只有1個零點,故D錯誤.

故選:AC.

11.(6分)(2023?廣東廣州?模擬預測)已知曲線C是平面內(nèi)到定點F(0,l)和定直線Z:y=-1的距離之和等

于4的點的軌跡,若PQo,yo)在曲線C上,則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于x軸對稱

B.曲線C上任意一點到原點的距離都不超過g

C.曲線C及其內(nèi)部共包含了19個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

D.點P3),yo)到點Q(1,—J)和點F(O,1)的距離之和最小為T

【解題思路】由題意得到曲線C的解析式,畫出圖象,由圖直觀判斷即可.

【解答過程】設(shè)是曲線C上任意一點,由于MQ,y)到定點F(O,1)和定直線=-1的距離之和等于

4.

所以+(y-1)2+|y+=4,當丫之一1時,Jx2+(y-l)2=3-y,

即%2+(y—1)2=y2-6y+9,化簡得:y=2—工%2(—1<y<2),

4

當y<-l時,y/x2+(y-l)2=y+5,化簡的:y=^x2-2(-2<y<-1).

畫出曲線C的圖象:

如圖,對于A,顯然圖象不關(guān)于%軸對稱,故A錯誤;

y-2-ix2(-l<y<2),當y=—1時,解得4(2百,-1),

點a到原點的距離最大為:J(2b產(chǎn)+(_1)2=舊,故B正確;

由圖可知曲線C及其內(nèi)部共包含了19個整點,故C正確;

如圖:點G到F(O,1)與到直線2:y=—1的距離之和為4,

點P(%o,yo)到點Q。,一0和點尸(。,1)的距離之和最小值為:4-|QG|<4,所以選項D錯誤.

故選:BC.

第n卷(非選擇題)

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。

12.(5分)(2024?陜西西安?模擬預測)如圖,已知Fi,七是雙曲線。://=1的左、右焦點,P,Q

為雙曲線。上兩點,滿足%P〃FZQ,且KQI=IF2Pl=3|FIP|,則雙曲線。的離心率為—平

w

FJo\

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得t=a,進而可得N%P'Q=NF/F2=90。,結(jié)合勾股定理運

算求解.

【解答過程】延長Q4與雙曲線交于點P',

因為%P〃F2P',根據(jù)對稱性可知F1PI=,2「|,

設(shè)卜2Pl=\FrP\=t,則F2Pl=\F2Q\=33

可得I&PI—IF1PI=2t=2a,SPt=a,

所以|P'Q|=4t=4a,則|QFi|=IQF2I+2a=5a,IF^I=\F2P\=3a,

即|P'Q『+Rpf=IQF/2,可知N%P'Q=^F1PF2=90。,

22

在△尸冗&中,由勾股定理得|&P]+,1尸'|=1尸/2巴

即/+(3a)2=4c2,解得e=-=—.

a2

故答案為:手.

13.(5分)(2024?四川成都?模擬預測)已知函數(shù)y=?的圖象與函數(shù)y=aln%的圖象在公共點處有相同

的切線,則公共點坐標為」2國一.

【解題思路】設(shè)公共點為伏由心=巴,可得&=4a2(a>0),進而利用導數(shù)可得[:。,求

%olain%。一7

解即可.

【解答過程】函數(shù)y=aln%的定義域為(0,+8),可得八久)=3由

XZ-yX

設(shè)曲線/(%)=aln%與曲線g(%)=近的公共點為(刈,、。),

由于在公共點處有共同的切線,所以右=巴,所以n=402(。>0),

2匹XQ

由汽珀=9。0),可得alnxo=屈,聯(lián)立可得[『,

lain%。一

解得&=e2,所以y()=e,所以公共點坐標為(e2,e).

故答案為:(e2,e).

14.(5分)(2024?全國?模擬預測)在一次抽獎活動中,某同學在標有“1”,“1”,“4”,“5”,“1”,“4”的六

張卡片中依次不放回地抽取一張卡片,直到抽完全部卡片.記事件4。=1,2,3)表示第i次抽到標號為“1”的卡

片,X表示抽到標號為“5”的卡片需要的次數(shù).則下列說法正確的是①②③(填標號).

①P(4)=P(4);②PG411A2)=f;③E(X)=

【解題思路】計算P(&)=;,P(42)=;得到①正確;P(A1\A2)=^^-=l,②正確;X的可能取值為

ZL42)5

123,4,5,6,計算概率再計算數(shù)學期望得到③正確,得到答案.

【解答過程】對選項①:「(4)=■!=!,P(X)=|xj+fl-i)x|=i故P(4)=PG12),①正確;

oZ225\2/5L

C3

對選項②:p(&M2)=3察=4=:②正確;

對選項③:X的可能取值為123,4,5,6,

1515411

\l

產(chǎn)J/Xi%3

-y-i-2)---------j

(X(X65d6546

6'

54311a543211

--XXX--ip--X-

p(4)365)6

--------

65465432

E(X)=,X(1+2+3+4+5+6)=5,③正確.

故答案為:①②③.

四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(2024?安徽蚌埠?模擬預測)已知a,b,c分別為△A8C內(nèi)角的對邊,a(sinB-V^cosB)=

V3(b—c).

⑴求角

(2)若△ABC的面積為K,周長為6,求a.

【解題思路】(1)根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得sin卜+{)=苧,結(jié)合角N的范圍分析求解;

(2)利用面積公式可得be=4,再根據(jù)余弦定理運算求解.

【解答過程】(1)因為asinB-gacos8=V^b-Bc,

由正弦定理可得sin/sinB—百sirh4cosB=V3sin^—V3sinC,

又因為sinC=sin(i4+B)=sin^cosF+cos^sinB,

可得sinZsinB+BcosZsinB=V3sinB,

且BE(0,71),則sinBH0,可得sinA+V^cosZ=V3,

整理得sin(/+])=y,

又因為Z6(0,11),則/+]£&第'

所以4+:尊即4=]

(2)因為S&4BC=JbcsinZ=fbe=舊,則be=4,

由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc=(6—a)2—12,

解得Q=2.

22

16.(15分)(2024?山東濟寧?三模)已知橢圓E:3+£=l(a>%>0)的左焦點為F,上頂點為B,離心率

e=y,直線網(wǎng)過點P(l,2).

(1)求橢圓E的標準方程;

⑵過點F的直線,與橢圓E相交于“,N兩點(M、N都不在坐標軸上),若4MPF=4NPF,求直線1的方程.

【解題思路】(1)根據(jù)給定條件,求出a,b,c即得橢圓E的標準方程.

(2)根據(jù)給定條件,借助傾斜角的關(guān)系可得/CMP-MP=1,設(shè)出直線1的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達

定理結(jié)合斜率的坐標公式求解即得.

【解答過程】(1)令尸(-c,0),由e=§=?,得a=?c,6=c,則直線FB的斜率k=l,

由直線FB過點P(l,2),得直線FB的方程為y=%+l,因此b=c=l,a=夜,

2

所以橢圓C的標準方程為5+y=1.

(2)設(shè)乙MPF=LNPF=。,直線MP的傾斜角為0,

直線NP的傾斜角為a,由直線FP的斜率k=1知直線FP的傾斜角為:,

于是a=:+85=夕+仇即有a+s=*顯然%/?均不等于*

則tanatanS="竺?=1,即直線MP,NP的斜率滿足,MP=1,

cosac‘7os(--a?)

由題設(shè)知,直線/的斜率不為0,設(shè)直線/的方程為%=my-1,血。1,

由{1+:3_;,消去x并整理得,(血?+2)y2-2my-1=0,顯然△>0,

設(shè)時(第1,乃),可(%2,丫2),則yi+、2=意^'/2

由!<MP,卜叩=1,得江J,上一=1,即(%i—1)(%2-1)一(71—2)(y2-2)=0,

貝iJOyi-2)(血丫2-2)-(yi-2)02-2)=0,整理得(血2-l)yiy2-(2m-2)(yi+丫2)=°,

即一寫三一包U^=0,于是5m2-4m-1=。,而7nH1,解得,m=—

m^+2m^+25

17.(15分)(2024?山東泰安?模擬預測)如圖1,在直角梯形4BCD中,4D〃8C,乙54。=全力B=BC^^AD,

E是4D的中點,。是4c與BE的交點.將aABE沿BE折起到△&BE的位置,如圖2.

圖1圖2

(1)證明:平面BCDE平面力10C;

(2)若平面為8E1平面BCDE,求平面48C與平面&CD夾角的余弦值.

【解題思路】(1)根據(jù)平面幾何的性質(zhì)得到BE1AC,即可得到BE1。4,BE10C,即可得到BE1平面

04C,再由CD〃BE,得到CD,平面。&C,從而得證;

(2)依題意可得N40C為二面角4—BE—C的平面角,即乙41。。=]以。為原點,建立如圖所示的空間

直角坐標系,利用空間向量法計算可得.

【解答過程】(1)在圖1中連接CE,因為4D〃BC,AB=BC=;4。,E是4。的中點,/.BAD-p

所以四邊形力BCE為正方形,四邊形BCDE為平行四邊形,所以BE14C,CD//BE.

即在圖2中,BE10Ar,BE1OC,041noe=。,OAltOCcTfflO^iC,

所以BE,平面0&C.

XCD//BE,所以CDJ_平面O&C.

因為CDu平面BCDE,所以平面BCDE_L平面40C

圖1

(2)由已知,平面力iBE1平面BCOE,又由(1)知,BE10A1,BE1OC.

所以N&OC為二面角4一BE—C的平面角,所以N410C=p

如圖,以。為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)&B=L所以=&E=BC=ED=1,因為8C〃ED,

所以B(苧,0,0),F(-y,0,0),Ai(0,0,C(0,y,0).

MBC-(-y,y,0),^C=(0,y,-y),CD=BE=(-V2,0,0).

設(shè)平面&BC的法向量近=(/,yi,zi),平面的法向量底=(牝,為,22),平面4與平面夾角為仇

?一

一=0,1黑匚0,取方=(LL1).

=0

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理)二。'取芯=91,1>

1碇

1而-O

從而cos”|cos同砌=卷焉=/=事

即平面4BC與平面&CD夾角的余弦值為當.

18.(17分)(2024?上海?三模)已知fO)=e久一ax—l,aeR,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當口=1時,求函數(shù)y=yo)的極值;

(2)若關(guān)于%的方程f(x)+1=0有兩個不等實根,求a的取值范圍;

(3)當a>0時,若滿足>%D=/(%2)(xi<%2),求證:%i+%2<21na.

【解題思路】(1)把a=1代入函數(shù)/(%)中,并求出廠(%),根據(jù)-(%)的正負得到/Q)的單調(diào)性,進而求出/(%)

的極值.

(2)/(%)+1=0等價于y=。與g(%)=3有兩個交點,求導得到函數(shù)y=g(%)的單調(diào)性和極值,畫出y=

9(%)的大致圖象,數(shù)形結(jié)合求解即可.

(3)求出/'(%),并得函數(shù)y=/(%)在(-8/na)上單調(diào)遞減,在(Ina,+8)上單調(diào)遞增,可得則孫G(-oo,Ina),

x2G(Ina,+oo),要證%i+%2V21na,只需證%iV21na-%只需證/(修)>/(21na—犯),即證/(%2)>

/(21na—冷),令h(x)=/(x)—/(21na—x),對九(久)求導證明即可.

【解答過程】(1)當。=1時,/(x)=e^-x-l,定義域為R,求導可得/(久)=講一1,

令/'(%)=0,得%=0,

當%V0時,/'(%)<0,函數(shù)/(%)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減,

當%>0時,/'(%)>0,函數(shù)/(汽)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以y=/(%)在%=o處取到極小值為0,無極大值.

(2)方程/(%)+1=ex—ax=0,

當%=0時,顯然方程不成立,

所以%W0,則a=—,

X

方程有兩個不等實根,即y=a與g(x)=3有2個交點,

人)=『

當%V0或0v%vl時,g(%)<0,

9(%)在區(qū)間(-8,0)和(0,1)上單調(diào)遞減,

并且%E(-8,0)時,g(x)<0,當%6(0,1)時,g(%)>0,

當%>1時,g(%)>0,g(%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增,

%>0時,當%=1時,g(%)取得最小值,g(l)=e,

作出函數(shù)y=g(%)的圖象,如圖所示:

因此y=。與g(%)=?有2個交點時,a>e,

故。的取值范圍為(e,+00).

(3)證明:a>0,由f'(%)=修一a=0,得%=Ina,

所以函數(shù)y=/(%)在(-8/na)上單調(diào)遞減,在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

由題意%1<x2f且/(%i)=/(冷),則%1W(-8,Ina),%2WOna,+oo).

要證式i+&<21na,只需證%1<21na-x2,

而%i<21na-x2<Ina,且函數(shù)/(%)在(-8/na)上單調(diào)遞減,

故只需證f(/)>/(21na-0),

又f(%i)=f(%2),所以只需證f(%2)>/(21na-%2),

即證/(%2)-f(21na-%2)>0,

令%(%)=/(%)—/(21na—%),

即h(%)=ex—ax—1—[e21na-x-a(21na—x)-1]=ex-a2e-x-2ax+2alna,

h(x)=e%+a2e~x—2a,

由均值不等式可得八'(久)=e"+a2e~x—2a>2Vex-a2e~x—2a=0,

當且僅當e%=a2e-x,即%=Ina時,等號成立.

所以函數(shù)hQ)在R上單調(diào)遞增.

由%2>Ina,可得h(%2)>ft(Ina)=0,即/(%2)—/(21na—x2)>0,

所以/(%i)>/(21na-七),

又函數(shù)/(%)在(-%Ina)上單調(diào)遞減,

所以%i<21na—第2,即%i+第2V21na得證.

19.(17分)(2024?山東泰安?模擬預測)已知數(shù)列{斯}是斐波那契數(shù)列,其數(shù)值為:1,1,2,358,13,21,34…….

這一數(shù)列以如下遞推的方法定義:=1,做=1,an+2=an+l+an(幾EN*).數(shù)列{.}對于確定的正整數(shù)/c,

若存在正整數(shù)n使得瓦+九=bk+%成立,則稱數(shù)列{b}為”階可分拆數(shù)列;

(1)已知數(shù)列{金}滿足&=man(neN*,meR).判斷是否對VzneR,總存在確定的正整數(shù)k,使得數(shù)列

{%}為”階可分拆數(shù)列”,并說明理由.

(2)設(shè)數(shù)列{%}的前n項和為%=3n-a(a>0),

(i)若數(shù)列{4}為“1階可分拆數(shù)列”,求出符合條件的實數(shù)a的值;

(ii)在⑴問的前提下,若數(shù)列{fn}滿足九=詈,九eN*,其前兀項和為〃.證明:當neN*且n23時,7\<山+

(^2+^3+.......+—。71。九+1+1成乂.

【解題思路】(1)由已知可得J=mfc2=m,c3=2皿可得Ci+2=q+c2,由定義可得結(jié)論;

n-1

(2)當幾22時,dn=Sn-Sn_i=2-3,(i)由已知可得存在正整數(shù)幾使得心+九=心+d九成立,當九=1

時,可求得a=0,當幾22時,可得4,3九T=3—Q,方程無解,可得結(jié)論;

(ii)法一:當九之2時,易得碓=斯。計1-anan_i,計算可得而+匿+試+...+_anan+1+1=1,由

⑴可得%=翳〃=號+墨+學+……+箝+翁利用錯位相減法可得產(chǎn)?=抖/加2—得,可證結(jié)論

成立;法二:同法一■可得出+成+a專++—anan+1+1=1,7皿=學+墨+■++$等+翁兩邊同

乘以?可求得也/可證結(jié)論.

【解答過程】(1)存在,理由如下:

由已知得的=1,a2=1,a?=%+

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