5電磁場(chǎng)與電磁波-第五章-圖片

第五章恒定磁場(chǎng)分析由矢量分析和亥姆霍茲定理為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)靜磁場(chǎng)的性質(zhì)及分析靜磁場(chǎng)問題的數(shù)學(xué)理論和方法。主要內(nèi)容有:1.真空中和磁介質(zhì)中的靜磁場(chǎng)基本方程；2.引入矢量磁位A來求磁場(chǎng)問題；3.求矢量磁位的泊松方程和拉普拉斯方程；4.電感，靜磁場(chǎng)能量及靜磁場(chǎng)力的計(jì)算。

5.1恒定磁場(chǎng)分析的基本量恒定磁場(chǎng)的“源變量”是恒定電流密度矢量J,為矢量源,故產(chǎn)生場(chǎng)必為有旋度的矢量場(chǎng).

兩個(gè)場(chǎng)變量:1.磁通密度:2.磁場(chǎng)強(qiáng)度:H(r),單位為A/m,表示磁場(chǎng)對(duì)電流或永久磁鐵有磁力作用.無界真空中,回路1是引起場(chǎng)的源回路,回路2是試驗(yàn)回路。可測(cè)得試驗(yàn)回路所受到的安培力:

當(dāng)為無界均勻磁介質(zhì)材料空間時(shí),可測(cè)得試驗(yàn)回路所受到的安培力:

式中μ=μ0

μr

為磁介質(zhì)材料的磁導(dǎo)率,單位為H/m.實(shí)驗(yàn)時(shí),調(diào)節(jié)兩個(gè)電流元的方位使它們處于同一平面內(nèi)又相互平行,則dF12達(dá)到最大值,即:

5.1.1定義磁場(chǎng)強(qiáng)度H為:任一閉合直流回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度H為:又據(jù)畢奧－沙伐爾定律,源回路引起的磁感應(yīng)強(qiáng)度為:所以在外場(chǎng)中受到的安培力為:得到真空中磁特性方程或本構(gòu)關(guān)系式:)(412110òò==lrreldIBdBpmx2.5.45.1.55.1.65.1.35.1.4如果是體電流分布和面電流分布相應(yīng):對(duì)照靜電場(chǎng)中電荷作體分布時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式:5.2真空中磁場(chǎng)的基本方程首先分析無界真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度B(r)在任意閉合面上的磁通量,磁通量Φ為:(AXB).C=A.(BXC)得到:所以:即B(r)穿過任意閉合面的磁通量為0,又由:得到微分形式的基本方程為:5.2.15.2.2表明磁場(chǎng)為無散度的矢量場(chǎng),磁感應(yīng)線為一些閉合的曲線.梯度的旋度為零-dl-現(xiàn)在來分析磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流特性：在磁場(chǎng)中任取一閉合回路C(源回路為C`),得H(r)的環(huán)流為:

右圖中,場(chǎng)點(diǎn)P沿回路C有位移dl時(shí),源回路對(duì)其立體角改變?yōu)閐Ω,這同保持P點(diǎn)不動(dòng)而源回路C`移動(dòng)(-dl)一樣,則回路圍的表面由s1`變?yōu)閟2`,增量為:

+立體角改變量為:即:此為P點(diǎn)位移dl時(shí)的變量,那么P沿C移動(dòng)一周時(shí)立體角改為:可得:環(huán)積分結(jié)果取決于ΔΩ,一般有兩種情況:書上錯(cuò)誤書上錯(cuò)誤(1)回路C不與源電流回路C`相套鏈:此時(shí),從某點(diǎn)開始又回到原始點(diǎn),則ΔΩ=0,上式可變?yōu)?(2)回路C與源電流回路C`相套鏈:-dl-即C穿過C`所圍的面S`,取起點(diǎn)為S`上側(cè)的A點(diǎn),終點(diǎn)為下側(cè)的B點(diǎn),由于上側(cè)的點(diǎn)所張的立體角為(-2π),而下側(cè)的為2π,故ΔΩ=4π,ΩIC`C5.2.6因C與C`相套鏈,I也即穿過回路C的電流,當(dāng)電流與回路C存在右螺旋關(guān)系時(shí),I為正,反之為負(fù).綜上兩種情況,用一個(gè)方程可表為:由上式可導(dǎo)出安培環(huán)路的微分形式:(斯拖克斯定理)及:得:因回路任意取,故有:表明磁場(chǎng)是有旋場(chǎng),為非保守場(chǎng)總結(jié)真空中磁場(chǎng)的基本方程:積分形式:微分形式:(磁通連續(xù)性方程)(安培環(huán)路方程)(真空中本構(gòu)關(guān)系式)已知源變量J(r),用偏微分方程求H(r):利用矢量恒等式:得:又因?yàn)?故可得:5.2.9復(fù)習(xí)1.閉合直流回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度H為:2.

磁感應(yīng)強(qiáng)度為:復(fù)習(xí):3.總結(jié)真空中磁場(chǎng)的基本方程:(磁通連續(xù)性方程)(安培環(huán)路方程)(真空中本構(gòu)關(guān)系式)例5.2.1半徑為a的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線通電流I,求導(dǎo)體內(nèi)外的H.

解：如圖的導(dǎo)體圓柱，顯然場(chǎng)與

,z無關(guān),據(jù)安培環(huán)路方程有:

得:此積分等于回路包圍的電流,在r<=a的圓柱內(nèi),包圍的電流為:

故有:對(duì)于r>=a的圓柱,積分所包圍的電流為I,有:例

5.2.2

如圖兩相交圓柱的截面,兩圓重疊部分沒電流,非相交的部分有大小相等方向相反的電流,密度為J,求證相交部分磁場(chǎng)是均勻的.

φ1φ2解:由例5.2.1的結(jié)果可知,兩圓柱單獨(dú)存在時(shí),圓柱內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)是:為單位矢量這樣在重疊區(qū)域(即無電流區(qū)域)內(nèi)的H應(yīng)為:上式C=exC為一個(gè)x方向的常數(shù)矢量,H與場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)無關(guān),是一個(gè)均勻的磁場(chǎng),方向?yàn)閑zxex=ey

.若兩個(gè)圓柱無限靠攏,重疊區(qū)域近似為一個(gè)圓柱形狀的區(qū)域,則證明了在圓柱空腔中產(chǎn)生橫向均勻磁場(chǎng)提供了一種實(shí)際可行的方法.r1r25.3矢量磁位

矢量場(chǎng)旋度的散度為零,即:而磁場(chǎng)的散度為零,即:

A為矢量磁位,單位為T*m(特*米)或Wb/m(韋/米):但是只知式5.3.1一個(gè)方程是不夠的.還需知道A的散度方程后才能唯一確定A.現(xiàn)假設(shè)任意標(biāo)量函數(shù)φ,有:則有:=0可見A和A`都滿足其旋度為B,而A和A`具有不同的散度:現(xiàn)在作庫(kù)倫規(guī)范:在這一規(guī)范下,矢量位A就能唯一確定了.得:利用矢量恒等式和庫(kù)倫規(guī)范:得:5.3.3上式稱為矢量位的泊松方程,對(duì)于無源區(qū)域,則:此稱為矢量位的拉普拉斯方程.5.3.4注意此處的拉普拉斯算符,其后為矢量,故為矢量算符.在直角坐標(biāo)系中:代入:得:為常矢量解可分為三個(gè)分量:此時(shí)為標(biāo)量算符解的三個(gè)分量為:電流元Jdτ,Jsds和Idl產(chǎn)生的矢量位分別為:1.因?yàn)锳與源方向同，取坐標(biāo)系同源方向一致，則得一維標(biāo)量;2.可引入標(biāo)量函數(shù)，將A的方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)量方程,可簡(jiǎn)化計(jì)算。

例5.3.1求無限長(zhǎng)直線電流的矢量位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B.

解:先求有限長(zhǎng)直線電流I產(chǎn)生的A.

積分再令l

有：

例5.3.2雙傳輸導(dǎo)線的電流可視為方向相反的無限長(zhǎng)平行電流,求它的A及B

解:利用上例中的結(jié)論,得:矢量位的重要應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常要計(jì)算通過某一曲面的磁通，其可以通過由矢量位來計(jì)算，即：式中C為曲面S的周界。5.4磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位

將半徑為a的小電流環(huán)(磁偶級(jí)子,磁矩Pm=IS)置于xoy平面，圓心與球坐標(biāo)重合。由對(duì)稱性可將場(chǎng)點(diǎn)放在

=0的平面，在圓環(huán)上對(duì)稱于=0取兩點(diǎn)(a,/2,+

)和(a,/2,-

)，兩個(gè)小電流元Idl,每對(duì)源產(chǎn)生的場(chǎng)僅含分量：dA=2dA=2dA1cos,dA1為單個(gè)電流元在場(chǎng)中產(chǎn)生的矢量位,故得:顯見R2=z2+{a2+x2-2axcos`}

=(rcos)2+a2+(rsin)2-2arsincos

’

=r2+a2-2arsincos

’

遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)r>>a

一般來講a無限縮小，r>>a總可滿足,令πa2=ds,Pm=IdS便成為微小磁偶極子：

這個(gè)式子對(duì)磁偶極子所在點(diǎn)外區(qū)域均成立。

Pm(Pm為固定矢量)根據(jù)矢量恒等式:2.4.8復(fù)習(xí):總結(jié)真空中磁場(chǎng)的基本方程:(磁通連續(xù)性方程)(安培環(huán)路方程)2.4.8復(fù)習(xí)1.磁偶極子的矢量位和標(biāo)量位一般來講圓環(huán)半徑a無限縮小，r>>a總可滿足,令πa2=ds,Pm=IdS便成為微小磁偶極子：

磁偶極子的場(chǎng)為無旋場(chǎng)

,實(shí)際上從安培定理的微分形式也有:

xH=0（偶極子外的場(chǎng)）磁通連續(xù)性：

?B=0（任意）故H可表為標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度,從電磁對(duì)應(yīng)關(guān)系看,有:設(shè)有磁荷qm

磁距Pm=qmdl=Ids

則磁荷量為qm=IdS/dl

單位為A?m2

則m

=qmdl?r/4r3

磁偶極子模型:

1.電流環(huán)模型（安培型）--恒定磁場(chǎng)分析中應(yīng)用2.假想磁荷模型（靜磁模型）----磁性材料分析5.5物質(zhì)的磁化

磁化強(qiáng)度

自由電荷運(yùn)動(dòng)（真實(shí)場(chǎng)源J)

磁場(chǎng)

物質(zhì)內(nèi)部束縛電荷自身運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)的電子)

磁場(chǎng)

分子磁場(chǎng)在無外場(chǎng)作用下是隨機(jī)的,合成磁場(chǎng)為零.分子磁距Pm在外場(chǎng)作用下會(huì)順著外場(chǎng)取向,具有合成磁矩,此時(shí)介質(zhì)被磁化,一般兩者成正比.假定任一體積內(nèi)分子密度為N,平均分子磁矩Pm,定義單位體積總磁距磁化強(qiáng)度:

M稱為磁化強(qiáng)度,單位為A/m,為一個(gè)矢量函數(shù).得:由于磁化強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度相似，根據(jù)：

安培模型已說明磁化體電流和磁化面電流的形成過程.

如圖每個(gè)體內(nèi)分子磁距都可等效成小環(huán)。相鄰環(huán)剛好抵消則Jm=0；不能抵消則Jm不等于０在表面總有Jms

不等于０。Jm是在外加磁場(chǎng)（磁化）過程中出現(xiàn)的

受控源變量，可通過調(diào)節(jié)外場(chǎng)（外場(chǎng)自由電荷密度J)來控制.

５.６磁介質(zhì)中的基本方程

實(shí)驗(yàn)中孤立磁荷仍沒發(fā)現(xiàn).磁場(chǎng)中由磁通連續(xù)性方程得:這里B為自由電流和磁化介質(zhì)的合成磁感應(yīng)強(qiáng)度.其次分析磁介質(zhì)內(nèi)磁場(chǎng)的環(huán)流特性,在無界的磁化介質(zhì)中,任取一閉合回路有:自由電流束縛電流

M是Jm作為場(chǎng)源變量產(chǎn)生的新的場(chǎng)變量,具有和磁場(chǎng)強(qiáng)度相同的單位和特性,因此有:得:或者:磁介質(zhì)本身滿足的關(guān)系有:由實(shí)驗(yàn)得,除鐵磁材料外,M和H之間有線性關(guān)系:于是有:其中

m

稱為磁化率,為無量綱的常數(shù).１:順磁物質(zhì)時(shí),其為正數(shù)

2:抗磁物質(zhì)時(shí),其為負(fù)數(shù)

3:鐵磁B和H成為非線性稱為物質(zhì)的磁導(dǎo)率,r稱為相對(duì)磁導(dǎo)率.5.7磁介質(zhì)面的邊界條件

無界介質(zhì)空間內(nèi),B和H連續(xù)可導(dǎo),但分界面突變（有磁化面電流）.nB1ΔshB1nB2B2n一、B的法向分量在分界面上作一高斯面，由磁通連續(xù)性得：即：矢量表示為：（B的法向分量連續(xù)）二、H的切向分量的邊界條件在分量面上作一小矩形回路，其兩邊分居兩側(cè)，而高h(yuǎn)0，如圖所示，則H沿此閉合回路的環(huán)積分：如果分界面上有自由電流密度Js時(shí),則此閉合回路將有自由電流相交鏈.取一垂直于矩形的單位矢量s,則回路上通過的電流為Js.sΔl,Js.s為表面電流垂直于Δl的分量.另外Δl可表為:H2tH1tH2H1ΔlhH沿閉合回路的積分變?yōu)?因?yàn)榛芈啡我馊〉?則:如果交界面上無自由的表面電流,則:即:得到:(即當(dāng)JS=0時(shí),H的切向分量連續(xù))表示表面電流垂直于Δl的分量若兩介質(zhì)各向同性,則H2和B2共面,有:得到:如果1空氣,2鐵磁，2>>1

2>>1,所以空氣中磁感應(yīng)強(qiáng)度線B垂直于表面.

nB1ΔshB1nB2B2nH2tH1tH2H1Δlh當(dāng)介質(zhì)１為真空,介質(zhì)２表面無自由面電流時(shí),求B1和

B2的切向分量之差:

=0(表面無自由電流)MXn=Jms由此可知交界面場(chǎng)量突變的起因是磁化面電流Jms.當(dāng)然自由電流面密度Js也為場(chǎng)量突變的原因.矢量位邊界條件

最后我們直接寫出矢量位的邊界條件(不作證明):有:由式5.7.2:又由式5.7.4:有:即:在求解矢量位的微分方程時(shí),要用到這兩個(gè)微分方程.例５.７.１鐵介質(zhì)無限長(zhǎng)圓管中通過電流I,內(nèi)外半徑a和b，磁導(dǎo)率

,求內(nèi)外壁的B，鐵中的M,Jm等.

解：取柱坐標(biāo)，軸線與中心重合,因?yàn)檩S對(duì)稱,則電流z方向,磁場(chǎng)只有

分量.由于可作出H面,用環(huán)路定理解最簡(jiǎn)便。

a).在管中a<<r<<b:

b).在管外r>b

B1=

0H1

c).在中心區(qū)（管中r<a）顯然H3j=0

由B=mH=m0mrH=(1+cM)m0H=m0(H+M)

管壁中磁化強(qiáng)度的計(jì)算：管壁內(nèi)體磁化電流:

rr=a和r=b管壁內(nèi)磁化面電流:

根據(jù)公式Jm=M

n

總的壁磁化電流（垂直于Z平面的）

復(fù)習(xí)1.磁化強(qiáng)度:假定任一體積內(nèi)分子密度為N,平均分子磁矩Pm,定義單位體積總磁距磁化強(qiáng)度:

M稱為磁化強(qiáng)度,單位為A/m,為一個(gè)矢量函數(shù).磁化體電流密度:磁化面電流密度:2.磁介質(zhì)中的基本方程

得:若兩介質(zhì)各向同性,則H2和B2共面,有:得到:nB1ΔshB1nB2B2nH2tH1tH2H1Δlh3.磁介質(zhì)面的邊界條件

例5.7.2如圖鐵芯環(huán)

0線圈有N匝,求環(huán)中B、H、

.解：當(dāng)

0時(shí)，磁感應(yīng)線主要在環(huán)中流通,

得:dh上式中令l=2πr0為磁環(huán)周長(zhǎng),s=hd為其橫切面,則得磁路歐姆定理:

Rm=l/

s,可見本題開始的設(shè)定主要磁通都在壁內(nèi)非常合理.5.9自電感互電感

在線性介質(zhì)中，一電流回路在空間的B與電流成正比，故穿過任意固定回路的磁通F也與電流成正比。

若一回路為N匝繞成，則總磁通為各匝之和，則=NF。

當(dāng)上述磁場(chǎng)是由本回路產(chǎn)生則定義自感為：

L為自感系數(shù)，單位為H(亨)。若第一回路對(duì)第二回路產(chǎn)生的，則定義互感為：

自感和互感取決于回路的尺寸，形狀，匝數(shù)，填充介質(zhì)，而與電流無關(guān)。

首先計(jì)算兩個(gè)單回路的互感。當(dāng)回路1通電流I時(shí)：

其中A12示回路1在dl上的矢量位，它等于：

故：

5.9.4（諾伊曼公式）

同理：

可見對(duì)于自感的計(jì)算，可取一個(gè)單匝回路，把電流看成集中在軸線，另一回路取在邊沿上，可用諾伊曼公計(jì)算自感：

若密繞的線圈匝數(shù)為N，則產(chǎn)生的磁通為單匝的N倍，而磁鏈又為=Nφ，自感為單匝的N2倍，故自感與匝數(shù)的平方成正比，互感與匝數(shù)乘積成正比。

上述都只考慮了導(dǎo)線外部磁通,故稱為外自感,下面討論內(nèi)自感：

設(shè)回路尺寸遠(yuǎn)大于導(dǎo)線截面，且截面為圓形,則導(dǎo)線內(nèi)磁場(chǎng)近似無限長(zhǎng)直導(dǎo)線,若導(dǎo)線半徑a,磁導(dǎo)率μ,則:

取一段導(dǎo)線長(zhǎng)為l，穿過圖中寬度dr的截面磁通:

d

=

ds=Bl

dr

這里，d

僅與半徑r內(nèi)的電流相連,因此計(jì)算與I相交鏈的磁鏈時(shí),要乘上一個(gè)比值r2/a2,即所交鏈的電流占全部電流的百分?jǐn)?shù).故得長(zhǎng)度為l的一段