2025年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題

1.（5分）已知集合「=3*>-2}4={*反2+5*-2名0},貝UQn（CrP）=（）

A.{x|-8x<-3}B.{x|-3<x<-2}C.{x|-3<x<-2}D.{x|-8<x<-2}

2.（盼）平面向量犯滿(mǎn)足|舊上1則曲）方向上的投影向量為（）

1-1TT

A.B.-bC.-hD.b

）2

3.（5分）若（l+ai）（a-i）>0,aER,貝（I（）

A.a=lB.a=±lC.aW-1或a》lD.a》l

4.（5分）1941年中國(guó)共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號(hào)召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過(guò)開(kāi)

展大生產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，最終走出了困境.如圖就是當(dāng)時(shí)纏線(xiàn)用的線(xiàn)拐子，在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖中線(xiàn)段AB與CD所在直

線(xiàn)異面垂直，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，且EF，AB,EF，CD,線(xiàn)拐子使用時(shí)將絲線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)，

依次經(jīng)過(guò)D、B、C又回到點(diǎn)A,這樣一直循環(huán)，絲線(xiàn)纏好后從線(xiàn)拐子上脫下，稱(chēng)為“束絲”.圖中AB

=EF=CD=30cm,則絲線(xiàn)纏一圈長(zhǎng)度為（）

A.9042cmB.9073cmC.60^6cmD.8043cm

5.（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）周期為4,且f（2x+l）為奇函數(shù)，則（）

A.f（x）為偶函數(shù)B.f（x+1）為偶函數(shù)

C.f（x+2）為奇函數(shù)D.f（x+3）為奇函數(shù)

6.（5分）現(xiàn)將四名語(yǔ)文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求

每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語(yǔ)文教師，則不同的安排種數(shù)為（）

A.216B.432C.864D.1080

7.（5分）函數(shù)f（x）=cos3x-4sin2x在區(qū)間［-2024n,2024n］內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（）

A.OB.-2024TIC.101271D.-1012兀

&（5分）過(guò)拋物線(xiàn)Cy=4x焦點(diǎn)F且斜率為J3的直線(xiàn)與C交于A、B兩點(diǎn)，若PF為aPAB的內(nèi)角平

分線(xiàn)，則4PAB面積最大值為（）

二、多選題

侈選）9.（盼）要得到函數(shù)I；）的圖象，可將函數(shù)尸inx的圖象（）

A.向左平移多巳個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

6

B.向左平移當(dāng)三個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的弓

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的勺工再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移?三個(gè)單位長(zhǎng)度

2A

D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

（多選）10.（6分）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有2,5,7,70四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄

與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件A,“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件B,“數(shù)字是

7的倍數(shù)”為事件C,則下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.事件A、B、C兩兩互斥

B.事件AUB與事件BNC對(duì)立

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

D.事件A、B、C兩兩獨(dú)立

（多選）11.（6分）已知數(shù)列{an},{bn},滿(mǎn)足“+[=即+2=h+上（M￡/V*〉al=bi=l,當(dāng)n>2

QnOn

時(shí)，ai#bn,則（）

A.a32>8

11

B?a+i+T—>Un^h~Z

nDn+1Dn+2

C.an+1+bn<bn+1+an

D.（an+an+l）（bn+bn+1）>4

三、填空題

12.（5分）（產(chǎn)+l）（2x—64的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為

13.（5分）若;a=彘b=tanc=Zn||則a,b,C的大小關(guān)系為（用“〈"號(hào)連

接）.

14.（5分）數(shù)學(xué)家GeminadDandelin用一平面截圓錐后,在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球,使得它們分別

與圓錐側(cè)面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓（如圖稱(chēng)為丹德林雙球模型）.若

圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成60°角的平面截圓錐所得橢圓的離心率

為_(kāi)_______________________

15.(13分)已知函數(shù)f(x)=ex-ex-b在x=0處的切線(xiàn)為x軸.

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

16.(15分)如圖所示，五面體ABCDE中，ABXBC,四邊形ABDE為平行四邊形，點(diǎn)E在面ABC內(nèi)的

投影恰為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，AE=AC=2AB=2.

(1)求五面體ABCDE體積；

(2)求平面AEC與平面DBC夾角的余弦值.

17.(15分)過(guò)雙曲線(xiàn)E:號(hào)一y2=11的右焦點(diǎn)F作斜率相反的兩條直線(xiàn)h、2,L與E的右支交與A、B

兩點(diǎn)，12與E的右支交C、D兩點(diǎn)，若AC、BD相交于點(diǎn)P.

(1)求證：點(diǎn)P為定點(diǎn)；

(2)設(shè)AC的中點(diǎn)為M,BD的中點(diǎn)為N,當(dāng)四邊形ACBD的面積等于|MM?時(shí)，求四邊形ACBD的周

長(zhǎng).

18.(17分)2024年初，多地文旅部門(mén)用各種形式展現(xiàn)祖國(guó)大美河山，掀起了一波旅游熱潮.某地游樂(lè)園

一迷宮票價(jià)為8元，游客從A處進(jìn)入，沿圖中實(shí)線(xiàn)游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時(shí)，

用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走(每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個(gè)結(jié)果)直

到從X(X=1,2,3,4,5,6,7)號(hào)出口走出，且從X號(hào)出口走出，返現(xiàn)金X元.

(1)隨機(jī)調(diào)查了進(jìn)游樂(lè)園的50名游客，統(tǒng)計(jì)出喜歡走迷宮的人數(shù)如表：

男性女性總計(jì)

喜歡走迷宮121830

不喜歡走迷宮13720

總計(jì)252550

判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)?

附.K2=a+b)(C(ad-bo2(b+a

P（K2》ko）0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

⑵走迷宮''路過(guò)路口B”記為事件B,從走號(hào)走出”記為事件Ax,求P(A5⑻和P(B|A4)的值;

⑶設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為多少？

4

JIIIIIh7

19.(17分)已知平面內(nèi)定點(diǎn)A(0,1),P是以O(shè)A為直徑的圓C上一動(dòng)點(diǎn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).直線(xiàn)0P與

點(diǎn)A處C的切線(xiàn)交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)BN,垂足為N,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)PQ,垂足為Q,

過(guò)點(diǎn)P作BN的垂線(xiàn)PM,垂足為M.

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程1;

(2)求矩形PMNQ面積的最大值；

(3)設(shè)M的軌跡r,直線(xiàn)x=-n,x=n(n?N*)與x軸圍成面積為人，甲同學(xué)認(rèn)為隨n的增大，人也

會(huì)達(dá)到無(wú)窮大，乙同學(xué)認(rèn)為隨n的增大人不會(huì)超過(guò)4,你同意哪個(gè)觀點(diǎn)，說(shuō)明理由.

2025年湖南省長(zhǎng)沙市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與髓解析

一、單選題

1.(5分)已知集合P"；{x|x》22],Q={x|x2「+5x-24W0},則Qn(CrP)-()

A.{x|-8x<-3}B.{x|-3<x<-2}C.{x|-3<x<-2}D.{x|-8<x<-2}

【解答】解：解不等式x2+5x-244),得-8WxW3,則Q={x|-8<x<3},

由「=/乂>-2},得CrP={xlx<-2},

所以Qn(CrP)={x|-8Wx《-2}.

雌：D.

2.(盼)平面向量破滿(mǎn)足|bfE,則而)方向上的投影向量為()

[T]T

A.—,力B.-C.-bD.b

【解答】解：依題意，a在昉向上的投影向量為也％=b.

Ibl2

Wfe：D.

3.(5分)若(l+ai)(a-i)>0,a6R,則()

A.a=lB.a=±lC.aW-1或a》lD.a》l

【解答】解：(l+ai)(a-i)=2a+(a2-l)i,依題意，2a+(a2-l)i是正實(shí)數(shù)，因此匕(2a>0,

(n2—1=0

所以a=1.

A

4.(5分)1941年中國(guó)共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號(hào)召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過(guò)開(kāi)

展大生產(chǎn)運(yùn)動(dòng)，最終走出了困境.如圖就是當(dāng)時(shí)纏線(xiàn)用的線(xiàn)拐子，在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖中線(xiàn)段AB與CD所在直

線(xiàn)異面垂直，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，且EF，AB,EF，CD,線(xiàn)拐子使用時(shí)將絲線(xiàn)從點(diǎn)A出發(fā)，

依次經(jīng)過(guò)D、B、C又回到點(diǎn)A,這樣一直循環(huán)，絲線(xiàn)纏好后從線(xiàn)拐子上脫下，稱(chēng)為“束絲”.圖中AB

=EF=CD=30cm,則絲線(xiàn)纏一圈長(zhǎng)度為()

D

BD

簡(jiǎn)圖

A.9042cmB.9043cmC.6076cmD.8043cm

【解答】解：依題意EBJ_EF,FD±EF,EB±FD,

所以EB,EF=O,FD,EF=O,EB?FD=O,

又BD=BE+EF+FD,

所如D2=(BE+EF+FD)2=BE2+EF2+M+2BE-EF+2BE-FD+2EF?FD

=152+302+152=152X6,

所以|H)|=L5J6,同理可得|AD|二|%|=|BC|=L5V6,

所以絲線(xiàn)纏一圈長(zhǎng)度為4X15V6=60V6(cm).

故選：C.

5.(5分)定義在R上的函數(shù)f(x)周期為4,且f(2x+l)為奇函數(shù)，貝!]()

A.f(x)為偶函數(shù)B.f(x+1)為偶函數(shù)

C.f(x+2)為奇函數(shù)D.f(x+3)為奇函數(shù)

【解答】解：因?yàn)閒(2x+l)為奇函數(shù)，所以f(-2x+l)=-f(2x+l),

所以f(-x+l)=-f(x+l),所以f(x+l)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)周期為4,所以f(x+4尸f(x),

由B選項(xiàng)可知，所以貨-x+2)=-f(x),則f(-x+2)=-f(x+4),

所以f(-x+3)=-f(x+3),則f(x+3)為奇函數(shù)，故D正確；

由f(-x+l)=-f(x+l),所以f(-x+l)+f(x+l)=O,則f(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)，

令f(x)=sin(nx),則f(x+4)=sinn(x+4)=sinnx=f(x),滿(mǎn)足函數(shù)f(x)周期為4,

且f(2x+l尸sin(27ix+n:尸-sin(2兀x)滿(mǎn)足f(2x+l)為奇函數(shù)，

但是f(x)=sin(兀x)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

令=COS^x),則]/1(%+4)=cosg(x+4)]=cosf^x)=/(x),滿(mǎn)足函數(shù)f(x)周期為4,

又/(2x+1)=cosg(2*+1)]=cos(nx+￡)=滿(mǎn)足/(2x+l)為奇函數(shù)，

但是/(x+2)=cosg(x+2)]=cos(^x+Jr)=-cosgx)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤.

雌D.

6.（5分）現(xiàn)將四名語(yǔ)文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求

每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語(yǔ)文教師，則不同的安排種數(shù)為（）

A.216B.432C.864D.1080

【解答】解：求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有A3種方法,

再把4名語(yǔ)文教師按2:1:(1分)成3組，并分配到三所學(xué)校，有C2A3種方法，

最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語(yǔ)文教師的兩所學(xué)校，有A2種方法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為A3-C2A3-A2=432.

蠅：B.

7.(5分)函數(shù)f(x)=cos3x-4sin2x在區(qū)間「2024n,2024n］內(nèi)所有零點(diǎn)的和為()

A.OB.-2024兀C.10127ID.-1012TI

【解答】解：依題意，f(x)=cos(2x+x)-4sin2x=cos2xcosx-sin2xsinx-8sinxcosx

=(l-2sin2x)cosx-2sin2xcosx-8sinxcosx=cosx(l-4sin2x-8sinx),

由f(x)=0,

得cosx=0可戈sinx=與4^sinx=二紀(jì)(不符合題意，舍去)，

又函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，

則在［-2024Ji,2024口］上的所有零點(diǎn)關(guān)于數(shù)0對(duì)稱(chēng)，它們的和為0,

正弦函數(shù)尸sinx的周期為2Ji,

方程sinx=a(0<a<l)在［0,2冗］的兩根和為口，在［-2冗，0］上的兩根和為-3口，

因此sinx=^0在［2km,2(k+1)Ji］,-1012<k^l011,keZ上的兩根和構(gòu)成首項(xiàng)為-4047無(wú)，末項(xiàng)

為4045n的等差數(shù)列，共有2024項(xiàng)，

所有根的和為-2024n.

Wfi：B.

8.(5分)過(guò)拋物線(xiàn)C:產(chǎn)4x焦點(diǎn)F且斜率為J3的直線(xiàn)與C交于A、B兩點(diǎn)，若PF為APAB的內(nèi)角平

分線(xiàn)，則4PAB面積最大值為()

A.勺日/C.乎D.16

Ra

【解答】解：拋物線(xiàn)cy=4x焦點(diǎn)F(l,0),直線(xiàn)AB的方程為y=J3(x-1),

由卜=6(x_l),解得.

(y；ZU不妨令竭一皚AS。)，

(y2=4x

皿"DI16四3+1-由PF為△PAB的內(nèi)角平分線(xiàn)

則網(wǎng)=/1+3+1=多嗣=柒…

|尸川^PA\-\PF\sin^APFSi1,,2占.、

得上----=1---------------------------=----------=-------=3iR點(diǎn)P(x,y),

\PB\i|PB|-|PF|sinzBPFS&BPF舊戶(hù)|

于是J(x_3)2+(y_2>/I)2=3J(x_+&+竽)2,

整理得x2+(y+d3)2=4,顯然點(diǎn)P在以點(diǎn)(o,-J3)為圓心，2為半徑的圓上,

因此點(diǎn)P到直線(xiàn)AB距離的最大值為2,

,11616

所以4PAB面積最大值為刁X2X—=

故選：B.

二、多選題

（多選）9.（6分）要得到函數(shù)y=sE（2x+敘的圖象，可將函數(shù)尸inx的圖象（）

A.向左平移多二TT個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

￡

B.向左平移多為個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的勺：

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的向三再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移3衛(wèi)彳個(gè)單位長(zhǎng)度

7A

D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將所得圖象上所有點(diǎn)向左平移多衛(wèi)個(gè)單位長(zhǎng)度

3

【解答】解：對(duì)于A,所得解析式為y=s加&x+§,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,所得解析式為y=sinQx+以B正確；

對(duì)于C,所得解析式為y=s叫2（x+^）］=sin（2x+4）,C正確；

對(duì)于D,所得解析式為y=$?遍（*+切=sin（；x+，D錯(cuò)誤，

故選：BC.

（多選）10.（6分）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有2,5,7,70四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄

與地面接觸面上的數(shù)字，記事件”數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件A,“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件B,“數(shù)字是

7的倍數(shù)”為事件C,則下列選項(xiàng)不正確的是()

A.事件A、B、C兩兩互斥

B.事件AUB與事件BNC對(duì)立

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

D.事件A、B、C兩兩獨(dú)立

【解答】解：質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有2,5,7,70四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄與地

面接觸面上的數(shù)字，

記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件A,“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件B,“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件C,

依題意拋擲一次可能出現(xiàn)的結(jié)果有2、5、7、70,

事件A包含的基本事件有2、70,則P(A)=,=]

事件B包含的基本事件有5、70,則出=：=；

事件C包含的基本事件有7、70,則jp(c)；

顯然事件A與事件B,事件A與事件C,事件C與事件B均可以同時(shí)發(fā)生，

故事件A與事件B,事件A與事件C,事件C與事件B均不互斥，故A錯(cuò)誤；

事件AUB包含的基本事件有2、5、70,

事件BNC包含的基本事件有70,

當(dāng)出現(xiàn)70時(shí)事件AUB與事件BNC均發(fā)生，故事件AUB與事件BNC不互斥，

顯然不對(duì)立，故B錯(cuò)誤；

又事件ABC包含的基本事件有70,所以p(/BC)=J

所以P(ABC》P(A)P(B)P(C),故C錯(cuò)誤；

因?yàn)槭录﨎C包含的基本事件有70,所以P(BC)=：=P(B)P(C：，所以B與C相互獨(dú)立；

因?yàn)槭录嗀B包含的基本事件有70,所以P(AB)=1=P(B)P(A：所以B與A相互獨(dú)立；

因?yàn)槭录嗀C包含的基本事件有70,所以PQ4C)=；=P(4)P(C)，所以A與C相互獨(dú)立；

即事件A、B、C兩兩獨(dú)立，故D正確.

故選：ABC.

(多選)11.(6分)已知數(shù)列{an},{bn},滿(mǎn)足冊(cè)十]=4+工=b+；(n€N*>al=b=l,當(dāng)應(yīng)2

anDn

時(shí)，an^n,則()

A.a32>8

B.%+】+￡>%+￡

C.an+1+bn<bn+l+an

D.(an+an+1)(bn+bn+1)之4

s=

【解答】解：由冊(cè)+ia九+~hn+(nGN*)?〃i=bi=l,

所以a2=at+—=2?又Qn+i=On+-顯然an>0,所以%+1-a=—>0,

ujUnUnn

所以｛an｝單調(diào)遞增，貝必_：?jiǎn)握{(diào)遞減，

即an+l-an>an+2-an+1,所以2an+1〉an+2+an①，

由+自如+2=%+去=">0)

即an、bn為關(guān)于x的方程x2-kx+l=0的兩根，所以anbn=l,

即冊(cè)=2匕+】=磊b=l,貝帆+1=占代入①得&+i+含/故B正確;

11

當(dāng)n>2時(shí)，an+1=an+—,所以成+i=欣+2+熊

所以碎+i—Q：=2+2>2,

所以a2-a2T〉2,an_l_an_2>2,,,,,a2-a2=3,

所以a2-a2〉2nT,則a2〉2n,

所以a32〉2X32=64,所以a32〉8,故A正確；

因?yàn)椋鸻n｝單調(diào)遞增，所以an+l>an,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x-［在(0,+一)上單調(diào)遞增，

11

所以?xún)?cè)+i--—>a-―,

nan

所以cm+1-bn+1>cm-bn

所以an+l+bn〉an+bn+l,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?an+an+1)(bn+bn+l)=anbn+an+lbn+anbn+l+an+lbn+l

=2+an+1bn+anbn+l>2+2^/an+1bnanbn+1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)an+lbn=anbn+l時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選:ABD.

三、填空題

12.(5分)(/+i)(2x一3’的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為16一*

【解答】解：依題意，(2x-J，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為ycf(2x)2(-1)2=24

含/2的項(xiàng)為c：(2x)i.(-1)3=_]

所以(#z+l)(2x—9)4的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為11X24+/(一今=16

故答案為：16.

13.(5分)若7a=，，b=tanc=/n||則a,b,c的大小關(guān)系為c<a<b(用號(hào)連接).

【解答】解：令函數(shù)f(x)%nx-x,xE(0,1),求導(dǎo)得/㈤=加力。霓尸叫T=3TX

即函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，f(x)>f(o)=o,貝叫/(焉)〉C，即|1b=tan強(qiáng)〉卷>金=a

1

令函數(shù)g(x)=In(x+l)-x,x￡(0,1),求導(dǎo)得切'(X)=8萬(wàn)一1<C

即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)<g(0)=0,則g層)vo，即c=ln嘗〈去V+=a

所以a,b,c的大小關(guān)系為c<a<b.

故答案為：c〈a〈b.

14.(5分)數(shù)學(xué)家GeminadDandelin用一平面截圓錐后,在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球,使得它們分別

與圓錐側(cè)面、截面相切，就可證明圖中平面截圓錐得到的截面是橢圓(如圖稱(chēng)為丹德林雙球模型).若

圓錐的軸截面為正三角形，則用與圓錐的軸成60°角的平面截圓錐所得橢圓的離心率為立

【解答】解：令兩個(gè)球6,02分別與截面相切于點(diǎn)E,F,在截口曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H作圓錐

的母線(xiàn)，

分別與兩個(gè)球相切于Q,P,HQ,HF均為球01的切線(xiàn)，則HQ=HF,同理HE=HP,

因此HE+HF=HP*HQ=PQ>EF,由切點(diǎn)P,Q的產(chǎn)生方式知,PQ長(zhǎng)為定值,

于是截口曲線(xiàn)上任意點(diǎn)H到定點(diǎn)E,F的距離和為定值，該曲線(xiàn)是以點(diǎn)E,F為焦點(diǎn)的橢圓，

作出幾何體的軸截面，如圖，設(shè)SA=2,依題意，ZS=60°,ZSAB=30°,

貝|J/SBA=9O°,SB=1,AB=J3,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=AB=V3,半焦距為c,

則a—c=BF—S"=%1,因此?—1所以離心率e=￡=*

'"Sy22，a3

故答案為：—.

a

15.(13分)已知函數(shù)f(x)=eax-ex-b在x=0處的切線(xiàn)為x軸。

(1)求a,b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：(1)因?yàn)閒(x)=e4x-ex-b,所以f(x)=aeax-e,

依題意知，出0)=0且f(0)=0,

所以?xún)x解得｛、；?

(2)由(1)可得f(x)=eex-ex-l函數(shù)的定義域?yàn)镽,

又f(x)=ex+l-e=e(eexT),

令g(x)=f(x)=eex+l-e,則g'(x^exy>。，所以g(x)在定義域R上單調(diào)遞增，即f(x)

在定義域R上單調(diào)遞增，

又f(0)=0,所以當(dāng)x〈0時(shí)f(x)〈0,當(dāng)x〉0時(shí)f(x)>0,

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-0,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+0).

16.(15分)如圖所示,五面體ABCDE中,AB±BC,四邊形ABDE為平行四邊形，點(diǎn)E在面ABC內(nèi)的

投影恰為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，AE=AC=2AB=2.

(1)求五面體ABCDE體積;

(2)求平面AEC與平面DBC夾角的余弦值.

【解答】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)E在面ABC內(nèi)的投影恰為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，作EO,AC垂足為0,則E0,平

面ABC,

因?yàn)锳E=AC=2AB=2,所以4EAC為等邊三角形，所以E0=722-12=V3,

又AB_LBC,所以BC=VAC2-AB2=V3,

過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線(xiàn)EF,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn)交EF于點(diǎn)F,

又四邊形ABDE為平行四邊形，所以ABC-EDF為三棱柱，

則以BC-DFE=S^ABC'E°=2XV3X1XV3=2

又三棱錐C-DEF的體積是三棱柱ABC-EDF的體積的匚、

所以五面體ABCDE的體積是三棱柱ABC-EDF的體積的勺二，

所以五面體ABCDE的體積y==]

(2)由(1)知E0_L平面ABC,在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)0作0M_LAC交BC于點(diǎn)M,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(O,-1,O),C(O,1,O),B亭T，0),E(0,0,d3),

XAB=ED,所以聘,1八)，

所以CB=(9，—0),CD=(學(xué)，-J3),

又平面AEC的法向量可以為『1,0,0),

設(shè)平面DBC的法向量為HF(x,y,z),則inLCB,m±CD,

3

732X-y=o

m-CB=2

則T-V32X1

-

m-CD=2

設(shè)平面AEC與平面DBC夾角為6，則cos。=|mn|_3_3/13

ImMnllx/1313

2

17.(15分)過(guò)雙曲線(xiàn)E:4r?一y2=i的右焦點(diǎn)F作斜率相反的兩條直線(xiàn)11、1,L與E的右支交與A、B

兩點(diǎn)，12與E的右支交C、D兩點(diǎn)，若AC、BD相交于點(diǎn)P.

(1)求證：點(diǎn)P為定點(diǎn)；

⑵設(shè)AC的中點(diǎn)為M,BD的中點(diǎn)為N,當(dāng)四邊形ACBD的面積等于［MN?時(shí)，求四邊形ACBD的周

長(zhǎng).

2

【解答】解：(1)證明：易知雙曲線(xiàn)E:=1的右焦點(diǎn)F(2,0),

由I與E的右支交與A、B兩點(diǎn)，b與E的右支交C、D兩點(diǎn)，

設(shè)直線(xiàn)I的斜率為k(kNO),則直線(xiàn)li:y=k(x-2),

y=k(x—2)

由1、2得(1-3k2)x2+12k2x-12k2-3=0,

(T-y2=1

設(shè)A(xl,yi),B(x2,y2),不妨設(shè)xi>x2,

4-3k2云o

A=144k4-4(1-3k2)(-12fc2-3)>0

則“x,+x2=—X)>解得k<"—卓或k>坐,

3kz-l"'

又1■，與I2斜率相反，即U與L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，又AC、BD相交于點(diǎn)P,

則A點(diǎn)與D點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則AC與BD也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知P點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)P(m,0),又C(x2,-y2),

Vl-Vo

所以=——,所以2xlx2+4m=(2+m)(xi+x2),

x1-mx7-m

所以直線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)pQ,0).

(2)依題意四邊形ACBD為等腰梯形，MN為梯形的中位線(xiàn)，

設(shè)BC、AD與x軸的交點(diǎn)分別為G、H,則MNXGH,且MN與GH互相平分,

所以S/ICBO=(M。什啜“砌=|MN|-\GH\=|MN|2,

所以|MM=|GH,則四邊形MGNH為正方形，

所以MG〃AB且斜率為1,

則］=x—_2.得2xJ12x+15=0,解得％1=綺&4七=與四

所以直線(xiàn)li:y=x-2,2

%—y=i

則yi=Xx-2=

所以4(竽，喑B崢,空：

則也學(xué)，與&c(竽，弩6

所以|AC|=J(竽-竽/+(苧一專(zhuān)》=V10

|BC|=2(--y^)=y[6—2中|4D|=2(空步)=V6+2

所以四邊形ACBD的周長(zhǎng)為2V6+2V10.

18.(17分)2024年初，多地文旅部門(mén)用各種形式展現(xiàn)祖國(guó)大美河山，掀起了一波旅游熱潮.某地游樂(lè)園

一迷宮票價(jià)為8元，游客從A處進(jìn)入，沿圖中實(shí)線(xiàn)游玩且只能向北或向東走，當(dāng)路口走向不確定時(shí)，

用拋硬幣的方法選擇，硬幣正面朝上向北走，否則向東走(每次拋擲硬幣等可能出現(xiàn)正反兩個(gè)結(jié)果)直

至U從X(X=1,2,3,4,5,6,7)號(hào)出口走出，且從X號(hào)出口走出，返現(xiàn)金X元.

(1)隨機(jī)調(diào)查了進(jìn)游樂(lè)園的50名游客，統(tǒng)計(jì)出喜歡走迷宮的人數(shù)如表：

男性女性總計(jì)

喜歡走迷宮121830

不喜歡走迷宮13720

總計(jì)252550

判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān)？

附：K2=a+b)C+d-ao0o+

P(K22o)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

⑵走迷宮“路過(guò)路口B”記為事件B,從“X號(hào)走出”記為事件Ax,求P(As|B)和P(B|A4)的值;

(3)設(shè)每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為多少？

2

【解答】解：(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得就2=當(dāng)看聿蹙=3<3,84百

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為喜歡走迷宮與性別有關(guān);

(2)依題意當(dāng)路口走向不確定時(shí)，用拋硬幣的方法選擇,

1

所以向北與向東走的概率均為

由A到路口B需向北走2個(gè)，向東走3個(gè)路口，則不同路線(xiàn)有C｝條，

所以P(B)=廢x(；)5=W，

事件AsB表示從A出發(fā)經(jīng)過(guò)路口B最后從5號(hào)路口走出，

則P(&B)=集Xx盤(pán)X(1)3=磊，

所以pg|B)=舞9=罩=/

P(B|A4)表示從A出發(fā)最后從4號(hào)路口走出的條件下經(jīng)過(guò)路口B的概率，

"(4)=4X(1)8=焉P(4B)=C1X(J)5XCjx(妒=卷

所以P(B|4)==嬖=決

'4"ITS

(3)依題意從X(X=1,2,3,4,5,6,7)號(hào)出口走出，返現(xiàn)金X元，

所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入可能取值為Y=8-X,

所以p(y=7)=Gx6)8+&)7=^

p(y=6)=c"(扔埸

p(y=5)=cix(*^p(y=4)=cfx(；)8=*

P(y=3)=Cfx(；)8=^p(y=2)=可、&)8=怒

P(Y=l)=Gx?8+?7=急

所以每名游客游玩一次游樂(lè)園收入的期望為：7><與+6乂思+5乂懸+4乂烏+3乂思+2,

zhnzhnzSnZbnzhn

28,9,

兩+41X雙=4

每天走迷宮的游客為500人，則迷宮項(xiàng)目每天收入約為500X4=2000元.

19.(17分)已知平面內(nèi)定點(diǎn)A(0,1),P是以0A為直徑的圓C上一動(dòng)點(diǎn)(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).直線(xiàn)OP與

點(diǎn)A處C的切線(xiàn)交于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)BN,垂足為N,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)PQ,垂足為Q,

過(guò)點(diǎn)P作BN的垂線(xiàn)PM,垂足為M.

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程1;

(2)求矩形PMNQ面積的最大值;

⑶設(shè)M的軌跡「，直線(xiàn)x=-n,x=n(nEN*)與x軸圍成面積為人，甲同學(xué)認(rèn)為隨n的增大，人也

會(huì)達(dá)到無(wú)窮大，乙同學(xué)認(rèn)為隨n的增大人不會(huì)超過(guò)4,你同意哪個(gè)觀點(diǎn)，說(shuō)明理由.

【解答】解：⑴設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意，直線(xiàn)AB的方程為y=l,B(x,l),顯然點(diǎn)P與0不重合,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，連接AP,由P是以0A為直徑的圓C上一點(diǎn)，貝ljAP_LOP,

由AB//x軸，得△AOBsapOAsQPO,則四1=幽幽=幽